14.1.1.直角三角形三边的关系课件 2024-2025学年 华东师大版数学八年级上册

14.1　勾股定理 1.直角三角形三边的关系 基础 主干落实 重点 典例研析 素养 当堂测评 课时学习目标 素养目标达成 1.体验勾股定理的探索 抽象能力、推理能力 2.掌握勾股定理,会用勾股定理求直角 三角形的边长 推理能力、运算能力 3.能灵活运用勾股定理解决实际问题 运算能力、应用意识 基础 主干落实 【新知要点】 【对点小练】 　勾股定理   1.在Rt△ABC中,∠C=90°,直角边a=5,b=12,则斜边 c的长为 ( ) A.15 B.13 C.12 D.10 2.在△ABC中,∠A=90°,则不成立的是 ( ) A.BC2=AB2+AC2　B.AB2=AC2+BC2 C.AB2=BC2-AC2 D.AC2=BC2-AB2 3.把两个全等的直角三角形拼成如图所示的形 状,使点A,E,D在同一条直线上,利用此图的面积 关系可以得到一个关于a,b,c的代数恒等式,则 这个恒等式是_____________.  文字语言 直角三角形两直角边的_______ 等于斜边的_____ 图示 符号语言 ∵△ABC是直角三角形且∠C=90°, ∴AC2+BC2=_____或______ =c2 前提条件 勾股定理只适用于直角三角形 拼图验证 同一图形面积的两种不同表示, 整理化简可得勾股定理 平方和 平方 AB2 a2+b2 B B 　a2+b2=c2　 重点 典例研析 重点1 勾股定理及其简单应用(几何直观、运算能力) 【典例1】(教材再开发·P111例1补充)在△ABC中,∠C=90°,BC=a,AC=b,AB=c. (1)若a=1,b=3,求c. 【自主解答】(1)∵∠C=90°,BC=a,AC=b,AB=c,a=1, b=3,∴c===, 即c的值是; (2)若a=12,c=13,求b. 【自主解答】(2)∵∠C=90°,BC=a,AC=b,AB=c,a=12,c=13, ∴b===5, 即b的值是5. 【举一反三】 (2024·成都质检)在Rt△ABC中,∠C=90°,∠A,∠B,∠C的对边分别为a,b,c. (1)若a∶b=3∶4,c=10,求a,b的值. 【解析】(1)在Rt△ABC中,∠C=90°,∠A,∠B,∠C的对边分别为a,b,c,且a∶b=3∶4,∴设a=3x,则b=4x. ∵a2+b2=c2,即(3x)2+(4x)2=102, 解得x=2或x=-2(舍去), ∴a=3x=6,b=4x=8; (2)若c-a=4,b=16,求a的值. 【解析】(2)∵△ABC中,∠C=90°,∠A,∠B,∠C的对边分别为a,b,c,∴a2+b2=c2, ∵c-a=4,b=16, ∴a2+256=(a+4)2,解得a=30. 【技法点拨】 利用勾股定理求直角三角形的边长的三个步骤 1.分:分清哪条边是斜边,哪些边是直角边; 2.代:代入a2+b2=c2(c为斜边长); 3.开方:即代入后的式子适当变形后,通过开方求得算术平方根. 特别提醒 　若条件中没有明确斜边、直角边,则要分类讨论. 重点2 勾股定理的拼图验证(几何直观、推理能力) 【典例2】(教材再开发·P110“做一做”补充)一个直立的长方体纸盒在桌面上倒下,启迪人们发现了勾股定理的一种新的证明方法.如图,长方体纸盒的一个侧面ABCD倒下到AEFG的位置,连结CF,此时∠FAC=90°,AB=a,BC=b,AC=c.请利用直角梯形BCFG的面积证明勾股定理:a2+b2=c2. 【自主解答】∵S梯形BCFG=S△AFG+S△AFC+S△ACB=ab+c2+ab=ab+c2, S梯形BCFG=·(FG+BC)·BG =(a+b)(a+b)=a2+ab+b2, ∴ab+c2=a2+ab+b2, 整理得a2+b2=c2. 【举一反三】 (传统数学文化)如图是我国古代著名的“赵爽弦图”,它由4个全等的直角三角形 拼成,已知大正方形面积为25,小正方形面积为1,若用a,b表示直角三角形的两直 角边(a>b),则下列说法:①a2+b2=25,②a-b=1,③ab=12,④a+b=7.正确的是 ( ) A.①② B.①②③ C.①②④ D.①②③④ D 素养 当堂测评 1.(4分·推理能力、运算能力)在Rt△ABC中,∠C=90°,a=12,b=16,则c的长为 ( ) A.26　 B.18　 C.20　 D.21 2.(4分·几何直观、运算能力)如图,直角三角形ABC的周长为24,且AB∶BC=5∶3, 则AC=_______.  C 　8　 3.(4分·几何直观、运算能力)如图,湖的两岸有A,C两点,在与AC成直角的BC方向上的点B处测得AB=15米,BC=12米,则A,C两点间的距离为_______米.  　9　 4.(8分·推理能力、几何直观)学习勾股定理之后,同学们发现证明勾股定理有很多方法.某同学提出了一种证明勾股定理的方法:如图1点B是正方形ACDE边CD上一点,连结AB,得到直角三角形ACB,三边分别为a,b,c,将△ACB裁剪拼接至△AEF位置,如图2所示,该同学用图1、图2的面积不变证明了勾股定理.请你写出该方法证明勾股定理的过程. 【解析】如图,连结BF, ∵AC=b,∴正方形ACDE的面积为b2. ∵CD=DE=AC=b,BC=a,EF=BC=a, ∴BD=CD-BC=b-a,DF=DE+EF=b+a, ∵∠CAE=90°,∴∠BAC+∠BAE=90°, ∵∠BAC=∠EAF,∴∠EAF+∠BAE=90°,∴△BAF为等腰直角三角形, ∴四边形ABDF的面积为:c2+(b-a)(a+b)=c2+(b2-a2), ∵正方形ACDE的面积与四边形ABDF的面积相等, ∴b2=c2+(b2-a2),∴b2=c2+b2-a2, ∴a2+b2=c2,∴a2+b2=c2. 本课结束 $$