2025年中考数学复习专题复习：等边三角形几何问题解法专题讲解-- 第2节中点问题

第 2 节 中点问题 最常用方法8字≌(2倍法)、中位线法、平行底中线、中点等面积法. 14.【8上】【☆】正△ABC,AD=AE,∠DAE=120°,∠ADC=90°,Q为BE 中点,求证:∠DAQ=30°. 【简释】 【法1】∠BAE=120°+α,BF∥AE,∠ABF=60°—α=∠CAD【8字≌】BF=AE=AD,黄蓝 【法2】延长EA 至F, 黄 中位线 AQ∥FB,∠EAQ=90°,∠DAQ=30° 15.【8上】【☆☆】正△ABC,D.在AC 的延长线上,正 M、N 分别是BE、AD 中点,求证:AE=2MN. 【简释】【中位线法】 【法 蓝黄 正 (略) 【法】 蓝黄 (略) 16.【8上】【☆☆】正△ABC,D在AC上,E在BC的延长线上,DE=DB,F 是BD 中点,求∠FAE. 【简释】 【两次8字≌】□ADGB 正△DCK,中垂线DH HC=HK,HE=HB 故CE=BK=AD=BG 蓝△≌【SAS】α+β=60° 17.【8上】【☆☆】正△ABC,正△DEF,D为AB 中点,E在BC上,(1)求证:FE=FC;(2)∠BAF=90°,CE=2,求 BE. 【简释】 (1)【法1】黄绿△≌【SAS】,黄蓝△≌【SAS】FC=FD=FE 【法2】黄绿△≌【SAS】,黄蓝△≌【SAS】FC=FD=FE 【法3】黄△≌【SAS】FC=EG=ED=FE 【法4】【一线三互角】两个α,绿△≌【AAS】令EH=DG=m,BG=n,BC=2(m+n)BE=2n,EH=CH=m,FE=FC (2)【法1】【一线三互角】两个.β,BM=m,BD=2m=AD,黄△≌【AAS】 EM=AD=2m,EC=m=2,BE=6 【法2】蓝△≌【SAS】∠DGE=90°=∠GEC,CG=4,AC=8,BE=6 18.【8上】【☆☆】正△ABC,∠CDE=120°,CD=DE,F为BE 中点,求∠ADF. 【简释】 【法1】【8字≌】蓝△≌【SAS】BG=DE=CD,两个β 左左图〗∠ACD=α,∠BCD═60°—α,△BCE,∠CBE=60°+α—β ∠GBC=60°+α,∠ABG=α=∠ACD 黄△≌【SAS】AG=AD,θ+Ω=60°,正△ADG,∠ADF=60°. 右图〗∠BCD=α,∠EBC=240°—α—β,∠ABG=∠ACD=α+60°(余,同上) 【法 2】【旋转法】蓝△≌【SSS】,黄≌【SAS】△ADF≌△ADG【SSS】∠ADF=60° 【法 绿灰△∽【SAS】 △ADF∽△ACG(略) 【法4】灰黄△∽【SAS】,∠ADF=∠CDH=60° 19.【8 上】【☆☆☆】锐角△ABC,中线 CD, 求证： 是正△. 【简释】【本题是2018年哈尔滨市中考第27题的核心内容】 【法一系】【一线三互角】 【法1】E、D对称,CF=DB,绿△≌【SAS】正△ADF,α=30°,正△ABC 【法2】中垂线 FG,GC=0.5DC=DH,绿△≌【边锐角】正△ADF 【法3】E、D对称,绿△≌【SAS】EF=AD=BD=BE,正△BEF,α=30° 【法4】绿 【法二系】【作高】【法5】高 BH,【美人鱼 【美人鱼】△DGA∽△DAC【SAS】∠DGA=∠DAC=60°=∠CGTAT⊥BC,垂心 G,中垂线 CD(略) 【法6】高 BH,【斜边中线DH】正△ADH,三个 30°,【展翅( 【法 7】高 AH,【中线 【美人鱼】△DHG∽△DCH【SAS】α=30°⇒正△BDH,正△ABC 【法 8】作高 AH,【美人鱼】 ,垂心G,CD⊥AB 【法三系】【中位线 DH、中垂线 GH】 【法 9】【展翅相似】α=60°(略) 【法 10】蓝灰△≌【ASA】正△DBH(略) 【法 11】蓝△≌【ASA】正△DBH(略) 【法12】等腰△DBW(不必证W∈AC),蓝灰△≌【AAS】DW=DH=DB 【法四系】【同旁等角】 【法13】【369△BEC】斜边中线 CG,中位线 DG,【展翅 【法14】【369△BEC】∠EAC=90°,斜边中线GA=GB,中垂线GD 【法15】【△ABC 外接圆】∠EAC=90°,直径CE⊥AB(略) 【平分弦(非直径)的直径垂直于弦(人教版九上82页)】 【法五系】【外角=内对角】 【法 16】 Hm²=x²+3k²,(x-k)(x-3k)=0,x=3k(舍), (略) 【法六系】【正△CDE】【展翅 【法17】中垂线 DH∥BC,中位线GH、DG, 【法18】DF=DC=DE,□AEBF,∠ABC=60°(略) 【法七系】【二倍法】□ACBE 【法 19】【369△CFE】,斜边中线 FD,正△FDC,【同旁 (略) 【法八系】【双垂中位线】AH═2DT═©D 【法20】【平移AH】矩形 AHCE,正△CDE,【同旁 【法21】【平移CD】□CDAE,正△AHE,【同旁(略) 【法九系】【美人鱼系列十余弦定理】 【法22】中位线 DH,□ADEC,EC=EF,△DCH∽△DFC【AA】 【法23】【369△ACE】,【美人鱼】△DCB∽△DEC【AA】k²+m²- mk=m(2k-m) k²-3mk+2m²=0,(k-m)(k-2m)=0,k=2m(略) 【法24】【369△ABE】,蓝黄△∽【AA】k(4m—2k)=2x²=2(m²+k²— mk) m²—3mk+2k²=0,(m—k)(m—2k)=0,m=k(略) 【法25】【2倍角法】△BCD∽△BEC【AA】m(2m+n)=4m²+n²-2mn n²-3mn+2m²=0,(n--m)(n--2m)=0,n=2m(略) 【法十系】 【法26】 【一线三互角】灰△∽【AA】 令 m=n,∠DBH=30°,Rt△ABC(舍去) m=3n,∠DBH=60°,正△ABC 20.【8上】【☆☆☆】正. ,D 在BC 上,P 在AD 上, ,M 是AC 中点,求证： 【简释】 【法1】【旋转法】正△BPE,黄△≌【SAS】两个γ 【8字≌】AF=PC=AE,α+β=60°,蓝△≌【SAS】4个γ 【法2】正△APE,黄. 两个γ 【法2.1】【8字≌】AF=PC=BE,α+β=60°,蓝△≌【SAS】4个γ 【法2.2】截PF=PC=BE,蓝△≌【SAS】4个γ 21.【8上】【☆☆☆】正△ABC,MB 平分∠ABC,NC 平分∠ACB,P 为BC 中点,MP⊥NP,求证:∠MAN=30°. 【简释】 【旋转法】绿△ABM≌△ACV【SSS】 ∠MAV=60° 【二倍法】黄△PBM≌△PCT【SAS】 CT=MB=VC 蓝 [ 灰△ANM≌△ANV【SSS】 ∠MAN=30° 22.【☆☆☆】正△ABC,BD=AE,AD、CE 交于F,M是AC 中点,∠BFM=150°,试确定 BD、DC 的数量关系. 【简释】 【内夹六】 【8字≌】AF=CN,∠FCN=60° 【旋转法】正△BFG 黄△≌【SAS】CG=AF,∠FCG=60° 【对称法】灰△≌【SAS】 FN=FG=FB,∠CFN=∠CFG=45° 【解 23.【☆☆☆】(1)正△ABC 内一点 P,∠BPC=120°,D 是BC 中点,求证:AP=2PD. (2)等腰△ABC 内一点P,AB=AC,∠BPC=180°—∠ACB,D是BC中点,求证: 【简释】 【法1】 (1)PC、BC 中垂线交于O OB=OP=OC,α+β=120° 四边形OBPC,∠BOC=120° 三个 60°,∠ACO=90° △ODP∽△OPA【SAS】 (2)PC、BC中垂线交于O,则OB=OP=OC,α+β=180°—∠ACB 四边形OBPC 中,∠BOC=2∠ACB,三个Ω,∠ACO=90° 即 (1)正△APQ 【旋转法】黄△≌【SAS】 【8字≌】 WC=BP=QC α+β=60° 灰△≌【SAS】 AP=PQ=PW=2PD (2)等腰△APQ,【旋转法】黄△≌【SAS】,【8字≌】WC=BP=QC α+β=180°—∠ACB,灰△≌【SAS】 PD=0.5PW=0.5PQ=PH=APcos∠AQP=APcos∠ACB 【法 3】【三等腰模式】 ,【对顶点O】【369△QPC】PQ=2CP,AQ=AC=BC=2CD,黄. 相似比=2,AP=2PD (2)两个α和β,AQ=AB=AC,【对顶点O】γ⇒2γ,α+β+γ=90° 蓝 黄△∽【SAS】 即 24.【8下】【☆☆】正△ABC,M、N分别在AB、AC 的延长线上,( ,G 是 AC 中点,GP⊥BC 交MN 于 P, 则AB=( ). 【简释】 【法1】 ，中位线GP, 【法 2】【平移法】【8字 中位线GP(略) 【法 蓝平行四边形，黄 (略) 25.【8 下】【☆☆☆】 BD、CE 交于 F, , G 为 BC 中点,AG、BD 交于 H,. ,求 AD. 【简释】 【对角互补】两个α,蓝绿△≌【SAS】AM=AC,∠MAC=60° ∠MAB=120°,【8字≌】BN=AC=AM,AC∥BN,∠NBA=120° △MAB≌△NBA【SAS】两个15°,AH=HB=2,【解△ADH】 26.【☆☆☆】正△ABC,E在AC 的延长线上,D在BC上,CE=CD,F 是BE 的中点,∠ADF=120°,求证:CD=2BD. 【简释】 α+β=120° 黄 (HD=ME=2GF,故AH=2DG) 令BD=2m,CD=4n=CE AC=BC=2m+4n,HC=2n 「………………… 故DG=m+n,GC=3n-m 3m+n=BG=GM=5n-m m=n,CD=2BD 27.【8上】【☆☆】正△ABC,D 在BC 上,E 在 BA 的延长线上,ED=EC,F 在EC 上, 求证:EF=FC. 【简释】 正△BEG,绿 【一线三等角 60°】蓝/ 【8字≌】灰 28.【8下】【☆☆☆】正△ABC,D在BA 的延长线上,DE⊥BC 于E,F是DC 中点,FG⊥AF 交 DE 于G,求证:DG=2GE. 【简释】 【法1】【二倍法】灰平行四边形,正△BDN,GA=GM,角分线双高,GH=GK黄△≌【HL】两个Ω,正△CMN,AD=CM=MN,蓝△≌【SAS】α=30°,DG=GN=2GE 【法2】【二倍法】灰平行四边形,CM=DG,作 BN=AD,则 DN=AB=CA蓝黄△≌【SAS】,△DAG≌△BNG【SAS】DG=BG=2GE 【法3】【二倍法】蓝平行四边形,黄平行四边形,AD=CM=BN,正△DMN【AA】中垂线FG、DE,GA=GM=GN,GH⊥平分NA,GH⊥平分BDα=30°,DG=BG=2GE 【法4】中垂线AH,BH=2m,HE=2n=AJ,DJ= ₃n=M 【外 M 型 29.【☆☆☆☆】正. ,F 为AE 中点,BF、AD 交于G,求证： 【简释】黄△≌【AAS】BD=CE,α=20°,β=80° 【法1】【平行底中线法】 θ=10°,∠BDM=90°,MB=2BD=BD+CE,DE=AM=MG=GD 【法2】【中位线法】中位线 FP═0.5AD═0.5AE,BP═0.5BC═0.5AB 角分线 《平几纲目》207 题—10种方法〗 【法 3】【8字≌】AG=KE,角分线 角分线定理】 【法4】 【2倍法】蓝□ 故 D、Q 关于AB 对称,正 灰 学科网（北京）股份有限公司 $$