福建省厦门双十中学2023-2024学年高三第一次模拟考试数学试题

机密★启用前 准考证号： 姓名： （在此卷上答题无效） 2023-2024学年厦门市高三毕业班第一次模拟考试（模拟练习） 数 学 本试卷共4页，19小题，满分150分.考试用时120分钟. 注意事项： 1. 答卷前，考生务必将自己的姓名.准考证号填写在答题卡上。 2. 回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3. 考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 1、 选择题：本大题共8小题，每小题5分，共计40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.已知集合，，则（     ） A. B. C. D. 2.复数，则z的虚部为（     ）． A. 3 B. C. i D. 3.已知等比数列为递增数列，若，，则公比（       ） A. B. 6 C. D. 4.已知函数，满足，则实数的值为（       ） A. B. C. 1 D. 2 5.在正六棱柱中，，为棱的中点，以为球心，为半径的球面与该正六棱柱各面的交线总长为（ ） A. B. C. D. 6.已知定义在上的函数满足，且当时，，则（ ） A. B. C. D. 7.已知双曲线的焦距与其虚轴长之比为3：2，则的离心率为（） A. B. C. D. 8.某城市采用摇号买车的方式，有20万人摇号，每个月摇上的人退出摇号，没有摇上的人继续进入下月摇号，每个月都有人补充进摇号队伍，每个季度第一个月摇上的概率为，第二个月为，第三个月为，则平均每个人摇上需要的时间为（  ）个月. A. 7 B. 8 C. 9 D. 10 二.选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9.2024年8月18日，越共中央总书记，国家主席苏林访华。“中越友谊深,同志加兄弟”。以下为越南温捷企业近个月的出口额情况统计，若已求得关于的线性回归方程为，则（      ） A. 与成正相关 B. 样本数据的第40百分位数为 C.当时，残差的绝对值最小 D. 用模型描述与的关系更合适 10.利用不等式“，当且仅当时，等号成立”可得到许多与n（且）有关的结论，则下列结论正确的是（       ） A. B. C. D. 11.已知圆，过点向圆引斜率为的切线，切点为，记的轨迹为曲线，则（       ） A. 的渐近线为 B. 点在上 C. 在第二象限的纵坐标最大的点对应的横坐标为 D. 当点在上时， 二.填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12.已知数列满足，设数列的前项和为，则满足的实数的最小值为            ． 13.已知函数有且只有一个零点，则ab的取值范围为              . 14.网络安全是国家安全的重要组成部分，习近平总书记曾多次强调网络安全意识的重要性，并对强化网络安全意识提出具体要求。在信息课上，某同学利用计算机模拟网络病毒的传播．已知在的平面方阵中，若某方格相邻方格中有个及个以上被病毒感染，则病毒扩散至该方格，若使所有方格均被感染，则至少需要在            个方格内投放病毒源；拓展到三维空间内，已知在的立体方阵中，若某方块相邻方块中有个及个以上被病毒感染，则病毒扩散至该方块，若使所有方块均被感染，则至少需要在            个方块内投放病毒源． 四.解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明.证明过程或演算步骤． 15.（13分） 已知在锐角中，，为边上一点，且． (1)证明：平分； (2)已知，求． 16.（15分） 如图所示，AB是的直径，点C是上异于A，PC⊥平面ABC，E，F分别为PA (1)求证：EF⊥平面PBC； (2)若，，二面角的正弦值为，求BC． 17.（15分） 在平面直角坐标系中，点到点的距离与到直线的距离之比为，记的轨迹为曲线，直线交右支于，两点，直线交右支于，两点，． (1)求的标准方程； (2)证明：； (3)若直线过点，直线过点，记，的中点分别为，，过点作两条渐近线的垂线，垂足分别为，，求四边形面积的取值范围． 18.（17分） 已知 (1)将，，，按由小到大排列，并证明； (2)令 求证: 在内无零点. 19.（17分） 已知有穷数列的通项公式为，将数列中各项重新排列构成新数列，则称数列是的“重排数列”；若数列各项均满足，则称数列是的“完全重排数列”，记项数为的数列的“完全重排数列”的个数为． (1)计算，，； (2)写出和，之间的递推关系，并证明：数列是等比数列； (3)若从数列及其所有“重排数列”中随机选取一个数列，记数列是的“完全重排数列”的概率为，证明：当无穷大时，趋近于．（参考公式：） 数学试题 第2页（共4页） 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2023-2024学年厦门市高三毕业班第一次模拟考试（模拟练习） 数 学 参 考 答 案 说明：解答只列出试题的一种解法.如果考生的解法与所列解法不同，可参考评分量表的相应评分. 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共计40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上. 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 C B D B D D C C 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，选对但不全得部分分，有选错的得0分. 题号 9 10 11 答案 AD ACD ABD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 13. 14. 12 144 四.解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明.证明过程或演算步骤． 15.（13分） （1）由题意，，且,所以，即，所以，又因为为锐角三角形，所以，所以，由正弦定理得.在中，由正弦定理得，在中，由正弦定理得，因为,所以，所以,又因为，即，且，所以，所以平分. （2）由（1）知，，因为，且为锐角三角形，所以,即,则，故.在中，由余弦定理得，解得，所以. 16.（15分） （1）证明：由PC⊥平面ABC，知，由AB是的直径，知，∵，∴AC⊥平面PBC，由E，F分别是PA，知，∴EF⊥平面PBC．（2）以C为原点，CA，CP所在直线分别为x轴、z轴， 建立如图所示的空间直角坐标系，则，设，b，，易知平面PAC的一个法向量，设平面PAB的一个法向量，则则，即，∴．取，得，则，∵二面角的正弦值为，则其余弦值为，∴，又，（，解得，．故． 17．（15分） （1）设点，因为点到点的距离与到直线的距离之比为，所以 ，整理得，所以的标准方程为.（2）由题意可知直线和直线斜率若存在则均不为0且不为， ①直线的斜率不存在时，则可设直线方程为，，则且由点A和点B在曲线E上，故，所以，同理可得，所以；②直线斜率存在时，则可设方程为，、，联立，则即，且，且，所以 ，同理 ，所以，综上，.（3）由题意可知直线和直线斜率若存在则斜率大于1或小于，且曲线E的渐近线方程为，故可分别设直线和直线的方程为和，且，          联立得，设、，则，，，故，因为P是中点，所以即，同理可得，所以P到两渐近线的距离分别为，，Q到两渐近线的距离分别为，，由上知两渐近线垂直，故四边形是矩形，连接，则四边形面积为 ，因为，所以，所以，所以四边形面积的取值范围为. 18.（17分） （1）令，则，令，则，因为，所以，则在上单调递增，则，所以当时，，则，所以在上单调递增，则，即当时，，又，当时，，即当时，综上：（2）要证在内无零点，只需证 由（1）知 只需证；即证：，即证：，令，则。令，则，当时，，则在上单调递增；所以当时，，则在单调递增，所以 即在内无零点. 19.（17分） （1）当时，，所以；当时，，，则其完全重排数列必为：，，故；当时，数列的完全重排数列可以为：或，故；当时，为得到数列的完全重排数列，可先排1，有3种排法，比如1排到2的位置，那就再排2，也有3种排法，剩下的两个数字只有1种排法，由乘法原理可得：.（2）当数列有项时，其“完全重排数列”的排法可以分为两个步骤：第一步：重排第项，有种排法；第二步：重排其余项，根据第一步的排法，可以分为两类：第一类：若第项排在第 项的位置，但第项不排在第项的位置，这样的排法有种；第二类：若若第项排在第 项的位置，第项排在第项的位置，这样的排法有种.所以，，又，所以 .所以数列，是等比数列，且，公比为.（3）由（2）可得： .所以：，，，，，以上各式相加，可得：，所以.又数列的重排数列的个数为：，所以 ，当无穷大时， 数学试题 参考答案 第2页（共4页） 学科网（北京）股份有限公司 $$