精品解析：四川省阆中中学校2024-2025学年高三上学期开学检测数学试题

四川省阆中中学校2024年秋高2022级入学考试 数 学 试 题 （满分：150分 时间：120分钟） 一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.） 1. 设集合，集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 命题“”的否定形式是（ ） A. B. C. 或 D. 或 3. 下列不等式正确的是（　　） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，，则 D. 若，，，且，则 4. 已知函数的定义域为，则的定义域为（ ） A. B. C. D. 5. 已知，“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分又不必要条件 6. 已知，，且，则的最小值是（ ） A. 4 B. 5 C. 7 D. 9 7. 已知定义在上的函数对任意的实数都有，则 （ ） A. B. C. D. 8. 已知函数，若，，使得，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，有选错的得0分，若只有2个正确选项，每选对一个得3分；若只有3个正确选项，每选对一个得2分.） 9. 已知函数，下列关于函数的结论正确的是（ ） A. 的定义域是 B. 的值域是 C. 若，则 D. 的图象与直线有一个交点 10. 已知关于不等式的解集为，则（ ） A. B. 点在第二象限 C. 的最大值为 D. 关于的不等式的解集为 11. 已知，则下列关系正确的是（ ） A. B. C. D. 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分.） 12. 若函数，则______ . 13. 已知实数满足，且，若关于的不等式恒成立，则实数的取值范围是__________ . 14. 定义：如果在函数y＝f(x)定义域内的给定区间[a，b]上存在x0(a＜x0＜b)，满足f(x0)＝，则称函数y＝f(x)是[a，b]上的“平均值函数”，x0是它的一个均值点，如y＝x4是[－1,1]上的平均值函数，0就是它的均值点．现有函数f(x)＝－x2＋mx＋1是[－1,1]上的平均值函数，则实数m的取值范围是________． 四、解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.） 15. 如图，在四棱锥中，底面，底面是正方形，点为边上一点，，． （1）证明：平面平面； （2）求二面角的余弦值． 16. 设数列的前项和为，且满足. （1）求的通项公式； （2）设，数列的前项和为，若对任意的恒成立，求的取值范围. 17. 健身运动可以提高心肺功能，增强肌肉力量，改善体态和姿势，降低患病风险.这些好处吸引着人们利用空闲的时间投入到健身运动中，以改善自己的身体状况，增强一下体质.某兴趣小组为了解本市不同年龄段的市民每周锻炼时长情况，随机抽取200人进行调查，得到如下列联表： 年龄 周平均锻炼时长 合计 周平均锻炼时间少于4小时 周平均锻炼时间不少于4小时 50岁以下 40 60 100 50岁以上（含50） 25 75 100 合计 65 135 200 （1）试根据小概率值的独立性检验，分析周平均锻炼时长是否与年龄有关？精确到0.001； （2）现从50岁以下的样本中按周平均锻炼时间是否少于4小时，用分层随机抽样法抽取10人做进一步访谈，再从这10人中随机抽取5人填写调查问卷.记抽取5人中周平均锻炼时间不少于4小时的人数为，求的分布列和数学期望. 参考公式及数据： ，其中. 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 18. 已知椭圆C：（），，，，四点中恰有三点在椭圆上． （1）求椭圆的标准方程； （2）过右焦点且斜率为1的直线交椭圆于，两点，点为直线上任意一点，求证：直线，，的斜率成等差数列． 19. 已知函数. （1）当时，求曲线在点处的切线与两坐标轴围成的三角形面积； （2）讨论函数的零点个数. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 四川省阆中中学校2024年秋高2022级入学考试 数 学 试 题 （满分：150分 时间：120分钟） 一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.） 1. 设集合，集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由题意逐一考查所给的选项运算结果是否为即可. 【详解】由题意可得，则，选项A正确； ，则，选项B错误； ，则或，选项C错误； 或，则或，选项D错误； 故选：A. 2. 命题“”的否定形式是（ ） A. B. C. 或 D. 或 【答案】D 【解析】 【分析】 直接根据特称命题的否定为全称命题，写出答案. 【详解】因为特称命题的否定是全称命题， 所以命题“”的否定是：或， 故选：D． 3. 下列不等式正确的是（　　） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，，则 D. 若，，，且，则 【答案】D 【解析】 【分析】举例说明选项ABC错误；利用作差法证明选项D正确. 【详解】对于A，当，，时满足，但，所以A错误； 对于B，当，，时，满足，但，所以B错误； 对于C，由不等式的基本性质易知，当，，时满足，，但，所以C错误； 对于D，，所以，故D正确． 故选：D． 4. 已知函数的定义域为，则的定义域为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由题意求出的定义域，结合函数列出相应不等式组，即可求得答案. 【详解】由题意可知函数的定义域为，即， 故，则的定义域为， 则对于，需满足， 即的定义域为， 故选：C 5. 已知，“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分又不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】根据充分、必要性定义判断条件的推出关系，即可得答案. 【详解】由，则，当时不成立，充分性不成立； 由，则，即，显然成立，必要性成立； 所以是的必要不充分条件. 故选：B 6. 已知，，且，则的最小值是（ ） A. 4 B. 5 C. 7 D. 9 【答案】C 【解析】 【分析】将式子变形为，即可利用不等式求解，或者将式子变形为，结合不等式即可求解. 【详解】方法一：因为，故，解得， 故,当且仅当 ，即，时等号成立. 方法二：因为，则，且，故， 故，当且仅当 ， 即，时等号成立. 故选：C. 7. 已知定义在上的函数对任意的实数都有，则 （ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先用赋值法求出，结合对数运算性质可解. 【详解】赋值法知道，，解得. . 故选：C. 8. 已知函数，若，，使得，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由题意可得，分别求出两函数在给定区间上的最小值，然后解不等式可求得答案. 【详解】因为，，使得，所以， 由，得， 当时，，当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增，所以， 因为在上单调递增， 所以，所以，解得， 即实数的取值范围是. 故选：B 二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，有选错的得0分，若只有2个正确选项，每选对一个得3分；若只有3个正确选项，每选对一个得2分.） 9. 已知函数，下列关于函数的结论正确的是（ ） A. 的定义域是 B. 的值域是 C. 若，则 D. 的图象与直线有一个交点 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据函数的定义域、值域、由函数值求自变量、函数图象等知识对选项进行分析，从而确定正确答案. 【详解】A选项，的定义域是，所以A选项错误. B选项，当时，， 当时，， 所以的值域是，所以B选项正确. C选项，由B选项的分析可知，若， 则，解得，所以C选项正确. D选项，画出的图象如下图所示，由图可知，D选项正确. 故选：BCD 10. 已知关于不等式的解集为，则（ ） A. B. 点在第二象限 C. 的最大值为 D. 关于的不等式的解集为 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据不等式的解与方程根的关系，一元二次不等式的解法求解. 【详解】的解等价于. 因为解集为，所以，故A正确. 因为，则点在第三象限，故B错误. ， 由于的最小值为，且， 则有最大值为，故C正确. 化为，由于， 则，解得，则D正确. 故选：ACD. 11. 已知，则下列关系正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】AD 【解析】 【分析】利用对数的运算法则化简，结合作差法和基本不等式比较大小，依次判断各选项. 【详解】因为， 所以， 对A选项，，所以，故A正确； 对B选项，， 所以，故B选项不正确； 对C选项，因为，， 所以， 而，故上述不等式等号不成立，则，故C不正确； 对D选项， ,故D正确. 故选：AD 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分.） 12. 若函数，则______ . 【答案】## 【解析】 【分析】根据分段函数解析式，结合对数运算性质先计算的值，继而计算的值，即得答案. 【详解】由题意可得，故， 则. 故答案为： 13. 已知实数满足，且，若关于的不等式恒成立，则实数的取值范围是__________ . 【答案】 【解析】 【分析】运用等式性质变形，结合基本不等式求出最小值，再解一元二次不等式即可. 【详解】，则同号，又，则只能同正. ，变形得到. 则. 当且仅当，且，则时取等号. 由于恒成立，则，解得. 故答案为：. 14. 定义：如果在函数y＝f(x)定义域内的给定区间[a，b]上存在x0(a＜x0＜b)，满足f(x0)＝，则称函数y＝f(x)是[a，b]上的“平均值函数”，x0是它的一个均值点，如y＝x4是[－1,1]上的平均值函数，0就是它的均值点．现有函数f(x)＝－x2＋mx＋1是[－1,1]上的平均值函数，则实数m的取值范围是________． 【答案】(0,2) 【解析】 【分析】设x0为均值点，由已知可得：关于x0的方程＝f(x0)有实数根，整理求得：x0＝1或x0＝m－1，结合题意列不等式可得：－1＜m－1＜1，问题得解. 【详解】因为函数f(x)＝－x2＋mx＋1是[－1,1]上的平均值函数， 设x0为均值点，所以＝m＝f(x0)， 即关于x0的方程－＋mx0＋1＝m在(－1,1)内有实数根，解方程得x0＝1或x0＝m－1. 所以必有－1＜m－1＜1，即0＜m＜2， 所以实数m的取值范围是(0,2)．. 【点睛】本题主要考查了新概念知识的理解及方程思思，还考查了转化能力及计算能力，属于难题． 四、解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.） 15. 如图，在四棱锥中，底面，底面是正方形，点为边上一点，，． （1）证明：平面平面； （2）求二面角的余弦值． 【答案】（1） 如图所示，连接，， 因为底面为正方形，所以， 因为底面，底面，所以， 又，，平面，所以平面， 又平面，所以， 由题得，且，，平面， 则平面，又平面， 所以平面平面； （2） 【解析】 【分析】（1）连接，，由线线垂直可得平面，进而得，结合已知可证平面，可证结论； （2）以点为坐标原点，所在直线为轴，所在直线为轴，点竖直向上方向所在直线为轴，建立空间直角坐标系，求得平面的一个法向量为，又是平面的一个法向量，利用向量的夹角公式可求得二面角的余弦值. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 如图，以点为坐标原点，所在直线为轴，所在直线为轴，点竖直向上方向所在直线为轴，建立空间直角坐标系， ，，，，， 因为， 所以由勾股定理可得， 即①， 且②， 联立①②两式，可得，点为上靠近点的三等分点， 所以，，， 由题意可知，是平面的一个法向量， 设平面的一个法向量为， 有，令，则， 所以平面的一个法向量为， 设二面角为， 则， 所以二面角的余弦值为． 16. 设数列的前项和为，且满足. （1）求的通项公式； （2）设，数列的前项和为，若对任意的恒成立，求的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据与之间的关系分析可知数列是首项为，公比为的等比数列，进而可得通项公式； （2）由（1）可知：，利用错位相减法可得，结合恒成立问题分析求解即可. 【小问1详解】 因为， 当时，由，解得； 当时，则， 两方程相减得，即； 可知数列是首项为，公比为的等比数列， 所以. 【小问2详解】 由（1）可知：， 则， ， 两式相减得， 可得，即. 因为， 可知是单调递增数列，且，可得， 因为对任意的恒成立，可得，解得， 所以的取值范围为. 17. 健身运动可以提高心肺功能，增强肌肉力量，改善体态和姿势，降低患病风险.这些好处吸引着人们利用空闲的时间投入到健身运动中，以改善自己的身体状况，增强一下体质.某兴趣小组为了解本市不同年龄段的市民每周锻炼时长情况，随机抽取200人进行调查，得到如下列联表： 年龄 周平均锻炼时长 合计 周平均锻炼时间少于4小时 周平均锻炼时间不少于4小时 50岁以下 40 60 100 50岁以上（含50） 25 75 100 合计 65 135 200 （1）试根据小概率值的独立性检验，分析周平均锻炼时长是否与年龄有关？精确到0.001； （2）现从50岁以下的样本中按周平均锻炼时间是否少于4小时，用分层随机抽样法抽取10人做进一步访谈，再从这10人中随机抽取5人填写调查问卷.记抽取5人中周平均锻炼时间不少于4小时的人数为，求的分布列和数学期望. 参考公式及数据： ，其中. 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 【答案】（1）周平均锻炼时长与年龄有关联 （2） 1 2 3 4 5 【解析】 【分析】（1）计算出卡方，即可判断； （2）首先求出周平均锻炼时长少于4小时、不少于4小时的人数，依题意所有可能的取值为，求出所对应的概率，即可得到分布列与数学期望. 【小问1详解】 零假设：周平均锻炼时长与年龄无关联. 由列联表中的数据，可得， . 根据小概率值的独立性检验，我们推断不成立， 即认为周平均锻炼时长与年龄有关联，此推断犯错误的概率不大于. 由列联表中的数据计算，50岁以下周平均锻炼时长少于4小时和不少于4小时的频率分别为和， 由列联表中的数据计算，50岁以上（含50）周平均锻炼时长少于4小时和不少于4小时的频率分别为和， 因为，所以50岁以上（含50）周平均锻炼时长不少于4小时的比率比50岁以下高出15个百分点， 所以50岁以下和50岁以上（含50）周平均锻炼时长有差异. 【小问2详解】 抽取的10人中，周平均锻炼时长少于4小时的有人， 不少于4小时的有人， 所以所有可能的取值为， 所以，，，，， 所以随机变量的分布列为： 1 2 3 4 5 随机变量的数学期望. 18. 已知椭圆C：（），，，，四点中恰有三点在椭圆上． （1）求椭圆的标准方程； （2）过右焦点且斜率为1的直线交椭圆于，两点，点为直线上任意一点，求证：直线，，的斜率成等差数列． 【答案】（1） （2）证明：设，，， 设直线的方程为：， 由，得， ，，， ， 因为，所以， 所以直线，，的斜率成等差数列． 【解析】 【分析】（1）根据对称点判断在椭圆的三点，然后可求得椭圆方程； （2）设，，，设直线的方程为：，联立直线与椭圆的方程得，计算可得，，进而得出证得结果. 【小问1详解】 根据椭圆的对称性，必过点，点，必不过点， 代入点得，，代入点得，， ∴椭圆的标准方程为：； 【小问2详解】 略 19. 已知函数. （1）当时，求曲线在点处的切线与两坐标轴围成的三角形面积； （2）讨论函数的零点个数. 【答案】（1）； （2） 当或时，函数有1个零点；当时，有两个零点；当时，无零点. 【解析】 【分析】（1）把代入，求出函数的导数，利用导数的几何意义求出切线方程即可求解. （2）求出函数的导数，分类讨论函数的单调性，结合零点存在性定理及函数最值情况探讨零点即可. 【小问1详解】 当时，，求导得，则，而， 于是曲线在点处的切线为，即， 直线交轴于点，交于点， 所以曲线在点处的切线与两坐标轴围成的三角形面积. 【小问2详解】 函数的定义域为， 求导得， 当时，则，函数在上单调递减， 显然，当时，，， 则，，， 于是，因此函数有唯一零点； 若，由得， 当时，，当时，， 则在单调递减，在单调递增，， 显然函数在上单调递增， 当时，，函数无零点； 当时，，函数有唯一零点； 当时，，当时，，， 则，，，于是，函数在上有一个零点， 当时，显然，， ， 因此，令，求导得， 即在上单调递增，，于是， 从而函数在上有一个零点， 于是当时，函数有两个零点， 所以当或时，函数有1个零点；当时，有两个零点；当时，无零点. 【点睛】思路点睛：涉及含参的函数零点问题，利用导数分类讨论，研究函数的单调性、最值等，结合零点存在性定理，借助数形结合思想分析解决问题. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $