精品解析：上海市青浦高级中学2023-2024学年高三上学期9月质量检测数学试题

上海市青浦高级中学2023学年第一学期9月检测 高三试卷 考试时间：120分钟 满分：150分 一、填空题（本大题共12小题，满分54分，1-6每小题4分，7-12每小题5分，考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得分，否则一律得零分.） 1. 已知集合，则__________. 2. 已知复数z满足，则复数z为__________. 3. 已知直线和，若，则__________. 4. 若直线的倾斜角为α，则sin2α的值为___________. 5. 在的展开式中，的系数为__________．（用数字作答） 6. 数据7，4，2，9，1，5，8，6的第70百分位数为______． 7. 若一个集合是另一个集合的子集，则称这两个集合构成“全食”；若两个集合有公共元素但不互为对方的子集，则称两个集合构成“偏食”．已知集合和集合，若集合A，B构成“偏食”，则实数t的取值范围为____________． 8. 两个圆锥的底面是一个球的同一个截面，顶点均在球面上，若球的体积为，两个圆锥的高之比为1:3，则这两个圆锥的体积之和为______. 9. 已知，若在上恰有两个不相等的实数、满足，则实数的取值范围是__________． 10. 若函数的值域为，则实数的取值范围是________ 11. 如图所示，当篮球放在桌面并被斜上方一个灯泡P（当成质点）发出的光线照射后，在桌面上留下的影子是椭圆，且篮球与桌面的接触点是椭圆的右焦点，若篮球的半径为1个单位长度，灯泡与桌面的距离为4个单位长度，灯泡垂直照射在平面上的点为A，椭圆的右顶点到A点的距离为3个单位长度，则此时椭圆的离心率e=___________. 12. 已知等差数列（公差不为零）和等差数列的前n项和分别为、，如果关于x的实系数方程有实数解，那么以下2023个方程（）中，有实数解的方程至少有______个 二、单选题（本大题共4小题，满分18分，13-14每小题4分，15-16每小题5分，每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，否则一律得零分.） 13. 已知，则“”是“”的（ ） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 14. 下列函数中，既是定义域内单调增函数，又是奇函数的是（ ） A. B. C. D. 15. 已知数列的前项和满足，有结论： ① 若，则； ② 数列是常数列. 关于以上两个结论，正确的判断是（ ） A. ①成立，②成立 B. ①成立，②不成立 C. ①不成立，②成立 D. ①不成立，②不成立 16. 在中，.为所在平面内的动点，且，若，则给出下面四个结论： ①的最小值为；②的最小值为； ③的最大值为；④的最大值为8. 其中，正确结论的个数是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 三、解答题（本大题共有5题，满分76分，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.） 17. 如图，在四棱锥中，底面为正方形，平面，，分别为棱，的中点，. （1）求证：平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值. 18. 已知向量，其中，若函数的最小正周期为. （1）求的单调增区间； （2）在中，若，求的值. 19. 流行性感冒简称流感，是流感病毒引起的急性呼吸道感染，也是一种传染性强、传播速度快的疾病.了解引起流感的某些细菌、病毒的生存条件、繁殖习性等对于预防流感的传播有极其重要的意义，某科研团队在培养基中放入一定是某种细菌进行研究.经过2分钟菌落的覆盖面积为，经过3分钟覆盖面积为，后期其蔓延速度越来越快；菌落的覆盖面积（单位：）与经过时间（单位：）的关系现有三个函数模型：①（，），②（），③（）可供选择.（参考数据：，） （1）选出你认为符合实际的函数模型，说明理由，并求出该模型的解析式； （2）在理想状态下，至少经过多少分钟培养基中菌落的覆盖面积能超过？（结果保留到整数） 20. 已知椭圆C：的焦距为，且过点． （1）求椭圆C的方程； （2）设与坐标轴不垂直的直线l交椭圆C于M，N两点（异于椭圆顶点），点P为线段MN的中点，为坐标原点． ①若点P在直线上，求证：线段的垂直平分线恒过定点，并求出点的坐标； ②求证：当的面积最大时，直线OM与ON的斜率之积为定值． 21. 已知函数，． （1）若，且直线是曲线的一条切线，求实数的值； （2）若不等式对任意恒成立，求的取值范围； （3）若函数有两个极值点，，且，求的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 上海市青浦高级中学2023学年第一学期9月检测 高三试卷 考试时间：120分钟 满分：150分 一、填空题（本大题共12小题，满分54分，1-6每小题4分，7-12每小题5分，考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得分，否则一律得零分.） 1. 已知集合，则__________. 【答案】 【解析】 【分析】利用并集的概念计算即可. 【详解】由题意可知. 故答案为： 2. 已知复数z满足，则复数z为__________. 【答案】 【解析】 【分析】运用复数除法化简，再结合共轭复数概念得解. 【详解】,则，则. 故答案为：． 3. 已知直线和，若，则__________. 【答案】 【解析】 【分析】直接根据直线垂直公式计算得到答案. 【详解】直线和，， 则，解得. 故答案为：. 4. 若直线的倾斜角为α，则sin2α的值为___________. 【答案】##0.6 【解析】 【分析】根据直线斜率为倾斜角的正切值，结合三角恒等变换公式即可求解. 【详解】由题可知，， 则. 故答案为：. 5. 在的展开式中，的系数为__________．（用数字作答） 【答案】24 【解析】 【分析】写出展开式的通项公式，求出的系数. 【详解】的展开式通项公式为， 令，得，故的系数为24. 故答案为：24. 6. 数据7，4，2，9，1，5，8，6的第70百分位数为______． 【答案】7 【解析】 【分析】根据百分位数的定义即可求解. 【详解】将数据从小到大重新排列为 1,2,4,5,6,7,8,9 ，共8个数据， 由于，所以第70百分位数为7. 故答案为：7 7. 若一个集合是另一个集合的子集，则称这两个集合构成“全食”；若两个集合有公共元素但不互为对方的子集，则称两个集合构成“偏食”．已知集合和集合，若集合A，B构成“偏食”，则实数t的取值范围为____________． 【答案】 【解析】 【分析】 分别化简两个集合，由集合A，B构成“偏食”，可得实数t的取值范围． 【详解】集合， 若集合A，B构成“偏食”，则 则，实数t的取值范围为 故答案为： 8. 两个圆锥的底面是一个球的同一个截面，顶点均在球面上，若球的体积为，两个圆锥的高之比为1:3，则这两个圆锥的体积之和为______. 【答案】 【解析】 【分析】根据球的体积公式，结合球的性质、圆锥的体积公式进行求解即可. 【详解】设球的半径为，因为球的体积为，所以有， 设两个圆锥的高分别为，于是有且， 所以有，设圆锥的底面半径为， 所以有， 因此这两个圆锥的体积之和为， 故答案为： 9. 已知，若在上恰有两个不相等的实数、满足，则实数的取值范围是__________． 【答案】 【解析】 【分析】由可得出，分析可知函数在上恰有两个最大值点，可得出关于的不等式，解之即可. 【详解】因为，所以， 因为在上恰有两个不相等的实数、满足，且， 所以，函数在上恰有两个最大值点， 所以，，解得， 因此，实数的取值范围是. 故答案为：. 10. 若函数的值域为，则实数的取值范围是________ 【答案】 【解析】 【分析】分类讨论，先由求出的取值范围，再结合时二次函数的单调性求解值域即可 【详解】当时，，； 当时，是减函数，，要满足，此时应满足 ，即 故答案为 【点睛】本题考查根据分段函数值域求解参数问题，解题关键在于确定在临界点处的取值范围，属于中档题 11. 如图所示，当篮球放在桌面并被斜上方一个灯泡P（当成质点）发出的光线照射后，在桌面上留下的影子是椭圆，且篮球与桌面的接触点是椭圆的右焦点，若篮球的半径为1个单位长度，灯泡与桌面的距离为4个单位长度，灯泡垂直照射在平面上的点为A，椭圆的右顶点到A点的距离为3个单位长度，则此时椭圆的离心率e=___________. 【答案】 【解析】 【分析】建立平面直角坐标系，结合直线方程和点到直线距离公式得到与，解出，求出离心率. 【详解】以为坐标原点，建立如图所示的平面直角坐标系， 由题意得，， 则直线，即， 设，则， 所以点到直线的距离为，解得， 所以，即， 直线，即， 所以点到直线的距离为，解得或， 因为，所以，即直线， 令得，即， 所以，即， 联立与，解得， 故椭圆离心率为. 故答案为： 12. 已知等差数列（公差不为零）和等差数列的前n项和分别为、，如果关于x的实系数方程有实数解，那么以下2023个方程（）中，有实数解的方程至少有______个 【答案】1012 【解析】 【分析】设出两个等差数列的公差，由等差数列的性质得到，要想无实根，要满足，结合根的判别式与基本不等式得到和至多一个成立，同理可证：和至多一个成立，……，和至多一个成立，且，从而得到结论. 【详解】由题意得：， 其中，， 代入上式得：， 要想方程有实数解，则， 显然第1012个方程有解， 设方程与方程的判别式分别为和， 则 ， 等号成立的条件是. 所以和至多一个成立， 同理可证：和至多一个成立，……，和至多一个成立， 且， 综上，在所给的2023个方程中，无实数根的方程最多1011个，有实数根的方程至少1012个. 故答案为：1012 二、单选题（本大题共4小题，满分18分，13-14每小题4分，15-16每小题5分，每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，否则一律得零分.） 13. 已知，则“”是“”的（ ） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】利用正弦函数性质得出的关系，然后根据充分必要条件的定义判断． 【详解】由， 可得或， 即或， 所以由“”推不出“”，由“”可推出“”， 所以“”是“”的必要不充分条件． 故选：B． 14. 下列函数中，既是定义域内单调增函数，又是奇函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】对于A，利用正切函数的性质判断；对于B，由单调区间不能合并判断；对于C，利用函数的奇偶性定义判断；对于D，利用奇偶性定义及导数法判断. 【详解】解：对于A，为奇函数，在定义域内不单调，不符合题意； 对于B，，定义域为，，所以为奇函数，在和上分别单调递增，不符合题意； 对于C，定义域为R，关于原点对称，但，故函数不是奇函数，不符合题意； 对于D，定义域为R，关于原点对称，又，则是奇函数，，则单调递增，符合题意. 故选：D. 15. 已知数列的前项和满足，有结论： ① 若，则； ② 数列是常数列. 关于以上两个结论，正确的判断是（ ） A. ①成立，②成立 B. ①成立，②不成立 C. ①不成立，②成立 D. ①不成立，②不成立 【答案】B 【解析】 【分析】利用已知数列与的关系，转化为，，再利用分组求和判断①，以及讨论后，判断②. 【详解】由，得时，， 两式相减得：， ，故①成立， 由以上可知，当时， ， 当时，，即，即， 只有当时，，此时数列是常数列， 当时，，此时数列不是常数列，故②不成立， 故选：B 16. 在中，.为所在平面内的动点，且，若，则给出下面四个结论： ①的最小值为；②的最小值为； ③的最大值为；④的最大值为8. 其中，正确结论的个数是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】A 【解析】 【分析】如图，以为原点，所在的直线分别为轴，建立平面直角坐标系，设，然后表示出的坐标，由题意可得，再逐个分析判断即可. 【详解】如图，以为原点，所在的直线分别为轴，建立平面直角坐标系， 则， 因为，所以设，则 ，， 所以， 所以，即（为任意角）， 所以 （其中）， 所以的最大值为，最小值为， 所以①③错误， 因为， 所以 （其中） 因为， 所以， 所以， 所以的最小值为，最大值为14， 所以②正确，④错误， 故选：A 三、解答题（本大题共有5题，满分76分，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.） 17. 如图，在四棱锥中，底面为正方形，平面，，分别为棱，的中点，. （1）求证：平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值. 【答案】（1） 证明：在四棱锥中， 取的中点，连接、， 因为是的中点，所以，且. 又因为底面是正方形，是的中点， 所以，且.所以. 所以四边形是平行四边形，所以. 由于平面，平面，所以平面. （2） 【解析】 【分析】（1）由线面平行的判定定理即可证明； （2）以点为坐标原点，、、分别为、、轴，如图建立空间直角坐标系.求出直线的方向向量和平面的法向量，由线面角的向量公式代入即可得出答案. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 因为底面是正方形，所以.又因为平面. 所以以点为坐标原点，、、分别为、、轴，如图建立空间直角坐标系. ，，，，，. ，， 设平面的法向量为.有：即令，则， 所以..设直线与平面所成角为. 有：. 所以直线与平面所成角的正弦值为. 18. 已知向量，其中，若函数的最小正周期为. （1）求的单调增区间； （2）在中，若，求的值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据题意，由辅助角公式将函数化简，再由函数周期即可求得，再根据正弦型函数的单调区间即可得到结果； （2）根据题意，由（1）中函数的解析式可得，再由正弦定理可得，再结合平面向量数量积的定义代入计算，即可得到结果. 【小问1详解】 的最小正周期为. 故， 令，解得， 故函数的单调增区间为 【小问2详解】 设中角所对的边分别是. ，即，解得. ， ， . 19. 流行性感冒简称流感，是流感病毒引起的急性呼吸道感染，也是一种传染性强、传播速度快的疾病.了解引起流感的某些细菌、病毒的生存条件、繁殖习性等对于预防流感的传播有极其重要的意义，某科研团队在培养基中放入一定是某种细菌进行研究.经过2分钟菌落的覆盖面积为，经过3分钟覆盖面积为，后期其蔓延速度越来越快；菌落的覆盖面积（单位：）与经过时间（单位：）的关系现有三个函数模型：①（，），②（），③（）可供选择.（参考数据：，） （1）选出你认为符合实际的函数模型，说明理由，并求出该模型的解析式； （2）在理想状态下，至少经过多少分钟培养基中菌落的覆盖面积能超过？（结果保留到整数） 【答案】（1）答案见解析； （2）至少经过培养基中菌落的覆盖面积能超过. 【解析】 【分析】（1）根据题意，分析三个函数模型的增长速度快慢，选择，并求出解析式； （2）根据题意，，求出的取值范围，进而得出结果. 【小问1详解】 因为（，）的增长速度越来越快， （）和（）的增长速度越来越慢， 所以应选函数模型（，）. 由题意得，解得， 所以该函数模型为（）； 【小问2详解】 由题意得，即， 所以， 又. 所以至少经过培养基中菌落的覆盖面积能超过. 20. 已知椭圆C：的焦距为，且过点． （1）求椭圆C的方程； （2）设与坐标轴不垂直的直线l交椭圆C于M，N两点（异于椭圆顶点），点P为线段MN的中点，为坐标原点． ①若点P在直线上，求证：线段的垂直平分线恒过定点，并求出点的坐标； ②求证：当的面积最大时，直线OM与ON的斜率之积为定值． 【答案】（1） （2）①由题意知，直线l斜率存在，设直线l方程为，设. 由得， ，. 因为点P为线段的中点，点P在直线上，所以，即，. 所以. 所以线段MN的垂直平分线方程为，即，即. 故线段的垂直平分线恒过定点. ②直线OM与ON的斜率之积为. 【解析】 【分析】（1）根据焦距和所过点联立方程组求解即可； （2）设出直线方程并与椭圆方程联立，①根据中点公式及垂直平分线方程化简即可证明并得到定点；②利用弦长公式和点到直线距离公式，表示出三角形面积，并借助重要不等式得到三角形面积最大时，直线方程中的参数满足的条件，由此化简直线OM与ON的斜率之积即可得出定值. 【小问1详解】 因为焦距为，即，所以， 又因为椭圆过点，所以，解得， 所以椭圆C的方程为. 【小问2详解】 ①略 ②由弦长公式得， 坐标原点到直线的距离为， 所以的面积为. 当且仅当，即时等号成立. 所以. 所以直线OM与ON的斜率之积为定值. 21. 已知函数，． （1）若，且直线是曲线的一条切线，求实数的值； （2）若不等式对任意恒成立，求的取值范围； （3）若函数有两个极值点，，且，求的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【解析】 【分析】（1）代入a的值，根据切线方程得到关于x0的方程，求出切点坐标，解出m即可； （2）问题转化为alnx1＞0，记g（x）＝alnx1，通过讨论a的范围，求出函数的单调区间，从而确定a的范围即可； （3）法一：求出h（x2）﹣h（x1）的解析式，记m（x）＝2[（x）lnxx]，x≥1，根据函数的单调性求出a的范围即可； 法二：由h（x）＝f（x）﹣x＝alnxx，x＞0，以及h（x）有两个极值点x1，x2（x1＜x2），得到x1+x2＝a，x1x2＝1，设t2（t＞1），从而h（x2）﹣h（x1） 等价于 h（t）＝（t）lntt，t＞1，记m（x）＝（x）lnxx，x≥1，根据函数的单调性求出a的范围即可． 【详解】（1）当时， ，． 设直线与曲线相切于点， 则，即， 解得，即切点为， 因为切点在上，所以，解得． （2）不等式可化为． 记， 则对任意恒成立． 考察函数， ，． 当时， ，在上单调递减，又， 所以，不合题意； 当时， ，；， ， 所以在上单调递减，在上单调递增， 若，即时，在上单调递增， 所以时， ，符合题意； 若，即时，在上单调递减， 所以当时， ，不符合题意； 综上所述，实数的取值范围为． （3）方法一：，，． 因为有两个极值点， ， 所以，即的两实数根为， ， ， 所以， ， ，所以， ， 从而 ． 记，． 则 (当且仅当时取等号)， 所以在上单调递增，又， 不等式可化为，所以． 因为，且在上递增，所以， 即的取值范围为． 方法二：， ，． 因为有两个极值点， ， 所以，即的两实数根为， ， ， 所以， ， ，所以，． 设，则， ，所以， ， ， 从而等价于，． 记，． 则 (当且仅当时取等号)， 所以在上单调递增． 又， ，所以． 因为，且在上递增，所以， 即的取值范围为． 【点睛】本题考查了函数的单调性，最值问题，考查导数的应用以及分类讨论思想，转化思想，换元思想，考查函数恒成立问题，是一道综合题． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $