第2章 专题拓展 有理数的计算-【拓展与培优】2024-2025学年七年级上册数学（人教版2024）

数学 七年级上册 40 专题拓展 有理数的计算 例1 某班20名学生的数学期末考试成绩如下,请计算他们的总分与平均分. 87,91,94,88,93,91,89,87,92,86,90,92,88,90,91,86,89,92,95,88. 点拨:考虑到这些数均接近90,故以90为基准数,大于90的数记为“正”,小于90的数记为 “负”,这样计算可以简化运算. 例2 计算1+3+5+7+…+2023+2025的值. 点拨:观察算式,可以发现从第二项开始,后一项减去前一项的差都等于2,首末两项之和与距 首末两项等距离的两项之和都等于2026,所以可将算式倒过来写,与原算式相加得到1013个 2026,从而求出原算式的值. 变式练习 计算. (1)11+12+13+14+15+16+…+99+100; (2)1+4+7+10+…+244; (3) 1 2+ 1 4+ 1 8+ 1 16+ 1 32+ 1 64 ; 数学 七年级上册 41 (4) 1 2+ 1 3+ 2 3 + 1 4+ 2 4+ 3 4 +…+ 1 60+ 2 60+ 3 60+ …+ 59 60 . 例3 在数1,2,3,…,2024前添加符号“+”和“-”,并依次运算,所得可能的最小非负数是 多少? 点拨:由于若干个整数和的奇偶性,只与奇数的个数有关,所以在1,2,3,…,2024之前任意添 加符号“+”和“-”,不会改变和的奇偶性.在1,2,3,…,2024中有2024÷2个奇数,即有1012 个奇数,所以任意添加符号“+”或“-”之后,所得的代数和总为偶数,故最小非负数为0. 1. 计算1 5× (-5)÷ -15 ×5= ( ) A. 1 B. 25 C. -5 D. 35 2. 计算-2×32-(-2×32)= ( ) A. 0 B. -54 C. -72 D. -18 3. 若a,b为有理数,a 与b的差为正数,且a 与b两数均不为0,那么 ( ) A. 被减数a 为正数,减数b为负数 B. a 与b均为正数,且被减数a 大于减数b C. a 与b两数均为负数,且减数b的绝对值大 D. 以上答案都可能 4. 若a,b表示有理数,且a>0,b<0,a+b<0,则下列各式正确的是 ( ) A. -b<-a<b<a B. -a<b<a<-b C. b<-a<-b<a D. b<-a<a<-b 5. 我国古代的“河图”是由3×3的方格构成,每个方格内均有数目不同的点图,每一行、每一 列以及每一条对角线上的三个点图的点数之和均相等.如图给出了“河图”的部分点图,请 你推算出P 处所对应的点图是 ( ) A. B. C. D. 数学 七年级上册 42 6. (-8)2025+(-8)2026 能被下列数整除的是 ( ) A. 3 B. 5 C. 7 D. 9 7. 在-44,-43,-42,…,1995,1996这一串连续的整数中,前100个连续整数的和等 于 . 8. 计算. (1)1 7 8÷ (-10)× -313 ÷ -3 3 4 ; (2) - 5 6+ 2 3 ÷ - 7 12 ×3 1 2 ; (3)-52- -4+ 1-0.2×15 ÷(-2) ; (4)(-6)× 1 6÷ - 1 6 ×6-(-3)3× 1 3. 9. 计算. (1)1+ 1 1+2+ 1 1+2+3+ …+ 1 1+2+3+…+100 ; (2) 12+ 1 3+ …+ 1 2025 1+ 1 2+ …+ 1 2024 - 1+ 1 2+ …+ 1 2025 1 2+ 1 3+ …+ 1 2024 10. 数学欣赏:埃及独特的分数. 埃及同中国一样,也是世界上著名的文明古国,古代埃及人处理分数与众不同,他们一般只使用 分子为1的分数,例如:用 1 3+ 1 15 来表示2 5 ,用1 4+ 1 7+ 1 28 来表示3 7 等.现在有90个埃及分数: 1 2 ,1 3 ,1 4 ,1 5 ,…,1 90 ,1 91 ,你能从中挑出10个,加上正负号,使它们的和为-1吗? 培优提高 6. (1)设S=1+3+32+33+…+39+310①, 则3S=3+32+33+…+39+310+311②,②-①得 2S=311-1,所以S= 311-1 2 ; (2)由于x 为未知数,故需要分类讨论:Ⅰ. 当 x=1时,1+x+x2+x3+…+x99+x100=1+1+ 12+…+199+1100=101;Ⅱ. 当x≠1时,设S=1+ x+x2+x3+…+x99+x100①,则xS=x+x2+ x3+…+x99+x100+x101②,②-①得(x-1)S= x101-1,所以S= x101-1 x-1 . 7. 解:(1)由题意可得,3◎(-1)=32-2× (-1)2+3×(-1)=9-2×1+3×(-1)=9-2+ (-3)=4; (2)∵x◎2x=-5,∴x2-2×(2x)2+x• 2x=-5,解得x=±1; (3)∵a◎b=a2-2b2+ab,∴b◎a=b2- 2a2+ab,∴a◎b-b◎a=(a2-2b2+ab)-(b2- 2a2+ab)=a2-2b2+ab-b2+2a2-ab=3a2- 3b2,当a2≠b2 时,则a◎b≠b◎a,∴这种特别的运 算“◎”不具有交换律. 2.3.2 科学记数法 2.3.3 近似数 典型例题 例1 56410000万=564100000000=5.641×1011 变式练习 1. C 2. -302000 3. 6.023×1023 例2 9.60×106 平方千米 变式练习 1. A 2. D 3. 近似数3.6精确值x 的范是3.55≤x< 3.65,近似数3.60精确值y 的范围是3.595≤y< 3.605. 例3 1502=150×150=22500=2.25×104. 基础提升 1. B 2. B 3. B 4. 7 5. (1)-5.76×1019 (2)7.8×1012 6. (1)1.1669×109 (2)1.167×109 (3)1.17×109 (4)1.2×109 培优提高 7. 1.795≤b<1.805 8. (1)9×1012 千 米 (2)9×1017 千 米 (3)1.08×106 专题拓展 有理数的计算 典型例题 例1 总分为90×20+(-3)+1+4+(-2)+3+ 1+(-1)+(-3)+2+(-4)+0+2+(-2)+0+ 1+(-4)+(-1)+2+5+(-2)=1800-1= 1799(分),平均分为90+(-1)÷20=89.95(分). 例2 用字母S 表示所求算式,即S=1+3+5+… +2023+2025.① 再将S 各项倒过来写,为S=2025+2023+… +3+1.② 将①,②两式左右两边分别相加,得2S=(1+ 2025)+(3+2023)+…+(2023+3)+(2025+ 1)=2026+2026+…+2026 􀮩 􀮫􀮪􀪁􀪁􀪁􀪁􀪁 􀪁􀪁􀪁􀪁􀪁 1013个2026 = 2026 × 1013 = 2052338.从而有S=1026169. 变式练习 (1)4995 (2)10045 (3) 63 64 (4)885 例3 将1,2,3,…,2024每连续四个数分为一组,使 每组之和为0,即(1-2-3+4)+(5-6-7+8)+… +(2021-2022-2023+2024)=0.所以,所求最小非 负数是0. 基础提升 1. B 2. A 3. D 4. D 5. C 6. C 7. 这前100个连续整数是-44,-43,-42,…, 53,54,55,则 这 些 数 字 的 和 为-44+(-43)+ (-42)+…+53+54+55=(-44+55)+(-43+ 54)+(-42+53)+…+55=11×50=550,故应 填:550. 8. (1)- 1 6 (2)1 (3)-20 13 25 (4)45 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 ·9· 培优提高 9. (1)∵ 1 1+2= 2 2×3=2× 12-13 , 11+2+3 = 2 3×4=2× 13-14 , 11+2+3+4= 24×5=2× 14-15 ,……,∴ 11+2+3+…+n= 2n(n+1)= 2× 1n - 1n+1 ,∴1+ 11+2+ 11+2+3+…+ 1 1+2+3+…+100=1+2× 12-13+13-14+… + 1 100- 1 101 =1+2× 12- 1101 =200101; (2)设a= 1 2+ 1 3+ …+ 1 2025 ,b= 1 2+ 1 3 +… + 1 2024 ,原式=a(1+b)-(1+a)b=a+ab-b- ab=a-b= 1 2025. 10. 10个分数分别是 1 2 ,1 6 ,1 12 ,1 20 ,1 30 ,1 42 ,1 56 , 1 72 ,1 90 ,1 10 ,则- 1 2- 1 6- 1 12- 1 20- 1 30- 1 42- 1 56- 1 72- 1 90- 1 10=-1. 专题拓展 有理数的混合运算 典型例题 例1 原式=(-214+32+214)× 53×815×14× 9-36 ×132=32×(2-36)×132=-34 例2 (1)原式=(-200+2)×36=-7200+72= -7128 (2)原式= 20+58 ×(-8)=-160-5= -165 例3 设S=1+7+72+73+…+72024+72025① 所以7S=7+72+73+…+72025+72026② ②-①得:6S=72026-1,所以S= 72026-1 6 变式练习 (1)- 7 6 (2)- 35 6 (3)22 (4)-1014 基础提升 1. C 2. B 3. C 4. B 5. (1)-36 9 64 (2)-3 (3)-36 (4)-37 (5) 2 3 培优提高 6. 算式20138+82013 的个位数字是9.理由: 20132 的个 位 数 字 是9、20134 的 个 位 数 字 是1、 20138 的个位数字也是1;81=8,82=64,83=512, 84=4096,85=32768,86=262144,……可见8的正 整数次幂的个位数字按8、4、2、6的顺序每4个一循 环.∵2013÷4=503……1,所以82013 的个位数字是 8.因此算式20138+82013 的个位数字是1+8=9. 7. (1)原式= 35-12-712 ×60× 37-17+ 5 7 =35×60-12×60-712×60=36-30-35=-29 (2)原式= 43× 34 2 - -32 2 × 3 16 × -163 = 43×34×34-94×316 × -163 = 34- 9 4× 3 16 × -163 =-34×163+94×316×163= -1 3 4 周末拓展 有理数的运算(1) 一、 1. B 2. B 3. D 4. A 5. A 6. C 7. A 8. B 9. 设一月份的标准价格为a 元,则三月份的价 格为(1+60%)×80%×a=1.28a.1.28a-a= 0.28a.即该商品三月份价格比一月份价格高28%. 故选:D. 10. 100! 98! = 100×99×98×…×2×1 98×97×…×2×1 =100× 99=9900.故选:C. 二、 11. 2055 12. -12 1 13. -3 14. 24 15. 50 16. 第一次输入-2,输出为(-2)2+1=5;第 二次输入5,输出为52+1=26.故填:26. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 ·01·