精品解析：山东省济南市莱芜区胜利中学2023—2024学年上学期九年级数学期末模拟试题8

2023—2024学年上学期九年级数学期末模拟试题八 时间：120分钟，分数：150分 一．选择题（共10小题，满分40分，每小题4分） 1. 一个几何体的主视图和俯视图如图所示，若这个几何体最多有a个小正方体组成，则a值为（　　） A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 2. 已知函数，当，且时，则函数y的取值范围是（　　） A. B. C. 或 D. 3. 如图，数学实践活动小组要测量学校附近楼房的高度，在水平地面处安置测角仪测得楼房顶部点的仰角为，向前走20米到达处，测得点的仰角为，已知测角仪的高度为1米，则楼房的高度为（　　）（） A. B. C. D. 4. 从，，0，4中任取两个数，记为m，n，则满足的概率是（ ） A. B. C. D. 5. 已知的半径为2，点到圆心的距离为1.5，则点在（ ） A. 圆外 B. 圆上 C. 圆内 D. 不能确定 6. 关于二次函数y＝（x﹣2）2+1，下列说法中错误的是（　　） A. 图象的开口向上 B. 图象的对称轴为x＝2 C. 图象与y轴交于点（0，1） D. 图象可以由y＝x2的图象向右平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度得到 7. 如图，分别经过原点和点的动直线，夹角，点是中点，连接，则的最大值是（ ） A. B. C. D. 8. 反比例函数与一次函数y＝﹣mx+m（m≠0）在同一平面直角坐标系中的图象可能是（ ） A. B. C. D. 9. 如图是一张圆心为O，半径为4cm的圆形纸片，沿弦AC所在直线折叠，使得经过点O，将纸片展平后，作半径，则图中阴影部分的面积等于（ ） A. B. C. D. 10. 二次函数图象如图．下列结论：①；②；③若为任意实数，则有；④；⑤若，且，则．其中正确的有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 二．填空题（共6小题，满分20分） 11. 若点，在反比例函数的图象上，，则与的大小关系是______． 12. 已知点P（x1，y1）和Q（2，y2）在二次函数y＝（x+k）（x﹣k﹣2）的图象上，其中k≠0，若y1＞y2，则x1的取值范围为_____． 13. 某班有6名女生和4名男生报名参加学校组织的进博会志愿者活动，现从中任选1人，则选中男生的可能性是_________． 14. 如图所示，海面上有一座小岛A，一艘船在B处观测A位于西南方向20 km处，该船向正西方向行驶2小时至C处，此时观测A位于南偏东，则船行驶的路程约为_____．（结果保留整数，，，） 15. 如图，已知反比例函数y1＝，y2＝在第一象限的图象，过y2上任意一点P作x轴的垂线交y1于点A，交x轴于点B，过点P作y轴的垂线交y1于点C，y轴于点D，连接AC，BD，则＝_____． 16. 如图，已知正方形的边长为4，对角线，交于点，分别以，为直径作半圆，则图中阴影部分的面积为________． 三．解答题（共10小题，满分52分） 17. 计算：． 18. 如图，一次函数的图象与x轴、y轴分别交于A，B两点，且与反比例函数的图象在第一象限相交于C点，作轴于D点，若，，． （1）求反比例函数的解析式； （2）的面积为________． 19. 如图，在地面上离旗杆底部10米的处，用测角仪测得旗杆顶端的仰角为，已知测角仪的高为1.5米，求旗杆的高（参考数据：，精确到0.1米）． 20. 在中，半径垂直于弦，垂足为D，，E为弦所对的优弧上一点． （1）如图①，求和的大小； （2）如图②，与相交于点F，，过点E作的切线，与的延长线相交于点G，若，求的长． 21. 用抽签的方法从三名同学中选一名参加音乐会，事先准备三张相同的纸条，并在一张纸条上画上记号，其余2张不画，把三张纸条放在一个盒子中摇匀，然后让三名同学去摸纸条，摸到有标记的纸条的那位同学将被选中，这个游戏公平吗？通过画树状图的方法计算每个人中签的概率来说明． 22. 2019年6月5日我国航天首次完成海上发射，用长征十一号运载火箭将七颗卫星送入太空，这标志着我国火箭发射技术达到了一个崭新的高度．如图，运载火箭从海面发射站点M处垂直海面发射，当火箭到达点A处时，海岸边N处的雷达站测得点N到点A的距离为8千米，仰角为，火箭继续直线上升到达点B处，此时海岸边N处的雷达测得B处的仰角增加．（结果精确到0.1千米，参考数值，） （1）求发射站点M到海岸边雷达站N的距离． （2）求此时火箭所在点A处上升到B处的距离． 23. 某超市销售一种商品，成本价为20元/千克，经市场调查，每天销售量y（千克）与销售单价x（元/千克）之间的关系如图所示，规定每千克售价不能低于30元，且不高于80元．设每天的总利润为w元． （1）根据图象求出y与x之间的函数关系式； （2）请求出w与x之间的函数关系式，当销售单价定为多少元时，该超市每天的利润最大？最大利润是多少元？ （3）若该超市销售该商品所获利润不低于2800元，请直接写出x的取值范围． 24. 如图，在三角形ABC中，AB＝10，AC＝BC＝13，以BC为直径作⊙O交AB于点D，交AC于点G，直线DF⊥AC，于点F，交CB的延长线于点E． （1）求证：DF是⊙O的切线； （2）求cos∠ADF的值． 25. 如图1，四边形为正方形，点A在y轴上，点B在x轴上，且，反比例函数在第一象限的图象经过正方形的顶点C． （1）求点C的坐标； （2）如图2，将正方形沿x轴向右平移得到正方形，点恰好落在反比例函数的图象上，求此时点的坐标； （3）在（2）的条件下，点P为y轴上一动点，平面内是否存在点Q，使以点O、、P、Q为顶点的四边形为菱形，若存在，请直接写出点Q的坐标，若不存在，请说明理由． 26. 如图，已知抛物线y＝x2＋bx＋c过点A(3, 0)、点B(0, 3)．点M(m, 0)在线段OA上（与点A、O不重合），过点M作x轴的垂线与线段AB交于点P，与抛物线交于点Q，联结BQ． （1）求抛物线表达式； （2）连接OP，当∠BOP＝∠PBQ时，求PQ的长度； （3）当△PBQ为等腰三角形时，求m的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2023—2024学年上学期九年级数学期末模拟试题八 时间：120分钟，分数：150分 一．选择题（共10小题，满分40分，每小题4分） 1. 一个几何体的主视图和俯视图如图所示，若这个几何体最多有a个小正方体组成，则a值为（　　） A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 【答案】D 【解析】 【分析】考查学生对三视图掌握程度和灵活运用能力，关键是根据对空间想象能力方面解答． 易得这个几何体共有2层，由俯视图可得第一层立方体的个数，由主视图可得第二层立方体的可能的个数，相加即可． 【详解】解：结合主视图和俯视图可知，左边后排最多有3个，左边前排最多有3个，右边只有一层，且只有1个， 所以图中的小正方体最多7块， 结合主视图和俯视图可知，左边后排最少有1个，左边前排最多有3个，右边只有一层，且只有1个， 所以图中的小正方体最少5块， 所以， 故选：D． 2. 已知函数，当，且时，则函数y的取值范围是（　　） A. B. C. 或 D. 【答案】C 【解析】 【分析】当时，，根据反比例函数的增减性，求出y的取值范围即可． 本题主要考查反比例函数的性质，熟练掌握反比例函数的性质是解题的关键． 【详解】解：当时，， ∴当时，则有y的取值范围为， 当时，则有y的取值范围为； 综上所述：或； 故选：C． 3. 