专题21.4 解题技巧专题：二次根式中有关综合运算问题（6大考点）-【学霸满分】2024-2025学年九年级数学上册重难点专题提优训练（华东师大版）

专题21.4 解题技巧专题：二次根式中有关综合运算问题 目录 【考点一 化简含字母的二次根式】 1 【考点二 利用二次根式的非负性求值】 6 【考点三 新定义型二次根式的运算】 9 【考点四 二次根式的分母有理化】 12 【考点五 复合二次根式的化简】 18 【考点六 二次根式中的规律探究问题】 26 【典型例题】 【考点一 化简含字母的二次根式】 例题：（23-24八年级下·山东滨州·阶段练习）将根号外的因式移到根号内，得（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查二次根式的化简．根据题意先判断，再利用二次根式性质进行化简即可． 【详解】解：∵，即， ∴， ∴， 故选：B． 【变式训练】 1．（23-24八年级下·山东威海·期末）已知， 则化简二次根式的正确结果是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查二次根式的性质、二次根式有意义的条件，根据二次根式有意义的条件可得，结合题意可得，，再利用二次根式的性质化简即可． 【详解】解：∵， ∴x与y异号， 又∵， ∴， ∴，， ∴， 故选：C． 2．（2023上·河南周口·九年级校考阶段练习）若，化简正确的是（    ） A． B．0 C． D． 【答案】B 【分析】根据二次根式有意义的条件得到，而，则，根据二次根式的性质化简即可． 【详解】解：，，而， ， ． 故选：B． 【点睛】本题考查了二次根式的性质与化简、二次根式有意义的条件，解题的关键是掌握． 3．（23-24八年级下·山东东营·期末）实数a、b在数轴上的位置如图所示，化简的结果是（　　） A． B． C． D．0 【答案】B 【分析】本题主要考查了实数与数轴，二次根式的化简，熟练掌握二次根式的性质是解题的关键； 根据实数a和b在数轴上的位置，确定出a和b取值范围，再利用二次根式和绝对值的性质，将原式化简，求出答案即可． 【详解】由数轴得，， ，，， ； 故选：B． 4．（22-23八年级下·四川南充·期末）若，，则化简的结果是 【答案】/ 【分析】本题考查二次根式的化简，熟练掌握其定义及性质是解题的关键．结合已知条件，根据二次根式的性质进行化简即可． 【详解】解：∵，， ∴， 故答案为：． 5．（23-24八年级下·广西钦州·期末）已知，，化简： ． 【答案】/ 【分析】本题考查了二次根式的性质与化简，解题的关键是掌握．根据二次根式的性质得，然后再化简即可． 【详解】解：，， ； 故答案为：． 6．（23-24九年级上·辽宁葫芦岛·开学考试）已知且，化简二次根式的结果是 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，利用二次根式的性质进行化简．根据题意确定的取值范围是解题的关键． 由题意知，，则，由，可得，然后利用二次根式的性质进行化简即可． 【详解】解：由题意知，， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 7．（23-24九年级上·福建南平·期末）若实数a在数轴上的位置如图所示，则化简：的结果为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查数轴上的数的大小，二次根式的化简．根据数轴得出，根据二次根式的性质化简即可． 【详解】解：由数轴可得， ∴， 故答案为：． 8．（23-24八年级下·福建莆田·阶段练习）已知实数a满足，化简：． 【答案】7 【分析】首先解不等式，然后根据公式，化简即可．本题考查二次根式的化简、不等式的性质，绝对值的简等知识，记住，属于基础题，中考常考题型． 【详解】解：， ∴ ， 原式 ． 9．（23-24七年级下·重庆长寿·期中）如图，实数a，b，c在数轴上对应点的位置如图所示，化简 ．    【答案】 【分析】本题考查了整式的加减和去绝对值，二次根式化简，立方根，根据数轴分别判断，，，的正负，然后去掉绝对值即可，解题的关键是结合数轴判断绝对值符号里面代数式的正负． 【详解】解：由数轴可知，，，则， ∴ ， 故答案为：． 10．（23-24八年级下·江西南昌·期中）探究：，________，________，，． 完成上述计算并根据计算结果回答下面问题： （1）观察可知，________； （2）利用你总结的规律计算：； （3）已知a，b，c为的三边长．化简：． 