1.3集合的基本运算教学设计-2024-2025学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册

1.1.3 集合的基本运算 【教材分析】 集合的基本运算作为数学运算的新内容、新形式，是学生进入高中学习的第一种运算，无论是在知识上，还是在方法上，不仅对后面的学习有直接的影响，而且也是对前面所学的知识的巩固；不仅体现了数学运算素养，也蕴含着逻辑推理的基本成分，既是学生既往逻辑思维的抽象表达，也是学生进一步学习逻辑思维的基础和前提. 知识:元素与集合的关系是研究集合的“并”运算和“交”运算的基础，当我们研究两个集合的运算的时候，其实质依然是回归到了元素与集合的关系.因此，集合的并集和交集也都是从元素与集合之间的关系来定义的.明确这一点，将有助于学生理解并集与交集的含义及其符号表示. 【学情分析】 集合的运算是学生进入高中学习的第一种运算，较初中学习的数式的运算更抽象，元素与集合的关系是其研究的基础.由于之前学生已学习了集合的概念和基本关系，同时学生已有类比实数大小关系研究集合间的关系的体验，在此类比实数加法运算研究集合的“并”运算，学生在心理上会觉得比较自然，不会感到困难.但是，由于符号语言的简约、精炼和抽象，学生在把抽象出来的并集和交集概念的自然语言表述转化为符号语言时会有困难. 【教学内容】 交集、并集及其相关运算 【教学目标与核心素养】 教学目标： 1．理解两个集合的并集与交集的含义． 2．会求两个简单集合的交集与并集． 3．能使用图表达集合的运算，体会直观图示对理解抽象概念的作用． 4．感受数形结合的思想，体会类比的作用． 核心素养： 1.数学抽象：并集、交集含义的理解； 2.逻辑推理：并集、交集的性质的推导； 3.数学运算：求 两个集合的并集、交集，已知并集、交集的性质求参数（参数的范围）； 4.数据分析：通过并集、交集的性质列不等式组，此过程中重点关注端点是否含“=”及； 5.数学建模：用集合思想对实际生活中的对象进行判断与归类. 【教学重点与难点】 教学重点：集合交集、并集的运算以及三种语言表达方式. 教学难点：用符号语言表示两个集合的并集和交集,并集概念中的关键词. 【教学过程】 1、 问题导入，引入新知 问题引入：学校高一年级准备成立一个科学兴趣小组，招募成员时要求： （1）中考的物理成绩不低于80分； （2）中考的数学成绩不低于80分. 如果满足条件（1）的同学组成的集合记作P，满足条件（2）的同学组成的集合记作M，而能成为科学兴趣小组的成员的同学组成的集合记为S，那么这三个集合间有什么联系呢? 答：集合S中的元素既属于集合P，又属于集合M. 思考 问1：集合和元素之间有什么关系？ 问2：集合和集合之间是否也有关系？ 2、 讲授新课，探究新知 实例分析1： （1）设集合A={x|x是6的因数}，B=｛x|x是8的因数｝，C=｛x|x是6和8的公因数｝，则集合C是由集合A和集合B的所有公共元素组成的. （2）设集合D=｛x|-1≤x≤2｝,E={x|x≥0},F={x|0≤x≤2},则集合F是集合D与集合E的所有共同元素组成的. 问：感受集合和集合之间有什么关系？ 探究一：交集 概念：一般地，由既属于集合A又属于集合B的所有元素组成的集合，叫做集合A与集合B的交集，记作A∩B，作“A交B”，即。 性质： (1) A∩B=B∩A，两个集合的交集满足交换律 (2) A∩B⊆A，A∩B⊆B，两个集合的交集是其中任一集合的子集 (3) A∩A=A，一个集合和它本身的交集是其本身 (4) A∩∅=∅，一个集合和空集的交集是空集 (5) 若AB，则A∩B=A，一个集合与其子集的交集是其子集 注意：A∩B是一个集合，由集合A和集合B的公共元素组成的；A∩B=∅是指集合A和集合B没有公共元素，不能说明没有交集； 问1：A∩B=A，则A和B有什么关系？ 例1 求下列每一组中两个集合的交集： （1） A=｛x|x是不大于10的正奇数｝，B=｛x|x是12的正因数｝； （2） C=｛x|x是等腰三角形｝，D={x是直角三角形} 练习： (1)已知集合A=｛x|x>1｝,B={0,1,2},则A∩B=( ) A. {0} B.{2} C.{1,2} D.{0,1,2} (2) 设集合A=｛x|-1≤x≤2｝,B=｛x|0≤x≤4｝,则A∩B=（ ） A. {x|0≤x≤2} B.{x|1≤x≤2} C.{x|0≤x≤4} D.{x|1≤x≤4} 求集合交集的方法：对于有限集合，逐个挑出两个集合公共元素；对于连续的实数集合，一般借助数轴，两个集合的交集等于两个集合在数轴上的相应图形所覆盖的公共范围，要注意端点值的取舍. 实例分析2： (1) 设集合A=｛x|x-2=0｝,B=｛x|x+2=0｝,C=｛x|(x+2)(x-2)=0｝,则集合C是由所有属于A或属于B的元素组成的. (2) 设集合D=｛x|-1≤x≤2｝，E=｛x|x>0｝，F=｛x|x≥-1｝,则集合F是由所有属于集合D或集合E的元素组成的. 问：感受集合和集合之间有什么关系？ 探究二：并集 概念：一般地，由所有属于集合A或属于集合B的元素组成的集合，叫作集合A与B的并集，记住A∪B，读作“A并B”，即A∪B={x|x∈A或x∈B}. 性质： (1) A∪B=B∪A，两个集合的并集满足交换律 (2) A∪A=A，任何集合与其本身的并集等于集合本身 (3) A∪∅=∅∪A，任何集合和空集的并集等于集合本身 (4) A⊆（A∪B），B⊆（A∪B），任何集合都是该集合与另一集合的并集的子集 (5) 若A⊆B，则A∪B=B，反之成立.任何集合和其子集的并集等于集合本身 注：A∪B仍是一个集合；并集符号语言中的“或”包含三种情况：①x∈A且x∉B；②x∈A且x∈B；③x∉A且x∈B；对概念中“所有”的理解，要注意集合元素的互异性． 练习： (1) 已知集合A=｛1，6｝，B=｛5，6，8｝，则A∪B=( ) A.｛1,6,5,6,8｝ B.｛1,5,6,8｝ C.｛0,2,3,4,5｝ D.｛1,2,3,4,5｝ (2)已知集合A=｛x|2≤x<4｝，B=｛x|3x-7≥8-2x｝,则A∪B=（ ） A. ｛x|3≤x<4｝ B.｛x|x≥2｝ C.｛x|2≤x<4｝ D.｛x|2≤x≤3｝ 例2 已知集合A={x|-1≤x<2},B={x|0≤x≤3},求A∩B,A∪B. 解：在数轴上表示出集合A,B,则 A∩B={x|-1≤x<2}∩{x|0≤x≤3}={x|0≤x<2}； A∪B={x|-1≤x<2}∩{x|0≤x≤3}={x|-1≤x≤3}. 求集合并集的方法： 定义法，若集合用列举法表示，可直接利用并集定义求解；数形结合法，若集合利用描述法表示，可借助数轴分析法求解. 思考交流 思考下列等式是否成立，试着利用Venn图解释. (1) (A∩B)∩C=A∩(B∩C) (2)(A∪B)∪C=A∪(B∪C) (3)A∩(B∪C)=(A∪B)∩(A∪C) (4)A∪(B∩C)=(A∩B)∪(A∩C) 三、当堂练习，巩固新知 题型一：交集及其运算 1.设集合A＝{x|0＜x＜10}，B＝{x|x＞3}，则A∪B＝（　　） A．（0，+∞） B．（3，10） C．（﹣∞，+∞） D．（3，+∞） 题型二：交集及其运算 2.已知集合A＝{x|2＜x≤4，x∈R}，B＝{x|2≤x＜4，x∈Z}，则A∩B＝（　　） A．[2，4） B．（2，4） C．{2，3} D．{3} 题型三：利用并(交)集的性质求参数的值或范围 3.已知集合A={-1,1}，B={x|ax=1}，若A∩B=B，则a的取值集合为（  ） A．{1} B．{-1} C．{-1,1} D．{-1,0,1} 四、当堂练习，巩固新知 1．交集： Venn图： 交集性质： (1)A∩B=B∩A； (2)A∩B⊆A，A∩B⊆B； (3)A∩A=A； (4)A∩∅=∅； (5)若AB，则A∩B=A 2. 并集：A∪B={x|x∈A或x∈B} Venn图： 并集的性质： (1)A∪B=B∪A; (2)A∪A=A; (3)A∪∅=∅∪A; (4)A⊆（A∪B），B⊆（A∪B）; (5)若A⊆B，则A∪B=B; 五、布置作业 课本习题 同步练习 学科网（北京）股份有限公司 $$