1.4.2 充要条件 课件-2024-2025学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册

第一章《集合与常用逻辑用语》 1.4.2 充要条件 学习目标 1、理解充要条件的意义； 2、理解数学定义与充要条件的关系； 3、通过对充要条件的概念的理解和运用，培养严谨的学习态度和积极进取的精神. 重点: 充要条件的意义. 难点: 对充要条件与数学定义之间的关系的理解. 复习回顾 上节课我们学习了哪些主要内容？ 1、充分条件和必要条件； 2、判别步骤： 3、判别技巧． 给出p、q，先判断“p⇒q”的真假，然后再下结论 否定命题时举反例是重要的手段. 若p⇒q，则p是q的充分条件， q是p的必要条件. 复习回顾 充分条件与判定定理、必要条件与性质定理是怎样联系的？ 结论1： 一般地，数学中的每一条判定定理都给出了相应数学结论成立的一个充分条件. 结论2： 一般地，数学中的每一条性质定理都给出了相应数学结论成立的一个必要条件. 新知导入 问题1 在初中，我们已经学习过逆命题，那么什么是逆命题？ 命题“若,则”的逆命题为“若,则”，即将命题“若,则”中的条件和结论互换，就得到一个新的命题“若,则”，则称这个命题为原命题的逆命题. 逆命题： 新知引入 思考 下列“若p，则q”形式的命题中，哪些命题与它们的逆命题都是真命题？ (1)若两个三角形的两角和其中一角所对的边分别相等, 则这两个三角形全等； (2)若两个三角形全等，则这两个三角形的周长相等； (3)若一元二次方程有两个不相等的实数根，则; (4)若是空集，则A与B均是空集. 原命题：真 逆命题：真 原命题：假 逆命题：真 原命题：真 逆命题：真 原命题：真 逆命题：假 如果命题“若,则”和它的逆命题“若,则”均是真命题, 即：既有, 又有, 就记作 此时, 既是的充分条件, 又是的必要条件，我们说， 是的充分必要条件，简称为充要条件. 新知1:充要条件 显然，如果是的充要条件，那么也是的充要条件， 概括地说，如果，那么与互为充要条件. 牛刀小试 (4) ：是一元二次方程的一个根， ： (1) ：四边形是正方形，：四边形的对角线互相垂直且平分； (2) ：两个三角形相似，：两个三角形三边成比例； [练习1] 下列各题中，哪些是的充要条件？ (3) ：, ：, 归纳 (1) 总结： 在[练习1]中， (2) (4) (3) 归纳小结：与之间的四种条件关系 条件 结论 能否推 能否推 与的关系 是q的______________条件 x>2 x2>4 是q的______________条件 ab=0 a=0 是q的______________条件 |a|>|b| a>b 是q的________________条件 充分必要(充要) 充分不必要 必要不充分 既不充分也不必要 q q q q ▲ 是的充要条件，记作 【注意】是的充要条件也可以说成： ①和是等价的; ②成立当且仅当成立; ③成立当且仅当成立. 概念深化 思考 ,则是的充要条件，唯一吗？请举例说明. 判定定理和充分条件的关系，性质定理与必要条件的关系，那么充要条件和什么有关系呢？试给出“四边形是平行四边形”的充要条件并分析一下. “四边形是平行四边形” 四边形的两组对角分别相等 四边形的两组对边分别相等 四边形的一组对边平行且相等 四边形的对角线互相平分 四边形的两组对边分别平行 这些充要条件从不同角度刻画了“平行四边形”这个概念 不唯一 概念深化 数学定义和充要条件的关系：数学定义从充分性和必要性两个方面刻画数学对象，不同的充要条件从不同的角度刻画了同一个数学对象。 类似地，利用“两个三角形全等”的充要条件，可以给出“三角形全等”的其他定义形式（SSS、SAS、AAS、ASA、HL），而且这些定义是相互等价的。 结论： 典例剖析 例1 已知：的半径为圆心到直线的距离为 求证：是直线与相切的充要条件． P O Q 典例剖析 P O 证明：设 p:d=r，q: 直线 l 与 O相切. 若d=r，则点P在⨀O上。 在直线 l 上任取一点Q(异于点P)，连接OQ. 在Rt∆OPQ中，OQ>OP =r. 所以，除点P外直线l上的点都在⨀O的外部， 即直线l与⨀O仅有一个公共点P. 所以直线l与⨀O相切. (1)充分性(p⇒q)： 若直线 l与⨀O 相切，不妨设切点为P，则OP⟂l . d=OP=r. (2)必要性(q⇒p)： 所以，d=r是直线L与⨀O 相切的充要条件. 如图，作OP⟂l 于点P，则OP=d. Q l 条件类型与集合的关系 充分 P Q 必要 P(Q) Q P P(Q) 充要 “小充分大必要”： 充分条件范围小 必要条件范围大 归纳 从集合的角度去理解充分条件、必要条件和充要条件： 若以集合的形式出现，以集合的形式出现， 即, , 则： (1) 若则是的充分条件； (4）若,则的必要不充分条件. （3）若,则的充分不必要条件； （2）若则的必要条件； (5）若不是B的子集, 且B不是A的子集， 则的既不充分也不必要条件. 牛刀小试 例2 关于x的不等式|x|>a的解集为R的充要条件是_______． a<0 点拨：由题意知|x|>a恒成立，因为|x|，所以a<0. 例3 已知集合 集合 若x的充要条件,则的值为：_______． 点拨：因为x的充要条件，所以，即，解得. 牛刀小试 例4 设p：-2≤x≤10，q：1－m≤x≤1+m(m>0)．若p是q的必要不充分条件，则实数m的取值范围是_______． 0<m≤3 或 课堂小结 1.会判断给定命题的真假； 2.会证明充要条件； 3.理解“充小必大”，会由已知的条件类型判断对应集合的关系，从而求参数； 4.会由给定的条件、结论的互推关系确定属于5类条件关系的哪一种。 FIGHTING 分析: , : 直线 与 相切. 要证 是 的充要条件,就是要证明两个命题成立: ⑴充分性( ) ; ⑵必要性( ) $$