【答案】探究：0.5，5，（1）；（2）π；（3） 【分析】本题考查了二次根式的性质，化简绝对值以及三角形的三边关系：两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 探究：模仿题干，直接作答； （1）根据探究的内容，直接作答； （2）先整理，再化简绝对值，即可作答． （3）先整理：，再结合三角形的三边关系：两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，进行化简绝对值，即可作答． 【详解】解：探究：∵，，． ∴ 故答案为：0.5，5， （1）由探究的内容，得出； （2）∵ ∴ ∵ ∴原式； （3）依题意， ∵a，b，c为的三边长． ∴ ∴原式． 【考点二 利用二次根式的非负性求值】 例题：（2023上·黑龙江哈尔滨·八年级校考期末）如果，那么 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，二次根式中的被开方数是非负数，负整数指数幂运算， 根据二次根式有意义的体积可得、的值，再代入所求式子计算即可． 【详解】解：∵， ， 解得， 故答案为：． 【变式训练】 1．（2023上·江苏苏州·八年级苏州市立达中学校校考期中）若实数满足，则的值为 ． 【答案】3 【分析】此题主要考查实数的性质，解题的关键是熟知非负性的应用，根据二次根式的性质与绝对值的非负性即可求解． 【详解】解：∵， ∴，， ∴． 故答案为：3． 2．（2023上·四川巴中·八年级校考期中）若x、y都是实数，且，求 ． 【答案】/0.375 【分析】本题考查二次根式的非负性，根据和可得x的值，进而求出y值，代入求解即可，掌握二次根式的非负性是解题的关键． 【详解】解：，， ，， ，， ， ， ， 故答案为：． 3．（2023上·山西临汾·八年级校考期中）已知，则 ． 【答案】/ 【分析】根据二次根式有意义的条件求出x，进而得出y，根据积的乘方，幂的乘方逆用法则将变形为，代入，求解即可． 【详解】解：，即， 解得：， ， ， ， 将，代入， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了二次根式有意义的条件，积的乘方，幂的乘方逆用法则，熟记二次根式被开方数为非负数并熟练掌握积的乘方，幂的乘方逆用法则是解题的关键． 4．（2023上·四川成都·八年级校考期中）已知为实数，且，则 ． 【答案】2 【分析】本题考查了二次根式的被开方数的非负性、代数式的化简求值，根据二次根式的被开方数的非负性求出x的值是解题关键．先根据二次根式的被开方数的非负性求出x的值，从而可得出y的值，再将x和y的值代入求解即可． 【详解】解：根据题意得， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 5．（2023上·陕西西安·八年级校考阶段练习）已知的三条边长，，满足，则的面积为 ． 【答案】6 【分析】本题考查的是勾股定理的逆定理、二次根式有意义的条件、绝对值和偶次方的非负性，根据二次根式有意义的条件求出、、是解题的关键． 根据二次根式有意义的条件求出，根据非负数的性质分别求出、，根据勾股定理的逆定理得到，根据三角形的面积公式计算，得到答案． 【详解】解：， ， ， 故答案为：6． 【考点三 新定义型二次根式的运算】 例题：（2023上·广东深圳·八年级校考阶段练习）定义运算“”法则为，则 ． 【答案】 【分析】根据新定义运算，利用二次根式的运算，求解即可． 【详解】解：由题意可得：， 故答案为： 【点睛】此题考查了二次根式的加法运算，解题的关键是掌握二次根式的有关运算． 【变式训练】 1．（2023下·云南昭通·七年级校联考期中）定义运算“”的运算法则为：，则 ． 【答案】4 【分析】先根据题中定义计算，则，于是易得到答案． 【详解】解：∵， ∴． 故答案为4． 【点睛】本题考查了实数的运算，理解题意，明确新的运算法则是解题的关键． 2．（2023上·吉林长春·八年级长春外国语学校校考阶段练习）用定义一种新运算：对于任意实数a和b ，若，求 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了实数的运算，二次根式的性质，利用新运算的规定列式计算即可，本题是新定义型，理解并熟练应用新定义的规定是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， 故答案为：． 3．（2023下·江苏·八年级期末）对于任意不相等的两个实数a、b，定义运算※如下：，如．那么 ． 【答案】 【分析】根据题中的新定义将所求式子化为普通运算，计算即可得到结果． 【详解】解：根据题中的新定义得：， 则． 故答案为：． 【点睛】本题考查了二次根式的运算，属于新定义题型，弄清题中的新定义是解题的关键． 4．（2023上·辽宁辽阳·八年级统考期末）对于任意正数，，定义运算“*”为:，如，则的运算结果为 ． 【答案】 【分析】先根据新运算法则计算与，再计算乘法即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴ ； 故答案为：． 【点睛】本题考查了二次根式的混合运算，正确理解新运算法则是解题的关键． 5．（2023下·全国·八年级专题练习）定义：若两个二次根式a，b满足，且c是有理数，则称a与b是关于c的共轭二次根式． (1)若与是关于4的共轭二次根式，则__________ (2)若与是关于12的共轭二次根式，求的值． 【答案】(1) (2)－2 【分析】（1）根据共轭二次根式的定义，列出等式求得的值即可； （2）根据共轭二次根式的定义，列出等式求得的值即可． 【详解】（1）解：∵与是关于4的共轭二次根式， ∴， ∴． （2）∵与是关于12的共轭二次根式， ∴ ∴， ∴． 【点睛】此题主要考查了新定义共轭二次根式的理解和应用，并会利用二次根式的性质进行计算． 6．（2023下·全国·八年级专题练习）对于任意两个不相等的数a，b，定义一种新运算“◎”如下： ，如． (1)填空：___________． (2)若，求x的值． 【答案】(1) (2) 【分析】(1)根据新定义进行运算，即可求得结果； (2)首先根据新定义进行运算，可求得，再解方程即可求解． 【详解】（1）解：， 故答案为：3； （2）解：， ， ． 【点睛】本题考查了新定义运算及解一元一次方程，分母有理化，理解新定义运算是解决本题的关键． 【考点四 二次根式的分母有理化】 例题：（23-24八年级上·湖南郴州·期末）阅读下面的材料，解答后面给出的问题：两个含有二次根式的代数式相乘，如若它们的积不含有二次根式，我们就说这两个代数式互为有理化因式，例如：与，与． (1)请你写出两个二次根式，使它们互为有理化因式：______．这样，化简一个分母含有二次根式的式子时，采用分子，分母乘以分母的有理化因式的方法就可以了，例如：，； (2)仿照上面给出的方法化简下列各式： ①； ②． 【答案】(1)和（答案不唯一） (2)①；② 【分析】本题主要考查了二次根式分母有理化的知识，完全平方公式，平方差公式，解题的关键是熟练掌握分母有理化的方法． （1）根据有理化因式的概念求解即可； （2）①分子，分母乘以求解即可； ②根据分母有理化求解即可． 【详解】（1）根据题意得， ∵ ∴和互为有理化因式； 故答案为：和（答案不唯一）； （2）① ； ② ． 【变式训练】 1．（2023上·宁夏中卫·八年级校考阶段练习）观察下列一组式的变形过程，然后回答问题： 例1： ， 例2： ，， 利用以上结论解答以下问题：（不必证明） (1) ； ； (2)利用上面的结论，求下列式子的值．（有过程） 【答案】(1)； (2)9 【分析】本题考查了分母有理化：涉及二次根式的性质化简、平方差公式的运用： （1）根据例1的过程，仿写即可作答． （2）逐个化简，得，，， ，……，然后进行合并同类二次根式，即可作答． 【详解】（1）解：∵ ∴； ∴； （2）解：∵，，，，……， ∴ . 2．（23-24八年级下·江苏无锡·期末）阅读材料： 像两个含有二次根式的代数式相乘，积不含有二次根式，我们称这两个代数式互为有理化因式． 例如，与、与、与等都是互为有理化因式．在进行二次根式计算时，利用有理化因式，可以化去分母中的根号． 根据以上阅读材料回答下列问题： (1)计算： ； (2)计算：． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了二次根式的运算，熟练掌握分母有理化的方法是解题的关键． （1）原式的分子和分母都乘以解答即可； （2）先将每一项分母有理化，再计算加减即可． 【详解】（1）解：； （2）解：原式 ． 3．（23-24八年级上·湖南郴州·期末）认真阅读下列解答过程，并解答下列各题： 比较与的大小． 解： 因为     所以 即： (1)试比较与的大小； (2)尝试计算： 【答案】(1) (2)9 【分析】本题主要考查二次根式的混合运算，分母有理化，解答的关键是对相应的运算法则的掌握． （1）根据题中方法进行二次根式的化简比较即可； （2）利用题目所给的方法以及结合二次根式的变形进行求解即可． 【详解】（1）解：， ， 因为， 所以， 即：； （2）解： ． 4．（23-24八年级下·河北承德·期中）阅读下列材料，然后回答问题：在进行二次根式运算时，我们有时会碰上如、 、一样的式子，其实我们还可以将其进一步化简： （Ⅰ） （Ⅱ） （Ⅲ） 以上这种化简的步骤叫做分母有理化． 还可以用以下方法化简： （Ⅳ） (1)请用不同的方法化简 ①参照（Ⅲ）式得 ； ②参照（Ⅳ）式得 ； (2)化简： 【答案】(1)①； ② (2) 【分析】本题主要考查了分母有理化以及分式的加减法运算，根据分母有理化的方法进行运算即可． （1）根据分母有理化的两种方式分别进行运算即可． （2）根据分母有理化的结果进行分式的加法运算即可． 【详解】（1）解：①， ② （2） 【考点五 复合二次根式的化简】 例题：先阅读下列材料，再解决问题： 阅读材料：数学上有一种根号内又带根号的数，它们能通过完全平方公式及一次根式的性质化去一层根号． 例如： ． 解决问题：化简下列各式 (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【解析】 【分析】 （1）将根号里面的7拆分成4和3，4写成2的平方，3写成的平方，进而逆用完全平方和公式，最后将算式整体开方； （2）将根号里面的9拆分成4和5，4写成2的平方，5写成的平方，进而逆用完全平方差公式，最后将算式整体开方． (1) 解： (2) 解： 【点睛】 本题考查乘法公式的逆用，能够快速的寻找，归纳，总结，并应用规律是解决本题的关键． 【变式训练】 1．（23-24七年级下·上海浦东新·期中）先阅读下列的解答过程，然后再解答： 形如的化简，只要我们找到两个正数，使，使得，那么便有： 例如：化简 解：首先把化为，这里，由于， 即， (1)填空：______，______； (2)化简求值． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题考查了二次根式的化简求值，涉及了配方法的运用和完全平方式的运用以及二次根式性质的运用． （1）由条件对进行变形利用完全平方公式化简，确定a，b值为3和2后，即可得出结论；由条件对进行变形利用完全平方公式化简，确定a，b值为8和9后，即可得出结论 （2）由条件对进行变形利用完全平方公式的形式化简，求解．即可． 【详解】（1） ， ， 故答案为：，； （2）． 2．（23-24八年级下·河南信阳·阶段练习）阅读下面这道例题的解法，并回答问题． 例如：化简． 解：． 依据上述计算，填空： (1) ， ； (2)根据上述方法求值：． 【答案】(1)； (2) 【分析】本题主要考查了化简复合二次根式： （1）根据例题的方法，凑完全平方公式，然后根据二次根式的性质化简即可求解； （2）根据例题的方法，凑完全平方公式，然后根据二次根式的性质化简即可求解． 【详解】（1）解： ； ； 故答案为：；； （2）解： ． 3．（23-24八年级下·江苏南通·阶段练习）阅读材料：小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方．如，善于思考的小明进行了以下探索，若设（其中，a，b，m，n均为整数），则有，b＝2mn，这样小明就找到一种把类似的式子化为平方式的方法．请你依照小明的方法探索并解决下列问题： (1)若，当a，b，m，n均为整数时，用含m，n的式子分别表示a，b，得：a＝ ，b＝ ． (2)若，当a，m，n均为正整数时，求a的值．． (3)化简：. 【答案】(1)； (2)a=16或64 (3) 【分析】本题主要考查了二次根式的性质与化简、整式的加减、完全平方式，熟练掌握完全平方式的应用，读懂材料明确题意是解题关键． （1）仔细阅读材料根据探索得问题，通过完全平方公式去掉括号表示出、； （2）在（1）的基础上，求出，，根据，，，均为整数，分两种情况求出，； （3）在前面两问的基础上探究结果． 【详解】（1）解：， ，，，均为整数）， ，， 故答案为：，； （2）， ，，，均为整数）， ，， ， ①，，， ②，，， 综上所述：或16； （3）， ， ． 4．（23-24九年级上·四川眉山·阶段练习）有这样一类题目，例如： ． 请仿照上例化简下列各式： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）分别根据二次根式的乘法运算，以及二次根式的性质计算即可求解； （2）分别根据二次根式的乘法运算，以及二次根式的性质计算即可求解； 【详解】（1）解： ， ； （2）解： ， ． 【点睛】本题主要考查了二次根式的混合运算，二次根式的性质，完全平方公式的应用，熟练掌握二次根式的混合运算法则，二次根式的性质，完全平方公式是解题的关键． 5．（22-23八年级下·湖南郴州·开学考试）先阅读材料，然后回答问题． （1）小张同学在研究二次根式的化简时，遇到了一个问题：化简 经过思考，小张解决这个问题的过程如下： ① ② ③ ④ 在上述化简过程中，第________步出现了错误，化简的正确结果为________； （2）化简； （3）请根据你从上述材料中得到的启发，化简：． 【答案】（1）④，；（2）；（3） 【分析】（1）第④步出现了错误，； （2）类比例题，将9分别拆为两个二次根式的平方的和，再用完全平方公式变形，计算求值即可； （3）类比例题，将8分别拆为两个二次根式的平方的和，再用完全平方公式变形，计算求值即可． 【详解】解：（1）第④步出现了错误，正确解答如下： ； （2） ； （3） ． 【点睛】本题考查了二次根式的化简和完全平方公式的运用，能够将数据拆为正确的完全平方公式是解题的关键． 6．（22-23八年级下·全国·期中）像，……这样的根式叫做复合二次根式．有一些复合二次根式可以借助构造完全平方式进行化简， 如：； 再如：．请用上述方法探索并解决下列问题： (1)请你尝试化简： ①______； ②______． (2)若，且，，为正整数，求的值． 【答案】(1)①；② (2)46或14 【分析】（1）将被开方数写成完全平方式，再化简． （2）变形已知等式，建立，，的方程组求解． 【详解】（1）解：①； ； ② ； 故答案为：①；②； （2）解： ， ， ，，均为正整数． 或， 或． 或14． 【点睛】本题考查二次根式的化简，将二次根式的被开方数变为完全平方式是求解本题的关键． 【考点六 二次根式中的规律探究问题】 例题：（23-24八年级下·山东德州·阶段练习）观察下列一组等式，解答问题． ，， ，， …… (1)观察以上规律，请写出第个等式： （为正整数）； (2)利用上面的规律，计算：； (3)请利用上面的规律，比较与的大小． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）归纳总结得到一般性规律，写出第个等式即可； （2）原式利用（1）中得出的规律计算，即可求出式子的值； （3）利用得出的规律将与进行转化，再进行比较即可． 此题考查了分母有理化，实数比较大小，熟练掌握分母有理化是解本题的关键．分母有理化是指把分母中的根号化去．分母有理化常常是乘二次根式本身（分母只有一项）或与原分母组成平方差公式． 【详解】（1）解：∵， ， ， ， ……， 第个等式为：． 故答案为：； （2）解： ； （3）解：由题可得，，， ， ． 【变式训练】 1．（23-24八年级下·安徽亳州·阶段练习）观察下列等式： 第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； …． (1)根据以上规律，请直接写出第5个等式：______； (2)观察、归纳，请写出你猜想的第个等式：______（用含的式子表示，为正整数），并证明你的猜想． 【答案】(1) (2)，证明见解析 【分析】本题主要考查了二次根式的化简，数字类的规律探索： （1）仿照题意写出第5个等式即可； （2）观察式子，可得第n个等式为，然后利用二次根式的性质进行证明即可． 【详解】（1）解：由题意得，第5个等式为； 故答案为：； （2）解：第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； ……， 以此类推，可知，第n个等式为， 证明如下： ． 2．（23-24八年级下·江西赣州·期中）课本再现 （1）判断下列各式是否成立，并从中选择一个进行验证： ，， （2）用字母n（n是正整数，）表示这一规律是：____________； 类比猜想 （3）爱思考的小开同学在解决上面问题时，注意到，，猜想如果根号里的式子加法改为减法，也会有一系列有类似规律的式子．经过一番尝试，他写出了以下两个式子，请你帮助他求出x，y的值：，． 【答案】（1）见解析；（2）；（3）， 【分析】本题主要考查了二次根式的性质与化简，一定要认真观察，找对规律并利用二次根式的运算法则准确的开方是解题的关键． （1）利用利用二次根式的运算法则计算即可证明； （2）类比上述式子，然后根据已知的几个式子即可用含n的式子将规律表示出来； （3）利用利用二次根式的运算法则计算，列出方程求解即可． 【详解】解：（1）成立， ； （2）； ； ． 所以以上都成立． 举例如下：，， 规律是： （）； 故答案为：； （3）， ， ， ， 经检验，是方程的解； ， ， ， ， 经检验，是方程的解． 3．（23-24八年级下·安徽宣城·期中）观察下列等式： ①；②；③；… 解决下列问题： (1)根据上面3个等式的规律，写出第⑥个式子． (2)用含n（n为正整数）的式子表示上面各个等式的规律． (3)利用上述结果计算：． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查的是二次根式的混合运算的应用，根据题意正确总结规律是解题的关键． （1）利用题中等式的规律即可得到； （2）根据题目中式子的特点，找到规律得出第n个等式； （3）利用（2）的结论得出的规律，再裂项计算即可． 【详解】（1）解：∵①；②；③；… ∴第⑥个式子为． （2）根据题干规律可得：第n个式子为． （3）根据（2）中规律可得： 原式 ． 4．（23-24八年级下·安徽蚌埠·期中）观察下列各式： ①， ②， ③， ④， …… (1)请用含（是正整数且）的式子写出你猜想的规律； (2)求证：． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】本题主要考查了分母有理化，简单的规律探索： （1）观察所给式子可知，左边式子化简的结果为分母中大数减小数，即； （2）根据（1）的规律先把式子左边裂项化简得到，再把分母有理化即可证明结论． 【详解】（1）解：①， ②， ③， ④， ……， 以此类推可知； （2）证明：∵（是正整数且）， ∴ ； ， ∴． 5．（23-24八年级下·安徽蚌埠·阶段练习）【观察思考】观察下列各式： ； ； ． … 请你根据上述等式提供的信息，解答下列问题： (1)______________； (2)根据你的观察、猜想，写出一个用n（n为正整数）表示的等式：_______________； (3)用上述规律计算：． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了数字类规律探索，二次根式的运算； （1）根据所给算式可直接得出答案； （2）根据所给算式得出一般性规律即可； （3）将被开方数变形，然后利用（2）中规律进行计算． 【详解】（1）解：由所给算式可得， 故答案为：； （2）由所给算式可得， 故答案为：； （3）． 6．（23-24八年级下·安徽亳州·期末）如图，观察图形，认真分析，其中表示的面积，表示的面积，…，以此类推． ，； ，； ，； …． 根据以上规律，解答下列问题： (1)填空：______，______； (2)求的值． 【答案】(1)6， (2) 【分析】本题考查勾股定理，数字类规律探索，二次根式的计算．理解题意，找出规律是解题关键． （1）根据题意可得出，，再令求解即可； （2）由（1）可得出，再结合二次根式的运算法则计算即可． 【详解】（1）解：，； ，； ，； …， ∴，． 当时，即，． 故答案为：6，； （2）解：由（1）可知 ． 7．（23-24八年级下·江西赣州·期中）特例感知 化简：； 解：； (1)请在横线上直接写出化简的结果： ①______；②______． 观察发现 (2)第个式子是（为正整数），请求出该式子化简的结果（需要写出推理步骤）． 拓展应用 (3)从上述结果中找出规律，并利用这一规律计算： ①； ②． 【答案】(1)①；② (2) (3)①；② 【分析】本题考查了分母有理化，平方差公式，二次根式的混合运算．熟练掌握分母有理化，平方差公式，二次根式的混合运算是解题的关键． （1）利用分母有理化求解作答即可； （2）根据，求解作答即可； （3）①利用（2）的结论，结合平方差公式计算即可；②先分母有理化，再逆用同分母的加减法则变形后，结合互为相反数的和为零，计算即可． 【详解】（1）①解：， 故答案为：； ②解：， 故答案为：； （2）解：， ∴的化简结果为； （3）解： ； ②解： ． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题21.4 解题技巧专题：二次根式中有关综合运算问题 目录 【考点一 化简含字母的二次根式】 1 【考点二 利用二次根式的非负性求值】 6 【考点三 新定义型二次根式的运算】 9 【考点四 二次根式的分母有理化】 12 【考点五 复合二次根式的化简】 18 【考点六 二次根式中的规律探究问题】 26 【典型例题】 【考点一 化简含字母的二次根式】 例题：（23-24八年级下·山东滨州·阶段练习）将根号外的因式移到根号内，得（　　） A． B． C． D． 【变式训练】 1．（23-24八年级下·山东威海·期末）已知， 则化简二次根式的正确结果是（     ） A． B． C． D． 2．（2023上·河南周口·九年级校考阶段练习）若，化简正确的是（    ） A． B．0 C． D． 3．（23-24八年级下·山东东营·期末）实数a、b在数轴上的位置如图所示，化简的结果是（　　） A． B． C． D．0 4．（22-23八年级下·四川南充·期末）若，，则化简的结果是 5．（23-24八年级下·广西钦州·期末）已知，，化简： ． 6．（23-24九年级上·辽宁葫芦岛·开学考试）已知且，化简二次根式的结果是 ． 7．（23-24九年级上·福建南平·期末）若实数a在数轴上的位置如图所示，则化简：的结果为 ． 8．（23-24八年级下·福建莆田·阶段练习）已知实数a满足，化简：． 9．（23-24八年级下·江西南昌·期中）探究：，________，________，，． 完成上述计算并根据计算结果回答下面问题： （1）观察可知，________； （2）利用你总结的规律计算：； （3）已知a，b，c为的三边长．化简：． 【考点二 利用二次根式的非负性求值】 例题：（2023上·黑龙江哈尔滨·八年级校考期末）如果，那么 ． 【变式训练】 1．（2023上·江苏苏州·八年级苏州市立达中学校校考期中）若实数满足，则的值为 ． 2．（2023上·四川巴中·八年级校考期中）若x、y都是实数，且，求 ． 3．（2023上·山西临汾·八年级校考期中）已知，则 ． 4．（2023上·四川成都·八年级校考期中）已知为实数，且，则 ． 5．（2023上·陕西西安·八年级校考阶段练习）已知的三条边长，，满足，则的面积为 ． 【考点三 新定义型二次根式的运算】 例题：（2023上·广东深圳·八年级校考阶段练习）定义运算“”法则为，则 ． 【变式训练】 1．（2023下·云南昭通·七年级校联考期中）定义运算“”的运算法则为：，则 ． 2．（2023上·吉林长春·八年级长春外国语学校校考阶段练习）用定义一种新运算：对于任意实数a和b ，若，求 ． 3．（2023下·江苏·八年级期末）对于任意不相等的两个实数a、b，定义运算※如下：，如．那么 ． 4．（2023上·辽宁辽阳·八年级统考期末）对于任意正数，，定义运算“*”为:，如，则的运算结果为 ． 5．（2023下·全国·八年级专题练习）定义：若两个二次根式a，b满足，且c是有理数，则称a与b是关于c的共轭二次根式． (1)若与是关于4的共轭二次根式，则__________ (2)若与是关于12的共轭二次根式，求的值． 6．（2023下·全国·八年级专题练习）对于任意两个不相等的数a，b，定义一种新运算“◎”如下： ，如． (1)填空：___________． (2)若，求x的值． 【考点四 二次根式的分母有理化】 例题：（23-24八年级上·湖南郴州·期末）阅读下面的材料，解答后面给出的问题：两个含有二次根式的代数式相乘，如若它们的积不含有二次根式，我们就说这两个代数式互为有理化因式，例如：与，与． (1)请你写出两个二次根式，使它们互为有理化因式：______．这样，化简一个分母含有二次根式的式子时，采用分子，分母乘以分母的有理化因式的方法就可以了，例如：，； (2)仿照上面给出的方法化简下列各式： ①； ②． 【变式训练】 1．（2023上·宁夏中卫·八年级校考阶段练习）观察下列一组式的变形过程，然后回答问题： 例1： ， 例2： ，， 利用以上结论解答以下问题：（不必证明） (1) ； ； (2)利用上面的结论，求下列式子的值．（有过程） 2．（23-24八年级下·江苏无锡·期末）阅读材料： 像两个含有二次根式的代数式相乘，积不含有二次根式，我们称这两个代数式互为有理化因式． 例如，与、与、与等都是互为有理化因式．在进行二次根式计算时，利用有理化因式，可以化去分母中的根号． 根据以上阅读材料回答下列问题： (1)计算： ； (2)计算：． 3．（23-24八年级上·湖南郴州·期末）认真阅读下列解答过程，并解答下列各题： 比较与的大小． 解： 因为     所以 即： (1)试比较与的大小； (2)尝试计算： 4．（23-24八年级下·河北承德·期中）阅读下列材料，然后回答问题：在进行二次根式运算时，我们有时会碰上如、 、一样的式子，其实我们还可以将其进一步化简： （Ⅰ） （Ⅱ） （Ⅲ） 以上这种化简的步骤叫做分母有理化． 还可以用以下方法化简： （Ⅳ） (1)请用不同的方法化简 ①参照（Ⅲ）式得 ； ②参照（Ⅳ）式得 ； (2)化简： 【考点五 复合二次根式的化简】 例题：先阅读下列材料，再解决问题： 阅读材料：数学上有一种根号内又带根号的数，它们能通过完全平方公式及一次根式的性质化去一层根号． 例如： ． 解决问题：化简下列各式 (1)； (2)． 【变式训练】 1．（23-24七年级下·上海浦东新·期中）先阅读下列的解答过程，然后再解答： 形如的化简，只要我们找到两个正数，使，使得，那么便有： 例如：化简 解：首先把化为，这里，由于， 即， (1)填空：______，______； (2)化简求值． 2．（23-24八年级下·河南信阳·阶段练习）阅读下面这道例题的解法，并回答问题． 例如：化简． 解：． 依据上述计算，填空： (1) ， ； (2)根据上述方法求值：． 3．（23-24八年级下·江苏南通·阶段练习）阅读材料：小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方．如，善于思考的小明进行了以下探索，若设（其中，a，b，m，n均为整数），则有，b＝2mn，这样小明就找到一种把类似的式子化为平方式的方法．请你依照小明的方法探索并解决下列问题： (1)若，当a，b，m，n均为整数时，用含m，n的式子分别表示a，b，得：a＝ ，b＝ ． (2)若，当a，m，n均为正整数时，求a的值．． (3)化简：. 4．（23-24九年级上·四川眉山·阶段练习）有这样一类题目，例如： ． 请仿照上例化简下列各式： (1)； (2)． 5．（22-23八年级下·湖南郴州·开学考试）先阅读材料，然后回答问题． （1）小张同学在研究二次根式的化简时，遇到了一个问题：化简 经过思考，小张解决这个问题的过程如下： ① ② ③ ④ 在上述化简过程中，第________步出现了错误，化简的正确结果为________； （2）化简； （3）请根据你从上述材料中得到的启发，化简：． 6．（22-23八年级下·全国·期中）像，……这样的根式叫做复合二次根式．有一些复合二次根式可以借助构造完全平方式进行化简， 如：； 再如：．请用上述方法探索并解决下列问题： (1)请你尝试化简： ①______； ②______． (2)若，且，，为正整数，求的值． 【考点六 二次根式中的规律探究问题】 例题：（23-24八年级下·山东德州·阶段练习）观察下列一组等式，解答问题． ，， ，， …… (1)观察以上规律，请写出第个等式： （为正整数）； (2)利用上面的规律，计算：； (3)请利用上面的规律，比较与的大小． 【变式训练】 1．（23-24八年级下·安徽亳州·阶段练习）观察下列等式： 第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； …． (1)根据以上规律，请直接写出第5个等式：______； (2)观察、归纳，请写出你猜想的第个等式：______（用含的式子表示，为正整数），并证明你的猜想． 2．（23-24八年级下·江西赣州·期中）课本再现 （1）判断下列各式是否成立，并从中选择一个进行验证： ，， （2）用字母n（n是正整数，）表示这一规律是：____________； 类比猜想 （3）爱思考的小开同学在解决上面问题时，注意到，，猜想如果根号里的式子加法改为减法，也会有一系列有类似规律的式子．经过一番尝试，他写出了以下两个式子，请你帮助他求出x，y的值：，． 3．（23-24八年级下·安徽宣城·期中）观察下列等式： ①；②；③；… 解决下列问题： (1)根据上面3个等式的规律，写出第⑥个式子． (2)用含n（n为正整数）的式子表示上面各个等式的规律． (3)利用上述结果计算：． 4．（23-24八年级下·安徽蚌埠·期中）观察下列各式： ①， ②， ③， ④， …… (1)请用含（是正整数且）的式子写出你猜想的规律； (2)求证：． 5．（23-24八年级下·安徽蚌埠·阶段练习）【观察思考】观察下列各式： ； ； ． … 请你根据上述等式提供的信息，解答下列问题： (1)______________； (2)根据你的观察、猜想，写出一个用n（n为正整数）表示的等式：_______________； (3)用上述规律计算：． 6．（23-24八年级下·安徽亳州·期末）如图，观察图形，认真分析，其中表示的面积，表示的面积，…，以此类推． ，； ，； ，； …． 根据以上规律，解答下列问题： (1)填空：______，______； (2)求的值． 7．（23-24八年级下·江西赣州·期中）特例感知 化简：； 解：； (1)请在横线上直接写出化简的结果： ①______；②______． 观察发现 (2)第个式子是（为正整数），请求出该式子化简的结果（需要写出推理步骤）． 拓展应用 (3)从上述结果中找出规律，并利用这一规律计算： ①； ②． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$