1.2.1 空间中的点、直线与空间向量 课件-2024-2025学年高二上学期数学人教B版（2019）选择性必修第一册

1.2.1 空间中的点、直线与空间向量 学习目标　 1.了解空间点的位置向量与直线的方向向量.(数学抽象) 2.理解空间两直线平行、异面、垂直的向量条件,理解空间两直线的夹角与向量的夹角的关系.(数学抽象、逻辑推理) 3.理解公垂线段的概念并会求其长度.(直观想象、逻辑推理、数学运算) 4.掌握用向量的方法证明两直线平行、垂直,求夹角问题.(直观想象、逻辑推理) 教材认知·内化必备知识 一、空间中的点与直线的向量表示 1.空间中点的位置向量 如果在空间中指定一点O,那么空间中任意一点P的位置,都可以由向量_____ 唯一确定,此时, _____通常称为点P的位置向量. 2.空间中直线的方向向量 (1)定义:一般地,如果l是空间中的一条直线,v是空间中的一个非零向量, 且表示v的有向线段所在的直线与l____________,则称v为直线l的一个方向 向量.此时,也称向量v与直线l______,记作v∥l. 平行或重合 平行 点睛　 直线方向向量的特征 (1)刻画直线上点的位置,可在数轴上借助轴上向量(或向量的坐标);刻画平面内点的位置,可在平面直角坐标系内借助平面向量(或向量的坐标);刻画空间中点的位置,可在空间直角坐标系内借助空间向量(或向量的坐标). (2)性质1体现了直线方向向量的存在性, 性质2体现了直线方向向量的非零性和不唯一性, 性质3给出确定直线位置的两个要素:直线的方向向量及直线上的一定点. (3)同一条直线的方向向量,由于它们的模不一定相等,所以,它们不一定相等;虽然这些方向向量都与直线平行,但它们的方向不一定相同,还可能相反.平行直线所有的方向向量都共线,且能相互表示. 2.公垂线段:如果l1与l2是空间中两条异面直线,M∈l1,N∈l2,MN⊥l1,MN⊥l2,则称MN为l1与l2的公垂线段. 点睛　 (1)两条直线的夹角与两条直线的方向向量的夹角相等或者互补,即 sin θ=sin <v1,v2>,cos θ=|cos <v1,v2>|. (2)用向量方法求两条直线所成的角时,若能建立空间直角坐标系,则相关向量可用坐标表示,通过向量坐标运算求解;若建系不方便,则可选用基向量表示其他向量,通过向量运算求解. (3)设v1,v2分别是空间中直线l1与l2的方向向量:①若l1与l2异面,则v1与v2的关系为v1与v2不平行;②若v1与v2不平行,则l1与l2的位置关系为相交或异面.即“v1与v2不平行”是“l1与l2异面”的必要不充分条件 【质疑辨析】 (1)空间中一条直线的方向向量是唯一的.( ) 提示:空间中一条直线存在无数个方向向量. (2)空间中两直线所成的角就是两直线所在的方向向量的夹角.( ) 提示:两直线所在向量的夹角与两直线的夹角可能相等,也可能互补. (3)与两条异面直线都垂直的直线与公垂线段不一样.( ) 提示:与两条异面直线都垂直的直线有无数条,但公垂线段是唯一的,且两条异面直线间的距离也是两直线上任意两点连线的最小值. × × √ 合作探究·形成关键能力 类型一　空间中点的位置向量与直线的方向向量的确定(逻辑推理) [例1](1)(多选题)下列命题中真命题有(　　) A.直线l的方向向量有无穷多个 B.若两条直线平行,则它们的方向向量的方向相同或相反 C.若向量a是直线l的一个方向向量,则向量ka也是直线l的一个方向向量 D.两直线的方向向量平行,则两直线平行;两直线的方向向量垂直,则两直线垂直 【解析】选AB.A,B选项,由直线的方向向量的定义易知A,B正确;C选项,当k=0时,结论不成立,故C错误;D选项,两直线的方向向量平行,则两直线平行或重合,故D错误. (2)性质:若A,B是直线l上两个不同的点,非零向量v是直线l的一个方向向量,则: 1 是直线l的一个方向向量 2 对任意实数λ≠0,λv是直线l的一个方向向量 3 存在唯一的实数μ,使=μv 二、空间中两条直线的位置关系及空间向量 1.如果非零向量v1,v2分别是空间中直线l1,l2的方向向量,且l1,l2所成角的大小为θ,点A∈l1,B∈l2,则 平行 v1∥v2⇔l1∥l2或l1,l2重合 夹角 θ=<v1,v2>或θ=π-<v1,v2> 垂直 l1⊥l2⇔<v1,v2>=⇔v1·v2=0 异面 v1,v2,不共面⇔l1,l2异面 (2)(2023·南京高二检测)在如图所示的空间直角坐标系中,正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1,则直线DD1的一个方向向量为________,直线BC1的一个方向向量为________.  【解析】因为DD1∥AA1,=(0,0,1),所以直线DD1的一个方向向量为(0,0,1). 因为BC1∥AD1,=(0,1,1),所以直线BC1的一个方向向量为(0,1,1). 答案:(0,0,1)　(0,1,1)(答案不唯一) (3)已知O是坐标原点,A,B,C三点的坐标分别为(3,4,0),(2,5,5),(0,3,5). ①若=(-),则P点的坐标为________;  ②若P是线段AB上的一点,且AP∶PB=1∶2,则P点的坐标为________.  【解析】①=(-1,1,5),=(-3,-1,5), =(-)=(2,2,0)=(1,1,0), 所以P点的坐标为(1,1,0). ②由P是线段AB上的一点,且AP∶PB=1∶2,知=. 设点P的坐标为(x,y,z), 则=(x-3,y-4,z),=(2-x,5-y,5-z),故(x-3,y-4,z)=(2-x,5-y,5-z), 即得 因此P点的坐标为(,,). 答案:①(1,1,0)　②(,,) 【总结升华】 1.解决位置向量、方向向量的方法 转换法:转化为向量共线、向量相等、向量的坐标运算解决. 2.对直线方向向量的两点说明 (1)方向向量的选取:在直线上任取两点A,B,可得到直线的一个方向向量. (2)方向向量的不唯一性:直线的方向向量不是唯一的,可以分为方向相同和相反两类,它们都是共线向量,解题时,可以选取坐标最简的方向向量. 【即学即练】 1.设d1与d2都是直线l的方向向量,则下列关于d1与d2的叙述正确的是(　　) A.d1=d2 B.d1与d2同向 C.d1∥d2 D.d1与d2有相同的位置向量 【解析】选C.根据直线的方向向量的定义,把直线上的非零向量以及与之共线的非零向量叫做直线的方向向量.因此直线l的方向向量都应该是共线的. 2.若点A(-,0,),B(,2,)在直线l上,则直线l的一个方向向量为(　　) A. B. C. D. 【解析】选A.因为=(1,2,3), 所以=(1,2,3)=, 所以是直线l的一个方向向量. 【补偿训练】 　　点M在z轴上,它与经过坐标原点且方向向量为s=(1,-1,1)的直线l的距离为,则点M的坐标是(　　) A.(0,0,±2) B.(0,0,±3) C.(0,0,±) D.(0,0,±1) 【解析】选B.设M(0,0,z),P(t,-t,t)是直线l上任一点, 令MP⊥s,则·s=0, 由于=(t,-t,t-z), 因此t+t+t-z=0,即z=3t,① 而|MP|=, 即=,② 由以上两式解得t=1,z=3或t=-1,z=-3, 因此M的坐标为(0,0,-3)或(0,0,3). 类型二　异面直线所成的角及其应用(逻辑推理、数学运算) [例2](1)(教材提升·例3)如图,圆锥的轴截面ABC为等边三角形,D为的中点,E为母线BC的中点,则异面直线AB和DE所成角的余弦值为(　　) A. B. C. D. 【思路导引】方法一:取AC中点F,连接EF,DF,O为AB的中点,连接OD,CO,先证明DO⊥平面ABC,即可得出DO⊥OE,根据勾股定理求出DE=DF的值.然后由EF∥AB,得出∠DEF或其补角等于异面直线AB和DE所成的角,在△DEF中,即可求出答案.方法二:先证明DO⊥平面ABC,建立空间直角坐标系,得出点的坐标,表示出,,即可根据数量积公式,求出答案. 【解析】选C.方法一: 如图,取AC中点F,连接EF,DF,O为AB的中点,连接OD,CO,OE,OF, 易知CO⊥底面ADB, 因为CO⊂平面ABC,所以平面ABC⊥底面ADB. 又平面ABC∩底面ADB=AB,DO⊥AB, 所以DO⊥平面ABC. 因为EO⊂平面ABC,所以DO⊥OE. 同理可得,DO⊥OF. 设底面半径为r,EF=r,DE=DF==r. 因为E,F分别为CB,CA的中点,所以EF∥AB, 则在△DEF中,∠DEF或其补角等于异面直线AB和DE所成的角. 所以cos∠DEF===. 方法二:如图,O为AB的中点,连接OD,CO, 易知CO⊥底面ABD, 因为CO⊂平面ABC,所以平面ABC⊥底面ABD. 又平面ABC∩底面ABD=AB,DO⊥AB, 所以DO⊥平面ABC. 以点O为坐标原点,建立空间直角坐标系,设AB=2,则A,B,D, E,所以=, =, 记所求角为θ,则cosθ==. (2)(2023·常州高二检测)如图所示,在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中,E是棱CC1的中点,=λ,若异面直线D1E和A1F所成角的余弦值为,则异面直线A1F与BE所成角θ的余弦值为(　　) A.- B. C. D.- 【思路导引】建立空间直角坐标系,先利用条件求出λ,进而求出和,再利用线线角的向量公式即可求出结果. 【解析】选B.如图,以D为原点,分别以DA,DC,DD1所在直线为x,y,z轴,建立空间直角坐标系, 因为正方体的棱长为2,则A1(2,0,2),D1(0,0,2),E(0,2,1),A(2,0,0),B(2,2,0). 所以=(0,2,-1),又=+=+λ=(0,0,-2)+λ(-2,0,0)=(-2λ,0,-2), 所以cos<,>===,整理得9λ2=1, 解得λ=(-舍去). =(-2,0,1),=(-,0,-2), 所以cos<,>==-,故cos θ=. 【总结升华】 求两条异面直线所成角常用的方法 向量法 建立空间直角坐标系,结合向量的夹角公式求解.注意:(1)当向量夹角为锐角时,即为两直线的夹角;(2)当向量夹角为钝角时,两直线的夹角为向量夹角的补角 定义法 (平移法) 将异面直线通过平移转化成共面直线,结合三角形知识求解 补形法 通过补形(一般是补一个相同的几何体)将异面直线通过平移转化成共面直线,结合三角形知识求解 【即学即练】 1.已知=(,,-),=(0,-1,0),则异面直线AB与CD所成角的余弦值为(　　) A. B. C. D. 【解析】选B.cos<,>===. 2.若向量a=(x,4,5),b=(1,-2,2),且a与b的夹角的余弦值为,则x=(　　) A.3 B.-3 C.-11 D.3或-11 【解析】选A.因为a·b=x-8+10=x+2,|a|=,|b|==3, 所以=cos<a,b>==. 则x+2>0,即x>-2, 则方程整理得x2+8x-33=0, 解得x=-11或x=3.x=-11舍去, 所以x=3. 3.如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,AB⊥AC,AB=AC=2,AA1=4,点D是BC的中点,求异面直线A1B与C1D所成角的余弦值. 【解析】以A为原点,,,的方向分别为x轴、y轴、z轴正方向,建立空间直角坐标系如图, 则由题意知A(0,0,0),B(2,0,0),C(0,2,0), A1(0,0,4),D(1,1,0),C1(0,2,4), 所以=(2,0,-4),=(-1,1,4), 所以cos<,>===-, 所以异面直线A1B与C1D所成角的余弦值为. 类型三　利用直线的方向向量解决空间直线的位置关系问题(直观想象、逻辑推理) 角度1　解决平行或异面问题 [例3]如图,已知正方体ABCD-A'B'C'D',点M,N分别是面对角线A'B与面对角线A'C'的中点.求证:MN∥AD'. 【思路导引】可利用基向量法,也可利用坐标法. 【证明】方法一:基向量法 设=a,=b,=c, 则=(a+c),=c+(a+b), 所以=-=(b+c). 