精品解析：甘肃省天水市麦积区天水市第二中学2024-2025学年高三上学期8月月考数学试题

天水市二中2025届高三月考试卷 数学 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，， ，则C中元素的个数为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 2. 下列函数中，是偶函数且在上单调递减的是（ ） A. B. C. D. 3. 记数列的前项和为，则“”是“为等差数列”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 4. 命题“”为假命题，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 5. 若，则函数的最小值为（ ） A. B. C. 4 D. 2.5 6. 已知函数满足对任意实数，都有成立，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 7. 若，，，则（ ） A. B. C. D. 8. 对任意两个实数，定义，若，下列关于函数的说法正确的是（ ） A. 函数是奇函数 B. 方程有三个解 C. 函数有3个单调区间 D. 函数有最大值为4，无最小值 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列说法不正确的是（ ） A. 函数与是同一个函数 B. 若函数的定义域为，则函数的定义域为 C. 不等式的解集为 D. 当时，不等式恒成立，则的取值范围是 10. 已知，为方程的两个实根，则（ ） A. B. C. D. 11. 定义在上的偶函数满足，当时，，设函数，则正确的是（ ） A. 函数图像关于直线对称 B. 函数的周期为6 C. D. 和的图像所有交点横坐标之和等于8 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 12. 已知，则_________. 13 已知函数，若，则______. 14. 关于的不等式的解集中恰有个整数，则实数的取值范围是____________． 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 已知集合或，． （1）若，求和； （2）若是的必要条件，求实数a的取值范围. 16. 已知关于x不等式． （1）若此不等式的解集为，求a，b的值； （2）若，求不等式的解集． 17. 已知定义域为的函数是奇函数. （1）求的值. （2）判断的单调性（不必证明）. （3）若对任意，使成立，求取值范围. 18. 如图，在多面体中，平面，平面平面BCD，其中是边长为2的正三角形，是以为直角的等腰三角形． （1）证明：平面； （2）若平面与平面的夹角的余弦值为，求线段的长度． 19. 已知函数. （1）若，求曲线在点处的切线方程. （2）若在处取得极值，求的极值. （3）若在上最小值为，求的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 天水市二中2025届高三月考试卷 数学 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，， ，则C中元素的个数为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意写出集合C的元素，可得答案. 【详解】由题意，当时， ，当，时， ， 当，时， ， 即C中有三个元素， 故选：C 2. 下列函数中，是偶函数且在上单调递减的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先检验函数的定义域是否关于原点对称，再考查是否为偶函数，结合函数解析式，分析函数在上的单调性即得. 【详解】对于A，因，则函数为偶函数， 且显然在上先减后增，故A错误； 对于B，因，则函数为偶函数，且， 显然函数在上为增函数，故B错误； 对于C，函数的定义域为，故是非奇非偶函数，故C错误； 对于D，因的定义域为，关于原点对称， 且，即函数是偶函数，且在上单调递减,即D正确. 故选：D. 3. 记数列的前项和为，则“”是“为等差数列”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】利用等差数列前项和及性质，结合充分条件、必要条件的意义判断作答. 【详解】等差数列的前项和为，则， 数列的前项和为，取，显然有， 而，即数列不是等差数列， 所以“”是“为等差数列”的必要不充分条件. 故选：B 4. 命题“”为假命题，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据存在量词命题为假命题，等价转化为全称量词命题为真命题，即在上恒成立，求在上的最小值即得. 