四川省绵阳市东辰学校2023-2024学年高一上学期入学测试数学试题

数学试卷 （时间：120分钟，总分：150分） 一、选择题（每小题3分，共30分） （温馨提示：每小题选出答案后，把答案填在后面的选择题答题卡里） 1．2007年3月5日，温家宝总理在政府工作报告中讲到，全国财政安排农村义务教育经费1840亿元，全部免除了西部地区和部分中部地区农村义务教育阶段5200万名学生的学杂费，为3730万名贫困家庭学生免费提供教科书，对780万名寄宿学生补助了生活费.在这组数据中，全部免除学杂费的学生人数用科学记数法表示为（ ） A． B． C． D． 2．一名考生步行前往考场，10分钟走了总路程的，估计步行不能准时达，于是他改乘出租车赶往考场，他的行程与时间关系如图所示（假定总路程为1），则他到达考场所花的时间比一直步行提前了（ ） A．20分钟 B．22分钟 C．24分钟 D．26分钟 3．由小到大排列一组数据，，，，，其中每个数据都小于，则对于样本1，，，，，的中位数是（ ） A． B． C． D． 4．已知反比例函数的图象上有两点，，且，则的值是（ ） A．正数 B．负数 C．非正数 D．不能确定 5．一个正方体的表面涂满了颜色，按如图所示将它切成27个大小相等的小立方块，设其中仅有个面涂有颜色的小立方块的个数为，则，，之间的关系为（ ） A． B． C． D． 6．如图，在函数的图象上取点，作轴于，作轴于点，为原点，且矩形的面积为2，则符合条件的点共有（ ）个. A．1 B．2 C．3 D．4 7．如图，有一矩形纸片，，，将纸片向右折叠，使边落在边上，折痕为，再将以为折痕向右折叠，与交于点，则的面积为（ ） A．10 B．8 C．6 D．4 8．已知二次函数的图象如图所示，给出以下结论：①；②；③；④.其中所有正确结论的序号是（ ） A．①②③ B．②③ C．①④ D．③④ 9．世界杯足球赛小组赛，每个小组4个队进行单循环比赛，每场比赛胜队得3分，败队得0分，平局时两队各得1分.小组赛完后，总积分最高的2个队出线进入下轮比赛.如果总积分相同，还有按净胜球数排序.一个队要保证出线，这个队至少要积（ ）分. A．5 B．6 C．7 D．8 10．已知一个三角形的三边长分别为，另一个三角形的三边长分别为，其中.若两个三角形的最小内角相等，则的值等于（ ） A． B． C． D． 选择题答题卡 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案番号 二、填空题（每小题4分，共32分） 11．有五张不通明的卡片为 ，除正面的数不同外，其余都相同，将它们背面朝上洗匀后，从中随机抽出一张卡片，抽到写有无理数卡片的概率为________________. 12．函数的图象如图所示，在同一直角坐标系内，如果将直线沿轴向上平移2个单位后，那么所得直线与函数的图象的交点共有______个. 13．有八个球编号是①至⑧，其中有六个球一样重，另外两个球都轻1克，为了找出这两个轻球，用天平称了三次，结果如下：第一次①②比③④重，第二次⑤⑥比⑦⑧轻，第三次①③⑤和②④⑧一样重.那么，两个轻球的编号是__. 14．如图，在矩形中，，，动点从点出发，以秒的速度向终点移动，动点从点出发以秒的速度向终点移动，则移动到第______秒时，可使的面积最大. 15．如图所示，点为正方形的边上的一点，为边的延长线上一点，且.若正方形的边长为2，且，的面积为，请写出与之间的函数关系式为________________________________________. 16．若关于的分式方程在实数范围内无解，则实数________. 17．平面上两点的距离为（，且为定值），又点到某直线的距离分别为，则这样的直线共有__________条. 18．对自然数，定义新运算，使其满足，.则__. 三、解答题（共88分） 19． （1）（本题满分8分）计算：. （2）（本题满分8分）已知，求的值. 20．（本题满分10分）如图，在中，为边上一点，且， （1）求证：； （2）若平分，，求的度数 21．（本题满分12分）把一个六个面分别标有数字1，2，3，4，5，6有正方体骰子随意掷一次，各个数字所在面朝上的机会均相等. （1）若抛掷一次，则朝上的数字大于4的概率是多少？ （2）若连续抛掷两次，第一次所得的数为，第二次所得的数为.把作为点的横、纵坐标，那么点在函数的图象上的概率又是多少？ 22．（本题满分12分）如图，在平面直角坐标系中，矩形的面积为15，边比大2，为的中点，以为直径的交轴于点，过点作于. （1）求的长； （2）求证：为的切线； （3）小明在解答本题时，发现是等腰三角形.由此，他断定：“直线上一定存在除点以外的点，使也是等腰三角形，且点一定在外”.你同意他的看法吗？请充分说明理由. 23．（本题满分12分）如图，已知为的边上一点，以为顶点的的两边分别交射线于两点，且（为锐角）.当以点为旋转中心，边与重合的位置开始，按逆时针方向旋转（保持不变）时，两点在射线上同时以不同的速度向右平行移动.设，，的面积为.若，. （1）当旋转（即）时，求点移动的距离； （2）求证：； （3）写出与之间的关系式； （4）试写出随变化的函数关系式，并确定的取值范围. 24．（本题满分13分）已知关于的方程① （1）若方程①有实数根，求实数的取值范围？ （2）若、，方程①所对应的函数的图象与线段只有一个交点，求实数的取值范围？ 25．（本题满分13分）已知抛物线. （1）判断抛物线的顶点与直线的位置关系； （2）设该抛物线与轴交于两点，当，且时，求出这条抛物线的解析式； （3）直线交轴于点，（2）中所求抛物线的对称轴与轴交于点.那么在对称轴上是否存在点，使与直线和轴同时相切.若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由. 祝贺你做完了我校高中新生综合素质测试数学试题，请再仔细检查一遍，看看有没有错的、漏的，别留下什么遗憾哦！ 【参考答案】 数学试卷 一、选择题（每小题3分，共30分） 1．B 2．C 3．C 4．D 5．D 6．D 7．B 8．B 9．C 10．A 二、填空题（每小题4分，共32分） 11． 12．2 13．④⑤ 14．4 15． 16．1 17．3 18．16 三、解答题（共88分） 19．（1） 解：原式…………（4分） …………（6分） …………（8分） （2） 解：原式…………（2分） …………（4分） …………（6分） ， 原式 …………（8分） 20．（1） 证明：是平行四边形 ， …………（2分） …………（5分） （2） ， 为等边三角形…………（8分） 由（1）知 …………（10分） 21．（1） 解：依题意可知：随意掷一次正方体骰子，面朝上的数可能出现的结果有1、2、3、4、5、6共6种，而且它们出现的可能性相等.满足数字大于4（记为事件）的有2种.所以…………（4分） （2） 依题意列表分析如下： 第二次 第一次 1 2 3 4 5 6 1 （1 1） （1 2） （1 3） （1 4） （1 5） （1 6） 2 （2 1） （2 2） （2 3） （2 4） （2 5） （2 6） 3 （3 1） （3 2） （3 3） （3 4） （3 5） （3 6） 4 （4 1） （4 2） （4 3） （4 4） （4 5） （4 6） 5 （5 1） （5 2） （5 3） （5 4） （5 5） （5 6） 6 （6 1） （6 2） （6 3） （6 4） （6 5） （6 6） 由表可以看出，可能出现的结果有36种，而且它们出现的可能性相等。所得点（记为事件）的有（1 2）和（2 5）两种情况，所以在函数的图象上的概率为…………（12分） 22．（1） 解：在矩形中，设则，依题意得解得：， （不合题意，舍去）所以，…………（3分） （2） 连接 在矩形中，， ， 所以 所以 所以 在中，因为 所以 所以 所以 因为 所以 又因为点在上，为的半径， 所以为的切线…………（7分） （3） 不同意，理由如下： ①当时，以点为圆心，以为半径画弧交于和两点 过点作于点，，因为 所以，所以 求得点 同理可得：…………（9分） ②当时，同上可求得，…………（11分） 因此，在直线上，除了点外，既存在内的点，又存在内的点、、，它们分别使为等腰三角形…………（12分） 【解析】其他解法，请参照评分建议酌情给分。 23．（1） 解：且为锐角 ，即 初始状态时，为等边三角形…………（1分） 当旋转到时，点移到点 ， …………（2分） 在中， 点移动的距离是2…………（3分） （2） 证明：在和中， ， …………（5分） （3） 解： …………（6分） 过点作，垂足为 在中，， …………（7分） 在中，……（8分） 即：…………（9分） （4） 解：在中，边上的高为， 即： 又 的取值范围为…………（11分） 是的正比例函数且比例系数为 即：…………（12分） 24．（1） 解：若方程为一元一次方程，则，即…………（1分） 若方程为一元一次方程，则 关于的方程有实数根 又，， …………（3分） 解得：…………（4分） 且…………（5分） 综上所述，…………（6分） （2） 设方程①所对应的函数记为 ⅰ当，即时，即为 ，，即此时函数的图象与线段没有交点…………（7分） ⅱ当，即，函数为二次函数，依题意有 ①若方程有两个不等的实根 则 即 当时，，方程为，其根为， 当时，，方程为，其根为 …………（10分） ②若方程有两个相等的实根 则，，方程为，其根为，此时二次函数与线段无交点…………（12分） 综上所述，方程①所对应的函数的图象与线段只有一个交点的实数的取值范围是：…………（13分） 25．（1） 解：由抛物线， 得顶点坐标为，显然满足 抛物线的顶点在直线上.…………（3分） （2） 设，，且. 由，，得. ，. 当时，， 当时，，此方程无解 . . 故取. 则抛物线的解析式为.…………（8分） （3） 抛物线的对称轴为，顶点. 依题意，. 若点在轴的上方，设， 则点到直线的距离为（如图）， 是等腰直角三角形. ，. . 若点在轴的下方，设， 则点到直线的距离为（如图）， 同理可得为等腰直角三角形， ，. . 满足条件的点有两个， 即和.…………（13分） 第 页 学科网（北京）股份有限公司 $$