简单的三角恒等变换课件-2025届高三数学一轮复习

第四节　简单的三角恒等变换 1.会根据相关公式进行化简求值． 2．会利用三角函数式的化简与求值解决一些简单的问题． 问题思考·夯实技能 【问题】　在二倍角的正弦、余弦、正切公式中，把角α换成，二倍角公式还成立吗？分别是什么？   提示：成立． sin α＝2sin cos ，cos α＝cos2－sin2＝2cos2－1＝1－2sin2，tanα＝. 关键能力·题型剖析 题型一 三角函数式的化简 例 1 化简： (1)； (2)(3π＜α＜4π)． 解析：(1)原式＝＝＝＝＝cos 2x. (2)∵3π<α<4π，∴<<2π，<<π，<<<<， 故cos >0，故＝＝＝2cos， 又cos <0，故＝＝＝－2cos， 又cos >0，故＝＝＝2cos， 又sin >0，故＝＝＝2sin， ∴原式＝＝＝＝2sin . 题后师说 三角函数式的化简要遵循“三看”原则 巩固训练1 (1)化简：＝(　　) A．cos α B．2cos α C．sin α D．2sin α 答案：B 解析：原式＝＝＝2cos α.故选B. (2)化简：(－tan )·(1＋tan αtan )＝________． 答案： 解析：原式＝·(1＋·) ＝· ＝·＝ 题型二 三角函数式的求值 角度一　给角求值 例 2 (1)计算＝(　　) A．1 B． C． D．2 答案：D 解析：原式＝＝ ＝＝＝＝＝2，故选D. (2)计算sin 10°·sin 30°·sin 50°·sin 70°＝________． 答案： 解析：令m＝sin 10°sin 50°sin 70°，n＝cos 10°cos 50°·cos 70°， 则mn＝sin 10°cos 10°sin 50°cos 50°sin 70°cos 70° ＝sin 20°·sin 100°·sin 140° ＝sin 20°·sin 80°·sin 40° ＝cos 70°·cos 10°·cos 50°＝n， 而n≠0， ∴m＝，从而有sin 10°·sin 30°·sin 50°·sin 70°＝. 题后师说 观察所给角与特殊角之间的关系，利用和、差、倍角公式等非特殊角的三角函数值转化为：(1)特殊角的三角函数值；(2)正、负相消的项和特殊角的三角函数值；(3)可约分的项和特殊角的三角函数值等． 角度二　给值求值 例 3 (1)[2024·江苏南通模拟]已知sin (α＋)＝，则sin (－2α)＝(　　) A．－ B． C．－ D． 答案：C 解析：sin (－2α)＝sin ＝cos (＋2α)＝1－2sin2(α＋)＝1－2×()2＝－.故选C. (2)[2024·九省联考]已知θ∈(，π)，tan 2θ＝－4tan (θ＋)，则＝(　　) A． B． C．1 D． 答案：A 解析：由题θ∈(，π)，tan2θ＝－4tan (θ＋)， 得＝⇒－4(tan θ＋1)2＝2tan θ， 则(2tan θ＋1)(tan θ＋2)＝0⇒tan θ＝－2或tan θ＝－， 因为θ∈(，π)，tan θ∈(－1，0)，所以tan θ＝－， ＝＝＝＝.故选A. 题后师说 (1)给值求值问题的解题关键在于“变角”，把所求角用含已知角的式子表示，求解时一定要注意角的范围的讨论．如α＝(α＋β)－β，2α＝(α＋β)＋(α－β)，＋α＝－(－α)等． (2)注意下列变换： sin 2x＝cos (－2x)＝－cos (＋2x)， cos 2x＝sin (－2x)＝sin (＋2x)． 以上变换，结合二倍角公式可将2x的三角函数与±x的三角函数联系在一起． 角度三　给值求角 例 4 已知sin α＝，sin β＝，且α和β均为钝角，则α＋β的值为(　　) A． B． C．或 D． 答案：D 解析：∵α和β均为钝角， ∴cos α＝－＝－，cosβ＝－＝－. ∴cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β＝－×(－)－＝. 由α和β均为钝角，得π<α＋β<2π，∴α＋β＝.故选D. 题后师说 给值求角的求解原则 (1)已知正切函数值，选正切函数； (2)已知正、余弦函数值，选正弦或余弦函数；若角的范围是(0，)，选正、余弦皆可；若角的范围是(0，π)，选余弦较好；若角的范围为(－)，选正弦较好． 巩固训练2 (1)计算＝(　　) A． B．2 C． D．－1 答案：A 解析：＝ ＝＝＝.故选A. (2)[2024·山东泰安模拟]已知sin (α＋)＝－，则sin 2α＝(　　) A．－　 　B．－　 　C．　 　D． 答案：A 解析：已知sin (α＋)＝－，所以sin 2α＝－cos (2α＋)＝2sin2(α＋)－1＝－.故选A. (3)[2024·福建泉州模拟]已知tan α，tan β是方程x2＋3x＋4＝0的两个根，且α，β∈(－)，则α＋β的值是________． 答案：－ 解析：因为tanα，tan β是方程x2＋3x＋4＝0的两个根， 所以tan α＋tan β＝－3，tan αtan β＝4， 所以tan α<0，tan β<0 又因为α，β∈(－)，所以α，β∈(－，0)， 所以α＋β∈(－π，0)， 则tan (α＋β)＝＝＝， 所以α＋β＝－. 题型三 三角恒等变换的综合应用 例 5 [2024·江西抚州模拟]已知函数f(x)＝2cos (x－)cos x＋1. (1)求f(x)的单调递增区间； (2)设f(α＋)＝，α∈(0，)，求sin (－2α)的值． 解析：(1)f(x)＝2(cos x＋sin x)cos x＋1＝cos2x＋sinx cos x＋1＝sin 2x＋1＝sin (2x＋)＋， ∵－＋2kπ≤2x＋＋2kπ，∴－＋kπ≤x≤＋kπ， ∴f(x)的递增区间为(k∈Z)． (2)由f(α＋)＝sin ＝，∴sin (2α＋)＝－， ∵α∈(0，)，∴2α＋∈()， 又∵sin (2α＋)<0，∴2α＋∈(π，)，∴cos (2α＋)＝－， 于是sin (－2α)＝sin ＝－cos (2α＋)＝. 题后师说 三角恒等变换的综合应用主要是将三角变换与三角函数的性质相结合，通过变换把函数化为f(x)＝A sin (ωx＋φ)＋b的形式，再研究其性质，解题时注意观察角、函数名、结构等特征，注意利用整体思想解决相关问题． 巩固训练3 已知f(x)＝4cos x·sin (x＋)－1. (1)求f(x)的周期； (2)若f(α)＝，其中α∈(0，)，求cos 2α. 解析：(1)f(x)＝4cos x(sin x＋cos x)－1＝2sin x cos x＋2cos2x－1 ＝sin2x＋cos 2x＝2sin (2x＋)，∴f(x)的周期为T＝π. (2)f(α)＝2sin (2α＋)＝，∴sin (2α＋)＝， 由0<α<，得<2α＋<， 由sin (2α＋)＝<，得0<2α＋<， ∴cos (2α＋)＝ ＝， ∴cos2α＝cos ＝cos (2α＋)cos ＋sin (2α＋)sin ＝. 1．[2024·山西吕梁模拟]tan 67.5°－1＝(　　) A．　　　 B． C． D． 答案：A 解析：因为tan 135°＝－1，所以tan 135°＝tan (67.5°×2)＝＝－1， 整理得tan267.5°－2tan67.5°－1＝0， 解得tan 67.5°＝1＋或tan 67.5°＝1－(舍去)， 所以tan 67.5°－1＝.故选A. 2．[2024·湖南永州模拟]已知cos α＋sin α＝，则cos (α－)＝(　　) A． B． C．－ D．－ 答案：B 解析：cos α＋sin α＝，由辅助角公式得2cos (α－)＝，故cos (α－)＝，故选B. 3．[2024·河北沧州模拟]已知θ∈(0，π)，满足cos 2θ＋cos θ＝0，则θ＝(　　) A．　　　B．　　　C．　　　D． 答案：B 解析：因为cos 2θ＋cos θ＝0，所以2cos2θ＋cosθ－1＝0， 即(2cos θ－1)(cos θ＋1)＝0，所以cos θ＝或cos θ＝－1，因为θ∈(0，π)，所以θ＝，故选B. 4．[2024·山东淄博模拟]若sin (θ＋)＝，θ∈(0，π)，则cos θ＝________． 答案： 解析：∵θ∈(0，π)， ∴θ＋∈()，又sin (θ＋)＝， 若θ＋∈()，则sin (θ＋)>sin ＝， 与sin (θ＋)＝矛盾， ∴θ＋∈[，π)， ∴cos (θ＋)＝－＝－， ∴cosθ＝cos (θ＋)＝cos (θ＋)cos ＋sin (θ＋)sin ＝－＝. $$