【详解】由题意，“”为真命题，即在上恒成立， 令，，则在上恒成立， 即在上恒为增函数，则，故. 故选：A. 5. 若，则函数最小值为（ ） A. B. C. 4 D. 2.5 【答案】D 【解析】 【分析】由，则，又，从而利用均值不等式即可求解. 【详解】解：因为，所以， 所以，当且仅当，即时等号成立， 所以函数的最小值为， 故选：D. 6. 已知函数满足对任意实数，都有成立，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由题意可知函数在R上递减，结合分段函数单调性列式求解即可. 【详解】因为函数满足对任意实数，都有 成立， 不妨假设，则，可得，即， 可知函数在R上递减， 则，解得：， 所以的取值范围是. 故选：D. 7. 若，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先证明最大，再证明，即得解. 【详解】解：由题得， ，，所以. a＝0.20.2 ，b， 显然，a的被开方数大于b的被开方数，∴a＞b， 故有c＞a＞b. 故选：C 8. 对任意两个实数，定义，若，下列关于函数的说法正确的是（ ） A. 函数是奇函数 B. 方程有三个解 C. 函数有3个单调区间 D. 函数有最大值为4，无最小值 【答案】B 【解析】 【分析】由题意写出解析式，画出图像，由图像对选项中函数的性质进行判断. 【详解】当，即或时，； 当，即时， 则，画出图像如下. 对于A选项，因，且，函数图像关于轴对称，则函数是偶函数，A错误； 对于B选项，由图可得有三个解，，B正确； 对于C选项，由图可得在和上单调递增， 在和上单调递减，有4个单调区间，故C错误； 对于D选项，由图可得当时有最大值为2，无最小值，故D错误. 故选：B 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列说法不正确的是（ ） A. 函数与是同一个函数 B. 若函数的定义域为，则函数的定义域为 C. 不等式的解集为 D. 当时，不等式恒成立，则的取值范围是 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据函数的定义可判断A；根据抽象函数的定义域求法判断B；解一元二次不等式判断C；根据不等式恒成立，讨论k的取值，结合一元二次不等式恒成立，判断D. 【详解】对于A，函数的定义域为R，的定义域为， 故函数与不是同一个函数，A不正确； 对于B，函数的定义域为，即， 则对于函数有，故其定义域为，B正确； 对于C，不等式即，则或， 其解集为，C不正确； 对于D，当时，不等式恒成立，当时，恒成立， 当时，则需满足， 综合可得的取值范围是，D不正确， 故选：ACD 10. 已知，为方程的两个实根，则（ ） A. B. C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据根与系数关系求出，，然后再结合基本不等式进行求解. 【详解】由题意得：，，，； 对于A项：， 因为：，所以：， 所以得：，当且仅当时取等号，故A项正确； 对于B项：由，所以得：，故B项错误； 对于C项：， 所以得：，故C项正确； 对于D项： 当时取等号，故D项正确. 故选：ACD. 11. 定义在上的偶函数满足，当时，，设函数，则正确的是（ ） A. 函数图像关于直线对称 B. 函数的周期为6 C. D. 和的图像所有交点横坐标之和等于8 【答案】AD 【解析】 【分析】对于A：由即可推出对称轴； 对于B：由偶函数和对称性即可推出周期； 对于C：由周期性和对称性可知，即可推出的值； 对于D：由题可知，函数与均关于直线对称，画出图像即可求出答案. 【详解】，函数图像关于直线对称，故A正确； 又为偶函数，，所以函数的周期为4，故B错误；由周期性和对称性可知，，故C错误； 做出与的图像，如下： 由图可知，当时，与共有4个交点，与均关于直线对称，所以交点也关于直线对称，则有，故D正确. 故选：AD. 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 12. 已知，则_________. 【答案】 【解析】 【分析】令，利用换元法可得，进而可得出的解析式. 【详解】令，则， 由， 得()， 即(). 故答案为：. 13. 已知函数，若，则______. 【答案】 【解析】 【分析】构造奇函数，根据函数的奇偶性性质即可求解. 【详解】令， ， 所以为奇函数，则有， 因为，所以，则， 所以， 故答案为:. 14. 关于的不等式的解集中恰有个整数，则实数的取值范围是____________． 【答案】 【解析】 【分析】不等式化为，讨论与的大小解出不等式，依题意判断的取值范围即可得出. 【详解】关于的不等式可化为， 当时，解得，要使解集中恰有两个整数，则，得； 当时，不等式化为，此时无解； 当时，解得，要使解集中恰有两个整数，则，得. 综上，实数的取值范围是. 故答案为：. 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 已知集合或，． （1）若，求和； （2）若是的必要条件，求实数a的取值范围. 【答案】（1），或 （2）或 【解析】 【分析】（1）根据集合交集和并集的定义进行求解即可； （2）根据必要条件的性质进行求解即可. 【小问1详解】 ∵， ∴， ∴，或； 【小问2详解】 ∵是的必要条件， ∴ ∴当时，则有，解得．满足题意． 当时，有，或， 由不等式组可得，不等式组无解． 综上所述，实数a的取值范围是或. 16. 已知关于x的不等式． （1）若此不等式的解集为，求a，b的值； （2）若，求不等式的解集． 【答案】（1）， （2）见解析 【解析】 【分析】（1）由题意可得，和1是方程的两个实数根，利用根与系数关系可得结果； （2）由题意可得，分类讨论可得不等式的解集. 【小问1详解】 由题意可得，和1是方程的两个实数根， 所以， 解得，， 【小问2详解】 ∵，∴，即， 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为. 17. 已知定义域为的函数是奇函数. （1）求的值. （2）判断的单调性（不必证明）. （3）若对任意，使成立，求的取值范围. 【答案】（1）， （2）函数在R上是减函数 （3） 【解析】 【分析】（1）首先由是奇函数可知，得出，后面再根据当时，有恒等式成立即可求出； （2）将表达式变形为，根据复合函数单调性即可判断（或者由定义也可以判断）； （3）结合函数奇偶性和单调性将不等式转换为，求出在定义区间内的最大值即可得解. 【小问1详解】 因为函数是定义在R上的奇函数，所以，即，所以， 又因为，所以，将代入，整理得， 当时，有，即， 又因为当时，有，所以，所以. 经检验符合题意，所以，. 【小问2详解】 由（1）知：函数， 任意，有，则，得， 即，所以函数在R上是减函数. 【小问3详解】 因为对任意，使成立， 又因为函数是定义在R上的奇函数，所以不等式可转化为， 又因为函数在R上是减函数，所以， 所以在时恒成立， 令，由题意可知：问题等价转化， 又因为，， 所以，即的取值范围为. 18. 如图，在多面体中，平面，平面平面BCD，其中是边长为2的正三角形，是以为直角的等腰三角形． （1）证明：平面； （2）若平面与平面的夹角的余弦值为，求线段的长度． 【答案】（1）证明见解析 （2）或． 【解析】 【分析】（1）取CD的中点F，连接EF，易得，再由平面平面BCD，得到平面BCD，再由平面BCD，得到，然后利用线面平行的判定定理证明； （2）过点B作，以B为坐标原点，分别以BP，BD，y，z轴建立空间直角坐标系，设，分别求得平面ACE的一个法向量为，平面BDE的一个法向量为，设平面ACE与平面BDE的夹角为，由求解. 【小问1详解】 证明：取CD的中点F，连接EF， 因为是边长为2的正三角形， 所以． ∵平面平面BCD，且平面平面， ∴平面BCD． 又∵平面BCD，∴． ∵平面ECD，平面ECD； ∴平面； 【小问2详解】 解：过点B作，以B为坐标原点，分别以BP，BD，y，z轴建立如图所示的空间直角坐标系， 设，则，，，，， 所以，，，． 设平面ACE的一个法向量为， 由，取，得； 设平面BDE的一个法向量为， 由，取，得． 设平面ACE与平面BDE的夹角为， 则， 解得或，即或． 19. 已知函数. （1）若，求曲线在点处的切线方程. （2）若在处取得极值，求的极值. （3）若在上的最小值为，求的取值范围. 【答案】（1） （2）极大值，极小值； （3） 【解析】 【分析】（1）根据导数的几何意义，即可求得答案； （2）根据在处取得极值，求出a的值，从而判断函数的单调性，求得极值； （3）分类讨论，讨论a与区间的位置关系，确定函数单调性，结合函数的最值，即可确定a的取值范围. 【小问1详解】 若，则，则， 故， 故曲线在点处的切线方程为，即； 【小问2详解】 定义域为， 则， 由于在处取得极值，故， 则， 令，则或，函数在上均单调递增， 令，则，函数在上单调递减， 故当时，取到极大值， 当时，取到极小值； 【小问3详解】 由于， 当时，，仅在时等号取得，在上单调递增， 则，符合题意； 当时，则时，，在上单调递减， 时，，上单调递增， 故，不符合题意； 当时，，在上单调递减， 故，不符合题意； 综上，可知的取值范围为. 【点睛】方法点睛：第三问根据函数的最小值求解参数范围，求出导数后，要分类讨论，讨论a与区间的位置关系，从而确定最值，求得参数范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$