微专题7　模型构建　利用勾股定理解决最短路径问题课件 2024-2025学年 华东师大版数学八年级上册

微专题7　模型构建　 利用勾股定理解决最短路径问题 模型一 平面图形中求两点之间的最短距离 针对训练 1.一条河同一侧的两个村子A,B,其中A,B到河岸最短距离分别为1 km和2 km,两村水平距离为 4 km,现欲在河岸上建一个水泵站向两村送水,当建在河岸上何处时,到两村铺设水管总长度最短?求出此最短距离. 模型呈现 图形 解题思路及结论 如图,点P为直线l上 一点,求PA+PB的最 小值 通过作对称化“折”为“直”. PA+PB=AB'= 【解析】水泵站建在河岸上如图所示的位置时,到两村铺设水管总长度最短, 最短距离为=5(km). 2.(2024·重庆期末)如图,小区A与公路l的距离AC=200米,小区B与公路l的距离BD=400米,已知CD=800米,现要在公路旁建造一利民超市P,使P到A,B两小区的路程之和最短,超市应建在哪? (1)请在图中画出点P; 【解析】(1)如图,作A关于l的对称点A',连结A'B,交l于P, 点P即为所求的点; 2.(2024·重庆期末)如图,小区A与公路l的距离AC=200米,小区B与公路l的距离BD=400米,已知CD=800米,现要在公路旁建造一利民超市P,使P到A,B两小区的路程之和最短,超市应建在哪? (2)求PA+PB的最小值. 【解析】(2)由对称性得PA+PB的最小值即为线段A'B的长, 作A'E⊥BD交BD的延长线于点E,在Rt△A'BE中, A'E=CD=800米,BE=BD+DE=BD+CA'=BD+AC=400+200=600(米), ∴A'B===1 000(米), ∴PA+PB的最小值为1 000米. 模型二 立体图形中的最短路径问题 类型 圆柱型 棱柱型 阶梯型 缠绕型 内外型 问题 图 展开 图 基本 思路 化曲(折)为直:将立体图形展开成平面图形→利用两点之间线段最短确定最短路 线→构造直角三角形→利用勾股定理求解 针对训练 3.(2024·泸州期末)如图,已知BC是圆柱底面的直径,AB是圆柱的高,在圆柱的侧面上,过点A,C嵌有一圈路径最短的金属丝,现将圆柱侧面沿AB剪开,所得的圆柱侧面展开图是( ) B 4.(2024·桂林期末)如图,在长为3,宽为2,高为1的长方体中,一只蚂蚁从顶点A出发 沿着长方体的表面爬行到顶点B,那么它爬行的最短路程约是________.(精确 到0.1)  　4.2　 5.如图,一圆柱形物体高14 cm,底面圆的周长为32 cm,在外侧距下底1 cm的点S处有一只蜘蛛,与蜘蛛相对的上端外侧距上底1 cm的点F处有一只苍蝇,则蜘蛛捕获苍蝇的最短路线长为________cm.  　20　 6.如图是一个三级台阶,它的每一级的长、宽和高分别是50 cm,30 cm,10 cm,A和B是这个台阶的两个相对的端点,A点上有一只壁虎,它想到B点去吃可口的食物,请你想一想,这只壁虎从A点出发,沿着台阶面爬到B点,至少需爬_________cm.  　130　 7.如图,小冰想用一条彩带缠绕圆柱4圈,正好从A点绕到正上方的B点,已知圆柱底面周长是3 m,高为5 m,则所需彩带最短是________m.  　13　 8.(2024·吉林期末)(1)问题情境一:如图①,一只蚂蚁在一个长为100 cm,宽为50 cm 的长方形地毯上爬行,请在图①中画出蚂蚁从点A处到达点C处需要走的最短路 径,依据是__________________.  【解析】(1)如图①,连结AC,线段AC即为蚂蚁从点A处到达点C处需要走的最短 路径,依据是两点之间,线段最短. 两点之间,线段最短 (2)问题情境二:如图②,在情境一中的地毯上堆放着一根正三棱柱的木块,它的侧棱平行且等于地毯的宽AD,木块从正面看是一个边长为10 cm的等边三角形,求这只蚂蚁从点A处出发,翻越木块后到达点C处需要走的最短路径. 【解析】(2)如图②, 根据题意可得:展开图中的AB=100+10=110(cm),BC=50 cm. 在Rt△ABC中,由勾股定理可得:AC= ==10(cm), 即这只蚂蚁从点A处出发,翻越木块后到达点C处需要走的最短路径为 10 cm. 本课结束 $$