第22章相似性单元达标测试卷2024-2025学年沪科版九年级数学上册

沪科版九年级数学上册第22章相似性单元达标测试卷 一、单选题 1．如图，在中，点分别是边的中点，则与的面积之比为（　　） A． B． C． D． 2．下列图形中一定是相似形的是（　　） A．两个菱形 B．两个等边三角形 C．两个矩形 D．两个直角三角形 3．《孙子算经》有首数学歌谣，意思是：有一根竹竿不知道有多长，直立后量出它在太阳下的影子长一丈五尺，同时直立一根一尺五寸的小标杆（如图所示），它的影长五寸（提示：1丈尺，1尺寸），则竹竿的长为（　　） A．四丈 B．四丈五尺 C．五丈 D．五丈四尺 4．如图，直线l1∥l2∥l3，另两条直线分别交l1，l2，l3于点A，B，C及点D，E，F，且AB＝3，DE＝4，EF＝2，则（　　） A．BC∶DE＝1∶2 B．BC∶DE＝2∶3 C．BC·DE＝8 D．BC·DE＝6 5．操场上有一根竖直的旗杆，它的一部分影子（）落在水平地面上，另一部分影子（）落在对面的墙壁上，经测量，墙壁上的影高为，地面的影长为，同时测得一根高为的竹竿的影长是，请根据以上信息，则旗杆的高度是（　　） A． B． C． D． 6．如图，平行四边形的对角线、相交于点O，E是的中点，若的面积为1，则的面积为（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 7．某项目学习小组为了测量直立在水平地面上的旗杆的高度，把标杆直立在同一水平地面上（如图）．同一时刻测得旗杆和标杆在太阳光下的影长分别是，．已知B，C，E，F在同一直线上，，，，则旗杆的高度为（　　） A． B． C． D． 8．如图，在△ABC中，D 是AB边上一点，∠ADC=∠ACB，AD=2，BD=6，则AC的长为（　　）． A．2 B．4 C．6 D．8 9．如图，正方形OABC的边长为6，D为AB中点，OB交CD于点Q，Q是y＝ 上一点，k的值是（　　） A．4 B．8 C．16 D．24 10．如图，在△ABC中，高AD与中线CE相交于点F，AD＝CE＝6，FD＝1，则AB的值为（　　） A．2 B．6 C．10 D．4 二、填空题 11．已知线段，，，是成比例线段，其中，，，则的值是　 　． 12．将一个矩形沿着一条对称轴翻折，如果所得到的矩形与这个矩形相似，那么我们就将这样的矩形定义为“白银矩形”．事实上，“白银矩形”在日常生活中随处可见．如，我们常见的A4纸就是一个“白银矩形”．请根据上述信息求A4纸的较长边与较短边的比值．这个比值是　 　 13．如图，菱形ABCD的顶点分别在反比例函数y＝和y＝的图象上，∠BCD＝60°，则的值为　 　． 14．如图，菱形 的边长为10，面积为80， ，⊙O与边 ， 都相切，菱形的顶点A到圆心O的距离为5，则⊙O的半径长等于　 　． 三、解答题 15．周末，小华和小亮想用所学的数学知识测量家门前小河的宽．测量时，他们选择了河对岸边的一棵大树，将其底部作为点A，在他们所在的岸边选择了点B，使得AB与河岸垂直，并在B点竖起标杆BC，再在AB的延长线上选择点D竖起标杆DE，使得点E与点C、A共线． 已知：CB⊥AD，ED⊥AD，测得BC＝1m，DE＝1.5m，BD＝8.5m．测量示意图如图所示．请根据相关测量信息，求河宽AB． 16．如图所示，在一矩形空地内建筑一个小的矩形花坛，要求在上，，分别在，上，已知米，米，设(米) （1）设，求与之间的函数表达式； （2）当，的长度分别是多少时，花坛的面积最大？并求出最大面积 17．在锐角中，点、分别在、上，于点，于，. （1）求证：； （2）若，，求的值. 18．如图，DE∥AB，FD∥BC， ，AB=9cm，BC=6cm，则四边形BEDF的周长是多少? 四、综合题 19．已知：如图，四边形中，，，对角线、相交于点，点在边上，，垂足为点，． （1）求证：四边形为矩形； （2）过点作交于点，求证：． 20．如图，点A在线段BD上，在BD的同侧作等腰Rt△ABC和等腰Rt△ADE，∠ABC=∠ADE=90° ，CD与BE、AE分别交于点P、M． 求证： （1）△BAE∽△CAD； （2）2CB2=CP•CM． 21．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=8，BC=6，CD⊥AB于点D．点P从点D 出发，沿线段DC向点C运动，点Q从点C出发，沿线段CA向点A运动，两点同时出发，速度都为每秒1个单位长度，当点P运动到C时，两点都停止．设运动时间为t秒． （1）求线段CD的长； （2）当t为何值时，△CPQ是直角三角形？ （3）是否存在某一时刻，使得PQ分△ACD的面积为1：11？若存在，求出t的值，若不存在，请说明理由． 22．如图所示，在矩形ABCD中，E是BC上一点，AF⊥DE于点F． （1）求证：DF•CD=AF•CE． （2）若AF=4DF，CD=12，求CE的长． 23．如图1，A，B分别在射线OA，ON上，且∠MON为钝角，现以线段OA，OB为斜边向∠MON的外侧作等腰直角三角形，分别是△OAP，△OBQ，点C，D，E分别是OA，OB，AB的中点． （1）求证：△PCE≌△EDQ； （2）延长PC，QD交于点R． ①如图1，若∠MON=150°，求证：△ABR为等边三角形； ②如图3，若△ARB∽△PEQ，求∠MON大小和 的值． 答案解析部分 1．【答案】D 2．【答案】B 【解析】【解答】解：∵等边三角形的对应角相等，对应边的比相等， ∴两个等边三角形一定是相似形， 又∵直角三角形，菱形的对应角不一定相等，矩形的边不一定对应成比例， ∴两个直角三角形、两个菱形、两个矩形都不一定是相似形， 故答案为：B． 【分析】 对应角相等，对应边的比相等的两个图形就叫相似图形。根据相似图形的定义对每个选项一一判断即可。 3．【答案】B 4．【答案】D 【解析】【解答】已知直线l1∥l2∥l3，根据平行线分线段成比例定理可得EF：DE=BC：AB=4：2=2：1，由此可得选项A、B不符合题意；由平行线分线段成比例定理得 ，即 ，由比例的性质可得BC·DE＝6，所以选项C不符合题意，选项D 正确，故答案为：D. 【分析】根据平行线分线段成比例定理和比例的性质即可判断求解。 5．【答案】C 6．【答案】C 【解析】【解答】解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∵E是的中点， ∴， ∴， ∴， ∵的面积为1， ∴； 故答案为：C． 【分析】先求出，再求出，最后求解即可。 7．【答案】A 8．【答案】B 【解析】【解答】解：在△ADC和△ACB中， ∠ADC＝∠ACB，∠A＝∠A ∴△ADC∽△ACB ∴ ∴ ∵AC＞0， ∴AC＝4 故答案为：B 【分析】先根据两组对应角相等判定相似，再根据对应边成比例列式求出AC即可. 9．【答案】C 【解析】【解答】解：过点 作 ，垂足为 ， 是正方形， ， ， 是 的中点， ， ， ， ， 又 ， ， ， ， ， ， ， 点 在反比例函数的图象上， ， 故答案为： ． 【分析】延长根据相似三角形得到 ，再过点 作垂线，利用相似三角形的性质求出 、 ，进而确定点 的坐标，确定 的值． 10．【答案】A 【解析】【解答】解：如图，过点E作 AD⊥BC ∴EG∥BD ∵CE为AB边上的中线 ∴点E为AB的中点 点G是AD的中点 在 和 中， 设 ，则 解得 ，即 在 中， 在 中， 故答案为：A. 【分析】如图（见解析），过点E作 ，先根据中位线定理得出点G是AD的中点，从而可求出GF的长，再判断出，根据相似三角形的对应边成比例可得 ，从而可得EF的长，然后在 中，利用勾股定理可得EG的长，根据中位线定理可得BD的长，最后在 中，利用勾股定理即可得. 11．【答案】 12．【答案】 【解析】【解答】解：由题意得，四边形ABFE∽四边形ADCB， ∴， ∴AB2=， ∴=． 故答案为：． 【分析】根据相似多边形的对应边的比相等列出比例式，计算即可． 13．【答案】 【解析】【解答】解：如图所示，连接AC，BD， ∵四边形ABCD是菱形， ∴AC⊥BD， ∵菱形ABCD的顶点分别在反比例函数y＝和y＝的图象上， ∴A与C，B与D关于原点对称， ∴AC，BD的交点即为O， ∴∠BOC=90°， ∵ ∴BC=2OB， ∴， 过点B作BM⊥x轴于M，过点C作CN⊥x轴于N， ∵∠BOM+∠NOC=90°=∠NOC+∠NCO， ∴∠BOM=∠NCO， ∵∠CNO=∠OMB=90°， ∴△CNO∽△OMB， ∴， ∴， 故答案为：． 【分析】连接AC，BD，过点B作BM⊥x轴于M，过点C作CN⊥x轴于N，先证明△CNO∽△OMB，再利用相似三角形的性质可得，再将数据代入可得。 14．【答案】 【解析】【解答】 ∵菱形 的面积为80， ∴ ， ∵AB=10， ∴DM=8， ∴ =6， ∴BM=AB-AM=4， 在Rt△BDM中，BD= ， 设⊙O与边 相切于点H，连接OH，则OH⊥AB， ∴∠AHO=∠AGB=∠DMB= ， ∴∠OAH+∠AOH=∠GAB+∠ABG=∠ABG+∠BDM= ， ∴∠AOH=∠BDM， ∴△AOH∽△DBM， ∴ ， ∴ ， ∴OH= ． 故答案为： ． 【分析】作DM⊥AB于M，连接AC、BD交于点G，利用菱形 的面积为80，得出DM=8，利用勾股定理得出AM的长，设⊙O与边 相切于点H，连接OH，则OH⊥AB，证出△AOH∽△DBM，得出 ，由此得出OH的值。 15．【答案】解：∵CB⊥AD，ED⊥AD， ∴∠CBA＝∠EDA＝90°， ∵∠CAB＝∠EAD， ∴∆ABC∽∆ADE， ∴ ， 又∵AD=AB+BD，BD=8.5，BC＝1，DE＝1.5， ∴ ， ∴AB＝17， 即河宽为17米． 【解析】【分析】由题意先证明∆ABC∽∆ADE，再根据相似三角形的对应边成比例即可求得AB的长. 16．【答案】（1） （2）当时，花坛的最大面积为． 17．【答案】（1）证明于点，于， ， ， 在和中，，， （2）解：， . ，， . 【解析】【分析】（1）先根据垂直的定义得到，结合图形利用直角三角形两锐角的关系得到得到 ，再根据已知条件可得，根据相似三角形的判定条件即可得出结论； （2）根据，得到，结合证明，根据相似三角形的性质得到，代入数据计算即可求解. 18．【答案】解：∵FD∥BC， ，∴ ，∴ ，∴AF=6cm，∴BF=3cm，又∵DE∥AB，∴ ，∴ ，∴CE=2cm，∴BE=4cm，易得四边形BEDF是平行四边形，∴四边形BEDF的周长为14cm. 【解析】【分析】根据平行线分线段成比例定理可得比例式、，将已知线段代入计算可求得AF和CE的长，则BF和BE的长可求解，根据有两组对边分别平行的四边形是平行四边形可得四边形BEDF是平行四边形，则四边形BEDF的周长=2（BE+BF）可求解。 19．【答案】（1）证明：∵ ， ∴ ， 又∵ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， 又∵ ， ∴ ， 又∵ ，且 ， ∴四边形 是矩形 （2）证明：∵ ， ∴ ， 在矩形 中， ， 又∵ ， ∴ ， ∴ ， 在矩形 中， ， ∴ ， ∵ ， ∴ ． 【解析】【分析】（1）先根据题意即可得到 ，再运用相似三角形的判定与性质得到 ，进而得到 ，再结合题意即可得到 ，再根据矩形的判定即可求解； （2）先根据矩形的性质得到 ，再结合 ， ，即可得到 ，再根据相似三角形的判定与性质证明 ，进而得到 ，即可求解。 20．【答案】（1）证明：由已知：AC= AB，AD= AE ∴ ∵∠BAC=∠EAD ∴∠BAE=∠CAD ∴△BAE∽△CAD （2）解：由（1）得到 ， ∵△BAE∽△CAD ∴∠BEA=∠CDA ∵∠PME=∠AMD ∴△PME∽△AMD ∴ ， ∴MP⋅MD=MA⋅ME ∠PMA=∠DME ∴△PMA∽△EMD ∴∠APD=∠AED=90° ∵∠CAE=180°−∠BAC−∠EAD=90° ∴△CAP∽△CMA ∴AC2=CP•CM ∵AC= AB ∴2CB2=CP•CM 【解析】【分析】(1)由相似三角形定理证明即可.（2）先证明△CAP∽△CMA，即可得AC2=CP•CM，由此可得2CB2=CP•CM. 21．【答案】（1）解：在Rt△ABC中，根据勾股定理得，AB＝ ∵S△ABC＝ AC•BC＝ AB•CD， ∴CD＝ （2）解：由（1）知，CD＝ ， 由运动知，CQ＝t，DP＝t， ∴CP＝CD−DP＝ −t， ∵∠ACB＝90°， ∴∠ACD＋∠BCD＝90°， ∵CD⊥AB， ∴∠B＋∠BCD＝90°， ∴∠ACD＝∠B， ∵△CPQ与△ABC相似， ①当∠CPQ＝90°时，△CPQ∽△BCA， ∴ ， ∴ ∴t＝3 ②当∠CQP＝90°时，△CPQ∽△BAC， ∴ ， ∴ ∴t＝ ， 即：t为3秒或 秒时，△CPQ与△ABC相似． （3）解：假设存在，如图所示， Rt△ACD中，根据勾股定理得，AD＝ ， 过点Q作CE⊥CD于E， ∴QE∥AD， ∴△CEQ∽△CDA， ∴ ， ∴ ∴QE＝ ∵S△CPQ＝ CP•QE＝ （ ）• ∴S△ACD＝ AD•CD＝ × × ， ∵PQ分△ACD的面积为1：11， ∴①当S△CPQ＝ S△ACD时， ∴ （ −t）• ＝ × × × ， ∴5t2−24t＋16＝0， ∴t＝ 或4． ②当S△CPD＝ S△ACD时， ∴ （ −t）• ＝ × × × ， ∴5t2−24t＋176＝0，而△242−4×5×176＝576−3520＜0， 此方程无解，即：此种情况不存在， 综上所述，当t＝ 或4时，PQ分△ACD的面积为1：11． 