2024年中考数学专题训练：二次函数综合（线段周长问题）

2024年中考数学专题训练：二次函数综合（线段周长问题） 1．如图，已知抛物线与x轴交于A，B两点，并与直线交于B，C两点，其中C是直线与y轴的交点，连接． (1)求B，C两点的坐标以及抛物线的解析式； (2)求证：为直角三角形； (3)在抛物线的对称轴上有一点P，当的周长最小时，求出点P的坐标． 2．如图1，抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，且．    (1)求抛物线的解析式及顶点D的坐标； (2)判断的形状并证明你的结论； (3)如图2，点P在拋物线上的第二象限内且满足，求出点P的坐标． 3．如图，已知抛物线经过点和点，与y轴交于点C， (1)求此抛物线的解析式； (2)若点P是直线下方的抛物线上一动点（不点B、C重合），过点P作y轴的平行线交直线于点D，设点P的横坐标为m； ①用含m的代数式表示线段的长． ②连接、，求的面积最大时点P的坐标； (3)设抛物线的对称轴与交于点E，点M是抛物线的对称轴上一点，N为y轴上一点，是否存在这样的点M和点N，使得以点C、E、M、N为顶点的四边形是菱形？如果存在，请直接写出点M的坐标；如果不存在，请说明理由． 4．如图，已知抛物线过点，，过定点的直线：与抛物线交于、两点，点在点的右侧，过点作轴的垂线，垂足为．    （1）求抛物线的解析式； （2）若的面积为4，求的值； （3）当点在抛物线上运动时，判断线段与的数量关系（、、），并证明你的判断． 5．如图1，在平面直角坐标系中，抛物线与y轴交于点C，与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），且A点坐标为，直线BC的解析式为． (1)求抛物线的解析式； (2)如图1，点P为线段上方抛物线上的任意一点，过点P作交于点D，求的最大值及此时点P的坐标； (3)如图2，将原抛物线水平向右平移，使得平移后的抛物线恰好经过原点，则抛物线与原抛物线交于点K，连接，过B作直线交y轴于点E，设F是直线上一点，点K关于直线的对称点为，试探究，是否存在满足条件的点F，使得点恰好落在直线上，如果存在，求出点的坐标；如果不存在，请说明理由． 6．如图，抛物线y＝x2+bx+c交x轴于点A，B两点，OA＝1，与y轴交于点C，连接AC，tan∠OAC＝3，抛物线的对称轴与x轴交于点D． (1)求点A，C的坐标； (2)若点P在抛物线上，且满足∠PAB＝2∠ACO，求直线PA与y轴交点的坐标； (3)点Q在抛物线上，且在x轴下方，直线AQ，BQ分别交抛物线的对称轴于点M、N．求证：DM+DN为定值，并求出这个定值． 7．如图，已知直线l：y＝﹣1和抛物线L：y＝ax2+bx+c（a≠0），抛物线L的顶点为原点，且经过点A(2,)，直线y＝kx+1与y轴交于点F，与抛物线L交于点B（x1，y1），C（x2，y2），且x1＜x2． （1）求抛物线L的解析式； （2）点P是抛物线L上一动点． ①以点P为圆心，PF为半径作⊙P，试判断⊙P与直线l的位置关系，并说明理由； ②若点Q（2，3），当|PQ﹣PF|的值最小时，求点P的坐标； （3）求证：无论k为何值，直线l总是与以BC为直径的圆相切． 8．如图，已知抛物线是常数的顶点为，直线：．    (1)求证：点在直线上； (2)若，直线与抛物线的另一个交点为，与轴交点为，恰好是线段的中点，求的值； (3)如图，当时，抛物线交轴于A、两点，、在抛物线上，满足，判断是否恒过一定点，如果过定点，求出定点坐标；如果不过定点，说明理由． 9．如图，过原点的抛物线为常数与轴交于另一点，是线段的中点，，点在抛物线上    (1)点的坐标为______； (2)为轴正半轴上一点，且． ①求线段的长； ②线段与抛物线相交于另一点，求点的坐标； (3)将抛物线向右平移个单位长度，再向下平移个单位长度得到抛物线，，是抛物线上两点，是抛物线的顶点对于每一个确定的值，求证：矩形的对角线必过一定点，并求出此时线段的长． 10．如图，抛物线与x轴交于点、两点，与y轴交于点C，点D是x轴负半轴上一点，，连接． (1)求抛物线的函数表达式； (2)请在图1中将线段向右平移至点D与点A重合，平移后对应线段所在直线交抛物线于点E，连接，判断四边形的形状，并说明理由； (3)在（2）的条件下，如图2，连接，交y轴于点P，过点P作于点M，点N从E点向D点运动，连接、，求周长的最小值． 11．如图，已知抛物线y＝ax2+c过点（﹣2，2），（4，5），过定点F（0，2）的直线l：y＝kx+2与抛物线交于A、B两点，点B在点A的右侧，过点B作x轴的垂线，垂足为C． (1)求抛物线的解析式； (2)当点B在抛物线上运动时，判断线段BF与BC的数量关系（＞、＜、＝），并证明你的判断； (3)若k＝1，在直线l下方的抛物线上是否存在点Q，使得△QBF的面积最大？若存在，求出点Q的坐标及△QBF的最大面积；若不存在，请说明理由． 12．已知抛物线． (1)将抛物线向左移动一个单位，所得抛物线的解析式为 ． (2)已知，，，交y轴于M，N点在直线上方的抛物线上．若使得的N点只有一个，求a的值 (3)在（1）所得的抛物线中，令，过作直线与此抛物线交于B、C两点，作轴于E，轴于F．求证：． 13．将抛物线向下平移6个单位长度得到抛物线，再将抛物线向左平移2个单位长度得到抛物线．        （1）直接写出抛物线，的解析式； （2）如图（1），点在抛物线对称轴右侧上，点在对称轴上，是以为斜边的等腰直角三角形，求点的坐标； （3）如图（2），直线（，为常数）与抛物线交于，两点，为线段的中点；直线与抛物线交于，两点，为线段的中点．求证：直线经过一个定点． 14．如图，二次函数的图象与x轴交于A、B两点（点A在点B 的左侧），与y轴交于点C．点P是第一象限内二次函数图象上的一个动点，连接 (1)点B、C的坐标分别为B（ ， ），C（__，_） (2)连接与交于点D，设和的面积分别为和，求的最大值； (3)连接，当时， ①求点P的坐标； ②点E是上的一个动点（点E不与P、B重合），连接，线段的垂直平分线交于点F，交直线于点G，则的取值范围是_________． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$