3.2 代数式-【拓展与培优】2024-2025学年七年级上册数学（苏科版2024）

数学 七年级上册 69 3.2 代数式 例1 “4与x 的平方的积”可表示为 ( ) A. 4x B. 4x2 C. 16x D. 16x2 点拨:根据文字语言表达的意思,用代数式准确的表示出来. 变式练习 1. 买单价为a 元的作业本n 本,付出b元,应找回的钱数是 ( ) A. b-a B. b-n C. na-b D. b-na 2. 一件衣服原价n 元,提价10%后再打九折出售,现价是 ( ) A. 1.1n 元 B. n 元 C. 0.9n 元 D. 0.99n 元 例2 观察下列各式: 152=1×(1+1)×100+52=225 252=2×(2+1)×100+52=625 352=3×(3+1)×100+52=1225 …… 依此规律,第n 个等式(n 为正整数)为 . 点拨:这是关于末尾数是5的整数的平方的计算规律,观察各等式可以发现,末尾数是5的整 数的平方等于这个数的十位上的数字乘这个数的十位上的数字与1的和,再乘100,再加上5 的平方. 变式练习 找规律.下列图形中有大小不同的菱形,第1幅图中有1个,第2幅图中有3个,第 3幅图中有5个,则第n 幅图中有 个. 第1个 第2个 第3个 … 第n 个 例3 设面积为20 cm2 的平行四边形的一边长为a cm,这条边上的高为h cm. (1)写出h 与a 之间的关系式; (2)h 与a 是不是反比例关系? 如果是,请说出它的比例系数. 点拨:(1)利用平行四边形面积公式写出h 与a 之间的关系式;(2)变量x 和y 满足xy=k 或 y= k x (k≠0)时,x,y 具有反比例关系,k 称为比例系数. 数学 七年级上册 70 变式练习 1. 下列关系式中:①y= x 2 ;②xy=2;③y=- 1 2x ;④y=2x 中,是反比例关系的有 ( ) A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 2. 验光师测得一组关于近视眼镜的度数y(度)与镜片焦距x(米)的对应数据如下表: 近视眼镜的度数y/度 200 250 400 500 1000 镜片焦距x/米 0.50 0.40 0.25 0.20 0.10 根据表中数据,请你回答y 与x 之间是否存在反比例关系? 如果存在,请写出y 与x 之间 的关系式并指出比例系数是多少? 如果不存在,请说明理由。 1. 同一个式子可以表示不同的含义,例如6n 可以表示长为6,宽为n 的长方形面积,也可以 表示更多的含义,请你给6n 再赋予一个含义 . 2. 某学校七年级有m 人,八年级人数比七年级人数的 2 3 多10人,用含m 的式子表示八年级 的人数为 . 3. 一个数比a 的4倍小3,则这个数为 . 4. 一种商品每件进价为a 元,按进价提高30%标价,再按标价的9折出售,那么每件商品的售 价是 元. 5. 一个三位数,它的百位上的数、十位上的数和个位上的数分别为a,b,c,则这个三位数 为 . 6. 某班有x 名学生,把一批图书分给该班学生阅读,如果每人分3本,则剩余20本,这批图书 共 本. 数学 七年级上册 71 7. 下列是按一定规律排列的一列数:1 4 ,3 7 ,5 12 ,7 19 ,…,则第n 个数是 . 8. 观察下列等式: 第一行 3=4-1 第二行 5=9-4 第三行 7=16-9 第四行 9=25-16 …… 按照上述规律,第n 行的等式为 . 9. 《孙子算经》中记载:“今有物不知数,三三数之剩二,五五数之剩三,七七数之剩二,问物几 何?”其译文为:“有一个正整数,除以3余2,除以5余3,除以7余2,求符合条件的正整 数.”请用含k(k为自然数)的代数式表示满足条件的所有正整数: . 10. 如图,在长为10,宽为6的草坪中间修建宽度均为m 的两条道路,那么剩下的草坪面积是 .(用含m 的代数式表示) 11. 下列各式:①1 1 4x ;②2·3;③20%;④a-b÷c;⑤ m-n 3 ;⑥x-5千克,其中符合书写要 求的有 ( ) A. 5个 B. 4个 C. 3个 D. 2个 12. 将一根绳子对折1次从中间剪断,绳子变成3段;将一根绳子对折2次,从中间剪断,绳子 变成5段;依此类推,将一根绳子对折n 次,从中间剪一刀全部剪断后,绳子变成的段数是 ( ) A. n+2 B. 2n+1 C. n2+1 D. 2n+1 13. 观察下列图形及所对应的算式,根据你发现的规律计1+8+16+24+…+8n(n 是正整 数)的结果为 ( ) (1) 1+8=? (2) 1+8+16=? (3) 1+8+16+24=? … A. (2n+1)2 B. 1+8n C. 1+8(n-1) D. 4n2+4n 到10,-7,2的对面(答案不唯一). 23. (1)由表可知,本周内分拣包裹数量最多的 一天是星期六,最少的一天是星期日,最多的一天 比最少的一天多分拣:7-(-6)=13(万件),故答 案为:六,日,13; (2) 1 7× [(6+0-4+5-1+7-6)+20×7]= 1 7× [7+20×7]= 1 7×147=21 (万件). 答:该仓库本周实际平均每天分拣21万件 包裹. 24. 第100组的三个数为(100,1002,1003),和 是1010100. 25. 第一行:6,-7,第二行:36,49,第三行:35, 48.(1)第一行每个数的绝对值就是这个数的序号, 其排列规律:当这个数的序号为奇数时,这个数就 等于序号的相反数;当这个数的序号为偶数时,这 个数就等于序号;(2)第二行的每一个数是第一行对 应的数的平方,第三行的每一个数等于第一行对应的 数的平方减1;(3)这三个数的和为10+102+(102- 1)=209. 26. 第四列 27. (1)-4 18 (2)①2秒 ②1秒或3秒 28. (1)在甲商场用100元购买4个水杯,可以 得到5个水杯,另外在甲商场再支付50元可以购买2 个水杯,即在甲商场购买7个水杯,需要支付150元. 在乙商场购买7个水杯,需要支付25×7×85%= 148.75(元);在丙商场购买7个水杯,需要支付25× 7=175(元);现在甲商场用100元购买4个水杯,可 以得到5个水杯;另外再在乙商场购买2个水杯,需 要消费50×85%=42.5(元),累计需要142.5元.因 此,购买7个水杯,可以先在甲商场购买4个水杯,得 到5个水杯,然后再到乙商场购买2个水杯最优惠. (2)设在甲商场用1200元可以购买x 个水杯, 依据题意得:100∶5=1200∶x.即100x=1200× 5,解得x=60,即在甲商场用1200元可以购买60 个水杯.设在乙商场用1200元可以购买y 个水杯, 依据题意得:25y×85%=1200.即y= 1200 25×85% ≈ 56.5,因此,在乙商场用1200元可以购买56个水 杯.在丙商场消费满200元,可以节省50元,因此, 在丙商场用150元可以购买8个水杯.所以在丙商 场消费1200元可以购买 1200 150×8=64 (个).∵64> 60>56,∴去丙商场购买的水杯最多. (3)甲商场:购买5个水杯可以打八折;或满 125元减25元或充1000送250元;乙商场:消费 100元立减15元,消费1000元立减150元;丙商 场:每购买8个水杯可以打七五折或者充2000元送 600元等. 29. (1)①< ②< ③> ④> ⑤> (2)当n=1,2时,nn+1<(n+1)n;当n≥3时,nn+1> (n+1)n (3)20242025>20252024 第3章 代数式 3.1 字母表示数 典型例题 例1 D 变式练习 1. A 2. D 例2 3n-2 变式练习 1. nxn 2. D 基础提升 1. B 2. A 3. C 4. B 5. A 6. (8a+8b) 7. x 6 10 y 8. 2k-1 2k 9. a(x-y) a(x-y) x+y 10. (2n+1) 培优提高 11. am+bn a+b 12. (1)πr2 (2) x2- π 4x 2 (3) 1 8πm 2+mn 13. (1)40 (2)4n (3)2n(n+1) 14. 1002 10000 (1)5050 (2) n(n+1) 2 15. ∵S1=2a,∴S2= 2 2a= 1 a ,S3= 2 S2 =2a, S4= 2 S3 = 2 2a= 1 a ,…以此类推,可发现规律,所有的 奇数项都等于2a,所有的偶数项都等 1 a ,∴S2025=2a. 3.2 代数式 典型例题 例1 B 变式练习 1. D 2. D 例2 3n-2 变式练习 2n-1 例3 (1)h= 20 a (a>0). (2)是反比例函数,它的 比例系数是20. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 ·11· 变式练习 1. B 2. 存在反比例关系,xy=100,比例系数为100 基础提升 1. 笔记本的单价为每本6元,买n 个笔记本的 总钱数(答案不唯一) 2. 2 3m+10 3. 4a-3 4. 1.17a 5. 100a+10b+c 6. (3x+20) 培优提高 7. 2n-1 n2+3 8. 2n+1=(n+1)2-n2 9. 105k+23 10. (10-m)(6-m) 11. ①不能写成带分数;②数与数相乘时只能 用乘号连接;③正确;④b÷c 要写成分数的形式; ⑤正确;⑥x-5没有写在括号内.故选D. 12. D 13. A 3.3 整式的加减 3.3.1 整式 典型例题 例1 单项式有m,-1,-3πxy, a 3 ,3h π 多项式有ax2+bx+c, x-y 2 整式有 m,ax2+bx+c,-1,-3πxy, x-y 2 , a 3 ,3h π 变式练习 B 例2 (1)第8个单项式是- 1 28 x2y8; (2)猜想:第n 个单项式是(-1)n+1 1 2n x2yn,它 的系数是(-1)n+1 1 2n ,次数是n+2. 变式练习 5 -16 五 四 基础提升 1. C 2. D 3. m+n+1 二 4. 二 二 - 3 8 5. 100a+10b+c 6. (1)2n(n 为整数) (2)2n+1(n 为整数) (3)3n(n 为整数) (4)5n+2(n 为整数) 7. 3a+4b 8. 打包带的长中,有长方体的2个长、4个宽、 6个高,故打包带的长至少为:2x+4y+6z. 9. (1)5a 5a-b (2)长方形ABCD 的周长 =2(AB+AD)=2(5a+4a+b)=2(9a+b),当 a=1,b=3时,长方形ABCD 的周长=18a+2b= 18×1+2×3=18+6=24. 培优提高 10. 1000b+a 11. n+1 2n 12. 根据题意得,每件商品盈利(0.8b-a)元, 故答案为:(0.8b-a). 13. 依题意可知,乐乐在该公司寄市区内的一 件物品,重x(x>1)千克,则需支付10+2(x-1)= (2x+8)元.故答案为:(2x+8). 14. (1)(5x+60) (4.5x+72) (2)当x=10时,甲店需付费5×10+60= 110(元);乙店需付费4.5×10+72=117(元),∴到 甲商店比较合算; (3)可在甲店购买4副乒乓球拍,在乙店购买 (10-4)盒乒乓球,所需费用为:4×20+(10-4)× 5×0.9=80+27=107(元). 3.3.2 合并同类项 典型例题 例1 同类项有(3)(5)(6) 变式 练 习 (1)-4a2b3 与 5b3a2 是 同 类 项; (2)- 1 3x 2y2z与- 1 3xy 2z2 不是同类项;(3)-8与0 都是常数,是同类项;(4)-6a2b3c与8ca2 不是同类项. 例2 (1) 14 3y 2-3xy (2)x2y-5xy2+2 变式练习 (1)-21 (2)20 基础提升 1. C 2. B 3. B 4. C 5. D 6. D 7. C 8. 3 3 - 24 5a 6b3 9. - 1 9 培优提高 10. 12 11. 101 12. 20 13. (1)1 (2)1 14. x3y3- 1 2x 2y+y2-2x3y3+0.5x2y+y2 +x3y3-2y-3=2y2-2y-3, 因化简后的结果2y2-2y-3中不含字母x 的 项,故此多项式的值与字母x 的取值无关. 15. 原式=(m+2)x3+(3n-1)xy2+y 要使原式不含三次项,则三次项的系数都应为 0,所以有: m+2=0,3n-1=0,即有:m=-2,n= 1 3 所以2m+3n=2×(-2)+3× 1 3=-3. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 ·21·