【解析】【分析】（1）先利用勾股定理求出AB＝10，进利用面积法求出CD；（2）先表示出CP，再判断出∠ACD＝∠B，进而分两种情况，利用相似三角形得出比例式建立方程求解，即可得出结论；（3）先判断出△CEQ∽△CDA，得出 ，进而表示出QE＝ t，再分当S△CPQ＝ S△ACD时，和当S△CPD＝ S△ACD时，利用面积建立方程求解即可得出结论． 22．【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，∴∠ADC=∠C=90°，∴∠ADF+∠CDE=90°， ∵AF⊥DE， ∴∠AFD=∠DAF+∠FDA=90°， ∴∠FAD=∠CDE， 又∵∠C=∠AFD=90°， ∴△ADF∽△DCE； ∴ ，即DF•CD=AF•CE （2）解：∵△ADF∽△DCE；∴ ， ∴ ， 又∵AF=4DF，CD=12， ∴ ，∴CE=3． 【解析】【分析】（1）根据矩形的性质得出∠ADC=∠C=90°，根据同角的余角相等得出∠FAD=∠CDE，进而判断出△ADF∽△DCE；根据相似三角形对应边成比例得出结论； （2）根据根据相似三角形对应边成比例得出=，根据比例的性质得出=，将AF=4DF，CD=12，代入即可求出CE的长。 23．【答案】（1）证明：∵点C、D、E分别是OA，OB，AB的中点， ∴DE=OC，∥OC，CE=OD，CE∥OD， ∴四边形ODEC是平行四边形， ∴∠OCE=∠ODE， ∵△OAP，△OBQ是等腰直角三角形， ∴∠PCO=∠QDO=90°， ∴∠PCE=∠PCO+∠OCE=∠QDO=∠ODQ=∠EDQ， ∵PC= AO=OC=ED，CE=OD= OB=DQ， 在△PCE与△EDQ中， ， ∴△PCE≌△EDQ； （2）解：①如图2， 连接RO， ∵PR与QR分别是OA，OB的垂直平分线，∴AP=OR=RB，∴∠ARC=∠ORC，∠ORQ=∠BRO，∵∠RCO=∠RDO=90°，∠COD=150°，∴∠CRD=30°，∴∠ARB=60°，∴△ARB是等边三角形；②由（1）得，EQ=EP，∠DEQ=∠CPE，∴∠PEQ=∠CED﹣∠CEP﹣∠DEQ=∠ACE﹣∠CEP﹣∠CPE=∠ACE﹣∠RCE=∠ACR=90°， ∴△PEQ是等腰直角三角形， ∵△ARB∽△PEQ， ∴∠ARB=∠PEQ=90°， ∴∠OCR=∠ODR=90°，∠CRD= ∠ARB=45°，∴∠MON=135°，此时P，O，B在一条直线上，△PAB为直角三角形，且∠APB=90°， ∴AB=2PE=2× PQ= PQ， ∴ = 【解析】【分析】（1）根据三角形中位线的性质得到DE=OC，∥OC，CE=OD，CE∥OD，推出四边形ODEC是平行四边形，于是得到∠OCE=∠ODE，根据等腰直角三角形的定义得到∠PCO=∠QDO=90°，根据等腰直角三角形的性质得到得到PC=ED，CE=DQ，即可得到结论（2）①连接RO，由于PR与QR分别是OA，OB的垂直平分线，得到AP=OR=RB，由等腰三角形的性质得到∠ARC=∠ORC，∠ORQ=∠BRO，根据四边形的内角和得到∠CRD=30°，即可得到结论； ②由（1）得，EQ=EP，∠DEQ=∠CPE，推出∠PEQ=∠ACR=90°，证得△PEQ是等腰直角三角形，根据相似三角形的性质得到ARB=∠PEQ=90°，根据四边形的内角和得到∠MON=135°，求得∠APB=90°，根据等腰直角三角形的性质得到结论．本题考查了相似三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，线段垂直平分线的性质，熟练掌握等腰直角三角形的性质是解题的关键． 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $$