第一章 丰富的图形世界 基础考点讲义 2024--2025学年北师大版七年级数学上册

七上第一章1.1立体图形基本考点题型 七上第一章生活中的立体图形基础考点题型 考点1：立体图形分类 圆柱 圆锥 正方体 长方体 棱柱 球 三棱锥 立体图形是由一个或几个面围成的，面有平面和曲面之分。 1， 按形状通常分为三类：柱体、锥体、球体 二，按围成几何体的面的类型（曲面、平面）分类： 1， 含有曲面的几何体：圆柱、圆锥、球等。 2， 都是平面的几何体：棱柱、棱锥等。 三，按有无顶点分类： 1， 有顶点：圆锥、棱锥、棱柱等。 2， 无顶点：圆柱、球等。 考点2：棱柱的有关概念及特征 1， 概念：相邻两个面的交线叫做棱。相邻两个侧面的交线叫做侧棱。 2， 棱柱根据底面图形的形状分为三棱柱、四棱柱、五棱柱、六棱柱……； 3， 棱锥按底面形状分为三棱锥、四棱锥、五棱锥、六棱锥…… 4，棱柱所有侧棱长都相等。上下底面的形状相同。侧面的形状都是平行四边形。 5，棱柱可分为直棱柱和斜棱柱，直棱柱的侧面是长方形。本书只讨论直棱柱（简称棱柱）。 考点3：棱柱的顶点、面数、棱数关系： 几何体 面 顶点 棱 侧棱 侧面 三棱柱 5 6 6 3 3 四棱柱 6 8 12 4 4 五棱柱 7 10 15 5 5 n棱柱 n+2 2n 3n n n n棱锥 n+1 n+1 2n n n 考点4：点线面体, 1， 图形是由点、线、面构成的。其中，面有平面也有曲面。线有直线也有曲线。 2， 面与面相交得到线，线与线相交得到点，因此说任何几何图形都是由无数个点构成的。 3， 点动成线，线动成面，面动成体。 4， 直角三角形绕它的一条直角边旋转一周，得到一个圆锥体；长方形绕它的一条边旋转一周，得到一个圆柱体；圆绕它的一条直径旋转一周，得到一个球体． 5， 旋转轴或旋转角度不同，所得到的几何体也不一定相同。如以直角三角形的一条边为轴旋转而成的几何体有两种可能：两条不同的直角边各自旋转形成两个底面半径不同的圆锥体。 考点5：正方体切割 如果用一个平面切掉正方的一个角，剩下的几何体如图所示： 考点6：正方体展开图 正方体有11种展开图，分为四类： 第一类，“141型”：中间四连方，两侧各有一个，共6种，如下图： 第二类，“132型”：中间三连方，两侧各有一、二个，共3种，如下图： 第三类，“222型”：中间二连方，两侧各有二个，只有1种，如下图： 第四类，“33型”：两排各有3个，也只有1种，如下图： 注意：一旦出现“7”、“凹”、“田”字型，一定不是正方体展开图． 考点7：常见几何体展开图 名称 表面展开图 底面形状 侧面形状 正方体 （共11种，见后续） 正方形 正方形 长方体 长方形 长方形 三棱柱 三角形 长方形 五棱柱六棱柱 多边形 长方形 六棱柱 六边形 长方形 三棱锥 三角形 三角形 四棱锥 四边形 三角形 五棱锥 五边形 三角形 圆柱 圆 曲面 圆锥 圆 曲面 考点8：常见几何体截面 几何体 截面形状 正方体 三角形、等腰三角形、等边三角形、正方形、长方形、平行四边形、梯形、菱形、五边形、六边形 圆 柱 圆、长方形、正方形、椭圆、不规则图形 圆 锥 圆、等腰三角形、椭圆、拱形（不规则图形） 三棱锥 三角形、正方形、长方形、梯形 球 圆 1、用一个平面去截正方体，可能出现下面几种情况： 三角形 正方形 长方形 梯形 五边形 六边形 平行四边形 2，用一个平面去截一个几何体，因为面与面相交产生线（边），所以，截面与该几何体的几个面相交，就能得几边形。所以截面的边数不能超过几何体面数。如几何体有n个面，则截面形状的边数为3≤m≤n。 3，正方体只有六个面，所以截面最多有六条边，即截面边数最多的图形是六边形．不可能出现直角三角形，钝角三角形，直角梯形、正五边形、正七边形等。 4，用平面去截圆柱体，可以得到圆、椭圆、长方形或正方形，由于圆柱侧面为曲面，当平面与侧面相交时得到是曲线，因此无法截出三角形或梯形． 8.用平面截球，无论角度如何，截面形状都是圆，大小可能不同 5.总结规律： 截面是圆的几何体：圆柱、圆锥、球等 截面是三角形的几何体：正方体、长方体、棱柱、圆锥等。 截面是长方形的几何体：圆柱、棱柱、正方体、长方体等 考点9，常见几何体三视图 1，从正面看到的是物体的长和高，从上面看到的是物体的长和宽，从左面看到的是物体的高和宽．在画图时，看得见部分的轮廓线要画成实线，看不见部分的轮廓线要画成虚线． 2，通常我们把从正面得到的视图叫做主视图，从左面得到的视图叫做左视图，从上面得到的视图叫做俯视图． 同 步 练 习 【题型一：立体图形的特点与分类】 【例1】3.下面四个立体图形中，和其他三个立体图形不同类的是(    ) A. B. C. D. 【例2】下列图形属于棱柱的有(    ) A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 【例3】如图，下图中是圆柱体的有_____ ___，是棱柱体的有_________．（只填图的标号） 【例4】下列图形属于棱柱的有(    ) A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 【例5】如图所示为8个立体图形．  其中，是柱体的序号为 ；是锥体的序号为  ；是球的序号为 ．  【例6】 如图，下图中是圆柱体的有________，是棱柱体的有_________．（只填图的标号） 【例7】按组成面的平或曲划分，与圆锥为同一类几何体的是（ ） A．正方体 B．长方体 C．