13.5　3.角平分线 课件 2024-2025学年华东师大版八年级数学上册

3.角平分线 基础 主干落实 重点 典例研析 素养 当堂测评 课时学习目标 素养目标达成 1.探索并证明角平分线的性质定理及判定定理,体会互逆定理之间的关系 几何直观、推理能力 2.会运用角平分线的性质定理与判定定理解决简单的实际问题 几何直观、推理能力、应用意识 基础 主干落实 【新知要点】 【对点小练】 1.角平分线的性质   1.如图,OC是∠AOB的平分线, P是OC上一点,PD⊥OA于点 D,PD=6,则点P到边OB的距离 为 ( ) 　　　 　　　 A.5 B.6 C.3 D.4 图形语言 文字语言 几何语言 角平分线上 的点到角两 边的距离 ______ ∵OP平分 ∠AOB,PD⊥ OA,PE⊥OB, ∴________ PD=PE B 相等 【新知要点】 【对点小练】 2.角平分线的判定 2.如图,在Rt△ABC中,∠C=90°, ∠BAC=50°,点D在边BC上,且 CD=3,若点D到AB的距离为3, 则∠DAB=________度.    图形语言 文字语言 几何语言 角的内部到角两 边距离相等的点 在____________ 上 ∵PD⊥OA, PE⊥OB, PD=PE, ∴________ ________ 角的平分线 OP平分 ∠AOB 　25　 重点 典例研析 重点1 角平分线的性质(几何直观、推理能力) 【典例1】(教材再开发·P98T2拓展)如图,BD是∠ABC的平分线,AB=BC,点P在BD上,PM⊥AD,PN⊥CD,M,N分别是垂足,求证:PM=PN. 【自主解答】∵BD是∠ABC的平分线, ∴∠ABD=∠CBD, 在△ABD和△CBD中, ∴△ABD≌△CBD(S.A.S.). ∴∠ADB=∠CDB.∴∠ADP=∠CDP. 即DP平分∠ADC.∵PM⊥AD,PN⊥CD,∴PM=PN. 【举一反三】 (2024·重庆质检)如图,∠1=∠2,点P为BN上的一点,∠PCB+∠BAP=180°,求证:PA=PC. 【证明】如图所示,过点P作PE⊥AB,PD⊥BC,垂足分别为E,D, ∴∠PEA=∠PDC=90°, ∵∠1=∠2,点P为BN上的一点, ∴PE=PD, 又∵∠PCB+∠BAP=180°,∠EAP+∠BAP=180°, ∴∠PCD=∠PAE, ∴△PCD≌△PAE(A.A.S.), ∴PA=PC. 重点2角平分线的判定(几何直观、推理能力) 【典例2】(教材再开发·P99T5拓展)如图,DE⊥AB于E,DF⊥AC于F,若BD=CD,BE=CF. (1)求证:AD平分∠BAC; 【自主解答】(1)∵DE⊥AB于E,DF⊥AC于F, ∴∠E=∠DFC=90°, ∴△BDE与△CDF均为直角三角形, ∵, ∴△BDE≌△CDF(H.L.). ∴DE=DF,∴AD平分∠BAC; (2)直接写出AB+AC与AE之间的等量关系. 【自主解答】(2)AB+AC=2AE. 理由如下:∵BE=CF,AD平分∠BAC, ∴∠EAD=∠CAD, ∵∠E=∠AFD=90°, ∴∠ADE=∠ADF. 在△AED与△AFD中,, ∴△AED≌△AFD(A.S.A.).∴AE=AF. ∴AB+AC=AE-BE+AF+CF=AE+AE=2AE. 【举一反三】 1.如图所示,是一块三角形的草坪,现要在草坪上建一凉亭供大家休息,要使 凉亭到草坪三条边的距离相等,凉亭的位置应选在( ) A.△ABC的三条中线的交点 B.△ABC三条角平分线的交点 C.△ABC三条高所在直线的交点 D.△ABC三边的中垂线的交点 B 2.(2024·信阳期中)如图,在△ABC中,D是BC上一点,DE⊥AB 于点E,DF⊥AC于点F,连结EF,AD垂直平分EF. (1)求证:AD是∠BAC的平分线; 【解析】(1)∵AD垂直平分EF,∴DE=DF, 又∵DE⊥AB,DF⊥AC, ∴AD是∠BAC的平分线; 2.(2024·信阳期中)如图,在△ABC中,D是BC上一点,DE⊥AB 于点E,DF⊥AC于点F,连结EF,AD垂直平分EF. (2)若△ABC的周长为18,△ABC的面积为24,BC=6,求DE的长. 【解析】(2)∵△ABC的周长为18,BC=6, ∴AB+AC=12, 又∵DF=DE,∴S△ABC=AB·DE+AC·DF=DE(AB+AC)=24, ∴DE×12=24,∴DE=4. 【技法点拨】 证明角的平分线的两种方法 1.定义法:应用角的平分线的定义. 2.定理法:应用“角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上”来判定.判定角平分线时,需要满足两个条件:“垂直”和“相等”. 素养 当堂测评 1.(5分·推理能力)点P在∠AOB的平分线上,点P到OA边的距离等于5,点D是OB边 上任意一点,则PD的最小值是( ) A.6 B.5 C.4 D.3 2.(5分·几何直观、推理能力)如图所示,若DE⊥AB,DF⊥AC,则对于∠1和∠2的 大小关系下列说法正确的是( ) A.一定相等 B.一定不相等 C.当BD=CD时相等 D.当DE=DF时相等 B D 3.(5分·几何直观、推理能力)如图,△ABC中,BD为∠ABC的平分线,DE⊥AB 于点E,AB=12,BC=8,△ABC的面积为50,则DE=_______.  　5　 本课结束 $$