专题22.4 用公式法解一元二次方程和判别式（7考点+过关检测）-【学霸满分】2024-2025学年九年级数学上册重难点专题提优训练（华东师大版）

专题22.4 用公式法解一元二次方程和判别式 目录 【典型例题】 1 【考点一 求一元二次方程中判别式的值】 1 【考点二 根据一元二次方程中判别式的值求参数】 2 【考点三 用公式法求解一元二次方程】 3 【考点四 利用公式法还原一元二次方程】 8 【考点五 用公式法解一元二次方程的错题复原问题】 10 【考点六 根据判别式判断一元二次方程根的情况】 13 【考点七 根据一元二方程根的情况求参数】 15 【过关检测】 18 【典型例题】 【考点一 求一元二次方程中判别式的值】 例1.（23-24九年级上·湖南郴州·阶段练习）一元二次方程的根的判别式的值为 . 【答案】 【分析】本题考查了根的判别式，利用代入即可求解； 【详解】解：∵在中，即：，，， ∴ 故答案为： 【变式训练】 1．（23-24九年级上·吉林松原·期中）一元二次方程的根的判别式的值为 ． 【答案】 【分析】此题考查了根的判别式，熟练掌握根的判别式的求法是解本题的关键．求出根的判别式的值即可． 【详解】解：这里，，， ． 故答案为： 2．（22-23九年级上·广东广州·期末）一元二次方程的根的判别式的值为 ． 【答案】17 【分析】根据一元二次方程根的判别式即可得到答案． 【详解】解：， ，，， ， 故答案为：17． 【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式，熟练掌握是解题关键． 3．（23-24九年级上·陕西宝鸡·期末）一元二次方程根的判别式的值是 ． 【答案】33 【分析】本题考查了根的判别式：一元二次方程的根的判别式为．根据根的判别式的定义，计算的值即可． 【详解】解：由得， ，，， ． 故答案为：33 【考点二 根据一元二次方程中判别式的值求参数】 例2.（2024·吉林松原·三模）若一元二次方程的根的判别式的值为8，则 ． 【答案】2 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，由题意得出，计算即可得出答案． 【详解】解：由题意得：， 解得：， 故答案为：． 【变式训练】 1．（24-25九年级上·全国·课后作业）已知关于x的一元二次方程根的判别式的值为16，则m的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查一元二次方程根的判别式，根据一元二次方程根的判别式为，代入数据求解即可 【详解】解：， ， ， 解得， 故答案为：． 2．（24-25九年级上·全国·单元测试）若一元二次方程的根的判别式的值为，则的值为 ； 【答案】±1 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式、解一元二次方程等知识点,掌握一元二次方程根的判别式是解题的关键； 利用一元二次方程根的判别式列方程求解即可． 【详解】解：因为一元二次方程的根的判别式的值为， 所以，解得． 故选：±1． 3．（23-24九年级下·吉林·阶段练习）若关于的一元二次方程的判别式的值为，则 ． 【答案】3 【分析】本题考查了一元二次方程的判别式，熟练掌握判别式公式解题的关键．根据题意可知，，，，代入，即可解得值． 【详解】解：根据题意可知，，，， ， ． 【考点三 用公式法求解一元二次方程】 例3.（24-25九年级上·全国·单元测试）用公式法解下列方程： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2)， (3)方程无解 (4) 【分析】本题主要考查一元二次方程的解法，熟练掌握利用公式法求解方程是解题的关键． （1）由题意易得，然后根据公式法可进行求解； （2）由题意易得，然后根据公式法可进行求解； （3）由题意易得，然后根据公式法可进行求解； （4）由题意易得，然后根据公式法可进行求解． 【详解】（1）解：∵ ∴， ∴， ∴， ∴． （2）解：∵ ∴， ∴， ∴， ∴． （3）解：∵ ∴， ∴， ∴原方程无解． （4）解：∵， ∴，，， ∴， ∴， ∴． 【变式训练】 1．（23-24九年级上·福建泉州·期末）解方程： (1)； (2)． 【答案】(1)， (2)， 【分析】本题考查了解一元二次方程．熟练的根据方程的特点选择合适的解法是解题的关键． （1）根据公式法求解，先写出根的判别式的值，再代入求根公式计算即可； （2）根据公式法求解，先写出根的判别式的值，再代入求根公式计算即可． 【详解】（1）， ， ， ，； （2）， ， ， ，． 2．（23-24九年级上·全国·单元测试）用公式法解下列万程： (1)． (2)． (3)． (4)． 【答案】(1)， (2)方程无解 (3)， (4)， 【分析】本题考查公式法解一元二次方程，掌握一元二次方程的求根公式，，先确定 的值，判断方程是否有根，最后求得根即可． （1）运用公式法解一元二次方程即可； （2）运用公式法解一元二次方程即可； （3）先整理为一般式，再运用公式法解一元二次方程即可； （4）先整理为一般式，再运用公式法解一元二次方程即可； 【详解】（1）解： ， ， ∴， 解得，； （2） ， ， 方程无解； （3） ， ， ∴， 解得，； （4） ， ， ∴， 解得，． 3．（23-24九年级上·全国·单元测试）利用公式法解下列方程： (1) (2) (3) (4) (5) 【答案】(1) (2) (3)原方程无实数根 (4) (5) 【分析】本题主要考查一元二次方程的解法，熟练掌握利用公式法求解方程是解题的关键； （1）由题意易得，然后根据公式法可进行求解； （2）由题意易得，然后根据公式法可进行求解； （3）由题意易得，然后根据公式法可进行求解； （4）由题意易得，然后根据公式法可进行求解； （5）由题意易得，然后根据公式法可进行求解． 【详解】（1）解： ∴， ∴， ∴， ∴； （2）解： ∴， ∴， ∴， ∴； （3）解： ∴， ∴， ∴原方程无实数根； （4）解： ∴， ∴， ∴， ∴； （5）解： ∴， ∴， ∴， ∴． 【考点四 利用公式法还原一元二次方程】 例4．（23-24八年级下·安徽安庆·期中）若关于的一元二次方程的根为，则这个方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了解一元二次方程．根据公式法解答，即可求解． 【详解】解：∵关于的一元二次方程的根为， ∴二次项系数为1，一次项系数为，常数项为， ∴这个方程为． 故选：D 【变式训练】 1.（2024八年级下·浙江·专题练习）是下列哪个一元二次方程的根（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了公式法解一元二次方程，根据公式法解一元二次方程的方法即可得结论，用公式法解一元二次方程的一般步骤为：把方程化成一般形式，进而确定，，的值；求出的值（若，方程无实数根）；在的前提下，把的值代入公式进行计算求出方程的根，解题的关键是掌握去根公式． 【详解】解：、中，，不合题意； 、中，，不合题意； 、中，，不合题意； 、中，x，符合题意； 故选：． 2．（23-24九年级上·湖北黄石·期末）以为根的一元二次方程可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了公式法解一元二次方程，牢记一元二次方程的求根公式是解题的关键． 根据公式法解一元二次方程即可求解． 【详解】解：A． ， ∴，故该选项不正确，不符合题意； B． ， ∴，故该选项不正确，不符合题意； C． ， ∴，故该选项正确，符合题意； D． ， ∴，故该选项不正确，不符合题意； 故选：C． 3．（2024九年级上·全国·专题练习）用公式法解一元二次方程，得，则该一元二次方程是 ． 【答案】 【详解】本题考查了公式法解一元二次方程，根据求根公式确定出方程即可． 【解答】解：根据题意得：， 则该一元二次方程是， 故答案为：． 【考点五 用公式法解一元二次方程的错题复原问题】 例5. （2024九年级下·全国·专题练习）小明在解方程的过程中出现了错误，其解答如下： 解：，，，第一步 ，第二步 ，第三步 ，．第四步 (1)问：小明的解答是从第______ 步开始出错的； (2)请写出本题正确的解答． 【答案】(1)一； (2)正确的解答见解析． 【分析】本题考查了公式法解一元二次方程，熟练掌握用公式法解一元二次方程的一般步骤是解决问题的关键． （1）先把方程化为一般式，再确定a、b、c的值，从而可判断小明的解答从第一步开始出错了； （2）方程化为一般式得到，，，再计算根的判别式的值，然后利用求根公式得到方程的解． 【详解】（1）小明的解答是从第一步开始出错的， 故答案为：一； （2）解：方程化为一般式为， ，，， ， ， ，． 【变式训练】 1.（22-23八年级下·北京门头沟·期末）阅读材料，并回答问题： 小明在学习一元二次方程时，解方程的过程如下： 解：∵，，                ① ∴        ②                     ③ ∴此方程无解 问题： (1)上述过程中，从 步开始出现了错误（填序号）； (2)发生错误的原因是： ； (3)在下面的空白处，写出正确的解答过程． 【答案】(1)③ (2)计算错误 (3)见解析 【分析】根据公式法的步骤判断和求解即可． 【详解】（1）解：由题意可得：从③步开始出现了错误 故答案为：③； （2）计算错误（负数乘以负数得负数）； （3）∵，，， ∴， ∴， 解得：，． 【点睛】本题考查了用公式法解一元二次方程，解题的关键是掌握公式法的计算步骤． 2.（23-24八年级下·全国·假期作业）解方程，某位同学的解答过程如下： 解：∵，，， ∴， ∴， ∴，. 请你分析以上解答过程有无错误，如有错误，指出错误的地方，并写出正确的结果. 【答案】见解析 【详解】解：有错误，的值应为. 将方程化为一般形式，得. ∵，，， ∴， ∴， ∴，. 3．（23-24九年级上·河南信阳·阶段练习）解方程：． 有一位同学解答如下：这里，，，， ∴． ∴． 请你分析以上解答有无错误，如有错误，请作出正确解答． 【答案】有错误，正确解答见解析 【分析】将方程化为一般式，利用求根公式求解即可． 【详解】解：有错误，错误的原因是没有将方程化为一般形式． 将方程， 化为一般式为， 故方程中的，，， ． 所以， 即，． 【点睛】本题考查一元二次方程的解公式法，解题的关键是记住求根公式，属于中考常考题型． 【考点六 根据判别式判断一元二次方程根的情况】 例6.（23-24九年级上·四川宜宾·期末）方程的根的情况是（    ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．没有实数根 D．只有一个实数根 【答案】B 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，掌握“当时，一元二次方程有两个不相等的实根；时，一元二次方程有两个相等的实数根；时，一元二次方程没有实数根；”是解题的关键． 利用一元二次方程根的判别式即可判断． 【详解】由一元二次方程根的判别式可得： ， ∴一元二次方程有两个相等的实数根． 故选：． 【变式训练】 1．（2024·河南商丘·模拟预测）一元二次方程的根的情况是（    ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．无法判断 D．无实数根 【答案】A 【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式．利用一元二次方程根的判别式，即可求解． 【详解】解：， ∴， ∵， ∴， ∴原方程有两个不相等的实数根． 故选：A． 2．（23-24九年级上·广东佛山·期末）下列一元二次方程中，没有实数根的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查一元二次方程根的判别式，根据方程有两个不相等的实数根；方程有两个相等的实数根；方程没有实数根；逐项判断即可． 【详解】解：A．中，有两个不相等实数根，不符合题意； B．中，有两个不相等实数根，不符合题意； C．中，没有实数根，符合题意； D．中，有两个相等的实数根，不符合题意； 故选：C． 3．（23-24八年级下·安徽合肥·期中）定义运算：，例如：方程的根的情况（      ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．无实数根 D．只有一个实数根 【答案】A 【分析】本题考查了根的判别式：一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根． 利用新定义得到，然后利用可判断方程根的情况． 【详解】解：由新定义得， ， 方程有两个不相等的实数根． 故选：A． 【考点七 根据一元二方程根的情况求参数】 例7. （2024·甘肃金昌·三模）已知关于的一元二次方程． (1)当时，求方程的解； (2)若该方程有实数根，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查解一元二次方程，一元二次方程跟的判别式． （1）利用配方法解方程即可； （2）根据一元二次方程跟的判别式，列出不等式求解即可． 【详解】（1）解：当时，原方程可化为， 配方，得， 解得； （2）解：∵该方程有实数根， ∴， 解得， 即若该方程有实数根，的取值范围是． 【变式训练】 1.（23-24八年级下·山东烟台·期中）关于的一元二次方程有实数根． (1)求的取值范围； (2)若为正整数，请用配方法求出此时方程的解． 【答案】(1)且 (2)， 【分析】本题考查一元二次方程根的判别式及用配方法解方程， （1）由关于的一元二次方程有实数根，根据一元二次方程的定义和根的判别式的意义可得且，即，两个不等式的公共解即为的取值范围； （2）求出的值，用配方法解方程即可； 解题的关键是掌握：式子是一元二次方程根的判别式，方程有两个不等的实数根；方程有两个相等的实数根；方程无实数根． 【详解】（1）解：∵关于的一元二次方程有实数根， ∴且， 解得：且， ∴的取值范围为且； （2）∵且，且m为正整数， ∴， ∴原方程为， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴此时方程的解为：，． 2.（23-24八年级下·山东泰安·期中）已知：关于x的一元二次方程． (1)当m取何值时，此方程没有实数根； (2)若此方程有两个实数根，求m的最小整数值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了根的判别式，熟知根的判别式为是解题的关键． （1）利用判别式的意义得到，根据题意可得，即可解答； （2）利用判别式的意义得到，根据题意可得，即可得到m的最小整数值． 【详解】（1）解：关于x的一元二次方程， 可得， 当，即时，此方程没有实数根； （2）解：∵有两个实数根， ∴， ∴； ∴m的最小整数值为． 3.（23-24九年级上·黑龙江绥化·期末）已知关于x的方程． (1)求证：无论k取任何实数，该方程总有实数根； (2)如果这个方程的两个根恰好是等腰三角形的两边长，其第三边长为4，求的周长． 【答案】(1)见详解 (2)的周长为11或10． 【分析】本题主要考查了一元二次方程的根的判别式，根据根的情况求参数和等腰三角形的性质. （1）先计算出，然后根据非负数的性质即可证明． （2）分两种情况计算，当腰长为4时，代入方程，求出k值，得出方程，进而求得方程的另一个根，当底边长为4时，此时方程有两个相等的实数根，根据得出k的值，把k值代入方程，解方程即可求的的腰长． 【详解】（1）证明：， ∵，即， ∴无论取任何实数，方程总有实数根． （2）当腰长为4时，把代入， 得，， 解得； 方程化为， 则其另一个解为， 此时的周长为． 当底边长为4时，则方程有两个相等的实数根， ∴， ∴，此时方程化为， 即, 解得：， 此时的周长为． 综上所述，的周长为11或10． 【过关检测】 一、单选题 1．（23-24九年级上·辽宁大连·期末）一元二次方程的判别式的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，一元二次方程的判别式，直接运用判别式的公式计算即可． 【详解】解：， ，，， ， 故选：D． 2．（23-24九年级下·广东江门·阶段练习）已知关于x的一元二次方程，则该方程根的情况为（    ） A．无实数根 B．两个相等的实数根 C．两个不相等的实数根 D．无法判断 【答案】C 【分析】本题考查了根的判别式以及偶次方的非负性，牢记“当时，方程有两个不相等的实数根”是解题的关键． 先计算根的判别式，得到，由，得到，故，因此该方程有两个不相等的实数根． 【详解】解：， ∵， ∴， 即， ∴该方程有两个不相等的实数根， 故选：C． 3．（23-24九年级上·河南开封·期末）若关于的一元二次方程的根为，则这个方程是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了公式法解一元二次方程，解题的关键在于熟知关于一元二次方程若有解，则其解为． 【详解】解：由题意得：，，， ∴该方程为， 故选：． 4．（2024·黑龙江大兴安岭地·中考真题）关于x的一元二次方程有两个实数根，则m的取值范围是（    ） A． B． C．且 D．且 【答案】D 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式．根据一元二次方程的根的判别式的意义得到且，即，然后解不等式组即可得到的取值范围． 【详解】解：关于的一元二次方程有实数根， 且， 即， 解得：， 的取值范围是且． 故选：D． 5．（23-24八年级下·重庆九龙坡·期末）若关于x的方程有两个相等的实数根，则的值为（    ） A．2015 B．2033 C．2024 D．2027 【答案】A 【分析】本题考查一元二次方程根的判别式，以及代数式求值，根据一元二次方程判别式与根的关系可得到，进而得到，然后进一步整体代入求解即可． 【详解】解：关于x的方程有两个相等的实数根， ， 整理得， 有， ， 故选：A． 二、填空题 6．（2024·吉林松原·一模）一元二次方程的根的判别式的值是 ． 【答案】52 【分析】本题考查一元二次方程根的判别式，解题的关键是熟练掌握一元二次方程的判别式为．根据一元二次方程根的判别式公式代入数值计算即可求出答案． 【详解】解：∵一元二次方程中，， ∴该方程根的判别式， 故答案为：52． 7．（2024·湖南·中考真题）若关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则k的值为 ． 【答案】2 【分析】本题考查根据一元二次方程根的情况求参数．一元二次方程有两个不相等的实数根，则；有两个相等的实数根，则；没有实数根，则．据此即可求解． 【详解】解：由题意得：， 解得： 故答案为：2 8．（22-23九年级上·山西大同·阶段练习）用公式法解关于x的一元二次方程，得，则该一元二次方程是 ． 【答案】 【分析】根据公式法的公式，可得方程的各项系数，即可解答． 【详解】解： ， ，，， 从而得到一元二次方程为， 故答案为：． 【点睛】本题考查了用公式法解一元二次方程，熟记公式是解题的关键． 9．（2024·山东滨州·一模）对于任意实数k，关于x的方程的实数根的情况为 ． 【答案】方程没有实数根 【分析】本题考查了根的判别式，计算方程根的判别式，判断其符号即可，能熟记根的判别式的内容是解此题的关键． 【详解】∵， ∴ ， ∴不论k为何值，，即， ∴方程没有实数根， 故答案为：方程没有实数根． 10．（2024·江苏连云港·二模）定义新运算“”：对于任意实数，，都有，其中等式右边是通常的加法和乘法运算．例如：．若关于的方程有两个实数根，则实数的取值范围是 ． 【答案】且 【分析】根据新定义运算法则列方程，然后根据一元二次方程的概念和一元二次方程的根的判别式列不等式组求解．本题属于新定义题目，考查一元二次方程的根的判别式，一元二次方程的根的判别式：当判别式，方程有两个不相等的实数根；当判别式，方程有两个相等的实数根；当判别式，方程没有实数根． 【详解】解：∵， ∴， 整理可得， 又关于的方程有两个实数根， ， 解得：且， 故答案为：且． 三、解答题 11．（23-24八年级下·山东淄博·期中）公式法解方程：． 【答案】 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，先求出，则，据此可得答案． 【详解】解：∵， ∴， ， ， 解得． 12．（2024·陕西西安·三模）解方程：． 【答案】，． 【分析】本题考查解一元二次方程，熟练掌握一元二次方程的解法是解题的关键，先将所给的一元二次方程整理后，分别找到二次项系数、一次项系数、常数项，利用一元二次方程的求根公式计算即可． 【详解】解：方程整理得：， 则，，, ∵， ∴， 解得：，． 13．（23-24九年级上·吉林四平·期末）解一元二次方程： 【答案】，． 【分析】本题考查了一元二次方程的解法－公式法．先把方程化为一般式，然后利用求根公式法解方程． 【详解】解：， 整理得， ，，，， ∴， ∴，． 14．（23-24九年级上·湖北襄阳·期末）设一元二次方程．在下面的四组条件中选择其中一组b，c的值，使这个方程有两个不相等的实数根，并解这个方程． ①，；②，；③，． 【答案】选②，； 【分析】此题考查了一元二次方程根的判别式和公式法解一元二次方程．由方程有两个不相等的实数根，则，即，分别验证四组数值，确定满足条件的b，c的值后，分别解方程即可完成解答． 【详解】解：这个方程有两个不相等的实数根， ，即， 当，，，，故①不满足题意， 当，，，，故②满足题意， 则这个方程为， ， ， ∴； 当，，，，故③不满足题意． 15．（22-23九年级上·山西运城·阶段练习）（1）解方程：． （2）小明在解方程时出现了错误，其解答过程如下： 解：∵，，，    第一步 ∴，    第二步 ∴，        第三步 ∴，．    第四步 ①小明的解答过程是从第______步开始出错的，其错误原因是__________________． ②写出此题正确的解答过程． 【答案】（1），；（2）①一，原方程没有化成一般形式；②见解析 【分析】（1）移项，再直接开平方即可； （2）①要在一元二次方程的一般形式下确定a，b，c的值时，由此可确定第一步是错的；②根据公式法解一元二次方程的步骤解答即可． 【详解】解：（1）方程两边同乘，得：， 开方，得：， ∴，； （2）①根据解题步骤可知第一步是错的，原因是原方程没有化成一般形式． 故答案为：一，原方程没有化成一般形式； ②∵，，， ∴， ∴， ∴，． 【点睛】本题考查解一元二次方程，掌握直接开平方法和公式法解一元二次方程是解题关键． 16．（23-24八年级下·吉林长春·期中）关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根． (1)求m的取值范围； (2)若m为正整数，求此方程的解． 【答案】(1)且 (2)或 【分析】本题考查了一元二次方程根的个数与系数的关系，解一元二次方程， （1）一元二次方程有两个实数根，则二次项系数不为，且； （2）由（1）可得的取值，解方程即可． 【详解】（1）解：关于的一元二次方程有两个不相等的实数根， ， 解得：且． （2）解：为正整数，且， ． 原方程为， 解得，． 当为正整数时，该方程的根为或． 17．（23-24九年级上·江苏盐城·期末）定义新运算“”：对于实数m，n，p，q．有，其中等式的右边是通常的加法和乘法运算．例如：． (1)求关于x的方程的根； (2)若关于x的方程有两个实数根，求k的取值范围． 【答案】(1)， (2)且 【分析】本题考查了新定义下的实数运算，解一元二次方程，一元二次方程根的判别式．明确新定义的运算规则是解题的关键． （1）由新定义规定的运算法则，将其化为关于x的一元二次方程，解方程即可； （2）按新定义规定的运算法则，将其化为关于x的一元二次方程，在利用根的判别式进行求解即可解决． 【详解】（1）， ， ． ， ， ， （2） ， 整理得：． 方程有两个实数根， 且， 解得：且 18．（23-24九年级上·江西九江·期末）已知关于的一元二次方程，其中、、分别为三边的长． (1)如果是方程的根，试判断的形状，并说明理由； (2)如果方程有两个相等的实数根，试判断的形状，并说明理由； (3)如果，，，求这个一元二次方程的根． 【答案】(1)是等腰三角形；理由见解析 (2)直角三角形；理由见解析 (3)， 【分析】（1）把代入原方程，可得到的数量关系，即可判断的形状； （2）根据方程有两个相等的实数根得到，从而得到，由勾股定理的逆定理即可得到答案； （3）把，，代入原方程，利用公式法解方程即可． 【详解】（1）解：是等腰三角形，理由如下： 是方程的根， ， ， ，即， 是等腰三角形； （2）解：是直角三角形，理由如下： 方程有两个相等的实数根， ， ， ， 是直角三角形； （3）解：将，，代入方程得：， 解得：， ∴，． 【点睛】本题考查了一元二次方程的解、勾股定理的逆定理、一元二次方程的根的判别式、等腰三角形的判定、解一元二次方程，熟练掌握以上知识点是解此题的关键． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题22.4 用公式法解一元二次方程和判别式 目录 【典型例题】 1 【考点一 求一元二次方程中判别式的值】 1 【考点二 根据一元二次方程中判别式的值求参数】 1 【考点三 用公式法求解一元二次方程】 2 【考点四 利用公式法还原一元二次方程】 2 【考点五 用公式法解一元二次方程的错题复原问题】 3 【考点六 根据判别式判断一元二次方程根的情况】 5 【考点七 根据一元二方程根的情况求参数】 5 【过关检测】 6 【典型例题】 【考点一 求一元二次方程中判别式的值】 例1.（23-24九年级上·湖南郴州·阶段练习）一元二次方程的根的判别式的值为 . 【变式训练】 1．（23-24九年级上·吉林松原·期中）一元二次方程的根的判别式的值为 ． 2．（22-23九年级上·广东广州·期末）一元二次方程的根的判别式的值为 ． 3．（23-24九年级上·陕西宝鸡·期末）一元二次方程根的判别式的值是 ． 【考点二 根据一元二次方程中判别式的值求参数】 例2.（2024·吉林松原·三模）若一元二次方程的根的判别式的值为8，则 ． 【变式训练】 1．（24-25九年级上·全国·课后作业）已知关于x的一元二次方程根的判别式的值为16，则m的值为 ． 2．（24-25九年级上·全国·单元测试）若一元二次方程的根的判别式的值为，则的值为 ； 3．（23-24九年级下·吉林·阶段练习）若关于的一元二次方程的判别式的值为，则 ． 【考点三 用公式法求解一元二次方程】 例3.（24-25九年级上·全国·单元测试）用公式法解下列方程： (1)； (2)； (3)； (4)． 【变式训练】 1．（23-24九年级上·福建泉州·期末）解方程： (1)； (2)． 2．（23-24九年级上·全国·单元测试）用公式法解下列万程： (1)． (2)． (3)． (4)． 3．（23-24九年级上·全国·单元测试）利用公式法解下列方程： (1) (2) (3) (4) (5) 【考点四 利用公式法还原一元二次方程】 例4．（23-24八年级下·安徽安庆·期中）若关于的一元二次方程的根为，则这个方程是（    ） A． B． C． D． 【变式训练】 1.（2024八年级下·浙江·专题练习）是下列哪个一元二次方程的根（　　） A． B． C． D． 2．（23-24九年级上·湖北黄石·期末）以为根的一元二次方程可能是（    ） A． B． C． D． 3．（2024九年级上·全国·专题练习）用公式法解一元二次方程，得，则该一元二次方程是 ． 【考点五 用公式法解一元二次方程的错题复原问题】 例5. （2024九年级下·全国·专题练习）小明在解方程的过程中出现了错误，其解答如下： 解：，，，第一步 ，第二步 ，第三步 ，．第四步 (1)问：小明的解答是从第______ 步开始出错的； (2)请写出本题正确的解答． 【变式训练】 1.（22-23八年级下·北京门头沟·期末）阅读材料，并回答问题： 小明在学习一元二次方程时，解方程的过程如下： 解：∵，，                ① ∴        ②                     ③ ∴此方程无解 问题： (1)上述过程中，从 步开始出现了错误（填序号）； (2)发生错误的原因是： ； (3)在下面的空白处，写出正确的解答过程． 2.（23-24八年级下·全国·假期作业）解方程，某位同学的解答过程如下： 解：∵，，， ∴， ∴， ∴，. 请你分析以上解答过程有无错误，如有错误，指出错误的地方，并写出正确的结果. 3．（23-24九年级上·河南信阳·阶段练习）解方程：． 有一位同学解答如下：这里，，，， ∴． ∴． 请你分析以上解答有无错误，如有错误，请作出正确解答． 【考点六 根据判别式判断一元二次方程根的情况】 例6.（23-24九年级上·四川宜宾·期末）方程的根的情况是（    ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．没有实数根 D．只有一个实数根 【变式训练】 1．（2024·河南商丘·模拟预测）一元二次方程的根的情况是（    ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．无法判断 D．无实数根 2．（23-24九年级上·广东佛山·期末）下列一元二次方程中，没有实数根的是（　　） A． B． C． D． 3．（23-24八年级下·安徽合肥·期中）定义运算：，例如：方程的根的情况（      ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．无实数根 D．只有一个实数根 【考点七 根据一元二方程根的情况求参数】 例7. （2024·甘肃金昌·三模）已知关于的一元二次方程． (1)当时，求方程的解； (2)若该方程有实数根，求的取值范围． 【变式训练】 1.（23-24八年级下·山东烟台·期中）关于的一元二次方程有实数根． (1)求的取值范围； (2)若为正整数，请用配方法求出此时方程的解． 2.（23-24八年级下·山东泰安·期中）已知：关于x的一元二次方程． (1)当m取何值时，此方程没有实数根； (2)若此方程有两个实数根，求m的最小整数值． 3.（23-24九年级上·黑龙江绥化·期末）已知关于x的方程． (1)求证：无论k取任何实数，该方程总有实数根； (2)如果这个方程的两个根恰好是等腰三角形的两边长，其第三边长为4，求的周长． 【过关检测】 一、单选题 1．（23-24九年级上·辽宁大连·期末）一元二次方程的判别式的值为（    ） A． B． C． D． 2．（23-24九年级下·广东江门·阶段练习）已知关于x的一元二次方程，则该方程根的情况为（    ） A．无实数根 B．两个相等的实数根 C．两个不相等的实数根 D．无法判断 3．（23-24九年级上·河南开封·期末）若关于的一元二次方程的根为，则这个方程是（   ） A． B． C． D． 4．（2024·黑龙江大兴安岭地·中考真题）关于x的一元二次方程有两个实数根，则m的取值范围是（    ） A． B． C．且 D．且 5．（23-24八年级下·重庆九龙坡·期末）若关于x的方程有两个相等的实数根，则的值为（    ） A．2015 B．2033 C．2024 D．2027 二、填空题 6．（2024·吉林松原·一模）一元二次方程的根的判别式的值是 ． 7．（2024·湖南·中考真题）若关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则k的值为 ． 8．（22-23九年级上·山西大同·阶段练习）用公式法解关于x的一元二次方程，得，则该一元二次方程是 ． 9．（2024·山东滨州·一模）对于任意实数k，关于x的方程的实数根的情况为 ． 10．（2024·江苏连云港·二模）定义新运算“”：对于任意实数，，都有，其中等式右边是通常的加法和乘法运算．例如：．若关于的方程有两个实数根，则实数的取值范围是 ． 三、解答题 11．（23-24八年级下·山东淄博·期中）公式法解方程：． 12．（2024·陕西西安·三模）解方程：． 13．（23-24九年级上·吉林四平·期末）解一元二次方程： 14．（23-24九年级上·湖北襄阳·期末）设一元二次方程．在下面的四组条件中选择其中一组b，c的值，使这个方程有两个不相等的实数根，并解这个方程． ①，；②，；③，． 15．（22-23九年级上·山西运城·阶段练习）（1）解方程：． （2）小明在解方程时出现了错误，其解答过程如下： 解：∵，，，    第一步 ∴，    第二步 ∴，        第三步 ∴，．    第四步 ①小明的解答过程是从第______步开始出错的，其错误原因是__________________． ②写出此题正确的解答过程． 16．（23-24八年级下·吉林长春·期中）关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根． (1)求m的取值范围； (2)若m为正整数，求此方程的解． 17．（23-24九年级上·江苏盐城·期末）定义新运算“”：对于实数m，n，p，q．有，其中等式的右边是通常的加法和乘法运算．例如：． (1)求关于x的方程的根； (2)若关于x的方程有两个实数根，求k的取值范围． 18．（23-24九年级上·江西九江·期末）已知关于的一元二次方程，其中、、分别为三边的长． (1)如果是方程的根，试判断的形状，并说明理由； (2)如果方程有两个相等的实数根，试判断的形状，并说明理由； (3)如果，，，求这个一元二次方程的根． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$