圆柱 D．棱柱 【例8】在一个不透明的布袋中，装有一个简单几何体模型，甲乙两人在摸后各说出了它的一个特征，甲：它有曲面；乙：它有顶点。该几何体模型可能是（ ） A．球 B．三棱锥 C．圆锥 D．圆柱 【例9】不透明袋子中装有一个几何体模型，两位同学摸该模型并描述它的特征，甲同学：它有4个面是三角形；乙同学：它有6条棱，则该模型对应的立体图形可能是（　　） A．四棱柱 B．三棱柱 C．四棱锥 D．三棱锥 【例10】下列判断正确的有（ ） （1） 正方体是棱柱，长方体不是棱柱；（2）正方体是棱柱，长方体也是棱柱；（3）正方体是柱体，圆柱也是柱体；（4）正方体不是柱体，圆柱是柱体．A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【例11】18．直棱柱的侧面都是（　　）A．正方形 B．长方形 C．五边形 D．以上都不对 【例12】下列说法中错误的是（ ） A．棱柱有两个互相平行，形状相同，大小相等的面 B．棱锥除一个面外，其余各面都是三角形 C． 圆柱的侧面可能是长方形 D．正方体是四棱柱，也是六面体 【题型二：棱柱的顶点、面数、棱数】 【例1】如果一个物体有七个顶点七个面，那么这个物体一定是（ ） A.五棱锥 B.五棱柱 C.六棱锥 D.七棱锥. 【例2】若一个棱柱有10个顶点，则下列说法正确的是（　　）  A．这个棱柱有4个侧面  B．这个棱柱有5条侧棱  C．这个棱柱的底面是十边形  D．这个棱柱是一个十棱柱  【例3】下列说法不正确的是（　　） A．长方体是四棱柱 B．八棱柱有8个面 C．六棱柱有12个顶点 D．经过棱柱的每个顶点有3条棱 【例4】下列说法正确的是(    ) A. 五棱柱有个面，个顶点，条棱 B. 六棱柱有个面，个顶点，条棱 C. 七棱柱有个面，个顶点，条棱 D. 以上说法都不对 【例5】一个棱柱有条棱，那么它的底面一定是(   )A. 十八边形 B. 八边形 C. 六边形 D. 四边形 【例6】如果一个多面体（有四个面或以上）的一个面是多边形，其余各面是有一个公共顶点的三角形，那么这个多面体叫做棱锥．如图是一个四棱柱和一个六棱锥，它们各有12条棱．下列棱柱中和九棱锥的棱数相等的是（    ） A、五棱柱 B、六棱柱 C、七棱柱 D、八棱柱 【例7】如图,该几何体的面数是(　　) A.1　　　　B.2　　　　C.3　　　　D.4 【例8】如图所示的立体图形，是由_ _个面组成的，面与面相交形成___条线（ ） A．3，6 B．4，5 C．4，6 D．5，7 【例9】 一个棱柱共有个顶点，所有的侧棱长的和是，则每条侧棱长为          ． 【例10】 已知某直棱柱共有个顶点，且该棱柱的所有侧棱长之和为，则每条侧棱长为______． 【例11】多面体的面数、棱数、顶点数之间存在着一个奇妙的关系，若用、、分别表示正多面体的面数、棱数、顶点数，则有，现在一个正多面体共有个顶点，个面，则它的棱数等于(    ) A. 条 B. 条 C. 条 D. 条 【例12】十八世纪瑞士数学家欧拉证明了简单多面体中顶点数（V）、面数（F）、棱数（E）之间存在的一个有趣的关系式，被称为欧拉公式．请你观察下列几种简单多面体模型，解答下列问题： （1）根据上面多面体模型，完成表格中的空格： 多面体 顶点数（V） 面数（F） 棱数（E） 四面体 4 4 6 长方体 8 6 12 正八面体 8 12 正十二面体 20 12 （2）你发现顶点数（V）、面数（F）、棱数（E）之间存在的关系式是 （3）一个多面体的面数比顶点数大8，且有30条棱，则这个多面体的面数是 【题型三：点线面体】 【例1】“枪挑一条线,棍扫一大片”,从数学的角度解释为　(　　) A. 点动成线,线动成面 B.线动成面,面动成体 C.点动成线,面动成体 D.点动成面,面动成线 【例2】竖立的硬币在桌面上快速地转动时，看上去像球，可用数学知识解释为          ． 【例3】几何图形都是由点、线、面、体组成的，点动成线，线动成面，面动成体，下列生活现象中可以反映“线动成面”的是（ ） A.笔尖在纸上移动划过的痕迹 B.长方形绕一边旋转一周形成的几何体 C.流星划过夜空留下的尾巴 D.汽车雨刷的转动扫过的区域 【题型四：旋转】 【例1】.将图中的平面图形绕直线l旋转一周,得到的立体图形是(　　) A　　　　B　　　　C　　　　D 【例2】如图几何体中可以由平面图形绕某条直线旋转一周得到的是（　　） A． B． C． D． 【例3】长方形纸板绕它的一条边旋转1周形成的几何体为（  ） A．圆柱 B．棱柱 C．圆锥 D．球 【例4】将一个直角三角形ABC绕它的一边旋转，旋转后所得的几何体不可能是下面图中的哪个　 　． 【例5】下列几何体中可以由平面图形绕某条直线旋转一周得到的是（ ） A．B．C．D． 【例6】现有一个长方形，长和宽分别为4cm和5cm，绕它的一条边所在的直线旋转一周，得到的几何体的体积为（　　） A．80πcm3 B．100πcm2 C．80πcm3或100πcm2 D．64πcm3或125πcm3 【例7】如图是一个直角三角形，它的各边长分别是， ，．当三角形绕着长为的边所在直线旋转一周时所得图形的体积为 结果保留当三角形绕着长为的边所在直线旋转一周时，所得图形的体积为 结果保留 【题型五：综合计算】 【例1】一个密封的瓶子里装着一些水如图所示，已知瓶子的底面积为，请你根据图中标明的数据，计算瓶子的容积是．(    ) A. B. C. D. 【例2】如图所示，木工师傅把一个长为1.6米的长方体木料锯成3段后，表面积比原来增加了80cm2 ， 那么这根木料本来的体积是________cm3 ． 【例3】一个正方体木块的体积是216，现将它锯成块同样大小的正方体小木块，则每个小正方体木块的表面积是(    )A. B. C. D. 【例4】把一根长1.5米的圆柱形钢材截成三段后，如图，表面积比原来增加8平方米，这根钢材原来的体积是多少？ 【例5】如图，在棱长分别为2cm、3cm、4cm的长方体中截掉一个棱长为1cm的正方体，则剩余几何体的表面积为______ ． 【例6】如图所示，长方形ABCD的长AB为10cm，宽AD为，把长方形绕边所在的直线旋转一周，然后用平面沿方向去截所得的几何体，求截面的最大面积． 【例7】如图所示，圆柱体的高为8，底面半径为2，则截面面积最大为 ．    【例8】一个几何体的三视图如图所示，则它的体积是　　．（结果保留π） 【题型六：切割】 【例1】如图所示，过长方体的一个顶点，截掉长方体的一个角，则新几何体的棱数为（    ） A． B． C． D． 【例2】如图1至图3是将正方体截去一部分后得到的多面体． （1）根据要求填写表格： 面数（） 顶点数（） 棱数（） 图1 7 12 图2 7 13 图3 7 10 （2）猜想三个数量间有何关系； （3）根据猜想计算，若一个多面体有顶点数2018个，棱数4036条，试求出它的面数． 【题型七：正方体展开图】 【例1】下列展开图中，是正方体展开图的是（    ） A． B．C． D． 【例2】 如图，每个图片都是个相同的正方形组成的，不能折成正方体的是     A. B. C. D. 【例3】下列图形中,可以是正方体表面展开图的是(　　) A　　　B C　　　D 【例4】下列不能作为正方体的展开图的是（　　） A．B． C． D． 【题型八：其它立体图形展开图】 【例1】下列图形中,可以折叠成三棱柱的是(　　) A　　　　B C　　　　D 【例2】.某立体图形的表面展开图如图所示,这个立体图形是(　　) A　　 B　　 C　　 D 【例3】 下列图形中，是圆锥的侧面展开图的为 A. B. C. D. 【例4】把如图中的纸片沿虚线折叠，可以围成一个几何体，这个几何体的名称是（　　） A．五棱锥 B．五棱柱 C．六棱锥 D．六棱柱 【例5】下面四个图形是多面体的展开图，属于三棱柱的展开图的是（ ） A．B．C． D． 【例6】下面图形经过折叠不能围成棱柱的是　　（ ） 【例7】下列图形经过折叠不能围成三棱柱的是 A． B．C． D． 【例8】下面图形不能围成一个长方体的是（　　） 【例9】下面的图形中，是三棱柱的侧面展开图的为 ( ). A B C D 【例10】下列不是三棱柱展开图的是（　　） A． B． C． D． 【例11】把如图所示的纸片沿着虚线折叠，可以得到的几何体是（　　） A．三棱柱 B．四棱柱 C．三棱锥 D．四棱锥 【题型九：相对面的判断】 注：原相对的面不相邻，在展开图中既没有公共边，也没有公共顶点，且上下隔一行，左右隔一列,Z端是对面。 【例1】将“成都天府新区”这六个字分别写在一个正方体的六个面上，若这个正方体的展开图如图所示，则在这个正方体中，与“天”字相对的字是_________．成 都 天 府 新 区 【例2】如图是一个正方体的展开图，将它折叠成正方体后，“设”字对面的字是（ ） A．美 B．丽 C．学 D．校建 设 美 丽 学 校 【例3】正方体的六个面分别标有1，2，3，4，5，6六个数字，如图是其三种不同的放置方式，与数字“2”相对的面上的数字是（　　） A．1 B．3 C．4 D．5 【例4】在一个六面体模型的六个面上，分别标了“观察、实验、归纳、类比、猜想、证明”六个词，如图是从三个不同的方向看到的几个词，观察它们的特点，推出“类比”相对面上的词是          ． 【例5】有一个正六面体骰子，放在桌面上，将骰子沿如图所示的顺时针方向滚动，每滚动90°算一次，则滚动第3次后，骰子朝下一面的点数是 　 　（填数字）。滚动第2022次后，骰子朝下一面的点数是　 　（填数字）。 【题型十：截面的形状】 【例1】用平面去截下列几何体，截面的形状不可能是圆的几何体是(    ) A. 球 B. 圆锥 C. 圆柱 D. 正方体 【例2】用一个平面截六棱柱，截面的形状不可能是（　　） A．等腰三角形 B．梯形 C．五边形 D．九边形 【例3】用一个平面去截一个正方体，如果截去的几何体是一个三棱锥，那么截面可能是（　　） A．三角形 B．四边形 C．五边形 D．六边形 【例4】用一个平面去截一个几何体，得到的截面是五边形，这个几何体可能是 A. 圆锥 B. 圆柱 C. 球体 D. 长方体 【例5】用一个平面去截一个正方体，截面的形状不可能是（　　） A．长方形 B．梯形 C．三角形 D．圆 【例6】用一个平面去截下列图形：①圆锥；②圆柱；③正方体；④五棱柱，能得到截面是长方形的几何体是（　　） A．②④ B．①②③ C．②③④ D．①③④ 【例7】用一个平面去截一个几何体，截面形状为三角形，则这个几何体可能为（　 　） ①正方体；②圆柱；③圆锥；④正三棱柱． A．①②③④ B．①③④ C．①④ D．①② 【例8】下列说法正确的是（    ） ①正方体的截面可以是等边三角形；②正方体不可能截出七边形；③正方体的截面可以是梯形；④正方体的截面最多是六边形 A．①②③④ B．①②③ C．①③④ D．①②④ 【例9】小明用一个圆柱形杯子装着半杯水，他把水从杯中倒出的过程中，水面的形状不可能是(    ) A. 圆 B. 椭圆 C. 梯形 D. 长方形 【例10】用一个平面去截正方体如图，有下列关于截面截出的面的形状的结论：可能是锐角三角形；可能是直角三角形；可能是钝角三角形；可能是平行四边形．其中，正确的结论是(    ) A. B. C. D. 【例11】如图所示的正方体，用一个平面截去它的一个角，则截面不可能是（    ） A．锐角三角形 B．等腰三角形 C．等腰直角三角形 D．等边三角形 【题型十一：正方体的切割】 【例1】如图，截去正方体一角变成的多面体有________条棱． 【例2】把一个正方体截去一个角，剩下的几何体有( )． A．4个面 B．5个面 C．6个面 D．7个面 【例3】爸爸给儿子阳阳买了一个生日蛋糕(圆柱形)，阳阳想把蛋糕切成至少七块分给七位小朋友，若沿竖直方向切分，则至少需切________刀． 【例4】小明的妈妈烙了一张大饼，需要切开吃，小方没有碰触大饼，而是直接用刀切了三次，她最多能把这张饼切成 块. 【例5】如图所示，用经过A、B、C三点的平面截去正方体的一角，变成一个新的多面体，这个多面体的面数是（　　）A,8 B．7 C．6 D．5 【例6】一个四棱柱被一刀切去一部分，剩下的部分可能是(    ) A. 四棱柱 B. 三棱柱 C. 五棱柱 D. 以上都有可能 【例7】一个正方体锯掉一个角后，顶点的个数是(    ) A. 个或个 B. 个或个 C. 个或个或个或个 D. 个或个或个 【题型十二：三视图与几何体形状】 【例1】如图为一个几何体的三视图，那么这个几何体是（　　） A．圆锥 B．圆柱 C．三棱柱 D．三棱锥 【例2】已知一个几何体的三视图如图所示，则该几何体是（　　） A．棱柱 B．圆锥 C．圆柱 D．球 【例3】由4个相同的小正方体搭建了一个积木，从正面、左面看搭建的积木的形状图如图所示，则这个积木不可能是下面四个立体图形中的（    ） A． B． C． D． 【例4】某班玩一种游戏，同学们需按墙上的空洞造型摆出相同姿势才能穿墙而过，否 则会被墙推入水池类似地，一个几何体恰好无缝隙地以个不同形状的“姿势”穿过“墙”上的个空洞，则该几何体为(    ) A. B. C. D. 【例5】在下面的四个几何体中，从左面和正面看得到的图形不相同的几何体是（　　） A．正方体 B．长方体 C．球体 D．圆锥 【例6】如图，下列图形从正面看是三角形的是（ ） A． B． C． D． 【例7】如图所示是由七个相同的小正方体堆成的物体，从正面看这个物体的平面图是（     ） A． B．C． D． 【例8】4个大小相同的正方体搭成的几何体的俯视图，那么该几何体的主视图不可能是（　　） A． B． C． D． 【题型十三：三视图与小正方体个数】 【例1】如图是由几个小立方体所搭几何体的俯视图，小正方形中的数字表示在该位置的小立方体的个数，则这个几何体的左视图是（ ） A． B．C． D． 【例2】如图是由几个大小相同的小正方体搭成的几何体从上面看到的图形，小正方形上的数字表示该位置小正方体的个数，则该几何体从左面看到的图形是（　　） A． B． C． D． 【例3】下图是由几个大小相同的小正方体搭成的几何体从上面看到的形状图，小正方形上的数字表示该位置上小正方体的个数，则该几何体从左面看到的形状图是(    ) A. B. C. D. 【例4】如图所示是由若干个大小相同的小正方体所搭成的几何体从三个方向看到的图形，则搭成这个几何体的小正方体的个数是 个． 【例5】如图，是由若干个小正方体拼成的几何体的主视图、左视图和俯视图，则该几何体中小正方体的个数是 　 　． 【例6】用小立方体搭成一个几何体，从正面和上面看到该几何体的形状图如图所示，搭建这样的几何体最多 需要 个小立方体？最少要 个小立方体。 【例7】用相同的小立方块搭一几何体，从正面和上面看到的形状如图所示，那么，最少需要__________个小立方块，最多需要__________个小立方块．从正面看 从上面看 【题型十四：表面刷漆类（表面积）】 【例1】将三个棱长分别a,b,c的正方体组合成如图所示的几何体． 该几何体露在外面部分的面积是多少？整个几何体摆放在地面上 若把整个几何体颠倒放置最小的在最下面摆放，此时几何体露在外面部分的面积与原来相比是否有变化？若有，算出增加或减少的量；若没有，请说明理由． 【例2】如图，5个棱长为1cm的正方体摆在桌子上，为了美观，将这个几何体的所有露出部分（不包含底面）都喷涂油漆，若喷涂1cm2需要油漆0.2克，则喷涂这个几何体需要 　 　克油漆． 【例3】一位美术教师在课堂上进行立体模型素描教学时，把个棱长为的立方体摆在课桌上堆成如图形状，然后他把露出的表面都涂上不同的颜色底面除外，则被他涂上颜色部分的面积是多少 【例4】 如图是10个棱长为1的正方体摆放成的图形，则这个图形的表面积（　　） A．60 B．36 C．24 D．48 【例5】如图，桌面上的模型由20个棱长为a的小正方体组成，现将该模型露在外面的部分涂上涂料，则涂上涂料部分的总面积为（    ）A．20a2 B．30a2 C．40a2 D．50a2 10 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $$ 七上第一章1.1立体图形基本考点题型 七上第一章生活中的立体图形基础考点题型 考点1：立体图形分类 圆柱 圆锥 正方体 长方体 棱柱 球 三棱锥 立体图形是由一个或几个面围成的，面有平面和曲面之分。 1， 按形状通常分为三类：柱体、锥体、球体 二，按围成几何体的面的类型（曲面、平面）分类： 1， 含有曲面的几何体：圆柱、圆锥、球等。 2， 都是平面的几何体：棱柱、棱锥等。 三，按有无顶点分类： 1， 有顶点：圆锥、棱锥、棱柱等。 2， 无顶点：圆柱、球等。 考点2：棱柱的有关概念及特征 1， 概念：相邻两个面的交线叫做棱。相邻两个侧面的交线叫做侧棱。 2， 棱柱根据底面图形的形状分为三棱柱、四棱柱、五棱柱、六棱柱……； 3， 棱锥按底面形状分为三棱锥、四棱锥、五棱锥、六棱锥…… 4，棱柱所有侧棱长都相等。上下底面的形状相同。侧面的形状都是平行四边形。 5，棱柱可分为直棱柱和斜棱柱，直棱柱的侧面是长方形。本书只讨论直棱柱（简称棱柱）。 考点3：棱柱的顶点、面数、棱数关系： 几何体 面 顶点 棱 侧棱 侧面 三棱柱 5 6 6 3 3 四棱柱 6 8 12 4 4 五棱柱 7 10 15 5 5 n棱柱 n+2 2n 3n n n n棱锥 n+1 n+1 2n n n 考点4：点线面体, 1， 图形是由点、线、面构成的。其中，面有平面也有曲面。线有直线也有曲线。 2， 面与面相交得到线，线与线相交得到点，因此说任何几何图形都是由无数个点构成的。 3， 点动成线，线动成面，面动成体。 4， 直角三角形绕它的一条直角边旋转一周，得到一个圆锥体；长方形绕它的一条边旋转一周，得到一个圆柱体；圆绕它的一条直径旋转一周，得到一个球体． 5， 旋转轴或旋转角度不同，所得到的几何体也不一定相同。如以直角三角形的一条边为轴旋转而成的几何体有两种可能：两条不同的直角边各自旋转形成两个底面半径不同的圆锥体。 考点5：正方体切割 如果用一个平面切掉正方的一个角，剩下的几何体如图所示： 考点6：正方体展开图 正方体有11种展开图，分为四类： 第一类，“141型”：中间四连方，两侧各有一个，共6种，如下图： 第二类，“132型”：中间三连方，两侧各有一、二个，共3种，如下图： 第三类，“222型”：中间二连方，两侧各有二个，只有1种，如下图： 第四类，“33型”：两排各有3个，也只有1种，如下图： 注意：一旦出现“7”、“凹”、“田”字型，一定不是正方体展开图． 考点7：常见几何体展开图 名称 表面展开图 底面形状 侧面形状 正方体 （共11种，见后续） 正方形 正方形 长方体 长方形 长方形 三棱柱 三角形 长方形 五棱柱六棱柱 多边形 长方形 六棱柱 六边形 长方形 三棱锥 三角形 三角形 四棱锥 四边形 三角形 五棱锥 五边形 三角形 圆柱 圆 曲面 圆锥 圆 曲面 考点8：常见几何体截面 几何体 截面形状 正方体 三角形、等腰三角形、等边三角形、正方形、长方形、平行四边形、梯形、菱形、五边形、六边形 圆 柱 圆、长方形、正方形、椭圆、不规则图形 圆 锥 圆、等腰三角形、椭圆、拱形（不规则图形） 三棱锥 三角形、正方形、长方形、梯形 球 圆 1、用一个平面去截正方体，可能出现下面几种情况： 三角形 正方形 长方形 梯形 五边形 六边形 平行四边形 2，用一个平面去截一个几何体，因为面与面相交产生线（边），所以，截面与该几何体的几个面相交，就能得几边形。所以截面的边数不能超过几何体面数。如几何体有n个面，则截面形状的边数为3≤m≤n。 3，正方体只有六个面，所以截面最多有六条边，即截面边数最多的图形是六边形．不可能出现直角三角形，钝角三角形，直角梯形、正五边形、正七边形等。 4，用平面去截圆柱体，可以得到圆、椭圆、长方形或正方形，由于圆柱侧面为曲面，当平面与侧面相交时得到是曲线，因此无法截出三角形或梯形． 8.用平面截球，无论角度如何，截面形状都是圆，大小可能不同 5.总结规律： 截面是圆的几何体：圆柱、圆锥、球等 截面是三角形的几何体：正方体、长方体、棱柱、圆锥等。 截面是长方形的几何体：圆柱、棱柱、正方体、长方体等 考点9，常见几何体三视图 1，从正面看到的是物体的长和高，从上面看到的是物体的长和宽，从左面看到的是物体的高和宽．在画图时，看得见部分的轮廓线要画成实线，看不见部分的轮廓线要画成虚线． 2，通常我们把从正面得到的视图叫做主视图，从左面得到的视图叫做左视图，从上面得到的视图叫做俯视图． 同 步 练 习 【题型一：立体图形的特点与分类】 【例1】3.下面四个立体图形中，和其他三个立体图形不同类的是(   B ) A. B. C. D. 【例2】下列图形属于棱柱的有(  B  ) A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 【例3】如图，下图中是圆柱体的有___3,4__ ___，是棱柱体的有___1,5,6______．（只填图的标号） 【例4】下列图形属于棱柱的有(  B  ) A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 【例5】如图所示为8个立体图形．  其中，是柱体的序号为 12578 ；是锥体的序号为  46 ；是球的序号为 3 ．  【例6】 如图，下图中是圆柱体的有___34_____，是棱柱体的有__1256_______．（只填图的标号） 【例7】按组成面的平或曲划分，与圆锥为同一类几何体的是（ C ） A．正方体 B．长方体 C．圆柱 D．棱柱 【例8】在一个不透明的布袋中，装有一个简单几何体模型，甲乙两人在摸后各说出了它的一个特征，甲：它有曲面；乙：它有顶点。该几何体模型可能是（C ） A．球 B．三棱锥 C．圆锥 D．圆柱 【例9】不透明袋子中装有一个几何体模型，两位同学摸该模型并描述它的特征，甲同学：它有4个面是三角形；乙同学：它有6条棱，则该模型对应的立体图形可能是（　D　） A．四棱柱 B．三棱柱 C．四棱锥 D．三棱锥 【例10】下列判断正确的有（ B ） （1） 正方体是棱柱，长方体不是棱柱；（2）正方体是棱柱，长方体也是棱柱；（3）正方体是柱体，圆柱也是柱体；（4）正方体不是柱体，圆柱是柱体．A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【例11】18．直棱柱的侧面都是（　B　）A．正方形 B．长方形 C．五边形 D．以上都不对 【例12】下列说法中错误的是（ C ） A．棱柱有两个互相平行，形状相同，大小相等的面 B．棱锥除一个面外，其余各面都是三角形 C． 圆柱的侧面可能是长方形 D．正方体是四棱柱，也是六面体 【题型二：棱柱的顶点、面数、棱数】 【例1】如果一个物体有七个顶点七个面，那么这个物体一定是（ C ） A.五棱锥 B.五棱柱 C.六棱锥 D.七棱锥. 【例2】若一个棱柱有10个顶点，则下列说法正确的是（　B　）  A．这个棱柱有4个侧面  B．这个棱柱有5条侧棱  C．这个棱柱的底面是十边形  D．这个棱柱是一个十棱柱  【例3】下列说法不正确的是（　B　） A．长方体是四棱柱 B．八棱柱有8个面 C．六棱柱有12个顶点 D．经过棱柱的每个顶点有3条棱 【例4】下列说法正确的是(  C  ) A. 五棱柱有个面，个顶点，条棱 B. 六棱柱有个面，个顶点，条棱 C. 七棱柱有个面，个顶点，条棱 D. 以上说法都不对 【例5】一个棱柱有条棱，那么它的底面一定是( C )A. 十八边形 B. 八边形 C. 六边形 D. 四边形 【例6】如果一个多面体（有四个面或以上）的一个面是多边形，其余各面是有一个公共顶点的三角形，那么这个多面体叫做棱锥．如图是一个四棱柱和一个六棱锥，它们各有12条棱．下列棱柱中和九棱锥的棱数相等的是（  B  ） A、五棱柱 B、六棱柱 C、七棱柱 D、八棱柱 【例7】如图,该几何体的面数是(B　　) A.1　　　　B.2　　　　C.3　　　　D.4 【例8】如图所示的立体图形，是由_ _个面组成的，面与面相交形成___条线（ C ） A．3，6 B．4，5 C．4，6 D．5，7 【例9】 一个棱柱共有个顶点，所有的侧棱长的和是，则每条侧棱长为   20       ． 【例10】 已知某直棱柱共有个顶点，且该棱柱的所有侧棱长之和为，则每条侧棱长为____12__． 【例11】多面体的面数、棱数、顶点数之间存在着一个奇妙的关系，若用、、分别表示正多面体的面数、棱数、顶点数，则有，现在一个正多面体共有个顶点，个面，则它的棱数等于( C   ) A. 条 B. 条 C. 条 D. 条 【例12】十八世纪瑞士数学家欧拉证明了简单多面体中顶点数（V）、面数（F）、棱数（E）之间存在的一个有趣的关系式，被称为欧拉公式．请你观察下列几种简单多面体模型，解答下列问题： （1）根据上面多面体模型，完成表格中的空格： 多面体 顶点数（V） 面数（F） 棱数（E） 四面体 4 4 6 长方体 8 6 12 正八面体 6 8 12 正十二面体 20 12 30 （2）你发现顶点数（V）、面数（F）、棱数（E）之间存在的关系式是 V+F-2=E （3）一个多面体的面数比顶点数大8，且有30条棱，则这个多面体的面数是 20 【题型三：点线面体】 【例1】“枪挑一条线,棍扫一大片”,从数学的角度解释为　(　A　) A. 点动成线,线动成面 B.线动成面,面动成体 C.点动成线,面动成体 D.点动成面,面动成线 【例2】竖立的硬币在桌面上快速地转动时，看上去像球，可用数学知识解释为    面动成体      ． 【例3】几何图形都是由点、线、面、体组成的，点动成线，线动成面，面动成体，下列生活现象中可以反映“线动成面”的是（ D ） A.笔尖在纸上移动划过的痕迹 B.长方形绕一边旋转一周形成的几何体 C.流星划过夜空留下的尾巴 D.汽车雨刷的转动扫过的区域 【题型四：旋转】 【例1】.将图中的平面图形绕直线l旋转一周,得到的立体图形是(　D　) A　　　　B　　　　C　　　　D 【例2】如图几何体中可以由平面图形绕某条直线旋转一周得到的是（　B　） A． B． C． D． 【例3】长方形纸板绕它的一条边旋转1周形成的几何体为（A  ） A．圆柱 B．棱柱 C．圆锥 D．球 【例4】将一个直角三角形ABC绕它的一边旋转，旋转后所得的几何体不可能是下面图中的哪个　 (1) 　． 【例5】下列几何体中可以由平面图形绕某条直线旋转一周得到的是（ A ） A．B．C．D． 【例6】现有一个长方形，长和宽分别为4cm和5cm，绕它的一条边所在的直线旋转一周，得到的几何体的体积为（　C　） A．80πcm3 B．100πcm2 C．80πcm3或100πcm2 D．64πcm3或125πcm3 【例7】如图是一个直角三角形，它的各边长分别是， ，．当三角形绕着长为的边所在直线旋转一周时所得图形的体积为 16π 结果保留当三角形绕着长为的边所在直线旋转一周时，所得图形的体积为 12π 结果保留 【题型五：综合计算】 【例1】一个密封的瓶子里装着一些水如图所示，已知瓶子的底面积为，请你根据图中标明的数据，计算瓶子的容积是．(  C  ) A. B. C. D. 【例2】如图所示，木工师傅把一个长为1.6米的长方体木料锯成3段后，表面积比原来增加了80cm2 ， 那么这根木料本来的体积是__3200______cm3 ． 【例3】一个正方体木块的体积是216，现将它锯成块同样大小的正方体小木块，则每个小正方体木块的表面积是(  D  )A. B. C. D. 【例4】把一根长1.5米的圆柱形钢材截成三段后，如图，表面积比原来增加8平方米，这根钢材原来的体积是多少？3 【例5】如图，在棱长分别为2cm、3cm、4cm的长方体中截掉一个棱长为1cm的正方体，则剩余几何体的表面积为__52____ ． 【例6】如图所示，长方形ABCD的长AB为10cm，宽AD为，把长方形绕边所在的直线旋转一周，然后用平面沿方向去截所得的几何体，求截面的最大面积．120 【例7】如图所示，圆柱体的高为8，底面半径为2，则截面面积最大为 32 ．    【例8】一个几何体的三视图如图所示，则它的体积是　96π　．（结果保留π） 【题型六：切割】 【例1】如图所示，过长方体的一个顶点，截掉长方体的一个角，则新几何体的棱数为（ D   ） A． B． C． D． 【例2】如图1至图3是将正方体截去一部分后得到的多面体． （1）根据要求填写表格： 面数（） 顶点数（） 棱数（） 图1 7 7 12 图2 7 8 13 图3 7 10 15 （2）猜想三个数量间有何关系；+-2= （3）根据猜想计算，若一个多面体有顶点数2018个，棱数4036条，试求出它的面数．2020 【题型七：正方体展开图】 【例1】下列展开图中，是正方体展开图的是（  C  ） A． B．C． D． 【例2】 如图，每个图片都是个相同的正方形组成的，不能折成正方体的是  A   A. B. C. D. 【例3】下列图形中,可以是正方体表面展开图的是(　D　) A　　　B C　　　D 【例4】下列不能作为正方体的展开图的是（　D　） A．B． C． D． 【题型八：其它立体图形展开图】 【例1】下列图形中,可以折叠成三棱柱的是(D　　) A　　　　B C　　　　D 【例2】.某立体图形的表面展开图如图所示,这个立体图形是(　A　) A　　 B　　 C　　 D 【例3】 下列图形中，是圆锥的侧面展开图的为 A. B. C. D. 【例4】把如图中的纸片沿虚线折叠，可以围成一个几何体，这个几何体的名称是（　A　） A．五棱锥 B．五棱柱 C．六棱锥 D．六棱柱 【例5】下面四个图形是多面体的展开图，属于三棱柱的展开图的是（ D ） A．B．C． D． 【例6】下面图形经过折叠不能围成棱柱的是　　（ D ） 【例7】下列图形经过折叠不能围成三棱柱的是 A． B．C． D． 【例8】下面图形不能围成一个长方体的是（　D　） 【例9】下面的图形中，是三棱柱的侧面展开图的为 ( A ). A B C D 【例10】下列不是三棱柱展开图的是（　A　） A． B． C． D． 【例11】把如图所示的纸片沿着虚线折叠，可以得到的几何体是（　A　） A．三棱柱 B．四棱柱 C．三棱锥 D．四棱锥 【题型九：相对面的判断】 注：原相对的面不相邻，在展开图中既没有公共边，也没有公共顶点，且上下隔一行，左右隔一列,Z端是对面。 【例1】将“成都天府新区”这六个字分别写在一个正方体的六个面上，若这个正方体的展开图如图所示，则在这个正方体中，与“天”字相对的字是___区______．成 都 天 府 新 区 【例2】如图是一个正方体的展开图，将它折叠成正方体后，“设”字对面的字是（ C ） A．美 B．丽 C．学 D．校建 设 美 丽 学 校 【例3】正方体的六个面分别标有1，2，3，4，5，6六个数字，如图是其三种不同的放置方式，与数字“2”相对的面上的数字是（　C　） A．1 B．3 C．4 D．5 【例4】在一个六面体模型的六个面上，分别标了“观察、实验、归纳、类比、猜想、证明”六个词，如图是从三个不同的方向看到的几个词，观察它们的特点，推出“类比”相对面上的词是   归纳       ． 【例5】有一个正六面体骰子，放在桌面上，将骰子沿如图所示的顺时针方向滚动，每滚动90°算一次，则滚动第3次后，骰子朝下一面的点数是 　 5 　（填数字）。滚动第2022次后，骰子朝下一面的点数是　 3 　（填数字）。 【题型十：截面的形状】 【例1】用平面去截下列几何体，截面的形状不可能是圆的几何体是(  D  ) A. 球 B. 圆锥 C. 圆柱 D. 正方体 【例2】用一个平面截六棱柱，截面的形状不可能是（D　　） A．等腰三角形 B．梯形 C．五边形 D．九边形 【例3】用一个平面去截一个正方体，如果截去的几何体是一个三棱锥，那么截面可能是（　A　） A．三角形 B．四边形 C．五边形 D．六边形 【例4】用一个平面去截一个几何体，得到的截面是五边形，这个几何体可能是 A. 圆锥 B. 圆柱 C. 球体 D. 长方体 【例5】用一个平面去截一个正方体，截面的形状不可能是（　D　） A．长方形 B．梯形 C．三角形 D．圆 【例6】用一个平面去截下列图形：①圆锥；②圆柱；③正方体；④五棱柱，能得到截面是长方形的几何体是（　C　） A．②④ B．①②③ C．②③④ D．①③④ 【例7】用一个平面去截一个几何体，截面形状为三角形，则这个几何体可能为（　B 　） ①正方体；②圆柱；③圆锥；④正三棱柱． A．①②③④ B．①③④ C．①④ D．①② 【例8】下列说法正确的是（  A  ） ①正方体的截面可以是等边三角形；②正方体不可能截出七边形；③正方体的截面可以是梯形；④正方体的截面最多是六边形 A．①②③④ B．①②③ C．①③④ D．①②④ 【例9】小明用一个圆柱形杯子装着半杯水，他把水从杯中倒出的过程中，水面的形状不可能是(  C  ) A. 圆 B. 椭圆 C. 梯形 D. 长方形 【例10】用一个平面去截正方体如图，有下列关于截面截出的面的形状的结论：可能是锐角三角形；可能是直角三角形；可能是钝角三角形；可能是平行四边形．其中，正确的结论是( B   ) A. B. C. D. 【例11】如图所示的正方体，用一个平面截去它的一个角，则截面不可能是（ C   ） A．锐角三角形 B．等腰三角形 C．等腰直角三角形 D．等边三角形 【题型十一：正方体的切割】 【例1】如图，截去正方体一角变成的多面体有___12_____条棱． 【例2】把一个正方体截去一个角，剩下的几何体有( D )． A．4个面 B．5个面 C．6个面 D．7个面 【例3】爸爸给儿子阳阳买了一个生日蛋糕(圆柱形)，阳阳想把蛋糕切成至少七块分给七位小朋友，若沿竖直方向切分，则至少需切___3_____刀． 【例4】小明的妈妈烙了一张大饼，需要切开吃，小方没有碰触大饼，而是直接用刀切了三次，她最多能把这张饼切成 7 块. 【例5】如图所示，用经过A、B、C三点的平面截去正方体的一角，变成一个新的多面体，这个多面体的面数是（　B　）A,8 B．7 C．6 D．5 【例6】一个四棱柱被一刀切去一部分，剩下的部分可能是(  D  ) A. 四棱柱 B. 三棱柱 C. 五棱柱 D. 以上都有可能 【例7】一个正方体锯掉一个角后，顶点的个数是( C   ) A. 个或个 B. 个或个 C. 个或个或个或个 D. 个或个或个 【题型十二：三视图与几何体形状】 【例1】如图为一个几何体的三视图，那么这个几何体是（　A　） A．圆锥 B．圆柱 C．三棱柱 D．三棱锥 【例2】已知一个几何体的三视图如图所示，则该几何体是（　C　） A．棱柱 B．圆锥 C．圆柱 D．球 【例3】由4个相同的小正方体搭建了一个积木，从正面、左面看搭建的积木的形状图如图所示，则这个积木不可能是下面四个立体图形中的（  D  ） A． B． C． D． 【例4】某班玩一种游戏，同学们需按墙上的空洞造型摆出相同姿势才能穿墙而过，否 则会被墙推入水池类似地，一个几何体恰好无缝隙地以个不同形状的“姿势”穿过“墙”上的个空洞，则该几何体为(  A  ) A. B. C. D. 【例5】在下面的四个几何体中，从左面和正面看得到的图形不相同的几何体是（　B　） A．正方体 B．长方体 C．球体 D．圆锥 【例6】如图，下列图形从正面看是三角形的是（ C ） A． B． C． D． 【例7】如图所示是由七个相同的小正方体堆成的物体，从正面看这个物体的平面图是（  A   ） A． B．C． D． 【例8】4个大小相同的正方体搭成的几何体的俯视图，那么该几何体的主视图不可能是（A　） A． B． C． D． 【题型十三：三视图与小正方体个数】 【例1】如图是由几个小立方体所搭几何体的俯视图，小正方形中的数字表示在该位置的小立方体的个数，则这个几何体的左视图是（ C ） A． B．C． D． 【例2】如图是由几个大小相同的小正方体搭成的几何体从上面看到的图形，小正方形上的数字表示该位置小正方体的个数，则该几何体从左面看到的图形是（　A　） A． B． C． D． 【例3】下图是由几个大小相同的小正方体搭成的几何体从上面看到的形状图，小正方形上的数字表示该位置上小正方体的个数，则该几何体从左面看到的形状图是(  D  ) A. B. C. D. 【例4】如图所示是由若干个大小相同的小正方体所搭成的几何体从三个方向看到的图形，则搭成这个几何体的小正方体的个数是 7 个． 【例5】如图，是由若干个小正方体拼成的几何体的主视图、左视图和俯视图，则该几何体中小正方体的个数是 　 6 　． 【例6】用小立方体搭成一个几何体，从正面和上面看到该几何体的形状图如图所示，搭建这样的几何体最多 需要 17 个小立方体？最少要 11 个小立方体。 【例7】用相同的小立方块搭一几何体，从正面和上面看到的形状如图所示，那么，最少需要__________个小立方块，最多需要_____13_____个小立方块．从正面看 从上面看 【题型十四：表面刷漆类（表面积）】 【例1】将三个棱长分别a,b,c的正方体组合成如图所示的几何体． 该几何体露在外面部分的面积是多少？整个几何体摆放在地面上 4+4+5 若把整个几何体颠倒放置最小的在最下面摆放，此时几何体露在外面部分的面积与原来相比是否有变化？若有，算出增加或减少的量；若没有，请说明理由．增加了（-） 【例2】如图，5个棱长为1cm的正方体摆在桌子上，为了美观，将这个几何体的所有露出部分（不包含底面）都喷涂油漆，若喷涂1cm2需要油漆0.2克，则喷涂这个几何体需要 　3.2 　克油漆． 【例3】一位美术教师在课堂上进行立体模型素描教学时，把个棱长为的立方体摆在课桌上堆成如图形状，然后他把露出的表面都涂上不同的颜色底面除外，则被他涂上颜色部分的面积是多少 33 【例4】 如图是10个棱长为1的正方体摆放成的图形，则这个图形的表面积（　B　） A．60 B．36 C．24 D．48 【例5】如图，桌面上的模型由20个棱长为a的小正方体组成，现将该模型露在外面的部分涂上涂料，则涂上涂料部分的总面积为（  D  ）A．20a2 B．30a2 C．40a2 D．50a2 10 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $$