3.2 代数式的值-【拓展与培优】2024-2025学年七年级上册数学（人教版2024）

数学 七年级上册 60 3.2 代数式的值 例1 当m=-1时,代数式2m+3的值是 ( ) A. -1 B. 0 C. 1 D. 2 点拨:把m=-1代入2m+3,求出它的值. 变式练习 当x=2,y= 1 2 时,求多项式1 2x 2+xy+y2+1的值. 例2 已知a+b= 1 2 ,则代数式2a+2b-3的值是 ( ) A. 2 B. -2 C. -4 D. -3 1 2 点拨:2a+2b-3=2(a+b)-3,把a+b整体代入求出它的值. 变式练习 已知代数式x+2y 的值是3,则代数式2x+4y+1的值是 . 例3 周末,小明陪爸爸去陶瓷商城购买一些茶壶和茶杯,甲、乙两家商店出售他们看中的同 样品牌的茶壶和茶杯,茶壶每把定价都为30元,茶杯每只定价都为5元.这两家商店都 有优惠,甲店买一把茶壶赠送茶杯一只;乙店全场九折优惠.小明爸爸需买茶壶5把,茶 杯若干只(不少于5只). (1)设购买茶杯x(x≥5)只,如果在甲店购买,需付款多少元? 如果在乙店购买,需付款 多少元? (用含x 的代数式表示并化简). (2)当购买15只茶杯时,应在哪家商店购买合算? 为什么? 点拨:(1)在甲店买一把茶壶赠送茶杯一只,故需付5只茶壶的钱和(x-5)只茶杯的钱,已知 茶壶和茶杯的钱,可列出付款关于x 的式子;在乙店购买全场九折优惠,同理也可列出付款关 于x 的式子;(2)当x=15时,将其代入两个式子,得出的值在哪家少就在哪家买. 数学 七年级上册 61 变式练习 甲、乙两家超市以相同的价格出售同样的商品,但为了吸引顾客,各自推出不同的 优惠方案:在甲超市累计购买商品超过400元后,超过的部分按原价七折优惠;在乙超市购买 商品只按原价的八折优惠;设顾客累计购物x 元(x>400). (1)用含x 的代数式分别表示顾客在两家超市购物所付的费用; (2)当x=1100时,试比较顾客到哪家超市购物更加优惠. 1. 写出一个使代数式x+5的值为负数的x 的值: . 2. 若m-n=1,那么4-2m+2n 的值为 . 3. 已知2x2+3y+7的值是8,则4x2+6y+9的值为 ( ) A. 1 B. 2 C. 11 D. 不能确定 4. 若x、y 满足 x-3 +(y-2)2=0,则代数式x2-4y2 的值为 ( ) A. -25 B. 25 C. 7 D. -7 5. 已知当x=-2时,代数式ax3+bx-7的值是5,那么当x=2时,求代数式ax3+bx-7 的值. 6. 如图,圆形方孔钱是我国古钱币的突出代表,记它的外圆周长为a,中间方孔周长为b. (1)用含a,b的代数式表示阴影部分的面积(结果保留π); (2)当a=4π,b=4时,阴影部分的面积为多少? 数学 七年级上册 62 7. 天气晴朗时,一个人能看到大海的最远距离s(单位:km),可用公式s2=1.7h 来估计,其中 h(单位:m)是眼睛离海平面的高度. (1)如果一个人站在海岸边观察,当眼睛离海平面的高度是1.7 m时,能看多远? (2)若这个人登上一个观望台,使看到的最远距离是(1)中的5倍,已知眼睛到脚底的高度 为1.6 m,求观望台离海平面的高度? 8. 新学期,两摞规格相同的数学课本整齐地叠放在课桌上,请根据图中所给出的数据信息,解 答下列问题: (1)每本书的厚度为 cm,课桌的高度为 cm; (2)当同样规格的数学课本数为x(本)时,请写出将它们叠放在课桌上时,桌面上的课本高 出地面的高度为 (用含x 的代数式表示); (3)桌面上有55本与(1)中规格相同的数学课本,它们整齐叠放成一摞,若有18名同学各 从中取走1本,求余下的数学课本高出地面的高度. 9. 某市电力公司为了鼓励居民节约用电,采用分段计费的方法计算电费:每月用电不超过100 度时,按每度0.37元计费;每月用电超过100度时,其中超过部分按每度0.50元计费. (1)设每月用电x 度时,应交电费y 元,当x≤100和x>100时,分别写出y 关于x 的关 系式; (2)小王家第一季度交纳电费如表所示: 月份 一月份 二月份 三月份 交费金额 76元 63元 45元6角 问小王家第一季度共用电多少度? (2)∵(m,n)是“共生有理数对”,∴m-n= mn+1,∴-n-(-m)=mn+1=(-n)·(-m)+ 1,∴(-n,-m)是“共生有理数对”,故答案为:是. (3)∵(m,n)是“共生有理数对”,∴m-n= mn+1,∵m-n=4,∴mn=3,∴(-5)mn=(-5)3= -125. 27. (1)1 2 2 1 2024 (2)0(5,10,15,…, 5的倍数均可) (3)负 (4)5n+2 第三章 代数式 3.1 列代数式表示数量关系 典型例题 例1 B 变式练习 1. A 2. D 例2 3n-2 变式练习 1. nxn 2. D 例3 (1)h= 20 a (a>0). (2)是反比例函数,它的 比例系数是20. 变式练习 1. B 2. 存在反比例关系,xy=100,比例系数为100 基础提升 1. 笔记本的单价为每本6元,买n 个笔记本的 总钱数(答案不唯一) 2. 2 3m+10 3. 4a-3 4. 1.17a 5. 100a+10b+c 6. (3x+20) 培优提高 7. 2n-1 n2+3 8. 2n+1=(n+1)2-n2 9. 105k+23 10. (10-m)(6-m) 11. ①不能写成带分数;②数与数相乘时只能 用乘号连接;③正确;④b÷c 要写成分数的形式; ⑤正确;⑥x-5没有写在括号内.故选D. 12. D 13. A 3.2 代数式的值 典型例题 例1 C 变式练习 4 1 4 例2 B 变式练习 7 例3 (1)设购买茶杯x 只,在甲店买一把茶壶赠送 茶杯一只,且茶壶每把定价30元、茶杯每只定价5 元,故在甲店购买需付:5×30+5×(x-5)=5x+ 125;在乙店购买全场9折优惠,故在乙店购买需付: 30×0.9×5+5×0.9×x=4.5x+135,答:在甲店 购买,需付款(5x+125)元;在乙店购买,需付款 (4.5x+135)元. (2)应在甲店购买,理由:当x=15时,在甲店 购买需付:5×15+125=200(元),在乙店购买需 付:4.5×15+135=202.5(元),∵200<202.5∴在 甲店购买便宜,故应在甲店购买. 变式练习 (1)在 甲 超 市 购 物 所 付 的 费 用 为:400+ 0.7(x-400)=0.7x+120,在乙超市购物所付的费 用是0.8x; (2)当=1100时,在甲超市购物所付的费用是 0.7×1100+120=890,在乙超市购物所付的费用 是:0.8×1100=880,所以到乙超市购物更加优惠. 基础提升 1. -6(答案不唯一) 2. 2 3. C 4. D 培优提高 5. 因为x=-2时,ax3+bx-7=5,所以a· (-2)3+b·(-2)-7=5,所以-8a-2b=12, 8a+2b=-12,当x=2时,ax3+bx-7=23a+ 2b-7=8a+2b-7=-12-7=-19. 6. (1)阴影部分的面积为π a2π 2 - b4 2 = a2 4π - b2 16. (2)当a=4π,b=4时,阴影部分的面积为 a2 4π- 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 ·31· b2 16= (4π)2 4π - 42 16=4π-1. 7. (1)由已知得h=1.7 m代入s2=1.7h 中得 s2=1.72,∴s=1.7(m). (2)由已知此时看到的最远距离是5×1.7= 8.5 km,代入s2=1.7h 中得8.52=1.7h,∴h= 42.5(m).观望台离海平面的高度是42.5-1.6= 40.9(m). 8. (1)每本书的厚度为(88-86.5)÷(6-3)= 0.5(cm);课桌的高度为86.5-3×0.5=85(cm).故 答案为:0.5,85. (2)因为x 本书的高度为0.5x cm,课桌的高 度为85 cm,所以这些课本高出地面的高度为(85+ 0.5x)cm.故答案为:(85+0.5x)cm. (3)当x=55-18=37时,85+0.5x=103.5. 故余下的数学课本高出地面的高度为103.5 cm. 9. (1)当x≤100时,y=0.37x;当x>100时, y=100×0.37+(x-100)×0.5=0.5x-13; (2)当每月电费超过37元,所用电量超过100 度,∴一月份用电量:0.5x-13=76,解得:x=178,二 月份用电量:0.5x-13=63,解得:x=152,三月份用 电量:0.5x-13=45.6,解得:x=117.2.所以第一季 度总的用电=178+152+117.2=447.2(度). 专题拓展 抓住特征探求规律 典型例题 例1 n=1时,黑瓷砖的块数为:4;n=2时,黑瓷砖 的块数为:6;n=3时,黑瓷砖的块数为:8;……当n =n 时,黑瓷砖的块数为:2n+2. 例2 由题意可得,a1=2,a2=0.5,a3=-1,a4= 2,a5=0.5,a6=-1,∴2007÷3=669,∴a2007= -1.故选:D. 例3 第n 个等式(n 为正整数)为:(10n+5)2= n×(n+1)×100+52. 变式练习 第1幅图中有1个,第2幅图中有3个, 第3幅图中有5个,……∵1=1×2-1,3=2×2- 1,5=3×2-1,∴故第n 幅图中共有(2n-1)个.故 答案为:(2n-1). 基础提升 1. 由题意可得,阴影部分的面积和为:π(22- 12)+π(42-32)+π(62-52)+…+π(202-192)= 3π+7π+11π+15π+…+39π=5(3π+39π)= 210π.故选:B. 2. 经过第n 次操作后得到的折痕Dn-1En-1 到 BC 的距离hn=2- 1 2n-1 ,求得结果h2025=2- 1 22024 . 故选:D. 3. 第9个三角形数是1+2+3+4+5+6+7+ 8+9=45,1+2+3+4+…+n=2016,n(n+1)= 4032,n=63.故答案为:45,63. 4. 第1个图案中有火柴棒的根数为:2×1×2; 第2个图案中有火柴棒的根数为:2×2×3;第3个 图案中有火柴棒的根数为:2×3×4;……发现规 律:第n 个图案中有火柴棒的根数为:2n(n+1). 5. 第一行小太阳的个数为1,2,3,4,…,第5个 图形有5个太阳,第二行小太阳的个数是1,2,4,8, …,第5个图形有24=16(个)太阳,所以第5个图形 共有5+16=21(个)太阳.故答案为:21. 6. 第一次点 A 向左移动3个单位长度至点 A1,则A1 表示的数为1-3=-2;第2次从点A1 向右移动6个单位长度至点A2,则A2 表示的数为 -2+6=4;第3次从点A2 向左移动9个单位长度 至点A3,则A3 表示的数为4-9=-5;第4次从点 A3 向右移动12个单位长度至点A4,则A4 表示的 数为-5+12=7;第5次从点A4 向左移动15个单 位长度至点 A5,则 A5 表示的数为7-15=-8; ……则A7 表示的数为-8-3=-11,A9 表示的数 为-11-3=-14,A11 表示的数为-14-3=-17, A13 表示的数为-17-3=-20,A6 表示的数为7+ 3=10,A8 表示的数为10+3=13,A10 表示的数为 13+3=16,A12 表示的数为16+3=19,所以点An 与原点的距离不小于20,那么n 的最小值是13.故 答案为:13. 培优提高 7. 由所给图形可知,第1个图案中小棒的根数 为:5=1×4+1;第2个图案中小棒的根数为:9= 2×4+1;第3个图案中小棒的根数为:13=3×4+ 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 ·41·