如图，数学实践活动小组要测量学校附近楼房的高度，在水平地面处安置测角仪测得楼房顶部点的仰角为，向前走20米到达处，测得点的仰角为，已知测角仪的高度为1米，则楼房的高度为（　　）（） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，由题意得出，设米，则米，米，再解直角三角形求出的值即可得解． 【详解】解：如图， ， 在中，， ∴， 设米，则米，米， 在中，， 解得：， ∴楼房的高度为米， 故选：C． 4. 从，，0，4中任取两个数，记为m，n，则满足的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意先画出表格，求出总的情况数，再求出符合条件的情况数，最后根据概率公式进行计算即可． 【详解】解：根据题意列表如下： 0 4 2 0 2 0 0 0 0 0 4 0 共有12种情况，其中满足的有4种结果， 所以满足的概率是． 故选：B． 【点睛】本题考查的是用列表法或画树状图法求概率．列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比． 5. 已知的半径为2，点到圆心的距离为1.5，则点在（ ） A. 圆外 B. 圆上 C. 圆内 D. 不能确定 【答案】C 【解析】 【分析】根据点与圆的位置关系即可得． 【详解】解： ∵⊙O 的半径为2，点 P 到圆心 O 的距离为1.5，且 1.5<2 ， ∴ 点 P 在圆内， 故选：C． 【点睛】本题考查了点与圆的位置关系，熟练掌握点与圆的位置关系是解题关键． 6. 关于二次函数y＝（x﹣2）2+1，下列说法中错误的是（　　） A. 图象的开口向上 B. 图象的对称轴为x＝2 C. 图象与y轴交于点（0，1） D. 图象可以由y＝x2的图象向右平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度得到 【答案】C 【解析】 【分析】根据二次函数的性质判断A，B选项；根据当x＝0时，y＝5判断C选项；根据图象的平移规律判断D选项． 【详解】解：A选项，a＝1＞0，开口向上，故该选项不符合题意； B选项，图象的对称轴为x＝2，故该选项不符合题意； C选项，当x＝0时，y=5，图象与y轴交于点（0，5）故该选项符合题意； D选项，图象可以由y＝x2的图象向右平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度得到，故该选项不符合题意； 故选：C． 【点睛】本题考查了二次函数的性质，二次函数的图象和几何变换，掌握二次函数的图象与坐标轴交点的求法是解题的关键． 7. 如图，分别经过原点和点的动直线，夹角，点是中点，连接，则的最大值是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据已知条件，，得出的轨迹是圆，取点，则是的中位线，则求得的正弦的最大值即可求解，当与相切时，最大，则正弦值最大，据此即可求解． 【详解】解：如图所示，以为边向上作等边，过点作轴于点，则， 则的横坐标为，纵坐标为， ∴， 取点，则是的中位线， ∴， ∵， ∴点在半径为的上运动， ∵是的中位线， ∴， ∴，当与相切时，最大，则正弦值最大， 在中，， 过点作轴，过点作于点，过点作于点， 则 ∵与相切， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴ 设，, 则 ∴ ∴ ∴ 解得： ∴ ∴的最大值为， 故选：A． 【点睛】本题考查了相似三角形的性质与判定，求正弦，等边三角形的性质。圆周角定理，得出点的轨迹是解题的关键． 8. 反比例函数与一次函数y＝﹣mx+m（m≠0）在同一平面直角坐标系中的图象可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先根据一次函数的性质判断出m取值，再根据反比例函数的性质判断出m的取值，二者一致的即为正确答案． 【详解】解：A、由函数的图象可知m＜0，由函数的图象可知m＞0，相矛盾，故A错误； B、由函数的图象可知m>0，由函数的图象可知m＞0，故B正确； C、由函数的图象可知m＜0，但是直线与y的正半轴有交点矛盾，故C错误； D、由函数的图象可知m>0，但是直线与y的负半轴有交点矛盾，故D错误； 故选：B. 【点睛】本题主要考查了反比例函数的图象性质和一次函数的图象性质，要掌握它们的性质才能灵活解题． 9. 如图是一张圆心为O，半径为4cm的圆形纸片，沿弦AC所在直线折叠，使得经过点O，将纸片展平后，作半径，则图中阴影部分的面积等于（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】作OD⊥AC交圆于点D、交AC于点E，根据垂径定理，OD平分 和，又因为AC是对折线，所以OD与AC互相垂直平分，所以ODCO组成的图形面积是与组成的图形面积的一半，也就等于ADCEA组成图形面积，此部分面积可用扇形OAC的面积减去△OAC面积求出，再用求出的面积减去扇形ODB的面积即得阴影部分面积． 【详解】作OD⊥AC交圆于点D，交AC于点E，连接OC，如图， ∴OD垂直平分弦AC，平分 和， ∵AC是向圆内的折线，且弦AC折叠后经过点O， ∴点O是点D关于AC的对称点，即OD与AC互相垂直平分， ∴OE=DE=OD 设与弦AC构成的图形面积为SADC，与构成的图形面积为SADCO，与和线段OD构成的图形面积为SODC， 则SADC=SADCO，SODC=SADCO， ∴SODC=SADC， ∵OD、OA都是圆O的半径，半径为4cm， ∴OE=OD=OA=， ∴∠OAE=30°， ∴∠AOE=90°-30°=60°， ∴∠AOC=2∠AOE=2×60°=120°， ∴S扇形OAC==(cm2)， ∵AC=2AE=cm， ∴S△OAC=(cm2)， ∴SADC= S扇形OAC - S△OAC=（）(cm2)， ∴SODC=（）(cm2)， ∵OB⊥OA，∠AOE=60°， ∴∠BOD=∠AOB-∠AOE=90°-60°=30°， ∴S扇形OBD=(cm2)， ∴S阴影=SODC- S扇形OBD==（）(cm2)， 故选 A． 【点睛】本题考查了求扇形和弓形面积、垂径定理、折叠问题及三角形的知识，解题的关键是要能通过对称看出SODC=SADC=SADCO，以及S阴影=SODC- S扇形OBD，再分别求出各部分面积就能求解． 10. 二次函数图象如图．下列结论：①；②；③若为任意实数，则有；④；⑤若，且，则．其中正确的有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】D 【解析】 【分析】由抛物线的开口方向判断的大小，根据抛物线与轴的交点判断的大小，根据对称轴和抛物线与轴的交点情况进行推理，对结论逐一判断，即可解答． 【详解】解：图象的开口向下，与轴交于正半轴，对称轴在轴右边， 可得：，，故①错误； 根据对称轴为直线，抛物线与轴的交点在的左边， 可得：抛物线与轴的另一个交点在和之间， 当时，，故②正确； 当时，函数具有最大值为， ，即，故③正确； 根据，可得，由②得，故④正确； 设在二次函数上， ，， 关于对称轴直线对称， 根据中点公式可得， ，故⑤正确， 综上所述，正确的有4个， 故选：D． 【点睛】本题考查了图象与二次函数系数之间的关系，会利用对称轴求得与的关系，以及熟练掌握二次函数与方程、不等式之间的转化，是解题的关键． 二．填空题（共6小题，满分20分） 11. 若点，在反比例函数的图象上，，则与的大小关系是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，利用反比例函数的性质求解更简便． 根据反比例函数的性质判断出、的正负情况，然后比较大小即可． 【详解】解：反比例函数的， 反比例函数图象位于第一、三象限， ， ，， ． 故答案为：． 12. 已知点P（x1，y1）和Q（2，y2）在二次函数y＝（x+k）（x﹣k﹣2）的图象上，其中k≠0，若y1＞y2，则x1的取值范围为_____． 【答案】x1＞2或x1＜0． 【解析】 【分析】将二次函数的解析式化为顶点式，然后将点P、Q的坐标代入解析式中，然后y1＞y2，列出关于x1的不等式即可求出结论． 【详解】解：y＝（x+k）（x﹣k﹣2） ＝（x﹣1）2﹣1﹣2k﹣k2， ∵点P（x1，y1）和Q（2，y2）在二次函数y＝（x+k）（x﹣k﹣2）的图象上， ∴y1＝（x1﹣1）2﹣1﹣2k﹣k2， y2＝﹣2k﹣k2， ∵y1＞y2， ∴（x1﹣1）2﹣1﹣2k﹣k2＞﹣2k﹣k2， ∴（x1﹣1）2＞1， ∴x1＞2或x1＜0． 故答案为：x1＞2或x1＜0． 【点睛】此题考查的是比较二次函数上两点之间的坐标大小关系，掌握二次函数的顶点式和根据函数值的取值范围求自变量的取值范围是解决此题的关键． 13. 某班有6名女生和4名男生报名参加学校组织的进博会志愿者活动，现从中任选1人，则选中男生的可能性是_________． 【答案】 【解析】 【分析】根据概率公式求解即可．本题考查可能性的大小，一般方法为：如果一个事件有种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件出现种可能，那么事件的概率． 【详解】解：某班有6名女生和4名男生报名参加学校组织的进博会志愿者活动，现从中任选1人，共有19种情况，其中男生被选中的有4种结果， 选中男生的可能性是， 故答案为：． 14. 如图所示，海面上有一座小岛A，一艘船在B处观测A位于西南方向20 km处，该船向正西方向行驶2小时至C处，此时观测A位于南偏东，则船行驶的路程约为_____．（结果保留整数，，，） 【答案】39km 【解析】 【分析】作于，则，，得出，，则可算出BD和CD的长，即可得出BC． 【详解】解：作于， 则，， ，， ； 故答案为：． 【点睛】 本题考查了解直角三角形的应用；作出辅助线是解题的关键． 15. 如图，已知反比例函数y1＝，y2＝在第一象限的图象，过y2上任意一点P作x轴的垂线交y1于点A，交x轴于点B，过点P作y轴的垂线交y1于点C，y轴于点D，连接AC，BD，则＝_____． 【答案】 【解析】 【分析】设点P的坐标，根据两个解析式表示出点C，A，B，D的坐标，并证明，，根据相似图形的面积比等于相似比的平方，得到的比值． 【详解】解：设 ∵过y2上任意一点P作x轴的垂线交y1于点A，交x轴于点B，过点P作y轴的垂线交y1于点C，y轴于点D， ∴C的纵坐标为，A的横坐标为 将C，A坐标代入中得， ∴ 则， ∵ ∴ ∴ 故填：． 【点睛】本题考查了反比例函数与几何图形的综合，熟知几何条件与函数条件的转化是解题的关键． 16. 如图，已知正方形的边长为4，对角线，交于点，分别以，为直径作半圆，则图中阴影部分的面积为________． 【答案】 【解析】 【分析】半圆的面积减去△ABE的面积，然后乘以2即可求得阴影部分的面积． 【详解】半圆的面积是：； 则△ABE是等腰直角三角形，面积是：． 则阴影部分的面积是：． 故答案为：． 【点睛】本题属于求组合图形面积的问题，这种类型的题目主要明确组合图形是由哪些基本的图形构成的，然后看是求几种图形的面积和还是求面积差，然后根据面积公式解答即可． 三．解答题（共10小题，满分52分） 17. 计算：． 【答案】37 【解析】 【分析】本题考查了实数的混合运算，先计算二次根式、绝对值、特殊角的三角函数值、零指数幂、负整数指数幂，再计算乘法，最后计算加减即可，熟练掌握运算顺序以及运算方法是解此题的关键． 【详解】解： ． 18. 如图，一次函数的图象与x轴、y轴分别交于A，B两点，且与反比例函数的图象在第一象限相交于C点，作轴于D点，若，，． （1）求反比例函数的解析式； （2）的面积为________． 【答案】（1）； （2）． 【解析】 【分析】（1）根据题意求出，，及，代入，即可求解， （2）将，，代入一次函数，求出一次函数解析式，当时，求出的长度，即可求解， 本题考查了求反比例函数解析式，求一次函数解析式，解题的关键是：熟练掌握反比例函数． 【小问1详解】 解：∵，，， ∴，， ∴， ∵点C在反比例函数的图象上， ∴， ∴反比例函数为：； 【小问2详解】 解：将，，代入一次函数， ，解得：， ∴一次函数的解析式为：， 当时，， ∴， ∴的面积为：， 故答案为： ． 19. 如图，在地面上离旗杆底部10米的处，用测角仪测得旗杆顶端的仰角为，已知测角仪的高为1.5米，求旗杆的高（参考数据：，精确到0.1米）． 【答案】约为14.3米 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用仰角俯角问题，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键．过点作，垂足为，根据题意可得：米，米，，然后在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，从而利用线段的和差关系进行计算，即可解答． 【详解】解：过点作，垂足为， 由题意得：米，米，， 在中，（米， （米， 旗杆的高约为14.3米． 20. 在中，半径垂直于弦，垂足为D，，E为弦所对的优弧上一点． （1）如图①，求和的大小； （2）如图②，与相交于点F，，过点E作的切线，与的延长线相交于点G，若，求的长． 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）根据半径垂直于弦，可以得到，从而得到，结合已知条件即可得到，根据即可求出； （2）根据，结合，推算出，进一步推算出，在中，，再根据即可得到答案． 【小问1详解】 解：在中，半径垂直于弦， ∴，得． ∵， ∴． ∵， ∴． 【小问2详解】 解：如图，连接． 同（1）得． ∵在中，， ∴． ∴． 又， ∴． ∵与相切于点E， ∴，即． 在中，， ∴． 【点睛】本题考查圆周角定理、切线的性质和直角三角函数，解题的关键是灵活运用相关知识． 21. 用抽签的方法从三名同学中选一名参加音乐会，事先准备三张相同的纸条，并在一张纸条上画上记号，其余2张不画，把三张纸条放在一个盒子中摇匀，然后让三名同学去摸纸条，摸到有标记的纸条的那位同学将被选中，这个游戏公平吗？通过画树状图的方法计算每个人中签的概率来说明． 【答案】 解：这个游戏公平，理由如下： 假设这3位同学抽签的顺序依次为：甲第一、乙第二、丙第三． 画树状图得： 则所有可能出现的结果有：，，，，，共6种． 甲中签的结果有2种，P（甲中签）； 乙中签的结果有2种，P（乙中签）； 丙中签的结果有2种，P（丙中签）． 因此先抽的人与后抽的人中签的概率相同，即这个游戏公平． 【解析】 【分析】本题主要考查的是用列表法或树状图法求概率，列表法可以重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件，用到的知识点为：概率等于所求情况数与总情况数之比，画树状图得出所有等可能的结果数，再从中找到符合条件的结果数，然后再用概率公式求解即可． 【详解】略 22. 2019年6月5日我国航天首次完成海上发射，用长征十一号运载火箭将七颗卫星送入太空，这标志着我国火箭发射技术达到了一个崭新的高度．如图，运载火箭从海面发射站点M处垂直海面发射，当火箭到达点A处时，海岸边N处的雷达站测得点N到点A的距离为8千米，仰角为，火箭继续直线上升到达点B处，此时海岸边N处的雷达测得B处的仰角增加．（结果精确到0.1千米，参考数值，） （1）求发射站点M到海岸边雷达站N的距离． （2）求此时火箭所在点A处上升到B处的距离． 【答案】（1）距离为6.9千米； （2）此时火箭所在点A处上升到B处的距离为2.9千米． 