2024年中考数学专题训练：二次函数综合（相似三角形问题）

2024年中考数学专题训练： 二次函数综合（相似三角形问题） 1．如图，抛物线经过两点，与y轴交于点C，P为第四象限抛物线上的动点，连接． (1)求抛物线的解析式； (2)连接，过点P作x轴的垂线交直线于点D．若以C，P，D为顶点的三角形与相似，请求出所有满足条件的点P的坐标； (3)是否存在点P，使得？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，说明理由． 2．如图，已知抛物线经过和两点，直线与x轴相交于点C，P是直线上方的抛物线上的一个动点，轴交于点D． (1)求该抛物线的解析式； (2)若轴交于点E，求的最大值． 3．在平面直角坐标系中，抛物线经过，两点，与轴交于点，点是抛物线上一动点，且在直线的上方． (1)求抛物线的表达式． (2)如图1，过点作轴，交直线于点，若，求点的坐标． (3)如图2，连接，与交于点，过点作交于点．记、、的面积分别为．当取得最大值时，求的值． 4．如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象经过原点和点．经过点的直线与该二次函数图象交于点，与轴交于点． (1)求二次函数的解析式及点的坐标； (2)点是二次函数图象上的一个动点，当点在直线上方时，过点作轴于点，与直线交于点，设点的横坐标为． ①为何值时线段的长度最大，并求出最大值； ②是否存在点，使得与相似．若存在，请求出点坐标；若不存在，请说明理由． 5．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于、两点，与y轴交于点B． (1)求该抛物线的解析式以及顶点坐标； (2)若点D是抛物线上的一个动点，满足与的面积相等．求出点D的坐标； (3)若点E在第一象限内抛物线上，过点E作轴于点F，交于点P，且满足与相似，求出点E的横坐标． 6．如图，抛物线   与轴交于两点，与轴交于点 ．该抛物线的顶点为 ．    (1)求的坐标； (2)判断 的形状，并说明理由； (3)探究坐标轴上是否存在点，使得以点 为顶点的三角形与相似？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 7．如图，已知二次函数的图象与x轴交于点点和点，与y轴交于点C，点P是抛物线上点A与点C之间的动点（不包括点A，点C）． (1)求此二次函数的解析式； (2)如图1，连结，，求的面积的最大值； (3)如图2，过点P作x轴的垂线交于点D，与交于点Q．探究是否存在点P，使得以点P、C、Q为顶点的三角形与相似？若存在，直接写出点P的坐标；若不存在，说明理由． 8．如图（1），抛物线交x轴于A，B两点（A在B的左边），与y轴交于C点，D是抛物线上一点． (1)直接写出A，B，C三点的坐标：A______，B______，C______； (2)若点D到直线的距离等于t，当t为何值时，这样的D点有且仅有3个； (3)如图（2），当D在第二象限时，连接，，若，求D点坐标． 9．如图，抛物线与直线分别相交于A，B两点，且此抛物线与x轴的一个交点为C，连接．已知，． (1)求抛物线的解析式； (2)在抛物线对称轴l上找一点M，使的值最大，并求出这个最大值； (3)点P为y轴右侧抛物线上一动点，连接，过点P作交y轴于点Q，问：是否存在点P使得以A，P，Q为顶点的三角形与相似？若存在，请求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由． 10．在平面直角坐标系中，抛物线经过，与轴交于点，点是抛物线的顶点，点是轴上方抛物线上的一动点，设点的横坐标为． (1)求该抛物线的解析式； (2)当点在直线上方运动时； ①若点的坐标为求的面积； ②如图（2），轴交直线于点，过点（不与点重合）作轴交直线于点，若四边形是平行四边形，求点的坐标；： (3)过点作轴于点，是否存在点，使得以点为顶点的三角形与相似？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 11．如图，二次函数的图象与x轴交于、两点，与y轴交于点C． (1)求这个二次函数的表达式； (2)作直线，分别交x轴、线段、抛物线于D、E、F三点，连接，若以B、D、E为顶点的三角形与以C、E、F为顶点的三角形相似，求t的值； (3)点M为y轴负半轴上一点，且，将抛物线沿x轴的负方向平移得到新抛物线，点B的对应点为点，点C的对应点为点，与交于点N．在抛物线平移过程中，当的值最小时，试求的面积． 12．抛物线分别与x轴、y轴交于点A、点、点，连接，P是抛物线上一点．    (1)求抛物线的函数解析式； (2)如图，设点P的横坐标是． ①求四边形的面积； ②作直线，交于点D，求证：点D是线段的中点； (3)若与互为余角，求点P的坐标． 13．如图，已知抛物线上点的坐标分别为，，抛物线与轴负半轴交于点，连接，点为抛物线上的点． (1)求抛物线的解析式及点的坐标． (2)抛物线上是否存在点，使得？若存在，求出的横坐标；若不存在，请说明理由． (3)点为轴负半轴上的点，且，点是线段（包含点）上的动点，过点作轴的垂线，交抛物线于点，交直线于点．若以点为顶点的三角形与相似，请求出点的坐标． 14．如图（1），在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于，两点点在点的左侧，与轴交于点，点的坐标为，且，点和点关于抛物线的对称轴对称． (1)分别求出，的值和直线的解析式； (2)直线下方的抛物线上有一点，过点作于点，作平行于轴交直线于点，交轴于点，求的周长的最大值； (3)在（2）的条件下，如图，在直线的右侧、轴下方的抛物线上是否存在点，过点作轴交轴于点，使得以点、、为顶点的三角形与相似？如果存在，请直接写出点的坐标；如果不存在，请说明理由． 15．如图，已知抛物线：与y轴相交于点，对称轴为直线．坐标原点为O点，抛物线的对称轴交x轴于A点．    (1)抛物线的关系表达式； (2)若点P为抛物线上的一动点，连接PO交线段AC于点B，当时，求点P的坐标； (3)将抛物线向左平移2个单位长度得到抛物线，与相交于点E，点F为抛物线对称轴上的一点，在平面直角坐标系中是否存在点H，使以点C，E，F，H为顶点的四边形为菱形，若存在，请直接写出点H的坐标：若不存在，请说明理由． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$