2024年中考数学专题训练：二次函数综合（面积问题）

2024年中考数学专题训练：二次函数综合（面积问题） 1．如图，在平面直角坐标系中，正方形的边长为4，顶点A，C分别在x轴，y轴的正半轴上，抛物线 经过B，C两点，点D为抛物线的顶点，连结，，． (1)求此抛物线的表达式； (2)求四边形的面积． 2．如图，抛物线与轴相交于点、，与轴相交于点，点是射线上的一个动点，过点作轴交射线于点，设点的横坐标为 与重叠部分的面积为． (1)判断的形状，并证明； (2)求关于的函数解析式，并直接写出自变量的取值范围． 3．如图,抛物线y=-x2+bx+c与x轴、y轴分别交于A（-1，0）、B（0，3）两点，顶点为D． （1）求该抛物线的解析式； (2)若该抛物线与x轴的另一个交点为E. 求四边形ABDE的面积 （3）△AOB与△BDE是否相似？如果相似，请予以证明；如果不相似，请说明理由. 4．综合与探究 如图，抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，D是第一象限抛物线上的一个动点，若点D的横坐标为m，连接，，，． (1)求A，B，C三点的坐标，并直接写出直线的函数表达式． (2)当四边形的面积有最大值时，求出m的值． (3)在（2）的条件下，在x轴上是否存在一点M，使是等腰三角形？若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由． 5．如图，已知二次函数 的图像与轴交于点 ，与轴交于点，． (1)求此二次函数的表达式． (2)已知为抛物线对称轴上一动点，求周长的最小值． (3)已知为抛物线上一点，当点运动到直线下方时，求面积的最大值． 6．如图所示,点P是抛物线y=x2上第一象限内的一个点,点A（3,0）． （1）令点P的坐标为（x,y）,求△OPA的面积S与y的关系式． （2）S是y的什么函数?S是x的什么函数? 7．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴的正半轴交于点D，与y轴交于点C，点A在抛物线上，AB⊥y轴于点B，△ABC绕点B逆时针旋转90°，得到△OBE，连接DE，当时，x的取值范围是． (1)求该抛物线的解析式； (2)求证：四边形OBED是矩形； (3)在线段OD上找一点N，过点N作直线m垂直x轴，交OE于点F，当△DNF的面积取得最大值时，求点N的坐标，在此基础上，在直线m上找一点P，连接OP、DP，使得∠ODP+∠DOE=90°，求点P的坐标． 8．已知抛物线经过，并与x轴交于A、B两点，其中点B的坐标是． (1)求抛物线的函数解析式和点A的坐标； (2)设点都在抛物线的图象上，若，请证明：； (3)如图，点P是抛物线上一动点，当的面积为5时，求点P的坐标． 9．如图1，在平面直角坐标系中，直线与抛物线交于点A，． (1)若点A的坐标为，求a，b的值； (2)如图2，在（1）的条件下，若C是直线下方抛物线上一动点，求的面积最大时点C的坐标； (3)在第二象限内有一点，连接并延长交抛物线于点E，连接并延长交抛物线于点F，连接．若对于任意b值（且），总有，求a的值． 10．已知抛物线． (1)将抛物线向左移动一个单位，所得抛物线的解析式为 ． (2)已知，，，交y轴于M，N点在直线上方的抛物线上．若使得的N点只有一个，求a的值 (3)在（1）所得的抛物线中，令，过作直线与此抛物线交于B、C两点，作轴于E，轴于F．求证：． 11．已知抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，顶点为． (1)求抛物线的解析式； (2)如图1，连接，点E是直线上方抛物线上的点，连接，，交于点F，当时，求点E的坐标； (3)在（2）的条件下，如图2，请在y轴上取一点Q，连接，若，求Q的坐标． 12．已知关于x的一元二次方程﹣+ax+a+3＝0． (1)求证：无论a为任何实数，此方程总有两个不相等的实数根； (2)如图，若抛物线y＝﹣+ax+a+3与x轴交于点A（﹣2，0）和点B，与y轴交于点C，连结BC，BC与对称轴交于点D． ①求抛物线的解析式及点B的坐标； ②若点P是抛物线上的一点，且点P位于直线BC的上方，连接PC，PD，过点P作PN⊥x轴，交BC于点M，求△PCD的面积的最大值及此时点P的坐标． 13．如图，点，，连接并将线段绕点B顺时针旋转，点A转到点C处．一抛物线经过C、B两点，与x轴交于另一点． (1)求点C的坐标和抛物线的解析式． (2)在上方抛物线上是否存在一点P，使得四边形的面积最大？若存在，求出P的坐标及最大面积；若不存在，请说明理由． (3)连接， ①求证：； ②直线上是否存在一点M，使得与相似？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由． 14．如图，抛物线经过点和点，与轴交于点． (1)求抛物线的解析式； (2)点是第四象限内抛物线上的动点，求四边形的面积的最大值和此时点的坐标； (3)点是轴上的一个动点，将线段绕点顺时针旋转，得到线段，若线段与抛物线有一个公共点，结合函数图像，请直接写出的取值范围． 15．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点和点，与y轴交于点C． (1)求抛物线的函数表达式； (2)线段位于第四象限，且在线段上移动，轴交抛物线于点F，连接．若，求的面积的最大值，及此时点E的坐标； (3)将该抛物线沿射线方向平移，使得新抛物线经过（2）中的面积取得最大值时对应的点E处，且与直线相交于另一点K．点P为新抛物线上的一个动点，当和中，其中一个角与相等时，直接写出所有符合条件的点P的坐标，并写出其中一个点的求解过程． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$