研究课四正弦定理余弦定理的综合应用课件-2025届高三数学一轮复习

高考大题研究课四　 正弦定理、余弦定理的综合应用 通过对任意三角形边长和角度关系的探索，会用正弦定理、余弦定理解决三角形中的综合问题，提高学生分析问题、解决问题的能力． 关键能力·题型剖析 题型一 多边形中的解三角形问题 例 1 [2024·江西九江模拟]在△ABC中，AC＝，D为∠ABC的角平分线上一点，且与B分别位于边AC的两侧，若∠ADC＝150°，AD＝2. (1)求△DAC的面积； (2)若∠ABC＝120°，求BD的长． 解析：(1)在△DAC中，AC2＝AD2＋CD2－2AD·CD·cos ∠ADC， 即13＝4＋CD2＋2CD，解得CD＝(负根舍)， 所以S△DAC＝AD·CD·sin ∠ADC＝×2×＝. (2)因为∠ABC＝120°，BD平分∠ABC，所以∠DBA＝∠DBC＝60°， 又∠ADC＝150°，所以∠DAB＋∠DCB＝360°－120°－150°＝90°， 在△ABD中，由正弦定理，得＝，　① 在△DBC中，由正弦定理，得＝，　② ①÷②，得＝＝，所以＝， 又sin2∠DCB＋cos2∠DCB＝1，且∠DCB∈(0，)，所以sin∠DCB＝， 将sin ∠DCB＝代入②，得＝，所以BD＝. 题后师说 平面几何中解三角形问题的求解策略 巩固训练1 [2024·河南焦作模拟]如图，在平面四边形ABCD中，∠BAD＝90°，D＝60°，AC＝4，CD＝3. (1)求cos ∠CAD； (2)若AB＝，求BC. 解析：(1)在△ACD中，由正弦定理得＝，即＝，所以sin ∠CAD＝.由题设知0°<∠CAD<90°，所以cos ∠CAD＝ ＝. (2)由题设及(1)知，cos ∠BAC＝sin ∠CAD＝， 在△ABC中，由余弦定理得BC2＝AB2＋AC2－2AB×AC cos ∠BAC＝＋16－2××4×＝，所以BC＝. 题型二 三角形的中线与角平分线问题 例 2 [2024·河北唐山模拟]在△ABC中，AB＝3，AC＝2，D为BC边上一点，且AD平分∠BAC. (1)若BC＝3，求CD与AD； (2)若∠ADC＝60°，设∠BAD＝θ，求tan θ. 解析：(1)如图所示： 因为AD平分∠BAC，所以＝＝＝，又因为D在BC上，所以＝＝， 因此＝，又BC＝3，BD＋CD＝BC，所以CD＝. 在△ABC中，AB＝BC＝3，AC＝2，可得cos C＝＝＝. 在△ACD中，由余弦定理可得AD2＝AC2＋CD2－2AC×CD×cos C＝22＋－2×2×＝，故AD＝. (2)因为AD平分∠BAC，∠DAC＝∠BAD＝θ，又∠ADC＝60°， 所以B＝60°－θ，C＝120°－θ，在△ABC中，由正弦定理可得 ＝，又AB＝3，AC＝2，所以3sin (60°－θ)＝2sin (120°－θ)， 展开并整理得cos θ－sin θ＝cos θ＋sin θ，解得tan θ＝. 题后师说 三角形中的中线、角平分线问题的处理策略 巩固训练2 [2021·新高考Ⅰ卷]记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知b2＝ac，点D在边AC上，BD sin ∠ABC＝a sin C. (1)证明：BD＝b； (2)若AD＝2DC，求cos ∠ABC. 解析：(1)证明：由题设得，BD＝，由正弦定理知＝，即＝， ∴BD＝，又∵b2＝ac， ∴BD＝b，得证． (2)由题意知BD＝b，AD＝，DC＝， ∴cos ∠ADB＝＝，同理cos ∠CDB＝＝， ∵∠ADB＝π－∠CDB，∴cos ∠ADB＝－cos ∠CDB， ∴＝，整理得2a2＋c2＝，又b2＝ac， ∴2a2＋＝，整理得6a4－11a2b2＋3b4＝0，解得＝或＝， 由余弦定理知cos ∠ABC＝＝， 当＝时，cos ∠ABC＝＞1不合题意；当＝时，cos ∠ABC＝；综上，cos ∠ABC＝. 题型三 三角形中的最值、范围问题 例 3 (12分)[2022·新高考Ⅰ卷]记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知＝. (1)若C＝，求B； (2)求的最小值． 思路导引　 (1)二倍角公式化简→去分母、两角和与差公式化简→求出sin B. (2)由角B，C正余弦关系→角B与角C，A的关系→化成正弦→用角B表示角A，C化简→角B的关系式→基本不等式． [满分答卷·评分细则] 解析：(1)因为＝＝＝，→正确用二倍角公式化简得1分 即sin B＝cos A cos B－sin A sin B＝cos (A＋B)＝－cos C＝，→正确用两角和与差公式化简得2分 →正确求出角B得1分 (2)由(1)知，sin B＝－cos C＞0，所以＜C＜π，0＜B＜， 而sin B＝－cos C＝sin (C－)→用诱导公式正确找出角B，C的正弦关系得2分 所以C＝＋B，即有A＝－2B，→用角B表示角C，A得1分 所以＝→正确用正弦定理化边为角得1分 ＝＝→将角C，A代入化角，二倍角公式化简得2分 ＝4cos2B＋－5≥4－5，当且仅当cos2B＝时取等号，→正确变形再利用基本不等式求解得1分 所以的最小值为4－5.→正确写出结论得1分 题后师说 解三角形中的最值或范围问题的2种常用方法 巩固训练3 [2024·辽宁沈阳模拟]在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，△ABC的面积为S，已知b2＋c2－a2＝4S. (1)求角A； (2)若a＝2，求b－c的取值范围． 解析：(1)已知b2＋c2－a2＝4S，由余弦定理和三角形的面积公式， 得2bc cos A＝4·bc sin A，即cos A＝sin A， 若cos A＝0，则sin A＝0，不符合题意，故cos A≠0， 所以tan A＝，由A∈(0，π)，得A＝. (2)a＝2，A＝，B＋C＝π－A＝， 由正弦定理＝＝＝＝4， b－c＝4sin B－4sin C＝4(sin B－sin C)＝4＝4[cos C＋sin C)－sin C]＝4(cos C＋sin C)＝4sin (C＋)， 由C∈(0，)，则C＋∈()， 得sin (C＋)∈(－，1]， 所以4sin (C＋)∈(－2，4]，即b－c的取值范围为(－2，4]. $$