【解析】 【分析】（1）利用已知结合锐角三角函数关系即可得出的长； （2）在中，由锐角三角函数关系可求得，证得为等腰直角三角形得到，有线段的和差即可求得结果． 本题考查解直角三角形的应用仰角俯角问题，能够借助仰角构造直角三角形是解题的关键． 【小问1详解】 解：由题意得：在中，，， 由得：， （千米）， 所以发射站点到海岸边雷达站的距离为6.9千米； 【小问2详解】 解：在中，，，， （千米）， 又在中， ， 为等腰直角三角形， （千米）， （千米）， 此时火箭所在点处上升到处的距离为2.9千米． 23. 某超市销售一种商品，成本价为20元/千克，经市场调查，每天销售量y（千克）与销售单价x（元/千克）之间的关系如图所示，规定每千克售价不能低于30元，且不高于80元．设每天的总利润为w元． （1）根据图象求出y与x之间的函数关系式； （2）请求出w与x之间的函数关系式，当销售单价定为多少元时，该超市每天的利润最大？最大利润是多少元？ （3）若该超市销售该商品所获利润不低于2800元，请直接写出x的取值范围． 【答案】（1） （2）；80元； 6000元 （3） 【解析】 【分析】（1）设与之间的函数关系式为，由待定系数法求解即可； （2）利用总利润等于每千克的利润乘以销售量列出函数关系，将关于的二次函数写成顶点式，根据二次函数的性质及自变量的取值范围可得答案． （3）当时，得或，根据二次函数的性质和题目中x满足的条件综合得出 x的取值范围． 【小问1详解】 解：设与之间的函数关系式为， 将；分别代入得： ， 解得：， 与之间的函数关系式为； 【小问2详解】 由题意得： ， ； ， ，抛物线开口向下，对称轴为直线， 当时，随的增大而增大， 当时，有最大值，此时， 当销售单价定为80元时，该超市每天的利润最大，最大利润是6000元． 【小问3详解】 ， 当时，，解得，或， 抛物线开口向下 时，， 【点睛】本题考查了二次函数与一次函数在销售问题中的应用，理清题中的数量关系并熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． 24. 如图，在三角形ABC中，AB＝10，AC＝BC＝13，以BC为直径作⊙O交AB于点D，交AC于点G，直线DF⊥AC，于点F，交CB的延长线于点E． （1）求证：DF是⊙O的切线； （2）求cos∠ADF的值． 【答案】 （1）证明：连接OD，CD， ∵BC为⊙O的直径， ∴∠BDC＝90°，即CD⊥AB， ∵AC＝BC，AB＝10， ∴AD＝BD＝5， ∵O为BC中点， ∴OD∥AC， ∵DF⊥AC， ∴OD⊥EF， ∵OD过O， ∴直线DF是⊙O的切线； （2） 【解析】 【分析】（1）连接OD和CD，根据圆周角定理求出∠BDC＝90°，根据等腰三角形的性质求出AD＝BD，根据三角形的中位线求出OD∥AC，求出OD⊥EF，根据切线的判定得出即可； （2）根据余角的性质得到∠ADF＝∠ODC，等量代换得到∠ADF＝∠ODC，根据勾股定理得到CD＝12，根据三角函数的定义即可得到结论． 【详解】（1）略 （2）∵∠ADC＝∠BDC＝90°，∠ODF＝90°， ∴∠ADF＝∠ODC， ∴OD＝OC， ∴∠ODC＝∠OCD， ∴∠ADF＝∠ODC， ∵BD＝5，BC＝13， ∴CD＝12， ∴＝＝． 【点睛】本题考查了切线的判定，求一个角的三角函数值，（1）要证某线是圆的切线，已知此线过圆上某点，连接圆心和这点（即为半径），再证垂直即可；（2）求一个角的三角函数值，要把这个角放入直角三角形中或作垂直，也可以根据等角的三角函数值相等进行转化． 25. 如图1，四边形为正方形，点A在y轴上，点B在x轴上，且，反比例函数在第一象限的图象经过正方形的顶点C． （1）求点C的坐标； （2）如图2，将正方形沿x轴向右平移得到正方形，点恰好落在反比例函数的图象上，求此时点的坐标； （3）在（2）的条件下，点P为y轴上一动点，平面内是否存在点Q，使以点O、、P、Q为顶点的四边形为菱形，若存在，请直接写出点Q的坐标，若不存在，请说明理由． 