第3讲 空间向量的应用讲义-2024-2025学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第一册

2024-2025学年高二数学上学期同步复习讲义 第3讲 空间向量的应用 教学目标 1．理解直线的方向向量与平面的法向量，会求一个平面的法向量，能用向量语言表述直线与直线、直线与平面、平面与平面的平行、垂直的关系；能用向量方法判断或证明直线、平面间的平行和垂直关系； 2．经历自主探究的过程，提高计算能力，分析和解决问题的能力，渗透数形结合，转化的思想； 3．体验数学学科的特点，提高学习数学的兴趣，树立学好数学的信心。 教学重难点 重难点：求一个平面的法向量；用向量方法判断或证明直线、平面间的平行关系；用向量方法判断或证明直线、平面间的垂直关系。 教学内容 空间向量的应用 知识点一：直线的方向向量和平面的法向量 1、直线的方向向量： 点A是直线l上的一个点，是直线l的方向向量，在直线l上取，取定空间中的任意一点O，则点P在直线l上的充要条件是存在实数t，使或，这就是空间直线的向量表达式. 2、平面的法向量定义： 直线l⊥α，取直线l的方向向量，我们称向量为平面α的法向量．给定一个点A和一个向量，那么过点A，且以向量为法向量的平面完全确定，可以表示为集合. 知识点诠释：一个平面的法向量不是唯一的，在应用时，可适当取平面的一个法向量．已知一平面内两条相交直线的方向向量，可求出该平面的一个法向量． 3、平面的法向量确定通常有两种方法： （1）几何体中有具体的直线与平面垂直，只需证明线面垂直，取该垂线的方向向量即得平面的法向量； （2）几何体中没有具体的直线，一般要建立空间直角坐标系，然后用待定系数法求解，一般步骤如下： （i）设出平面的法向量为； （ii）找出（求出）平面内的两个不共线的向量的坐标，； （iii）根据法向量的定义建立关于x、y、z的方程； （iv）解方程组，取其中的一个解，即得法向量．由于一个平面的法向量有无数个，故可在代入方程组的解中取一个最简单的作为平面的法向量． 知识点二：判定空间中的平行关系 （1）线线平行 设直线的方向向量分别是， 则要证明，只需证明，即 （2）线面平行 设直线的方向向量是，平面的法向量是，且， 则要证明，只需证明，即 （3）面面平行 若平面的法向量为，平面的法向量为，要证，只需证 ，即证 知识点三：判定空间的垂直关系 （1）线线垂直 设直线的方向向量分别是，则要证明，只需证明，即. （2）线面垂直 ①（法一）设直线的方向向量是，平面的法向量是，则要证明，只需证明，即 ②（法二）设直线的方向向量是，平面内的两个相交向量分别为， 若 ，（即证明是平面的法向量） （3）面面垂直 若平面的法向量为，平面的法向量为，要证， 只需证，即证. 知识点四：用向量方法求空间角 （1）求异面直线所成的角 已知a，b为两异面直线，A，C与B，D分别是a，b上的任意两点，a，b所成的角为， 则． （2）求直线和平面所成的角 设直线的方向向量为，平面的法向量为，直线与平面所成的角为，与的角为， 则有． （3）求二面角 如图，若于于，平面交于，则为二面角的平面角，. 若分别为面的法向量， 则二面角的平面角或， 即二面角等于它的两个面的法向量的夹角或夹角的补角． ①当法向量与的方向分别指向二面角的内侧与外侧时，二面角的大小等于的夹角的大小． ②当法向量的方向同时指向二面角的内侧或外侧时，二面角的大小等于的夹角的补角的大小． 知识点五：用向量方法求空间距离 1、空间中点到直线的距离： 设直线的方向向量为，点P与直线的距离为，则 2、空间中点到平面的距离： ①直接法：过点P作面α的垂直平面β，再过点P作两平面交线的垂线求解； ②等体积法：转化视角看一个相关的三棱锥，根据不同底面表示体积，列方程求解； ③向量法：设平面α的法向量为，则点P到平面α的距离为 考点一：求平面的法向量 【例1】四边形是直角梯形，，，平面，，，建立适当的空间直角坐标系，并求平面和平面的法向量．          【变式1-1】如图，在棱长为3的正方体中，点在棱上，且．以为原点，，，所在直线分别为轴、轴、轴，建立如图所示的空间直角坐标系． （1）求平面的一个法向量； （2）求平面的一个法向量． 【变式1-2】如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，平面，，，．建立空间坐标系，写出平面的一个法向量的坐标． 考点二：利用向量研究平行问题 【例2-1】如图，在四棱锥中，底面为矩形，平面平面，，，，，分别是，的中点. 求证：平面.    【例2-2】如图，已知棱长为4的正方体中，，，，分别是棱，，，的中点，求证：平面∥平面. 【变式2-1】如图，在三棱柱中，平面，D，E分别为棱AB，的中点，，，.证明：平面. 【变式2-2】如图所示，正四棱的底面边长1，侧棱长4，中点为，中点为．求证：平面平面.    【变式2-3】如图所示，平面PAD⊥平面ABCD，ABCD为正方形，△PAD是直角三角形，且PA＝AD＝2，E，F，G分别是线段PA，PD，CD的中点.求证： （1）PB//平面EFG； （2）平面EFG//平面PBC. 考点三：利用向量研究垂直问题 【例3-1】如图，直四棱柱底面直角梯形，，，是棱上一点，，，，，. （1）求异面直线与所成的角的余弦值； （2）求证：平面. 【例3-2】如图所示，是一个正三角形，平面，∥，且， M是EA的中点．求证：平面平面.    【变式3-1】如图所示的几何体中，平面平面为等腰直角三角形，，四边形为直角梯形，.    （1）求证：平面； （2）线段上是否存在点满足，使得平面？若存在，求出的值；若不存在，说明理由. 【变式3-2】如图，在四棱锥中，平面，底面是梯形，点在上，．求证：平面平面.    【变式3-3】已知正方体中，为棱上的动点． （1）求证：； （2）若平面平面，试确定点的位置． 考点四：利用向量的方法求异面直线所成的角 【例4】如图，在空间直角坐标系中，正方体的棱长为1，在上，在上，且．    （1）求向量，的坐标； （2）求与所成角的余弦值． 【变式4-1】如图，在正三棱柱中，，则与所成角的余弦值为 .    【变式4-2】如图，在三棱锥中，底面，.点分别为棱的中点，是线段的中点，，.    （1）求证：平面； （2）已知点在棱上，且直线与直线所成角的余弦值为，求线段的长. 考点五：利用向量的方法求线面角 【例5】如图，在四棱锥中，底面，四边形为正方形，且，为的重心，设与平面所成角的正弦值为_______． 【变式5-1】如图，在四棱锥中，底面ABCD是矩形，，平面ABCD，E为PD中点.且.    （1）求证：平面PCD； （2）求直线BE与平面PCD所成角的正弦值. 【变式5-2】如图，由直三棱柱和四棱锥构成的几何体中，，，，，平面平面.为线段上一动点，当______时，直线与平面所成角的正弦值为. 考点六：利用向量的方法求二面角 【例6】如图，在四棱锥中，底面中，，侧面平面，且，点在棱上，且． 则二面角的余弦值为____________ 【变式6-1】如图，在正方体ABCD­A1B1C1D1中，E，F分别为AD，DD1的中点，则平面EFC1B和平面BCC1所成锐二面角的正弦值为________. 【变式6-2】如图，在四棱锥中，平面，，，，，E为的中点，F在上，满足．    （1）求证：平面； （2）求平面BAF与平面CAF的夹角的余弦值．     考点七：距离问题 【例7-1】正四棱柱中，，，为中点，为下底面正方形的中心．求：    （1）点到直线的距离； （2）点到平面的距离． 【例7-2】在棱长为的正方体中，、分别是、的中点，求平面与平面之间的距离． 【变式7-1】如图，在三棱锥中，PA⊥平面ABC，，D，E，F分别是棱AB，BC，CP的中点，.    （1）求直线PA与平面DEF所成角的正弦值； （2）求点P到平面DEF的距离； （3）求点P到直线EF的距离． 【变式7-2】如图，已知四棱锥的底面是菱形，对角线，交于点，，，，底面，设点满足．    （1）求直线与平面所成角的正弦值； （2）求点到平面的距离． 【题组一：用空间向量研究直线、平面的位置关系】 一、单选题 1．已知向量，分别为直线方向向量和平面的法向量，若，则实数的值为（       ） A． B． C．1 D．2 2．已知平面内有两点，，平面的一个法向量为，则（       ） A．4 B．3 C．2 D．1 3．已知平面的法向量为，，则直线与平面的位置关系为（       ） A． B． C． D．或 4．已知直线的方向向量，平面的一个法向量为，则线面的位置关系是（       ） A．平行 B．在平面内 C．垂直 D．平行或在平面内 5．如图，在正方体中， 过点A且与直线垂直的所有面对角线的条数为（       ） A． B． C． D． 6．已知点P是平行四边形ABCD所在平面外一点，如果，，．给出下列结论，其中正确的是（       ） A． B．AP⊥AD C．AP⊥AB D．是平面ABCD的一个法向量 7．如图，在空间直角坐标系中，有正方体，给出下列结论： ①直线的一个方向向量为； ②直线的一个方向向量为； ③平面的一个法向量为； ④平面的一个法向量为． 其中正确的个数为（       ）． A．1 B．2 C．3 D．4 8．如图，长方体中，点E，F分别是棱，上的动点（异于所在棱的端点）.给出以下结论：①在F运动的过程中，直线能与AE平行；②直线与EF必然异面；③设直线AE，AF分别与平面相交于点P，Q，则点可能在直线PQ上.其中所有正确结论的序号是（       ） A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 二、多选题 9．已知直线l的方向向量为，平面的法向量为，则能使的是（       ） A． B． C． D． 10．在正方体中，、、、分别为、、、的中点，则下列结论中正确的是（       ） A． B．平面 C． D． 三、填空题 11．若点，，，则平面ABC的一个法向量______． 12．已知平面的法向量为，平面的法向量为，若，则实数______． 四、解答题 13．已知：如图，在空间直角坐标系中有长方体，，，，点E是的中点．求证：平面平面． 14．如图所示，在长方体中，，，、分别、的中点. （1）求证：平面； （2）求证：平面. 【题组二：用空间向量研究距离、夹角问题】 一、单选题 1．平面的法向量为，平面的法向量为，则下列命题正确的是（       ） A．，平行 B．，垂直 C．，重合 D．，相交不垂直 2．已知，，则异面直线与所成角的余弦值为（       ） A． B． C． D． 3．已知两平面的法向量分别为，，则两平面所成的锐二面角的大小为（       ） A．30° B．45° C．60° D．75° 4．如图，在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，若E，F分别是上底棱的中点，则点A到平面B1D1EF的距离为（       ） A．1 B．2 C．3 D．4 5．已知正方体的棱长为，则平面与平面的距离为（       ） A． B． C． D． 6．鳖臑是指四个面都是直角三角形的三棱锥.如图，在鳖臑中，平面，，，分别是棱，的中点，点是线段的中点，则点到直线的距离是（       ） A． B． C． D． 7．如图，在正方体中，是中点，点在线段上，若直线与平面所成的角为，则的取值范围是（       ）． A． B． C． D． 8．如图，在直三棱柱中，，，D为上一点．若二面角的大小为，则AD的长为（       ） A． B． C．2 D． 二、多选题 9．直线的方向向量为，两个平面，的法向量分别为，，则下列命题为真命题的是（       ） A．若，则直线平面 B．若，则直线平面 C．若，则直线与平面所成角的大小为 D．若，则平面，所成二面角的大小为 10．在直三棱柱中，，，分别是的中点，在线段上，则下面说法中正确的有（       ） A．平面 B．若是上的中点，则 C．直线与平面所成角的正弦值为 D．直线与直线所成角最小时，线段长为 三、填空题 11．如图，在直三棱柱中，，则异面直线与所成角为_____；二面角的余弦值是_____.  12．已知为正方体，，分别是，的中点，异面直线与所成的角为_______ 四、解答题 13．如图，四棱锥中，面，底面为菱形，，M是的中点． （1）求证：平面； （2）求二面角的余弦值． 14．如图，在四棱锥P-ABCD中，平面ABCD，，，，，E为PA上一点，且． （1）证明：平面平面PAC； （2）求直线PB与平面BEC所成角的正弦值． 【题组三：综合题专项练习】 1．（2024·河南郑州·郑州市宇华实验学校校考一模）如图，在四棱锥中，平面，是等边三角形. （1）证明：平面平面. （2）求二面角的正弦值. 2．（2024·辽宁沈阳·统考一模）如图，在三棱锥中，平面平面，且，，点在线段上，点在线段上. （1）求证：； （2）若平面，求的值； （3）在（2）的条件下，求平面与平面所成角的余弦值. 3．（2024·新疆乌鲁木齐·统考一模）如图，在四棱锥中，底面为正方形，平面，，点E，F分别是棱，的中点．    （1）求直线与平面所成角的正弦值； （2）在截面内是否存在点，使平面，并说明理由．   4．（2024·广西南宁·南宁三中校联考一模）在如图所示的五面体中，共面，是正三角形，四边形为菱形，平面，点为中点．    （1）证明：平面； （2）已知，求平面与平面所成二面角的正弦值．   5．（2024·吉林延边·统考一模）已知三棱柱，侧面是边长为2的菱形，，侧面四边形是矩形，且平面平面，点D是棱的中点． （1）在棱AC上是否存在一点E，使得平面，并说明理由； （2）当三棱锥的体积为时，求平面与平面夹角的余弦值． 一、本节课我们学习的向量你了解到了哪些？ 二、本节课我需要努力的地方是： 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年高二数学上学期同步复习讲义 第3讲 空间向量的应用 教学目标 1．理解直线的方向向量与平面的法向量，会求一个平面的法向量，能用向量语言表述直线与直线、直线与平面、平面与平面的平行、垂直的关系；能用向量方法判断或证明直线、平面间的平行和垂直关系； 2．经历自主探究的过程，提高计算能力，分析和解决问题的能力，渗透数形结合，转化的思想； 3．体验数学学科的特点，提高学习数学的兴趣，树立学好数学的信心。 教学重难点 重难点：求一个平面的法向量；用向量方法判断或证明直线、平面间的平行关系；用向量方法判断或证明直线、平面间的垂直关系。 教学内容 空间向量的应用 知识点一：直线的方向向量和平面的法向量 1、直线的方向向量： 点A是直线l上的一个点，是直线l的方向向量，在直线l上取，取定空间中的任意一点O，则点P在直线l上的充要条件是存在实数t，使或，这就是空间直线的向量表达式. 2、平面的法向量定义： 直线l⊥α，取直线l的方向向量，我们称向量为平面α的法向量．给定一个点A和一个向量，那么过点A，且以向量为法向量的平面完全确定，可以表示为集合. 知识点诠释：一个平面的法向量不是唯一的，在应用时，可适当取平面的一个法向量．已知一平面内两条相交直线的方向向量，可求出该平面的一个法向量． 3、平面的法向量确定通常有两种方法： （1）几何体中有具体的直线与平面垂直，只需证明线面垂直，取该垂线的方向向量即得平面的法向量； （2）几何体中没有具体的直线，一般要建立空间直角坐标系，然后用待定系数法求解，一般步骤如下： （i）设出平面的法向量为； （ii）找出（求出）平面内的两个不共线的向量的坐标，； （iii）根据法向量的定义建立关于x、y、z的方程； （iv）解方程组，取其中的一个解，即得法向量．由于一个平面的法向量有无数个，故可在代入方程组的解中取一个最简单的作为平面的法向量． 知识点二：判定空间中的平行关系 （1）线线平行 设直线的方向向量分别是， 则要证明，只需证明，即 （2）线面平行 设直线的方向向量是，平面的法向量是，且， 则要证明，只需证明，即 （3）面面平行 若平面的法向量为，平面的法向量为，要证，只需证 ，即证 知识点三：判定空间的垂直关系 （1）线线垂直 设直线的方向向量分别是，则要证明，只需证明，即. （2）线面垂直 ①（法一）设直线的方向向量是，平面的法向量是，则要证明，只需证明，即 ②（法二）设直线的方向向量是，平面内的两个相交向量分别为， 若 ，（即证明是平面的法向量） （3）面面垂直 若平面的法向量为，平面的法向量为，要证， 只需证，即证. 知识点四：用向量方法求空间角 （1）求异面直线所成的角 已知a，b为两异面直线，A，C与B，D分别是a，b上的任意两点，a，b所成的角为， 则． （2）求直线和平面所成的角 设直线的方向向量为，平面的法向量为，直线与平面所成的角为，与的角为， 则有． （3）求二面角 如图，若于于，平面交于，则为二面角的平面角，. 若分别为面的法向量， 则二面角的平面角或， 即二面角等于它的两个面的法向量的夹角或夹角的补角． ①当法向量与的方向分别指向二面角的内侧与外侧时，二面角的大小等于的夹角的大小． ②当法向量的方向同时指向二面角的内侧或外侧时，二面角的大小等于的夹角的补角的大小． 知识点五：用向量方法求空间距离 1、空间中点到直线的距离： 设直线的方向向量为，点P与直线的距离为，则 2、空间中点到平面的距离： ①直接法：过点P作面α的垂直平面β，再过点P作两平面交线的垂线求解； ②等体积法：转化视角看一个相关的三棱锥，根据不同底面表示体积，列方程求解； ③向量法：设平面α的法向量为，则点P到平面α的距离为 考点一：求平面的法向量 【例1】四边形是直角梯形，，，平面，，，建立适当的空间直角坐标系，并求平面和平面的法向量．    【解析】因为，平面，平面，所以 又，，所以 所以以为原点，以，，的方向分别为轴，轴，轴的正方向建立空间直角坐标系，如图所示， 则， 所以是平面的一个法向量． 因为， 设平面的一个法向量， 则      ，取，得， 所以是平面的一个法向量． 【变式1-1】如图，在棱长为3的正方体中，点在棱上，且．以为原点，，，所在直线分别为轴、轴、轴，建立如图所示的空间直角坐标系． （1）求平面的一个法向量； （2）求平面的一个法向量． 【解析】（1）因为x轴垂直于平面，所以是平面的一个法向量． （2）因为正方体的棱长为3，， 所以M，B，的坐标分别为，，， 因此，， 设是平面的法向量，则 ，， 所以， 取，则，．于是是平面的一个法向量． 【变式1-2】如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，平面，，，．建立空间坐标系，写出平面的一个法向量的坐标． 【答案】解法1：在底面ABCD内，过D作于E， ∵ABCD为平行四边形，∴， 又∵平面ABCD，∴，， 以D为坐标原点，DE，DC，DP所在的直线分别为x，y，z轴， 建立空间直角坐标系，如图所示，则平面PCD的一个法向量为； 解法2：在△ADB内，有，，， 所以， 故，∴， 又∵平面ABCD，∴，， 以D为坐标原点，DA，DB，DP所在的直线分别为x，y，z轴， 建立空间直角坐标系，如图所示，设，则， ，，∴，， 设平面PCD的法向量， 则， 令，得，， 所以平面PCD的一个法向量的坐标为； 考点二：利用向量研究平行问题 【例2-1】如图，在四棱锥中，底面为矩形，平面平面，，，，，分别是，的中点. 求证：平面.    【解析】由题意， 在矩形中，，，， ，分别是，的中点， ∴，， 在四棱锥中，面平面， 面面，，平面， ∴面， 面，∴， 取中点，连接， ∵， ∴，所以四边形是平行四边形，∴， ∵，∴， ∵面，面， ∴面，∵平面， ∴ 以、、为、、轴建立空间直角坐标系如下图所示， ∴， ∴，面的一个法向量为， ∵，平面， ∴平面. 【例2-2】如图，已知棱长为4的正方体中，，，，分别是棱，，，的中点，求证：平面∥平面. 【答案】证明见解析 由正方体的棱长为4，建立如图所示的空间直角坐标系，则 ，,,,, , 设平面的一个法向量为，则 即，令，解得 所以 设平面的一个法向量为，则 即，令，解得 所以 所以 ∴平面∥平面. 【变式2-1】如图，在三棱柱中，平面，D，E分别为棱AB，的中点，，，.证明：平面. 【解析】在三棱柱中，平面，，，. 所以，则，则，则如下图， 以为原点，为轴建立空间直角坐标系， 设，则 ， 所以，， 设平面的一个法向量为， 所以，令，则，即， 所以，得， 又平面，所以平面. 【变式2-2】如图所示，正四棱的底面边长1，侧棱长4，中点为，中点为．求证：平面平面.    【解析】以为原点，，，所在直线为坐标轴，建立空间直角坐标系，如图 则,0,，,1,，,0,，,0,，,1,，,1,， ，，同理， 平面，平面，平面， 平面，平面，平面， 又平面 平面与平面平行． 【变式2-3】如图所示，平面PAD⊥平面ABCD，ABCD为正方形，△PAD是直角三角形，且PA＝AD＝2，E，F，G分别是线段PA，PD，CD的中点.求证： （1）PB//平面EFG； （2）平面EFG//平面PBC. 【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析. （1）因为平面PAD⊥平面ABCD，且ABCD为正方形，所以AB，AP，AD两两垂直. 以A为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系A-xyz，则A（0,0,0），B（2,0,0），C（2,2,0），D（0,2,0），P（0,0,2），E（0,0,1），F（0,1,1），G（1,2,0）.　 法一： 设平面EFG的法向量为， 则,即,令z＝1，则为平面EFG的一个法向量， ∵， ∴，所以， ∵PB⊄平面EFG， ∴PB//平面EFG. 法二：，，. 设， 即（2,0,－2）＝s（0,－1,0）＋t（1,1,－1）， 所以解得s＝t＝2. ∴，又与不共线，所以，与共面. ∵PB⊄平面EFG， ∴PB∥平面EFG. （2）由（1）知：， ∴，所以BC//EF. 又EF⊄平面PBC，BC⊂平面PBC，所以EF//平面PBC， 同理可证GF//PC，从而得出GF//平面PBC. 又EF∩GF＝F，EF⊂平面EFG，GF⊂平面EFG， ∴平面EFG//平面PBC. 考点三：利用向量研究垂直问题 【例3-1】如图，直四棱柱底面直角梯形，，，是棱上一点，，，，，. （1）求异面直线与所成的角的余弦值； （2）求证：平面. 【答案】（1）（2）证明见解析 （1）以原点，、、分别为轴、轴、轴建立空间直角坐标系.则，，，. 于是，， 设异面直线A1P与BC1所成的角为， 则， 异面直线与所成的角的余弦值大小等于.        （2）过作交于，在中，，，则，，， ，           ，.又，平面. 【例3-2】如图所示，是一个正三角形，平面，∥，且， M是EA的中点．求证：平面平面.    【解析】因为平面，平面，所以， 所以以为原点，所在的直线分别为轴建立如图所示的空间直角坐标系C－xyz， 不妨设，因为，所以， 则， 所以， 设平面的一个法向量是， 则，令，则， 设平面的一个法向量是， 则，令，则， 因为， 所以， 所以平面平面. 【变式3-1】如图所示的几何体中，平面平面为等腰直角三角形，，四边形为直角梯形，.    （1）求证：平面； （2）线段上是否存在点满足，使得平面？若存在，求出的值；若不存在，说明理由. 【解析】（1）四边形是平行四边形， . 平面平面 平面. （2）取的中点为. 平面平面平面，平面平面, 平面. 以点为坐标原点，分别以直线为轴，轴建立空间直角坐标系，则轴在平面内, ， ，， . 设平面的法向量为 即 令，则. ， . 又平面的法向量为平面， ∴. ∴在线段上存在点，使平面，且的值是. 【变式3-2】如图，在四棱锥中，平面，底面是梯形，点在上，．求证：平面平面.    【解析】因为平面，平面， 所以， 因为， 所以两两垂直， 所以以所在的直线分别为轴，建立空间直角坐标系，如图所示， 因为， 所以， 所以， 所以， 所以，即， 因为,，平面， 所以平面， 因为平面， 所以平面平面； 【变式3-3】已知正方体中，为棱上的动点． （1）求证：； （2）若平面平面，试确定点的位置． 【答案】（1）证明见解析；（2）E为CC1的中点. 以D为坐标原点，以DA，DC，DD1所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，如图， 设正方体的棱长为a，则A（a，0，0），B（a，a，0），C（0，a，0），A1（a，0，a），C1（0，a，a）． 设E（0，a，e）（0≤e≤a）． （1）＝（－a，a，e－a），＝（－a，－a，0）， ＝a2－a2＋（e－a）·0＝0， ∴，即A1E⊥BD； （2）设平面A1BD，平面EBD的法向量分别为＝（x1，y1，z1），＝（x2，y2，z2）． ∵＝（a，a，0），＝（a，0，a），＝（0，a，e） ∴， ， ，. ∴,　 取x1＝x2＝1，得＝（1，－1，－1），＝（1，－1，）． 由平面A1BD⊥平面EBD得⊥. ∴2－＝0，即e＝. ∴当E为CC1的中点时，平面A1BD⊥平面EBD. 考点四：利用向量的方法求异面直线所成的角 【例4】如图，在空间直角坐标系中，正方体的棱长为1，在上，在上，且．    （1）求向量，的坐标； （2）求与所成角的余弦值． 【解析】（1）由题意可得，， 故． （2）由（1）可知， 所以． ． 所以． 故与所成角的余弦值为． 【变式4-1】如图，在正三棱柱中，，则与所成角的余弦值为 .    【答案】 【解析】以A为原点，在平面内过点作的垂线为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系， 在正三棱柱中，设，则， 则， 故，， 设异面直线与所成角为，则， 所以， 所以异面直线与所成角的余弦值为. 故答案为：. 【变式4-2】如图，在三棱锥中，底面，.点分别为棱的中点，是线段的中点，，.    （1）求证：平面； （2）已知点在棱上，且直线与直线所成角的余弦值为，求线段的长. 【解析】（1）连接，交于点，连接， 分别为中点，，，， 又为中点，为中点，，， ，又平面，平面，平面. （2）以为坐标原点，正方向为轴，可建立如图所示空间直角坐标系， 设，则，，，， ，， ，整理可得：， 解得：（舍）或， 的长为. 考点五：利用向量的方法求线面角 【例5】如图，在四棱锥中，底面，四边形为正方形，且，为的重心，设与平面所成角的正弦值为_______． 【答案】 如图，以D为坐标原点，DA,DC,DP分别为x,y,z轴建立空间直角坐标系， 则 , 故 , 设平面PAC的一个法向量为 ， 则 ，取 ， 可得， 故设PG与平面PAC所成角为 ， 则 , 故答案为： 【变式5-1】如图，在四棱锥中，底面ABCD是矩形，，平面ABCD，E为PD中点.且.    （1）求证：平面PCD； （2）求直线BE与平面PCD所成角的正弦值. 【解析】（1）方法一 ∵平面ABCD，平面ABCD，∴， ∵四边形ABCD为矩形，∴，又，PA，平面PAD， ∴面PAD， ∵面PAD，∴， 在中，，E为PD中点，∴ ∵，面PCD，面PCD，∴平面PCD. 方法二：以A为原点，AB，AD，AP所在直线分别为轴，轴，轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，，，， ，，，∴. 在中，，E为PD中点，∴. ∵，面PCD，面PCD.∴平面PCD； 方法三：设平面PCD的一个法向量为，，，， 则，∴. 令，则，∴， ∵，∴，∴平面PCD. （2）由（1）得：平面PCD， ∴为平面PCD的一个法向量，. 记直线BE与平面PCD所成角为， ∴， ∴直线BE与平面PCD所成角的正弦值为； 【变式5-2】如图，由直三棱柱和四棱锥构成的几何体中，，，，，平面平面.为线段上一动点，当______时，直线与平面所成角的正弦值为. 【答案】1 解：以为坐标原点，分别为，，轴建立空间直角坐标系． 所以， 所以． 设平面的法向量，所以 所以， 所以平面的一个法向量， 设， 所以， 所以， 解得或（舍， 所以． 因为，所以 故答案为：1 考点六：利用向量的方法求二面角 【例6】如图，在四棱锥中，底面中，，侧面平面，且，点在棱上，且． 则二面角的余弦值为____________ 【答案】． 如图，取的中点，连接，． 由条件可知， ，两两垂直，以， ，所在直线分别为，，轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 则， ， ，， 因为，所以． 所以， ，， 设平面的法向量为， 则即令，则． 设平面的法向量为， 则即令，则=， ， 结合图象可知二面角为锐角， 所以二面角的余弦值为． 故答案为： 【变式6-1】如图，在正方体ABCD­A1B1C1D1中，E，F分别为AD，DD1的中点，则平面EFC1B和平面BCC1所成锐二面角的正弦值为________. 【答案】## 以D为原点，的方向为x轴正方向，的方向为y轴正方向，的方向为z轴正方向，建立空间直角坐标系.设AB＝2，则，，，，.设平面EFC1B的一个法向量为，则 取x＝2，得.易知平面BCC1的一个法向量为.设平面EFC1B和平面BCC1所成的锐二面角为θ，则，所以. 故答案为： 【变式6-2】如图，在四棱锥中，平面，，，，，E为的中点，F在上，满足．    （1）求证：平面； （2）求平面BAF与平面CAF的夹角的余弦值． 【解析】（1）因为平面，平面ABCD，所以，    又因为，平面， 所以平面． （2）过A作的垂线交于点M， 因为平面，平面， 所以， 以A为坐标原点，以分别为轴，建立空间直角坐标系如图， 则， ， 因为E为的中点，所以， 因为F在上，设，则， 故， 因为，所以， 即，即， 即， 所以， 设平面的一个法向量为，则， 即，令，则，故； ，设平面的一个法向量为，则， 即，令，则，故， 故， 故平面BAF与平面CAF的夹角的余弦值为． 考点七：距离问题 【例7-1】正四棱柱中，，，为中点，为下底面正方形的中心．求：    （1）点到直线的距离； （2）点到平面的距离． 【解析】（1）建立如图所示空间直角坐标系， ， ， 所以到直线的距离为: . （2）由（1）得 设平面的法向量为， 则，故可设， 所以点到平面的距离为． 【例7-2】在棱长为的正方体中，、分别是、的中点，求平面与平面之间的距离． 【答案】 解：以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系， 则、、、、、， ，，则， 因为、不在同一条直线上，则， 平面，平面，则平面， 同理可证平面，，故平面平面， 设平面的法向量为，，， 由，取，可得， 又因为，因此，平面与平面之间的距离为. 【变式7-1】如图，在三棱锥中，PA⊥平面ABC，，D，E，F分别是棱AB，BC，CP的中点，.    （1）求直线PA与平面DEF所成角的正弦值； （2）求点P到平面DEF的距离； （3）求点P到直线EF的距离． 【解析】（1）如图，以A为原点，直线分别为轴，建立空间直角坐标系， 由， 则， 所以， 设平面DEF的一个法向量为，则，取，则． 设PA与平面DEF所成的角为θ，则， 故直线PA与平面DEF所成角的正弦值为. （2）因为，， 所以点P到平面DEF的距离为. （3）因为，， 在上的投影长为， 所以点P到直线EF的距离为. 【变式7-2】如图，已知四棱锥的底面是菱形，对角线，交于点，，，，底面，设点满足．    （1）求直线与平面所成角的正弦值； （2）求点到平面的距离． 【解析】（1）因为平面是菱形，所以， 又因为底面，且面，所以，， 所以，，两两垂直， 以为坐标原点，以，，所在的直线分别为轴、轴和轴，建立空间直角坐标系，如图所示： 因为，，，则 所以， 又因为，所以， 设平面的法向量，则， 取，可得，所以， 设直线与平面所成角为， 所以， 所以直线与平面所成角的正弦值为. （2）由（1）中的空间直角坐标系，可得， 可得， 所以与平面所成角的正弦值为， 则到平面的距离. 【题组一：用空间向量研究直线、平面的位置关系】 一、单选题 1．已知向量，分别为直线方向向量和平面的法向量，若，则实数的值为（       ） A． B． C．1 D．2 【答案】C 由题意得：，所以，解得： 故选：C 2．已知平面内有两点，，平面的一个法向量为，则（       ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】C 解：因为，，所以， 因为平面的一个法向量为，所以， 则，解得， 故选：C. 3．已知平面的法向量为，，则直线与平面的位置关系为（       ） A． B． C． D．或 【答案】B 因为，即与平行， 所以直线与平面垂直. 故选：B 4．已知直线的方向向量，平面的一个法向量为，则线面的位置关系是（       ） A．平行 B．在平面内 C．垂直 D．平行或在平面内 【答案】D 由题可知：， 故直线平行或在平面内. 故选：D. 5．如图，在正方体中， 过点A且与直线垂直的所有面对角线的条数为（       ） A． B． C． D． 【答案】C 过点A的面对角线一共有三条，AC，，，连接，AC，，，以为坐标原点，DA为x轴，DC为y轴，为z轴，建立空间直角坐标系，设正方体棱长为1，则，，，，，其中，，，，，，，故与垂直，与不垂直，故答案为2条. 故选：C 6．已知点P是平行四边形ABCD所在平面外一点，如果，，．给出下列结论，其中正确的是（       ） A． B．AP⊥AD C．AP⊥AB D．是平面ABCD的一个法向量 【答案】B 解：由题意，因为，，， 所以，故选项A错误； 因为，所以AP⊥AD，故选项B正确； 因为，所以AP与AB不垂直，不是平面ABCD的一个法向量，故选项C、D错误； 故选：B. 7．如图，在空间直角坐标系中，有正方体，给出下列结论： ①直线的一个方向向量为； ②直线的一个方向向量为； ③平面的一个法向量为； ④平面的一个法向量为． 其中正确的个数为（       ）． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 解：设正方体的边长为1，则，，，，，， 对①：因为，所以直线的一个方向向量为正确； 对②：因为，所以直线的一个方向向量为不正确； 对③：因为平面，又，所以平面的一个法向量为不正确； 对④：因为，，，，， 所以平面的一个法向量为不正确. 故选：A. 8．如图，长方体中，点E，F分别是棱，上的动点（异于所在棱的端点）.给出以下结论：①在F运动的过程中，直线能与AE平行；②直线与EF必然异面；③设直线AE，AF分别与平面相交于点P，Q，则点可能在直线PQ上.其中所有正确结论的序号是（       ） A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 【答案】B 长方体中，，连接，，当点E，F分别是棱，中点时，由勾股定理得：，故，同理可得：，故四边形是平行四边形，所以在F运动的过程中，直线能与AE平行，与EF相交，①正确，②错误； 以为坐标原点，，，所在直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，则当点E，F分别是棱，中点且长方体为正方体时，设棱长为2，则，，，则，，则，又两向量有公共点，所以三点共线，故则点可能在直线PQ上，③正确. 故选：B 二、多选题 9．已知直线l的方向向量为，平面的法向量为，则能使的是（       ） A． B． C． D． 【答案】BC 因为直线l的方向向量为，平面的法向量为， 要使，只需∥. 对于A：.因为，所以、不平行.故A 错误； 对于B：.因为，所以∥.故B 正确； 对于C：.因为，所以∥.故C 正确； 对于D：.因为，所以、不平行.故D错误； 故选：BC. 10．在正方体中，、、、分别为、、、的中点，则下列结论中正确的是（       ） A． B．平面 C． D． 【答案】BCD 以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系，设， 则、、、、、、、、. 对于A选项，，，则，A错； 对于B选项，易知平面的一个法向量为，， ，则，又因为平面，因此，平面，B对； 对于C选项，，则，C对； 对于D选项，，，故， 又因为、不重合，所以，，D对. 故选：BCD. 三、填空题 11．若点，，，则平面ABC的一个法向量______． 【答案】 由题意，点点，，， 可得向量， 设平面的法向量为，可得， 取，可得，所以平面的一个法向量为. 故答案为：. 12．已知平面的法向量为，平面的法向量为，若，则实数______． 【答案】 由题设，平面与平面的法向量共线， ∴，则，即，解得. 故答案为：. 四、解答题 13．已知：如图，在空间直角坐标系中有长方体，，，，点E是的中点．求证：平面平面． 【答案】证明见解析. 由题意知， ， 因为E是的中点，所以， 则， 所以， ， 所以，，即，， 又平面，， 所以平面，又平面， 所以平面平面. 14．如图所示，在长方体中，，，、分别、的中点. （1）求证：平面； （2）求证：平面. 【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析. （1）以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系， 则、、、、， ，易知平面的一个法向量为， ，则， 平面，故平面； （2）设平面的法向量为，，， 由，得，取，可得， 所以，，故平面. 【题组二：用空间向量研究距离、夹角问题】 一、单选题 1．平面的法向量为，平面的法向量为，则下列命题正确的是（       ） A．，平行 B．，垂直 C．，重合 D．，相交不垂直 【答案】B 因为，所以，所以，垂直. 故选：B. 2．已知，，则异面直线与所成角的余弦值为（       ） A． B． C． D． 【答案】B 故选：B 3．已知两平面的法向量分别为，，则两平面所成的锐二面角的大小为（       ） A．30° B．45° C．60° D．75° 【答案】B ，所以两平面所成的锐二面角的大小为45°． 故选：B 4．如图，在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，若E，F分别是上底棱的中点，则点A到平面B1D1EF的距离为（       ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 建立如图所示的空间直角坐标系，则， 故，， 设平面的法向量为，则， 取，则，故， 故到平面的距离为， 故选：A. 5．已知正方体的棱长为，则平面与平面的距离为（       ） A． B． C． D． 【答案】C 由正方体的性质，∥,∥，，， 易得平面平面， 则两平面间的距离可转化为点B到平面的距离． 以D为坐标原点，DA，DC，所在的直线分别为x轴、y轴、z轴 建立空间直角坐标系， 则，，，，， 所以，，，． 连接，由，，且，可知平面， 得平面的一个法向量为， 则两平面间的距离． 故选：C 6．鳖臑是指四个面都是直角三角形的三棱锥.如图，在鳖臑中，平面，，，分别是棱，的中点，点是线段的中点，则点到直线的距离是（       ） A． B． C． D． 【答案】B 因为，且是直角三角形，所以.以为原点，分别以，的方向为，轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系.因为，所以，，，，则，.故点到直线的距离. 故点到直线的距离是. 7．如图，在正方体中，是中点，点在线段上，若直线与平面所成的角为，则的取值范围是（       ）． A． B． C． D． 【答案】A 如图，设正方体棱长为1，，则， 以为原点，分别以，，所在直线为，，轴建立空间直角坐标系． 则，故，，又，则，所以． 在正方体中，可知体对角线平面， 所以是平面的一个法向量， 所以． 所以当时，取得最大值，当或1时，取得最小值． 所以. 故选：A． 8．如图，在直三棱柱中，，，D为上一点．若二面角的大小为，则AD的长为（       ） A． B． C．2 D． 【答案】A 如下图所示，以为坐标原点，、、所在的直线分别为轴、轴、轴建立空间直角坐标系， 设，则，，，，平面的一个法向量为． 设平面的法向量为，由，得， 令，得平面的一个法向量为， 由题意知，解得，故选A. 二、多选题 9．直线的方向向量为，两个平面，的法向量分别为，，则下列命题为真命题的是（       ） A．若，则直线平面 B．若，则直线平面 C．若，则直线与平面所成角的大小为 D．若，则平面，所成二面角的大小为 【答案】BC 【详解】 对于A：若，则直线平面，或直线平面，故A错误； 对于B：若，根据平行的传递性可得直线平面，故B正确； 对于C：因为直线与平面所成角范围为，且若，即与的夹角为， 所以直线与平面所成角的大小为，故C正确； 对于D：因为两面所成角范围为，若，则平面，所成二面角的大小为或，故D错误. 故选：BC 10．在直三棱柱中，，，分别是的中点，在线段上，则下面说法中正确的有（       ） A．平面 B．若是上的中点，则 C．直线与平面所成角的正弦值为 D．直线与直线所成角最小时，线段长为 【答案】ACD 由题意可得，，，， ，，，设， ，， 直三棱柱中，， 可得为平面的一个法向量， 为平面的一个法向量， 对于A，，， 即，又平面，所以平面，故A正确； 对于B，若是上的中点，则， 所以，所以与不垂直，故B不正确； 对于C，由为平面的一个法向量，， 设直线与平面所成角为， 则，故C正确； 对于D，设， 则， 当时，即时，取最大值， 即直线与直线所成角最小，此时， ，故D正确. 故选：ACD 三、填空题 11．如图，在直三棱柱中，，则异面直线与所成角为_____；二面角的余弦值是_____.  【答案】          解：以为原点建立如图空间直角坐标系， 则 ，，. 由， 故异面直线与所成角为， 设平面的一个法向量为， 由 设，得， 平面的一个法向量， 所以， 所以二面角的余弦值是. 故答案为：；. 12．已知为正方体，，分别是，的中点，异面直线与所成的角为_______ 【答案】## 取点为原点，边，，所在的直线分别为，，轴， 建立如图所示的空间直角坐标系，设正方体的棱长为2， 则，0，，，2，，，1，，，1，， ， ，， ， 与所成的角为． 故答案为：． 四、解答题 13．如图，四棱锥中，面，底面为菱形，，M是的中点． （1）求证：平面； （2）求二面角的余弦值． 【答案】（1）证明见解析（2） （1）证明：∵面，面， ∴， 又, ∴平面. （2）取的中点为N，则两两垂直， ∴以分别为x轴，y轴，z轴建立直角坐标系如图， 则， 设面的法向量为， 则 令，则，． 又面，∴面的法向量， ∴， 又二面角的平面角为锐角，∴余弦值为． 14．如图，在四棱锥P-ABCD中，平面ABCD，，，，，E为PA上一点，且． （1）证明：平面平面PAC； （2）求直线PB与平面BEC所成角的正弦值． 【答案】（1）证明见解析（2） （1）证明： ∵PA⊥平面ABCD，平面ABCD， ∴PA⊥BC， ∵在直角梯形ABCD中，，，，， ∴， ∴， ∴， 又．平面PAC，平面PAC， ∴BC⊥平面PAC， ∵平面EBC， ∴平面EBC⊥平面PAC． （2）以A为坐标原点，AD，AB，AP分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系（如图所示）． ∵PA⊥平面ABCD，平面ABCD， ∴PA⊥AD， ∵，， ∴， ∵， ∴， 易知，，，． 则，，． 设是平面BCE的法向量． 则，即，所以可取 ∵． ∴直线PB与平面BEC所成角的正弦值为． 【题组三：综合题专项练习】 1．（2024·河南郑州·郑州市宇华实验学校校考一模）如图，在四棱锥中，平面，是等边三角形. （1）证明：平面平面. （2）求二面角的正弦值. 【答案】（1）证明见解析（2） 【详解】（1）设， 因为是等边三角形，且， 所以是的中点，则， 又，所以， 所以， 即， 又平面平面， 所以， 又， 所以平面， 因为平面， 所以平面平面. （2）以为坐标原点，的方向分别为轴的正方向建立 如图所示的空间直角坐标系. 因为， 所以， ， 设平面的法向量， 则令，得， 设平面的法向量为， 则令，得， ，， 故二面角的正弦值为. 2．（2024·辽宁沈阳·统考一模）如图，在三棱锥中，平面平面，且，，点在线段上，点在线段上. （1）求证：； （2）若平面，求的值； （3）在（2）的条件下，求平面与平面所成角的余弦值. 【答案】（1）证明见解析（2）（3） 【详解】（1）证明：过作直线于，连接. 由题知， ，即， 又平面,平面， 又平面， ，即 （2）方法一：平面平面，平面平面， 平面平面. 以为原点，以的长度为单位长度，以的方向分别为轴，轴，的正 方向建立空间直角坐标系，如图，则. 平面. 为中点，由题知 设， ， ， 又在中，， 所以. 方法二：平面.设，由知，. 平面平面，平面平面平面， 平面，又平面，又， 平面. （3）由（2）知，平面的一个法向量为， 设平面的一个法向量为， 则令则， ， 平面与平面所成角的余弦值为. 3．（2024·新疆乌鲁木齐·统考一模）如图，在四棱锥中，底面为正方形，平面，，点E，F分别是棱，的中点．    （1）求直线与平面所成角的正弦值； （2）在截面内是否存在点，使平面，并说明理由． 【答案】（1）（2）不存在，理由见解析 【详解】（1）由平面，、平面， 故、，又底面为正方形，故， 即、、两两垂直， 故可以为坐标原点，的方向为轴正方向， 建立如图所示的空间直角坐标系， 不妨设，则，，，，， ，，，，， 设平面的法向量，则，即， 可取， 因为， 所以与平面所成角的正弦值为；    （2）假设截面内存在点满足条件， 设，，，， 有，，， 所以， 因为平面，所以， 所以，解得， 这与假设矛盾，所以不存在点，使平面． 4．（2024·广西南宁·南宁三中校联考一模）在如图所示的五面体中，共面，是正三角形，四边形为菱形，平面，点为中点．    （1）证明：平面； （2）已知，求平面与平面所成二面角的正弦值． 【答案】（1）证明见解析（2） 【详解】（1）证明：连接交与点O，连接， 由于平面平面， 平面平面，故， O为的中点，点为中点，故， ，则四边形为平行四边形， 则，而平面，平面， 故平面； （2）由（1）知，取中点为N，连接， 由题意知是边长为2的正三角形，在中，， 则，故， 是边长为2的正三角形，则， 又平面，则平面， 平面，故， ，则为正三角形，故， 而平面，故平面， 以N为坐标原点，分别以所在直线为轴建立空间直角坐标系，    则， 则， 设平面的法向量为，则， 则，令，则； ，设平面的法向量为， 则，即，令，则， 故， 设平面与平面所成二面角为， 故，故平面与平面所成二面角的正弦值为. 5．（2024·吉林延边·统考一模）已知三棱柱，侧面是边长为2的菱形，，侧面四边形是矩形，且平面平面，点D是棱的中点． （1）在棱AC上是否存在一点E，使得平面，并说明理由； （2）当三棱锥的体积为时，求平面与平面夹角的余弦值． 【答案】（1）存在，理由见解析（2） 【详解】（1）解：存在，当E为AC的中点时，AD∥平面，理由如下： 如图所示： 取的中点F，连接EF，DF ， ∵DF是的中位线，   ∴， 又  ， ∴  ， ∴四边形DFEA是平行四边形 ， ∴AD∥EF， 又面，面  ， ∴AD∥平面． （2）∵四边形是矩形， ∴，， 又∵平面平面， ∴面， ∵， ∴  ， ∵侧面是菱形，， ∴是正三角形 ， ∵E是AC的中点， ∴， 以为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，， 则，， 设平面的一个法向量为， 由，得， 令，则，， ∴ ， 又平面的一个法向量，   ∴， ∴平面与平面的夹角的余弦值是. 一、本节课我们学习的向量你了解到了哪些？ 二、本节课我需要努力的地方是： 1 学科网（北京）股份有限公司 $$