3.1 列代数式表示数量关系-【拓展与培优】2024-2025学年七年级上册数学（人教版2024）

数学 七年级上册 57 第三章 代数式 3.1 列代数式表示数量关系 例1 “4与x 的平方的积”可表示为 ( ) A. 4x B. 4x2 C. 16x D. 16x2 点拨:根据文字语言表达的意思,用代数式准确的表示出来. 变式练习 1. 用语言叙述代数式a2-b2,正确的是 ( ) A. a,b两数的平方差 B. a 与b差的平方 C. a 与b的平方的差 D. b,a 两数的平方差 2. 购买1个单价为a 元的面包和3瓶单价为b元的饮料,所需钱数 ( ) A. (a+b)元 B. 3(a+b)元 C. (3a+b)元 D. (a+3b)元 例2 按一定规律排列的一列数:1,4,7,10,…,则第n 个数是 . 点拨:观察发现,后一个数都比前一个数大3. 变式练习 1. 观察下列各式:x,2x2,3x3,4x4,…,按此规律,第n 个式子是 . 2. 小明用棋子摆放图形来研究数的规律.图1中棋子围成三角形,其颗数3,6,9,12,…称为三 角形数.类似地,图2中的4,8,12,16,…称为正方形数.下列数中既是三角形数又是正方形 数的是 ( ) 图1 图2 A. 2010 B. 2012 C. 2014 D. 2016 例3 设面积为20 cm2 的平行四边形的一边长为a cm,这条边上的高为h cm. (1)写出h 与a 之间的关系式; (2)h 与a 是不是反比例关系? 如果是,请说出它的比例系数; 数学 七年级上册 58 点拨:(1)利用平行四边形面积公式写出h 与a 之间的关系式;(2)变量x 和y 满足xy=k 或 y= k x (k≠0)时,x、y 具有反比例关系,k 称为比例系数. 变式练习 1. 下列关系式中:①y= x 2 ;②xy=2;③y=- 1 2x ;④y=2x 中,是反比例关系的有 ( ) A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 2. 验光师测得一组关于近视眼镜的度数y(度)与镜片焦距x(米)的对应数据如下表: 近视眼镜的度数y/度 200 250 400 500 1000 镜片焦距x/米 0.50 0.40 0.25 0.20 0.10 根据表中数据,请你回答y 与x 之间是否存在反比例关系? 如果存在,请写出y 与x 之间 的关系式并指出比例系数是多少? 如果不存在,请说明理由。 1. 同一个式子可以表示不同的含义,例如6n 可以表示长为6,宽为n 的长方形面积,也可以 表示更多的含义,请你给6n 再赋予一个含义 . 2. 某学校七年级有m 人,八年级人数比七年级人数的 2 3 多10人,用含m 的式子表示八年级 的人数为 . 3. 一个数比a 的4倍小3,则这个数为 . 4. 一种商品每件进价为a 元,按进价提高30%标价,再按标价的9折出售,那么每件商品的售 价是 元. 5. 一个三位数,它的百位上的数、十位上的数和个位上的数分别为a,b,c,则这个三位数 为 . 6. 某班有x 名学生,把一批图书分给该班学生阅读,如果每人分3本,则剩余20本,这批图书 共 本. 数学 七年级上册 59 7. 下列是按一定规律排列的一列数:1 4 ,3 7 ,5 12 ,7 19 ,…,则第n 个数是 . 8. 观察下列等式: 第一行 3=4-1 第二行 5=9-4 第三行 7=16-9 第四行 9=25-16 …… 按照上述规律,第n 行的等式为 . 9. 《孙子算经》中记载:“今有物不知数,三三数之剩二,五五数之剩三,七七数之剩二,问物几 何?”其译文为:“有一个正整数,除以3余2,除以5余3,除以7余2,求符合条件的正整 数.”请用含k(k为自然数)的代数式表示满足条件的所有正整数: . 10. 如图,在长为10,宽为6的草坪中间修建宽度均为m 的两条道路,那么剩下的草坪面积是 .(用含m 的代数式表示) 11. 下列各式:①1 1 4x ;②2·3;③20%;④a-b÷c;⑤ m-n 3 ;⑥x-5千克,其中符合书写要 求的有 ( ) A. 5个 B. 4个 C. 3个 D. 2个 12. 将一根绳子对折1次从中间剪断,绳子变成3段;将一根绳子对折2次,从中间剪断,绳子 变成5段;依此类推,将一根绳子对折n 次,从中间剪一刀全部剪断后,绳子变成的段数是 ( ) A. n+2 B. 2n+1 C. n2+1 D. 2n+1 13. 观察下列图形及所对应的算式,根据你发现的规律计1+8+16+24+…+8n(n 是正整 数)的结果为 ( ) (1) 1+8=? (2) 1+8+16=? (3) 1+8+16+24=? …… A. (2n+1)2 B. 1+8n C. 1+8(n-1) D. 4n2+4n (2)∵(m,n)是“共生有理数对”,∴m-n= mn+1,∴-n-(-m)=mn+1=(-n)·(-m)+ 1,∴(-n,-m)是“共生有理数对”,故答案为:是. (3)∵(m,n)是“共生有理数对”,∴m-n= mn+1,∵m-n=4,∴mn=3,∴(-5)mn=(-5)3= -125. 27. (1)1 2 2 1 2024 (2)0(5,10,15,…, 5的倍数均可) (3)负 (4)5n+2 第三章 代数式 3.1 列代数式表示数量关系 典型例题 例1 B 变式练习 1. A 2. D 例2 3n-2 变式练习 1. nxn 2. D 例3 (1)h= 20 a (a>0). (2)是反比例函数,它的 比例系数是20. 变式练习 1. B 2. 存在反比例关系,xy=100,比例系数为100 基础提升 1. 笔记本的单价为每本6元,买n 个笔记本的 总钱数(答案不唯一) 2. 2 3m+10 3. 4a-3 4. 1.17a 5. 100a+10b+c 6. (3x+20) 培优提高 7. 2n-1 n2+3 8. 2n+1=(n+1)2-n2 9. 105k+23 10. (10-m)(6-m) 11. ①不能写成带分数;②数与数相乘时只能 用乘号连接;③正确;④b÷c 要写成分数的形式; ⑤正确;⑥x-5没有写在括号内.故选D. 12. D 13. A 3.2 代数式的值 典型例题 例1 C 变式练习 4 1 4 例2 B 变式练习 7 例3 (1)设购买茶杯x 只,在甲店买一把茶壶赠送 茶杯一只,且茶壶每把定价30元、茶杯每只定价5 元,故在甲店购买需付:5×30+5×(x-5)=5x+ 125;在乙店购买全场9折优惠,故在乙店购买需付: 30×0.9×5+5×0.9×x=4.5x+135,答:在甲店 购买,需付款(5x+125)元;在乙店购买,需付款 (4.5x+135)元. (2)应在甲店购买,理由:当x=15时,在甲店 购买需付:5×15+125=200(元),在乙店购买需 付:4.5×15+135=202.5(元),∵200<202.5∴在 甲店购买便宜,故应在甲店购买. 变式练习 (1)在 甲 超 市 购 物 所 付 的 费 用 为:400+ 0.7(x-400)=0.7x+120,在乙超市购物所付的费 用是0.8x; (2)当=1100时,在甲超市购物所付的费用是 0.7×1100+120=890,在乙超市购物所付的费用 是:0.8×1100=880,所以到乙超市购物更加优惠. 基础提升 1. -6(答案不唯一) 2. 2 3. C 4. D 培优提高 5. 因为x=-2时,ax3+bx-7=5,所以a· (-2)3+b·(-2)-7=5,所以-8a-2b=12, 8a+2b=-12,当x=2时,ax3+bx-7=23a+ 2b-7=8a+2b-7=-12-7=-19. 6. (1)阴影部分的面积为π a2π 2 - b4 2 = a2 4π - b2 16. (2)当a=4π,b=4时,阴影部分的面积为 a2 4π- 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 ·31·