2024年中考数学专题训练：二次函数综合（角度问题）

2024年中考数学专题训练：二次函数综合（角度问题） 1．二次函数图像交轴于两点，点为点A右侧图像上一动点，过点作轴于点．点为该函数轴上方图像上一动点（不与点重合），直线交轴于点，连接、．如图，当，轴； (1)若，判断与的数量关系，并说明理由； (2)若，在点、运动的过程中，是否为定值？若是，请求出该定值；若不是，请说明理由． 2．如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=ax2-2x+c与x轴交于点A和点B（1，0），与y轴相交于点C（0，3）． (1)求抛物线的解析式和顶点D的坐标； (2)找出图中与∠DAB相等的一个角，并证明； (3)若点P是第二象限内抛物线上的一点，当点P到直线AC的距离最大时，求点P的坐标． 3．如图，抛物线与x轴交于点和B两点，点在抛物线上． 　　　　 （1）直接写出B点坐标：_________________，抛物线解析式为_________________（一般式）； （2）如图1，D为y轴左侧抛物线上一点，且，求点D的坐标； （3）如图2，直线与抛物线交于点E、F，连接、分别交y轴于点M、N，若，求证：直线经过定点，并求出这个定点的坐标． 4．二次函数图象交x轴于O、A两点，点为点A右侧图象上一动点，过点C作轴于点B．点在原点O左侧图象上，直线交y轴于点E，连接、． (1)如图，当，轴： ①若，判断与的数量关系，并说明理由； ②若，在点C、D运动的过程中，是否为定值？若是，请求出该定值；若不是，请说明理由； (2)在点C、D在运动的过程中，试探究与的数量关系，并说明理由． 5．如图1，直线y=x+1与抛物线相交于A、B两点，与y轴交于点M，M、N关于x轴对称，连接AN、BN． （1）①求A、B的坐标；②求证：∠ANM=∠BNM； （2）如图2，将题中直线y=x+1变为y=kx+b（b＞0），抛物线变为（a＞0），其他条件不变，那么∠ANM=∠BNM是否仍然成立？请说明理由． 6．如图，在平面直角坐标系中，点为坐标原点，抛物线的顶点为，点、均在此抛物线上（点在对称轴右侧），且点、的横坐标分别为、，连接，过点作轴于点，过点作轴于点． (1)______，______； (2)当点落在轴上时，求的值； (3)当时，求线段的长； (4)当点在轴右侧时，作四边形．若四边形的边和抛物线有交点（不包括四边形的顶点），设此交点为点，当的面积是四边形面积的时，直接写出的值． 7．如图， 直线与x，y轴分别交于点A，B，抛物线经过A， B两点，与x轴的另外一个交点为C，点P是直线上方抛物线上的一动点，过点P作y轴的平行线交直线于点 D． (1)求抛物线的表达式； (2)求的最大值及此时点P的坐标； (3)在点P运动过程中，连接，当的中点恰好落在y轴上时，连接，在抛物线 上是否存在点Q，使得，如果存在，请写出所有符合条件的点Q的坐标；如果不存在，请说明理由． 8．如图①，二次函数（a≠0）的图象经过点A（，），并且与直线相交于坐标轴上的B、C两点，动点P在直线BC下方的二次函数的图象上． （1）求此二次函数的表达式； （2）如图①，连接PC，PB，设△PCB的面积为S，求S的最大值； （3）如图②，过点A，C作直线，求证AC⊥BC； （4）如图②，抛物线上是否存在点Q，使得∠ABQ＝2∠ABC？若存在，则求出直线BQ的解析式；若不存在，请说明理由． 9．如图，平面直角坐标系中，抛物线经过原点和点、，过点作轴的平行线交该抛物线于点．已知点、．    (1)求该抛物线的表达式： (2)如果点位于该抛物线上，满足，求点的坐标； (3)将轴和直线同时向上平移相同的距离，所得两直线与该抛物线分别交于点、和点、，设四边形的面积为，点与的横坐标的差为，求关于的函数关系式，并写出定义域． 10．已知抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，点A坐标为．    (1)求抛物线的解析式及B、C两点的坐标． (2)若点M是线段上一个动点（不与A、C重合），点N是线段上一个动点，设 ①如图1，当点N运动到的中点时，作轴交于点M，求证：． ②当点N在运动过程中，在x轴上方的抛物线上是否存在点G，使得且恰好平分？若存在，求出此时点G的横坐标和t的值；若不存在，请说明理由． 11．如图，抛物线与轴交于，两点，与y轴交于点C，点D是抛物线的顶点． (1)求抛物线解析式及点D坐标； (2)点N是y轴负半轴上的一点且，点Q在对称轴右侧的抛物线上运动，连接，与抛物线的对称轴交于点M，连接，当平分时，求点Q坐标； (3)如图，直线交抛物线的对称轴于E，P是坐标平面内一点，当与全等时，请直接写出点P坐标． 12．如图（1），抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B的左边），与y轴交于点C，且，若点D是直线（不与B，C重合）上一动点，过点D作x轴的垂线交抛物线于点E． (1)求抛物线的解析式． (2)连接，，当点D的横坐标为时，求证：． (3)如图（2），若点F是y轴上的动点，是否存在点F，使以点C，D，E，F为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出点D的坐标；若不存在，请说明理由． 13．如图，抛物线y＝x2+bx+c交x轴于点A，B两点，OA＝1，与y轴交于点C，连接AC，tan∠OAC＝3，抛物线的对称轴与x轴交于点D． (1)求点A，C的坐标； (2)若点P在抛物线上，且满足∠PAB＝2∠ACO，求直线PA与y轴交点的坐标； (3)点Q在抛物线上，且在x轴下方，直线AQ，BQ分别交抛物线的对称轴于点M、N．求证：DM+DN为定值，并求出这个定值． 14．抛物线与轴交于、两点，与轴交于点，点在抛物线上．    (1)求抛物线的解析式； (2)如图1，连接、，点在对称轴左侧的抛物线上，若，求点的坐标； (3)如图2，点为第四象限抛物线上一点，经过、、三点作，的弦轴，证明：点在直线上． 15．在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，过点O的抛物线y＝ax2﹣7ax与x轴正半轴交于点A，点D为第三象限抛物线上一点，AD交y轴于点B，OA＝2OB，点D纵坐标为﹣4． （1）如图1，求抛物线的解析式； （2）如图2，点P为第一象限抛物线上一点，过点P作PE⊥x轴，垂足为E，PD交y轴于点C，连接CE，求证：CE∥AD； （3）如图3，在（2）的条件下，将线段EC绕点E顺时针旋转90°，使点C恰好落在抛物线的点F处，连接OP，点Q为线段OP上一点，若∠FQC＝135°，求点Q坐标． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$