又因为b+c=,所以=, 所以∥, 因为M不在平面ADD'A'内,所以MN∥AD'. 方法二:坐标法 建立如图所示空间直角坐标系,设正方体的棱长为2, 则A(0,0,0),D'(0,2,2),M(1,0,1),N(1,1,2), 所以=(0,2,2),=(0,1,1), 所以=, 所以∥, 因为M不在平面ADD'A'内,所以MN∥AD'. 【补偿训练】 (1)本例条件不变,证明MN与CD'不平行. (2)本例条件不变,证明MN与CD'是异面直线. 【证明】建立如图所示空间直角坐标系,设正方体的棱长为2,则C(2,2,0),D'(0,2,2),M(1,0,1),N(1,1,2), 所以=(-2,0,2),=(0,1,1), (1)不存在λ∈R,使=λ, 所以与不平行,故MN与CD'不平行. (2)=(-1,1,0),设=k+μ, 则=k(0,1,1)+μ, 所以=, 即无解. 所以不存在这样的k,μ, 使=k+μ. 故,,不共面, 所以MN与CD'是异面直线. 【总结升华】 　利用坐标法证明两直线平行或异面的方法 (1)证明两直线平行一般转化为证明两直线的方向向量共线. (2)证明两直线异面一般转化为证明两直线的方向向量与两直线上两点连线的方向向量不共面. 角度2　解决垂直问题 [例4](教材提升·例4)如图所示,已知空间四边形ABCD的各边和对角线的长都等于a,点M,N分别是AB,CD的中点. (1)求证:MN⊥AB,MN⊥CD; (2)求异面直线AN与CM所成角的余弦值. 【解析】(1)由题意知,三棱锥A-BCD为正四面体,过A作底面BCD的垂线,垂足为O,由正棱锥的概念知,O为正△BCD的中心, 连接BN,则O在BN上,过O作直线PQ∥CD,分别交BC,BD于P,Q两点, 则OP,ON,OA相互垂直,以O为原点,OP所在直线为x轴,ON所在直线为y轴,OA所在直线为z轴,建立如图所示的空间直角坐标系, 则O(0,0,0),A(0,0,),B(0,-,0), C(,,0),D(-,,0), M(0,-,),N(0,,0), 则=(0,,-), =(0,-,-),=(-a,0,0), 因为·=0×0+×(-)+ (-)×(-)=-+=0, ·=0×(-a)+×0+(-)×0=0,所以MN⊥AB,MN⊥CD; (2)由(1)知,= (0,,-), =(-,-,), 则cos<,>===-, 设异面直线AN与CM所成角为θ, 则cos θ==, 所以异面直线AN与CM所成角的余弦值为. 【总结升华】 利用坐标法证明两直线垂直的方法 证明两直线垂直一般转化为证明两直线的方向向量垂直,即证明它们的方向向量的数量积为0. 提醒:注意是选择基向量法还是坐标法. 【即学即练】 1.设直线l1,l2的方向向量分别为a=,b=,若l1⊥l2,则m等于(　　) A.1 B.2 C. D.3 【解析】选B.由于l1⊥l2,则a·b=1×+2×3-2m=4-2m=0,解得m=2. 2.(2023·杭州高二检测)如图,PA⊥平面ABCD,四边形ABCD为正方形,E为CD的中点,F是AD上一点,当BF⊥PE时,=(　　) A. B.1 C.2 D.3 【解析】选B.建立如图所示的空间直角坐标系,设正方形ABCD的边长为1,PA=a, 则B,E,P, 设F, 则=,=, 因为BF⊥PE,则·=×+y×1+0×=0,解得y=, 即F,可知F是AD的中点,故=1. 3.如图,在长方体OAEB-O1A1E1B1中,OA=3,OB=4,OO1=2,点P在棱AA1上,且AP=2PA1,点S在棱BB1上,且SB1=2BS,点Q,R分别是O1B1,AE的中点,求证:PQ∥RS. 【证明】如图,建立空间直角坐标系,则A(3,0,0),B(0,4,0),O1(0,0,2),A1(3,0,2),B1(0,4,2),E(3,4,0), 因为AP=2PA1,所以=2=, 即=(0,0,2)=,所以P, 同理可得,Q(0,2,2),R(3,2,0),S, 所以==,所以∥, 因为R∉PQ,所以PQ∥RS. $$