【答案】（1）； （2）； （3）点Q的坐标为或或或． 【解析】 【分析】（1）过点C作轴，交于点H，设，则，根据正方形的性质及各角之间的关系得出，利用全等三角形的判定和性质得出，，即可确定点C的坐标； （2）利用（1）中方法确定，由点恰好落在反比例函数图象上，确定函数图象的平移方式即可得出点的坐标； （3）根据题意进行分类讨论：当时；当时；当为对角线时；分别利用菱形的性质及等腰三角形的性质求解即可． 【小问1详解】 解：过点C作轴，交于点H， ∵，∴设，则， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∵反比例函数在第一象限的图象经过正方形的顶点C， ∴， ∴； ∴； 【小问2详解】 解：如图所示，过点D作轴，，， 同（1）方法可得：， ∵， ∴四边形为矩形， ∴， ∴， ∵点恰好落在反比例函数的图象上， ∴当时，，即点A向右平移个单位得到点， ∴即； 【小问3详解】 解：分三种情况讨论， 由（2）得点A向右平移个单位得到点， ∴， ∴， 当时，则且， ∴，，即，； 当时，此时点与点Q关于y轴对称，； 当为对角线时，此时， 设， ∴， 解得，即，且， ∴，即， 综上可得：点Q的坐标为或或或． 【点睛】本题主要考查反比例函数的性质，正方形的性质，平移的性质，全等三角形的判定和性质，菱形的性质，勾股定理等，理解题意，（3）中根据菱形的性质进行分类讨论是解题关键． 26. 如图，已知抛物线y＝x2＋bx＋c过点A(3, 0)、点B(0, 3)．点M(m, 0)在线段OA上（与点A、O不重合），过点M作x轴的垂线与线段AB交于点P，与抛物线交于点Q，联结BQ． （1）求抛物线表达式； （2）连接OP，当∠BOP＝∠PBQ时，求PQ的长度； （3）当△PBQ为等腰三角形时，求m的值． 【答案】(1) y＝x2＋2x＋3；(2) ；(3) m的值为2、或1. 【解析】 【分析】（1）将点A (3, 0)、点B (0, 3) 分别代入抛物线解析式y＝x2＋bx＋c，化简求出b，c的值即可； （2）根据∠BOP ＝∠PBQ且MQ∥OB，可证△OBP ∽△BPQ，可设Q（x，x2＋2x＋3），求出直线AB的解析式，则可得P 的坐标为(x，3－x)，可得BP＝x，OB＝3，PQ＝x2＋3x，利用相似三角形的对应边成立比例即可求解； （3）分三种情况讨论：①当BQ＝PQ时，②当BP＝PQ时，③当BP＝BQ时，然后分别求解即可. 【详解】（1）∵将点A (3, 0)、点B (0, 3) 分别代入抛物线解析式y＝x2＋bx＋c得 ，解之得： ∴抛物线的解析式为y＝x2＋2x＋3 （2） ∵∠BOP ＝∠PBQ且MQ∥OB ∴∠OBP ＝∠BPQ ∴△OBP ∽△BPQ 设Q（x，x2＋2x＋3） ∵P点在直线AB上，并A (3, 0)、B (0, 3)， 则直线AB的解析式为： ∴ P (x，3－x) ∴BP＝x，OB＝3，PQ＝x2＋3x ∴ 即 ∴（0舍去） ∴ （3）∵M（m，0），P（m，3－m），Q（m，m2＋2m＋3） ∴BP＝m，PQ＝m2＋3m且∠BPQ＝45° ∴当△BPQ为等腰三角形时，存在如下情况： ①如图1，当BQ＝PQ时，即∠PBQ＝∠BPQ＝45° ∴△BPQ为等腰直角三角形 ∴m2＋2m＋3＝3 ∴m＝2 ②当BP＝PQ时,即m＝m2＋3m，即（0舍去） ③如图2，当BP＝BQ时，∠BQP＝∠BPQ＝45° 根据，，可得 则有 ， ∴m＝1 综上所述，m的值为2、或1. 【点睛】本题考查了二次函数与几何图形结合，三角形的相似，特殊角使用，以及等线段的关系转化问题，懂得综合讨论是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $