1.4 充分条件与必要条件课件-2024-2025学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册

1.4 充分条件与必要条件 复习回顾 一般地, 我们把用语言、符号或式子表达的, 可以判断真假的陈述句, 叫做命题. 判断为真 (正确) 的语句叫做真命题; 判断为假 (错误) 的语句叫做假命题; 一般地, 命题都可以写成“若 p，则q ”或者 “如果 p，那么q ”等形式, 其中 p 称为命题的条 件, q 称为命题的结论. (1) 今天天气如何? (2) 走吧! (3) 这里景色多美啊! (4) -2不是整数; (5) 4 > 3; (6) x > 4. 不是（疑问句） 不是（祈使句） 不是（感叹句） 是 （假命题） 是 （真命题） 不是 (不能判断真假) 课堂练习 判断下列语句是不是命题, 并说明理由. 一般地, “若 p, 则 q”为真命题, 是指由 p通过推理可以得出q. 我们就说 p 是 q 的充分条件, q 是 p 的必要条件. 分析下面的命题，你能判断它们的真假吗？ 新课导入 (1) 若x > a2+b2, 则x > 2ab ; 记 p: x >a2+b2, q: x > 2ab . 一般地, “若 p, 则 q”为真命题, 是指由 p通过推理可以得出q. 我们就说 p 是 q 的充分条件, q 是 p 的必要条件. 分析教材P9面例1. 分析下面的命题，你能判断它们的真假吗？ 新课导入 (2) 若 ab = 0, 则 a = 0 ; 记 p: ab = 0, q: a = 0 . 如果 “若 p, 则 q”为假命题, 即由 p推不出q, 记作 此时, 我们就说 p不是 q的充分条件, q不是 p的必要条件. 或者说 p是 q的不充分条件, q是 p的不必要条件. 一般来说, 对给定结论 q , 使得 q 成立的条件 p 是不唯一的. 一般地, 数学中的每一条判定定理都给出了相应数学结论成立的一个充分条件. 一般来说, 对给定条件 p , 由 p 可以推出的结 论 q 是不唯一的. 一般地, 数学中的每一条性质定理都给出了相应数学结论成立的一个必要条件. 例题分析 变式练习1: 下列“若 p, 则q” 形式的命题中, p是 q 的什么条件? (1) 若 x > 5, 则 x > 10; (2)若 x=a,则(x－a)(x－b) = 0. 问什么答什么, 回答问题要全面. 必要不充分条件 充分不必要条件 变式练习2: 上述“若 p, 则q” 形式的命题中, q是 p 的什么条件? 若 p 是 q 的充分不必要条件, 则 q 是 p 的必 要不充分条件, 反之亦然. 将命题“若 p, 则 q” 中条件 p 和结论 q 互换, 就得到一个新的命题“若 q, 则 p”, 称这个命题为 原命题的逆命题. 逆命题 思考: 已知 p: 整数a是6的倍数, q: 整数a是2和3的倍数. 那么 p是q的什么条件? q又是 p的什么条件? 讲授新课 一般地, 数学中的每一条数学定义都是从不同角度刻画了相应概念的一个充要条件. 一般来说, 对于数学中的某一个概念, 给它下 的数学定义是不唯一的. 例题分析 例4 下列题中, p是q的什么条件? 必要不充分条件 充分不必要条件 充要条件 既不充分又不必要条件 充分条件与必要条件的四种结论： (1) 充分不必要条件； (2) 必要不充分条件； (3) 充要条件 (既是充分条件又是必要条件). (4) 既不是充分条件又不必要条件. 讲授新课 充分条件与必要条件的判断步骤: (1) 分清“谁”是“谁”的条件; (2) 既要判断充分性又要判断必要性; (3)结论要完整. 结论: 具有真包含关系的两个集合: “小”范围是“大”范围的充分非必要条件; “大”范围是“小”范围的必要非充分条件. 探究: 结论: 具有包含关系的两个集合: “小”范围是“大”范围的充分条件; “大”范围是“小”范围的必要条件. 探究: 17 18 19 20 例题选讲 例题精选 例题精选 充要条件的证明 证明:ΔABC是等边三角形的充要条件是 a2 + b2 + c2 = ab + bc + ac , 这里 a, b, c 是ΔABC的三边. 分析: 条件 p: a2 + b2 + c2 = ab + bc + ac, 结论 q: ΔABC是等边三角形. 既要证明充分性 ( ); 又要证明必要性 ( ). 自学教材P22面例4. 27 28 29 30 30 31 31 充分条件与必要条件的四种结论: (1) 充分不必要条件; (2) 必要不充分条件; (3) 充要条件 (既是充分条件又是必要条件). (4) 既不是充分条件又不必要条件. 课堂小结 充分条件与必要条件的判断步骤: (1) 分清“谁”是“谁”的条件; (2) 既要判断充分性又要判断必要性; (3) 完整结论. 结论: 具有真包含关系的两个非空集合: “小”范围是“大”范围的充分非必要条件; “大”范围是“小”范围的必要非充分条件. 结论: 具有包含关系的两个非空集合: “小”范围是“大”范围的充分条件; “大”范围是“小”范围的必要条件. 例题精选 例题精选 例1已知p: －2≤x≤10，q: 1－m≤x≤1＋m (m＞0),若p 是q的充分不必要条件, 则实数m的取值范围为_______. 解：因为p是q的充分不必要条件，所以p⇒q且qp. 即{x|－2≤x≤10}是{x|1－m≤x≤1＋m，m>0}的真子集， 所以 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(m>0，,1－m<－2，,1＋m≥10))或eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(1－m≤－2，,m>0，,1＋m>10，))解得m≥9. 所以实数m的取值范围为{m|m≥9}． 解: 因为p是q的必要不充分条件,所以q⇒p,且pq. 则 {x|1－m≤x≤1＋m，m>0} {x|－2≤x≤10}， 所以 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(m>0，,1－m≥－2,1＋m≤10，))，解得0<m≤3. 即m的取值范围是{m|0＜m≤3}． 变式：已知p: －2≤x≤10，q: 1－m≤x≤1＋m (m＞0),若p 是q的必要不充分条件, 则实数m的取值范围为_________. 解: 因为“x∈P”是“x∈Q”的必要条件，所以Q⊆P. 所以 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(a－4≤1，,a＋4≥3，))解得－1 ≤ a ≤ 5， 即a的取值范围是{a|－1 ≤ a ≤ 5}． 变式: 已知p: 实数x满足3a<x<a,其中a<0; q: 实数x满足 －2≤x≤3.若p是q的充分条件, 求实数a的取值范围. 解:　由p：3a<x<a，即集合A＝{x|3a<x<a}． q：－2≤x≤3，即集合B＝{x|－2≤x≤3}． 因为p⇒q，所以A⊆B， 所以eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(3a≥－2，,a≤3，,a<0，))即－eq \f(2,3)≤a<0，所以eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(a\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\co1(－\f(2,3)≤a<0)))). 例3 函数f(x)＝x2＋mx＋1的图象关于直线x＝1对称的 充要条件是____________． 充要条件的证明策略 1要证明一个条件p是否是q的充要条件，需要从充分性和必要性两个方向进行，即证明两个命题“若p，则q”为真且“若q，则p”为真. 2在证明的过程中也可以转化为集合的思想来证明，证明p与q的解集是相同的，证明前必须分清楚充分性和必要性，即搞清楚由哪些条件推证到哪些结论. 提醒：证明时一定要注意，分清充分性与必要性的证明方向. [证明]　①必要性：因为方程ax2＋bx＋c＝0有一正根和一负根，所以 Δ＝b2－4ac＞0，x1x2＝eq \f(c,a)＜0 (x1，x2为方程的两根)，所以ac＜0. ②充分性：由ac＜0可推得Δ＝b2－4ac＞0及x1x2＝eq \f(c,a)＜0 (x1，x2为方程的两根)．所以方程ax2＋bx＋c＝0有两个相异实根，且两根异号，即方程ax2＋bx＋c＝0有一正根和一负根．综上所述，一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有一正根和一负根的充要条件是ac＜0. 练习 试证：一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有一正根和一负根的 充要条件是ac＜0. 充要条件的证明策略 1要证明一个条件p是否是q的充要条件，需要从充分性和必要性两个方向进行，即证明两个命题“若p，则q”为真且“若q，则p”为真. 2在证明的过程中也可以转化为集合的思想来证明，证明p与q的解集是相同的，证明前必须分清楚充分性和必要性，即搞清楚由哪些条件推证到哪些结论. 提醒：证明时一定要注意，分清充分性与必要性的证明方向. 2．求证：关于x的方程ax2＋bx＋c＝0有一个根是1的充要条件是a＋b＋c＝0. [证明]　假设p：方程ax2＋bx＋c＝0有一个根是1， q：a＋b＋c＝0. ①证明p⇒q，即证明必要性． ∵x＝1是方程ax2＋bx＋c＝0的根， ∴a·12＋b·1＋c＝0， 即a＋b＋c＝0. ②证明q⇒p，即证明充分性． 由a＋b＋c＝0，得c＝－a－b. ∵ax2＋bx＋c＝0， ∴ax2＋bx－a－b＝0， 即a(x2－1)＋b(x－1)＝0. 故(x－1)(ax＋a＋b)＝0. ∴x＝1是方程的一个根． 故方程ax2＋bx＋c＝0有一个根是1的充要条件是a＋b＋c＝0. $$