精品解析：重庆市第八中学2023-2024学年九年级上学期数学期末模拟试题

重庆市第八中学2023－2024学年九年级上学期数学期末模拟试卷 一．选择题（共10小题，满分40分，每小题4分） 1. 若反比例函数的图象经过点，则k的值为（ ） A. B. 6 C. D. 3 2. 在中，，，，则的值是（ ） A. B. C. D. 3. 数据用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 4. 如图，将三角尺的直角顶点放在直尺的一边上，，则的度数为（ ） A. 25° B. 26° C. 27° D. 28° 5. 下列调查中，适合采用全面调查（普查）方式的是（ ） A. 对我市中学生观看电影《万里归途》情况的调查 B. 调查某批玫瑰花种子的发芽率 C. 调查嘉陵江的水质情况 D. 调查疫情期间学生的健康码 6. 晚饭后彤彤和妈妈散步到小区旁边的公园，在公园中央的休息区聊了会儿天，然后一起跑步回家，下面能反映肜彤和妈妈离家的距离y与时间x的函数关系的大致图象是（ ） A. B. C. D. 7. 汽车产业的发展，有效促进了我国现代化建设．某汽车销售公司2018年盈利1000万元，2020年盈利1440万元，且从2018年到2020年，每年盈利的年增长率相同．设每年盈利的年增长率为x，则列方程得（　　） A. 1000（1+2x）＝1440 B. 1000（1+x）2＝1440 C. 1000×2×（1+x）＝1440 D. 1000+1000（1+x）+1000（1+x）2＝1440 8. 如图，已知与相切于点A，是的直径，连接交于点D，E为上一点，当时，的度数是（ ） A. B. C. D. 9. 如图，在正方形ABCD中，，E，F分别为边AB，BC的中点，连接AF，DE，点N，M分别为AF，DE的中点，连接MN，则MN的长为（ ） A. B. 1 C. D. 2 10. 关于x的三次三项式（其中a，b，c，d均为常数），关于x的二次三项式（e，f均为非零常数），下列说法中正确的个数有（　　） ①当为关于x的三次三项式时，则； ②当多项式A与B的乘积中不含x⁴项时，则； ③； A 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个 二．填空题（共8小题，满分32分，每小题4分） 11. 若二次根式有意义，则x的取值范围为______． 12. 已知一元二次方程x2–6x–5=0两根为a、b，则的值是__________ 13 若，，则_________． 14. 如图，平面直角坐标系中，一次函数与的图象交于点，则关于，的二元一次方程组的解是________． 15. 如图，边长为2与3的两个正方形并排放在一起，在大正方形中画一个以它的顶点B为圆心，边长为半径的圆弧，则阴影部分的面积是__________（结果保留）． 16. 若实数m使关于x的不等式组有解且至多有2个整数解，且使关于y的方程的解为非负数，则满足条件的所有整数m的和为____． 17. 如图，在边长为的等边△ABC中，点D、点E分别是边BC、AC上的点，且BD＝CE，连接BE、AD，相交于点F．连接CF，则CF的最小值为_________． 18. 如果一个自然数，其中A与B都是两位数，若A各数位上数字之和等于B各数位上的数字之和，且A与B差的绝对值为9，则称数M为“赓续前行数”．把“赓续前行数”M拆分出两个两位数A与B的过程，称为“赓续拆分”．把一个四位“赓续前行数”M进行“赓续拆分”，即（M的各数位上的数字均不为0，且A的十位数字大于个位数字），A与B的和记为，A与B的差记为．令，当为正整数时，则M的最小值是_________． 三．解答题（共8小题，满分78分） 19. 计算： （1）； （2）． 20. 如图，在四边形中，，连接，，且． （1）用直尺和圆规完成以下基本作图：过点作的角平分线交于点，交于点；（保留作图痕迹，不写作法和结论） （2）在（1）所作图形中，若，求证：四边形矩形． （补全证明过程） 证明：∵ ① ， ∴， 在和中， ∴ ∴ ② ， ∵，平分， ∴ ③ ，且 ∴，， 又∵ ∴ ④ ． ∵， ∴平行四边形为矩形． 21. 夏季自然灾害频发，据应急管理部统计，2023年7月以来，各种自然灾害共造成万人受灾．为有效提高学生面对自然灾害时的自救自护能力，该校从七、八年级各选取了20名同学，开展了“防灾减灾”知识竞赛，并对竞赛成绩进行了整理、描述和分析（成绩得分用x表示，其中，，，，得分在90分及以上为优秀）．下面给出了部分信息： 七年级C组同学的分数分别为：94，92，93，91； 八年级C组同学的分数分别为：91，92，93，93，94，94，94，94，94． 七、八年级选取的学生竞赛成绩统计表 年级 平均数 中位数 众数 优秀率 七年级 91 a 95 m 八年级 91 93 b （1）填空：　 　，　 　，　 　； （2）根据以上数据，你认为该校七、八年级学生在“防灾减灾”知识竞赛中，哪个年级学生对“防灾减灾”的了解情况更好？请说明理由；（写出一条理由即可） （3）该校七年级有1050名学生，八年级有1100名学生，估计这两个年级竞赛成绩为优秀的学生总人数． 22. 成都大运会期间，吉祥物“蓉宝”的周边商品的销量不断上升．一家网店的店主统计了前两周的“蓉宝”单肩包的销售情况，发现第一周A型单肩包的销量是100个，B型单肩包销量是120个，总利润是2800元；第二周A型单肩包的销量是180个，B型单肩包的销量是200个，总利润是4800元． （1）请问1个A型单肩包、1个B型单肩包的利润分别是多少元？ （2）店主在第三周调整了价格，A型单肩包每个涨价元，B型单肩包每个降价a元，统计后发现，调整后的这周A、B两种型号单肩包的销量一样，并且A型单肩包的总利润达2400元，B型单肩包的总利润达2600元．求出a的值． 23. 如图1，在平行四边形ABCD中，，，，点E为AD中点，动点P以每秒2个单位长度的速度从点A出发，沿折线方向运动，当动点P返回到A点时停止运动．动点Q以每秒1个单位长度的速度从点C出发，沿方向运动，到达点B时停止运动．P、Q两点同时出发，设运动时间为x秒，的面积为，的面积为． （1）请直接写出、关于x的函数关系式，并注明自变量x的取值范围； （2）如图2，在给定的平面直角坐标系中，画出，的函数图象，并写出函数的一条性质； （3）根据图象直接写出当时，x的取值范围为______． 24. 某旅游景点湖中小岛上码头C处一名游客突发疾病，需要救援，位于湖面B点处的快艇和湖岸A处的救援船接到通知后立刻同时出发前往救援，计划由快艇赶到码头C接该游客，再沿方向行驶，与救援船相遇后将该游客转运到救援船上．已知C在A的北偏东方向上，B在A的北偏东方向上，且B在C的正南方向，湖岸A与码头C相距1200米． （1）求湖岸A与湖面B的距离；（结果用精确值．） （2）救援船的平均速度为150米/分，快艇的平均速度为250米/分，求在接到通知后，快艇需要多长时间能将该游客送上救援船？（接送游客上下船的时间忽略不计，结果精确到十分位，参考数据：，） 25. 在平面直角坐标系中，点为坐标原点，抛物线（是常数）经过点．点的坐标为，点在该抛物线上，横坐标为．其中． （1）求该抛物线对应的函数表达式及顶点坐标； （2）当点在轴上时，求点的坐标； （3）该抛物线与轴的左交点为，当抛物线在点和点之间的部分（包括、两点）的最高点与最低点的纵坐标之差为时，求的值． （4）当点在轴上方时，过点作轴于点，连结、．若四边形的边和抛物线有两个交点（不包括四边形的顶点），设这两个交点分别为点、点，线段的中点为．当以点、、、（或以点、、、）为顶点的四边形的面积是四边形面积的一半时，直接写出所有满足条件的的值． 26. 如图，在锐角中，，点，分别是，上的动点，连接，． （1）如图1，若，且，平分，求的度数． （2）如图2，若，在平面内将线段绕点顺时针方向旋转60度得到线段，连接，过点做，垂足为点，在点运动过程中，猜想线段，，之间存在数量关系，并证明你的猜想． （3）如图3，若点为下方一点，连接，，为等边三角形，将沿直线翻折得到．是线段上一点，将沿直线翻折得到，连接，当线段取得最小值，且时，请求出的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 重庆市第八中学2023－2024学年九年级上学期数学期末模拟试卷 一．选择题（共10小题，满分40分，每小题4分） 1. 若反比例函数的图象经过点，则k的值为（ ） A. B. 6 C. D. 3 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了求反比例函数解析式，直接把点代入反比例函数解析式中进行求解即可． 【详解】解：将代入，得， 解得， 故选A． 2. 在中，，，，则的值是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用勾股定理求出，再直接利用公式求出答案即可． 【详解】解：在中，，，， ∴， ∴， 故选：C． 【点睛】此题考查了求角度的正切值，勾股定理，熟记正切值的计算公式及勾股定理的计算公式是解题的关键． 3. 数据用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据科学记数法的表示方法，进行表示即可． 【详解】解：； 故选B． 【点睛】本题考查科学记数法，熟练掌握科学记数法的表示方法：，是解题的关键． 4. 如图，将三角尺的直角顶点放在直尺的一边上，，则的度数为（ ） A 25° B. 26° C. 27° D. 28° 【答案】A 【解析】 【分析】根据平行线的性质求出，根据三角形的外角的性质计算即可． 【详解】解：， ， ， 故选：A． 【点睛】本题考查的是平行线的性质，三角形的外角的性质，掌握两直线平行，内错角相等是解题的关键． 5. 下列调查中，适合采用全面调查（普查）方式的是（ ） A. 对我市中学生观看电影《万里归途》情况的调查 B. 调查某批玫瑰花种子的发芽率 C. 调查嘉陵江的水质情况 D. 调查疫情期间学生健康码 【答案】D 【解析】 【分析】根据普查得到的调查结果比较准确，但所费人力、物力和时间较多，而抽样调查得到的调查结果比较近似判断即可． 【详解】解：A、对我市中学生观看电影《万里归途》情况的调查，适合抽样调查方式，故本选项不符合题意； B、调查某批玫瑰花种子的发芽率，适合抽样调查方式，故本选项不符合题意； C、调查嘉陵江的水质情况，适合抽样调查方式，故本选项不符合题意； D、调查疫情期间学生的健康码，适合全面调查调查方式，故本选项符合题意； 故选：D 【点睛】本题考查的是抽样调查和全面调查的区别，熟练掌握选择普查还是抽样调查要根据所要考查的对象的特征灵活选用是解题的关键．一般来说，对于具有破坏性的调查、无法进行普查、普查的意义或价值不大，应选择抽样调查，对于精确度要求高的调查，事关重大的调查往往选用普查． 6. 晚饭后彤彤和妈妈散步到小区旁边的公园，在公园中央的休息区聊了会儿天，然后一起跑步回家，下面能反映肜彤和妈妈离家的距离y与时间x的函数关系的大致图象是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据彤彤和妈妈的活动方式及活动轨迹，利用排除法求解． 【详解】解：彤彤和妈妈最后跑步回家，因此最后的y值为0，排除A选项； 彤彤和妈妈在公园中央的休息区聊了会儿天，因此中间有一段时间y值不变，排除D选项； 彤彤和妈妈散步到公园，再从公园跑步回家，因此回家用时较少，排除B选项， 故选C． 【点睛】本题考查函数图象的识别，解题的关键是理解题意，能够利用排除法求解． 7. 汽车产业的发展，有效促进了我国现代化建设．某汽车销售公司2018年盈利1000万元，2020年盈利1440万元，且从2018年到2020年，每年盈利的年增长率相同．设每年盈利的年增长率为x，则列方程得（　　） A 1000（1+2x）＝1440 B. 1000（1+x）2＝1440 C. 1000×2×（1+x）＝1440 D. 1000+1000（1+x）+1000（1+x）2＝1440 【答案】B 【解析】 【分析】根据题中条件：2018年盈利1000万元，2020年盈利1440万元，每年盈利的年增长率相同，列出方程即可． 【详解】解：设每年盈利的年增长率为x， 根据题意得：， 即：， 故选：B． 【点睛】题目主要考查一元二次方程的应用（增长率问题），理解题意，列出方程是解题关键． 8. 如图，已知与相切于点A，是的直径，连接交于点D，E为上一点，当时，的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】连接，根据圆周角定理得到，从而求得，根据与相切得到，结合三角形内角和即可得到答案； 【详解】解：连接， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∵与相切， ∴， ∴， 故选：D． 【点睛】本题考查圆周角定理，切线性质，三角形内角和定理，解题的关键是作出辅助线得到． 9. 如图，在正方形ABCD中，，E，F分别为边AB，BC的中点，连接AF，DE，点N，M分别为AF，DE的中点，连接MN，则MN的长为（ ） A. B. 1 C. D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】连接AM，延长AM交CD于G，连接FG，由正方形ABCD推出AB=CD=BC=2，AB∥CD，∠C=90°，证得△AEM≌GDM，得到AM=MG，AE=DG=AB，根据三角形中位线定理得到MN=FG，由勾股定理求出FG即可得到MN． 【详解】解：连接AM，延长AM交CD于G，连接FG， ∵四边形ABCD是正方形， ∴AB=CD=BC=2，AB∥CD，∠C=90°， ∴∠AEM=∠GDM，∠EAM=∠DGM， ∵M为DE的中点， ∴ME=MD， 在△AEM和GDM中， ， ∴△AEM≌△GDM（AAS）， ∴AM=MG，AE=DG=AB=CD， ∴CG=CD=， ∵点N为AF的中点， ∴MN=FG， ∵F为BC的中点， ∴CF=BC=， ∴FG==2， ∴MN=1， 故选：B． 【点睛】本题主要考查了正方形的性质，全等三角形的性质和判定，勾股定理，三角形的中位线定理，正确作出辅助线且证出AM=MG是解决问题的关键． 10. 关于x的三次三项式（其中a，b，c，d均为常数），关于x的二次三项式（e，f均为非零常数），下列说法中正确的个数有（　　） ①当为关于x的三次三项式时，则； ②当多项式A与B的乘积中不含x⁴项时，则； ③； A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个 【答案】B 【解析】 【分析】根据整式的加减混合运算即可判断①，根据整式的乘法运算即可判断②，将和代入即可判断③． 【详解】解：∵，， ∴， ∵为关于x的三次三项式，且e为非零常数， ∴， 解得：，说法①正确； ， ∵多项式A与B的乘积中不含x⁴项， ∴， 解得，说法②错误； ， 当时，， 当时，， 则，说法③错误． 故选：B． 【点睛】此题考查了整式的加减混合运算，整式的乘法运算，解题的关键是熟练掌握以上运算法则． 二．填空题（共8小题，满分32分，每小题4分） 11. 若二次根式有意义，则x的取值范围为______． 【答案】 【解析】 【分析】二次根式有意义，被开方数为非负数，列不等式求解． 【详解】解：根据二次根式的意义得， 2x－2≥0，解得x≥1． 故答案为：x≥1． 【点睛】本题考查了二次根式有意义的条件，正确理解二次根式的意义是解题的关键． 12. 已知一元二次方程x2–6x–5=0两根为a、b，则的值是__________ 【答案】 【解析】 【分析】由根与系数的关系可得a+b=6，ab=-5，然后将所求式子通分整理后代入进行计算即可得． 【详解】∵一元二次方程x2–6x–5=0两根为a、b， ∴a+b=6，ab=-5， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程根与系数的关系是解题的关键． 13. 若，，则_________． 【答案】16 【解析】 【分析】由第一个等式表示出，由第二个等式表示出，然后代入所求式子，化简后即可求出值． 【详解】解：，， ，， 则． 故答案为：16 ． 【点睛】此题考查了整式的化简求值，根据已知的两等式表示出与是解本题的关键． 14. 如图，平面直角坐标系中，一次函数与的图象交于点，则关于，的二元一次方程组的解是________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一次函数与二元一次方程（组：方程组的解就是使方程组中两个方程同时成立的一对未知数的值，而这一对未知数的值也同时满足两个相应的一次函数式，因此方程组的解就是两个相应的一次函数图象的交点坐标．利用方程组的解就是两个相应的一次函数图象的交点坐标进行判断． 【详解】解：一次函数与的图象交于点， 则关于，的二元一次方程组的解是， 故答案为：， 15. 如图，边长为2与3的两个正方形并排放在一起，在大正方形中画一个以它的顶点B为圆心，边长为半径的圆弧，则阴影部分的面积是__________（结果保留）． 【答案】 【解析】 【分析】如图，根据图形有，然后根据扇形、梯形和三角形的面积公式进行计算即可． 【详解】如图，正方形BEFG的边长是2，正方形ABCD的边长是3， , 根据题意， ， ， ， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了扇形的面积公式，也考查了梯形和三角形的面积公式以及不规则几何图形面积的求法． 16. 若实数m使关于x的不等式组有解且至多有2个整数解，且使关于y的方程的解为非负数，则满足条件的所有整数m的和为____． 【答案】15 【解析】 【分析】根据不等式组求出的范围，然后再根据方程求出的范围，从而确定的的可能值，再求和． 【详解】解：， 解不等式①得：， 解不等式②得：， 不等式组有解且至多有2个整数解， ， ， 解方程，得：， 方程的解为非负数， ， 解得：， ∴， 或5或6， 满足条件的所有整数的和为． 故答案为：15． 【点睛】本题考查了一元一次方程的解，一元一次不等式组的整数解，准确熟练地解一元一次方程和一元一次不等式组是解题的关键． 17. 如图，在边长为的等边△ABC中，点D、点E分别是边BC、AC上的点，且BD＝CE，连接BE、AD，相交于点F．连接CF，则CF的最小值为_________． 【答案】6 【解析】 【分析】首先证明∠AFB＝120°，推出点F的运动轨迹是O为圆心，OA为半径的弧上运动（∠AOB＝120°，OA＝6），设OC交⊙O于N，当点F与N重合时，CF的值最小． 【详解】解：如图，∵△ABC是等边三角形， ∴AB＝BC＝AC，∠ABC＝∠BAC＝∠BCE＝60°， ∵BD＝CE， 在△ABD和△BCE中， ， ∴△ABD≌△BCE（SAS）， ∴∠BAD＝∠CBE， 又∵∠AFE＝∠BAD＋∠ABE， ∴∠AFE＝∠CBE＋∠ABE＝∠ABC， ∴∠AFE＝60°， ∴∠AFB＝120°， ∴点F的运动轨迹是O为圆心，OA为半径的弧上运动，此时∠AHB＝180°-120°=60°，∠AOB=2∠AHB=120°， ∵AB=，OA=OB， ∴OA＝AB ÷=÷=6， ∵OA=OB，AC=BC，OC=OC， ∴， ∴∠AOC=∠AOB=60°，∠ACO=∠ACB=30°， ∴∠CAO=90°， ∴OC＝2OA＝12， 设OC交⊙O于N，当点F与N重合时，CF的值最小，最小值＝OC−ON＝12−6＝6． 故答案为6． 【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质、等边三角形的性质、圆的有关知识等知识，解题的关键是学会添加辅助圆解决问题，属于中考填空题中的压轴题． 18. 如果一个自然数，其中A与B都是两位数，若A各数位上的数字之和等于B各数位上的数字之和，且A与B差的绝对值为9，则称数M为“赓续前行数”．把“赓续前行数”M拆分出两个两位数A与B的过程，称为“赓续拆分”．把一个四位“赓续前行数”M进行“赓续拆分”，即（M的各数位上的数字均不为0，且A的十位数字大于个位数字），A与B的和记为，A与B的差记为．令，当为正整数时，则M的最小值是_________． 【答案】5445 【解析】 【分析】本题考查了新定义，整式的加减，得出及A是9的正整数倍是关键．设A的十位上的数字为a，个位上的数字为b，B的十位上的数字为c，个位上的数字为d，用a、b、c、d分别表示A、B、M、、、，利用A各数位上的数字之和等于B各数位上的数字之和，且A与B差的绝对值为9找出a、b、c、d的关系，结合为正整数，求出A，进而求出B和M． 【详解】解：设A的十位上的数字为a，个位上的数字为b，B的十位上的数字为c，个位上的数字为d，则，，，， ∵，为正整数，， ∴，即， ∵A各数位上的数字之和等于B各数位上的数字之和， ∴， 由①②，得， 结合②③，得， ∴， ∵为正整数， ∴A是9的正整数倍， ∵M的各数位上的数字均不为0，且A的十位数字大于个位数字， ∴、63、72、81． 当即时，， ∴， 同理可得，，． ∴、6354、7263、8172． ∴M的最小值是5445． 故答案为：5445． 三．解答题（共8小题，满分78分） 19. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据平方差公式、单项式乘多项式法则即可求出答案 （2）根据分式的加减运算以及乘除运算法则即可求出答案 【小问1详解】 【小问2详解】 【点睛】本题考查分式的混合运算，解题的关键是熟练运用分式的加减运算以及乘除运算法则 20. 如图，在四边形中，，连接，，且． （1）用直尺和圆规完成以下基本作图：过点作的角平分线交于点，交于点；（保留作图痕迹，不写作法和结论） （2）在（1）所作图形中，若，求证：四边形为矩形． （补全证明过程） 证明：∵ ① ， ∴， 在和中， ∴ ∴ ② ， ∵，平分， ∴ ③ ，且 ∴，， 又∵ ∴ ④ ． ∵， ∴平行四边形为矩形． 【答案】（1）见解析 （2）；；；四边形为平行四边形 【解析】 【分析】（1）根据角平分线的作法作出的角平分线即可； （2）根据“”证明得，再根据等腰三角形的性质得，且，从而可证明四边形为平行四边形以及平行四边形为矩形 【小问1详解】 如图，即为所作， 【小问2详解】 证明：∵ ， ∴， 在和中， ∴ ∴ ， ∵，平分， ∴ ，且 ∴，， 又∵ ∴ 四边形为平行四边形 ． ∵， ∴平行四边形为矩形． 【点睛】本题主要考查了基本作图，平行四边形的判定以及矩形的判定，熟练掌握相关定理是解答本题的关键． 21. 夏季自然灾害频发，据应急管理部统计，2023年7月以来，各种自然灾害共造成万人受灾．为有效提高学生面对自然灾害时的自救自护能力，该校从七、八年级各选取了20名同学，开展了“防灾减灾”知识竞赛，并对竞赛成绩进行了整理、描述和分析（成绩得分用x表示，其中，，，，得分在90分及以上为优秀）．下面给出了部分信息： 七年级C组同学的分数分别为：94，92，93，91； 八年级C组同学的分数分别为：91，92，93，93，94，94，94，94，94． 七、八年级选取的学生竞赛成绩统计表 年级 平均数 中位数 众数 优秀率 七年级 91 a 95 m 八年级 91 93 b （1）填空：　 　，　 　，　 　； （2）根据以上数据，你认为该校七、八年级学生在“防灾减灾”知识竞赛中，哪个年级学生对“防灾减灾”的了解情况更好？请说明理由；（写出一条理由即可） （3）该校七年级有1050名学生，八年级有1100名学生，估计这两个年级竞赛成绩为优秀的学生总人数． 【答案】（1）；94； （2）由于八年级竞赛成绩的中位数大于七年级竞赛成绩的中位数，所以八年级对“防灾减灾”的了解情况更好（答案不唯一） （3）两个年级竞赛成绩为优秀的学生总人数为人 【解析】 【分析】（1）根据众数，中位数的概念，求得，利用七年级两类的人数和除以总人数求得，即可解答； （2）根据平均数，中位数，优秀率，进行评价即可； （3）根据优秀率的定义，进行计算即可解答． 【小问1详解】 解：七年级学生的竞赛成绩从小到大排列第10和11个数为92和93， ， 八年级中组人数为，组人数为，组人数为，组中得分为的人数为5， ， 七年级学生的优秀率为， 故答案为：；94；； 【小问2详解】 解：由于八年级竞赛成绩的中位数为93为大于七年级竞赛成绩的中位数， 八年级对“防灾减灾”的了解情况更好； 【小问3详解】 解：（人）， 答：两个年级竞赛成绩为优秀的学生总人数为人． 【点睛】本题考查了中位数众数，用样本估计容量，掌握中位数和众数的定义，用样本去估计总量的方法是解题的关键． 22. 成都大运会期间，吉祥物“蓉宝”的周边商品的销量不断上升．一家网店的店主统计了前两周的“蓉宝”单肩包的销售情况，发现第一周A型单肩包的销量是100个，B型单肩包销量是120个，总利润是2800元；第二周A型单肩包的销量是180个，B型单肩包的销量是200个，总利润是4800元． （1）请问1个A型单肩包、1个B型单肩包的利润分别是多少元？ （2）店主在第三周调整了价格，A型单肩包每个涨价元，B型单肩包每个降价a元，统计后发现，调整后的这周A、B两种型号单肩包的销量一样，并且A型单肩包的总利润达2400元，B型单肩包的总利润达2600元．求出a的值． 【答案】（1）1个A型单肩包的利润是10元，1个B型单肩包的利润是15元 （2） 【解析】 【分析】（1）设1个A型单肩包的利润是元，1个B型单肩包的利润是元，根据题中第一周和第二周的销量情况和总利润，列二元一次方程即可解答； （2）根据两种单肩包的销量一样，列分式方程，即可解答． 【小问1详解】 解：设1个A型单肩包的利润是元，1个B型单肩包的利润是元， 由题意可得， 解得， 1个A型单肩包的利润是10元，1个B型单肩包的利润是15元； 【小问2详解】 解：根据题意可得：， 解得， 经检验，是原方程的解，且符合题意， ． 【点睛】本题考查了二元一次方程的应用，分式方程的应用，解题的关键是找准等量关系列方程． 23. 如图1，在平行四边形ABCD中，，，，点E为AD中点，动点P以每秒2个单位长度的速度从点A出发，沿折线方向运动，当动点P返回到A点时停止运动．动点Q以每秒1个单位长度的速度从点C出发，沿方向运动，到达点B时停止运动．P、Q两点同时出发，设运动时间为x秒，的面积为，的面积为． （1）请直接写出、关于x的函数关系式，并注明自变量x的取值范围； （2）如图2，在给定的平面直角坐标系中，画出，的函数图象，并写出函数的一条性质； （3）根据图象直接写出当时，x的取值范围为______． 【答案】（1）， （2）见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）过点作交于点，过点作交延长线于点， 点P分两种情况：点P从运动和点P从运动，分别确定三角形的底和高求解即可；点Q从运动，直接确定三角形的底和高求解即可； （2），都是一次函数，只需描两个点即可画出图象，再观察的图象，可以从增减性写出函数的一条性质； （3）先联立函数表达式建立方程组，确定交点的横坐标，再利用确定在上面的范围即可． 【小问1详解】 解：如图，过点作交于点，过点作交延长线于点， 点E为中点，，， ，， 是平行四边形， ，，， ， 当点P从运动时，， 此时，，， ； 当点P从运动时，， 此时，， ； ∴； 当点Q从运动时，， 此时，， ， ∴； 【小问2详解】 解：函数图象如图 ①函数图象是轴对称图形，它的对称轴为直线； ②当时，随x的增大而增大，当时，随x的增大而减小； ③函数在自变量取值范围内，有最大值，当时函数取最大值4，无最小值（任意写出一条性质即可）； 【小问3详解】 解：， 解得：， 由（2）中函数图象知： 当时， x的取值范围为：， 故答案为：． 【点睛】本题考查了动点的函数，包括求函数的解析式，画函数图象，根据图象写函数的性质，比较函数值的大小，正确求出函数解析式并画出图象是解题的关键． 24. 某旅游景点湖中小岛上码头C处一名游客突发疾病，需要救援，位于湖面B点处的快艇和湖岸A处的救援船接到通知后立刻同时出发前往救援，计划由快艇赶到码头C接该游客，再沿方向行驶，与救援船相遇后将该游客转运到救援船上．已知C在A的北偏东方向上，B在A的北偏东方向上，且B在C的正南方向，湖岸A与码头C相距1200米． （1）求湖岸A与湖面B的距离；（结果用精确值．） （2）救援船的平均速度为150米/分，快艇的平均速度为250米/分，求在接到通知后，快艇需要多长时间能将该游客送上救援船？（接送游客上下船的时间忽略不计，结果精确到十分位，参考数据：，） 【答案】（1）湖岸A与湖面B的距离为米 （2）快艇需要4.7分能将该游客送上救援船 【解析】 【分析】（1）延长到点D，使于D，设，则，，，即可求出，根据，即可求出湖岸A与湖面B的距离； （2）先求出,设快艇将游客送上救援船时间为t分钟，根据等量关系式：救援船行驶的路程+快艇行驶的路程，列出方程，求出时间t即可求解． 【小问1详解】 延长到点D，使于D，如图， 由题意得， ∴ 在中，设， ∵, ∴ ∴， ∵ ∴，解得，， ∴， 所以，湖岸A与湖面B的距离为米； 【小问2详解】 由（1）得， ∴ ∴， 设快艇将游客送上救援船时间为t分钟，根据题意得， ， 解得，（分）， 答：快艇需要4.7分能将该游客送上救援船 【点睛】本题主要考查了解直角三角形及其应用，一元一次方程应用中的行程问题、含30°角的直角三角形的三边关系等知识点，找到等量关系式，构建直角三角形是解答本题的关键． 25. 在平面直角坐标系中，点为坐标原点，抛物线（是常数）经过点．点的坐标为，点在该抛物线上，横坐标为．其中． （1）求该抛物线对应的函数表达式及顶点坐标； （2）当点在轴上时，求点的坐标； （3）该抛物线与轴的左交点为，当抛物线在点和点之间的部分（包括、两点）的最高点与最低点的纵坐标之差为时，求的值． （4）当点在轴上方时，过点作轴于点，连结、．若四边形的边和抛物线有两个交点（不包括四边形的顶点），设这两个交点分别为点、点，线段的中点为．当以点、、、（或以点、、、）为顶点的四边形的面积是四边形面积的一半时，直接写出所有满足条件的的值． 【答案】（1）；顶点坐标为 （2） （3）或 （4）或或 【解析】 【分析】（1）将点代入抛物线解析式，待定系数法即可求解； （2）当时，，求得抛物线与轴交点坐标，根据抛物线上的点在轴上时，横坐标为．其中，得出，即可求解； （3）①如图所示，当，即时，②当，即时，分别画出图形，根据最高点与最低点的纵坐标之差为，建立方程，解方程即可求解； （4）根据在轴的上方，得出，根据题意分三种情况讨论①当是的中点，②同理当为的中点时，③，根据题意分别得出方程，解方程即可求解． 【小问1详解】 解：将点代入抛物线，得， 解得： ∴抛物线解析式为； ∵， ∴顶点坐标为， 【小问2详解】 解：由， 当时，， 解得：， ∵抛物线上的点在轴上时，横坐标为．其中． ∴ ∴ 解得：， ∵点的坐标为， ∴； 【小问3详解】 ①如图所示，当，即时， 抛物线在点和点之间的部分（包括、两点）的最高点为顶点，最低点为点， ∵顶点坐标为， 则纵坐标之差为 依题意， 解得：； ②当，即时， ∵，即， 依题意，， 解得：或（舍去）， 综上所述，或； 【小问4详解】 解：如图所示， ∵在轴的上方， ∴ ∴ ∵以点、、、为顶点的四边形的面积是四边形面积的一半，线段的中点为 ∴ ∵, ①当是的中点，如图所示 则， ∴代入， 即， 解得：（舍去）或； ②同理当为的中点时，如图所示，，，则点、、、为顶点的四边形的面积是四边形面积的一半， ∴， 解得：， ③如图所示， 设，则， ∵以点、、、为顶点的四边形的面积是四边形面积的一半，线段的中点为 ∴ 即 ∴， ∴， ∴， ∵关于对称， ∴， 解得：， 综上所述，或或． 【点睛】本题考查了二次函数综合运用，二次函数的性质，面积问题，根据题意画出图形，分类讨论，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． 26. 如图，在锐角中，，点，分别是，上的动点，连接，． （1）如图1，若，且，平分，求的度数． （2）如图2，若，在平面内将线段绕点顺时针方向旋转60度得到线段，连接，过点做，垂足为点，在点运动过程中，猜想线段，，之间存在的数量关系，并证明你的猜想． （3）如图3，若点为下方一点，连接，，为等边三角形，将沿直线翻折得到．是线段上一点，将沿直线翻折得到，连接，当线段取得最小值，且时，请求出的值． 【答案】（1） （2），证明见解析 （3）． 【解析】 【分析】（1）在上截取，连接，可证得，从而，，进而得出，进一步得出结果； （2）连接，在上截取，根据得出点、、、共圆，从而，，进而得出，从而，，进而得出是等边三角形，进一步得出结果； （3）在的上方作等边三角形，作的外接圆，连接并延长，交于点，当点运动到点时，最大，作于点，连接，作于，可推出、、共线，设，则，可得出，构造，，在上，，，则，进而推出，设，，解三角形，表示出，进一步得出结果． 【小问1详解】 解：如图1， 在上截取，连接， 平分， ， ， ， ，， ， ， ， ， ； 【小问2详解】 解：，理由如下： 如图2，连接，在上截取， ，， 是等边三角形， ，， ， ， 点、、、共圆， ，， ， ，， 是等边三角形， ， ， ； 【小问3详解】 解：如图3， 在上方作等边三角形，作的外接圆，连接并延长，交于点，当点运动到点时，最大， 作于点，连接，作于， ， 是等边三角形， ， 、、共线， 设，则， ， ， ， ， 如图4， 在中，，在上，，， 则， 不妨设，， ， ， ， ， ， 设，， ， ， ， 由得， ， ， ，， ， ． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，确定圆的条件，解直角三角形等知识，解决问题的关键是作辅助线，构造全等三角形． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$