第2章 周末拓展 有理数的运算(1)-【拓展与培优】2024-2025学年七年级上册数学（人教版2024）

数学 七年级上册 46 周末拓展 有理数的运算(1) 一、 选择题 1. 下列语句中,正确的是 ( ) A. 1是最小的正有理数 B. 0是最大的非正整数 C. -1是最大的负有理数 D. 有最小的正整数和最小的正有理数 2. 在-2,+3.5,0,- 2 3 ,-0.7,11中,负分数有 ( ) A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 3. 某地今年1月1日至4日每天的最高气温与最低气温如下表. 日期 1月1日 1月2日 1月3日 1月4日 最高气温 5 ℃ 4 ℃ 0 ℃ 4 ℃ 最低气温 0 ℃ -2 ℃ -4 ℃ -3 ℃ 其中温差最大的是 ( ) A. 1月1日 B. 1月2日 C. 1月3日 D. 1月4日 4. 人类的遗传物质是DNA,人类的DNA是条很长的链,最短的22号染色体也长达30000000 个核苷酸,这个数字用科学记数法可表示为 ( ) A. 3×107 B. 30×106 C. 0.3×108 D. 6.6×108 5. 已知有理数a,b在数轴上的位置如图所示,下列结论正确的是 ( ) A. a>b B. ab<0 C. b—a>0 D. a+b>0 6. 点A 在数轴上距离原点3个单位长度,将A 向右移动4个单位长度,再向移动7个单位长 度,此时点A 表示的数是 ( ) A. 0 B. -6 C. 0或-6 D. 0或6 7. 已知a 是有理数,则下列判断:①a 是正数;②-a 是负数;③a 与-a 必然有一个负数;④a 与-a 互为相反数.其中正确的个数是 ( ) A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 8. 计算(-2)2025+3×(-2)2024 的值为 ( ) A. -22024 B. 22024 C. (-2)2025 D. 5×22024 9. 一家商店一月份把某种商品按进货价提高60%出售,到三月份再声称以8折(80%)大拍 卖,那么该商品三月份的价格比进货价 ( ) A. 高12.8% B. 低12.8% C. 高40% D. 高28% 10. 若“!”是一种数学运算符号,并且1! =1,2! =2×1=2,3! =3×2×1=6,4! =4×3×2 ×1,……则 100! 98! 的值为 ( ) A. 50 49 B. 99! C. 9900 D. 2! 数学 七年级上册 47 二、 填空题 11. 吐鲁番盆地低于海平面155米,记作-155米,南岳衡山高于海平面1900米,则衡山比吐 鲁番盆地高 米. 12. 比-3小9的数是 ;最小的正整数是 . 13. 在等式3×□-2×□=15的两个方格内分别填入一个数,使这两个数互为相反数,且使 等式成立,则第二个方格内填的数是 . 14. -9,6,-3这三个数的和比它们绝对值的和小 . 15. 一家电脑公司仓库原有电脑100台,一个星期调入、调出的电脑记录如下:调入38台,调 出42台,调入27台,调出33台,调出40台,则这个仓库现有电脑 台. 16. 小刚学习了有理数运算法则后,编了一个计算程序,当他输入任意一个有理数时,显示屏 上出现的结果总等于所输入的有理数的平方与1的和.当他第一次输入2,然后又将所得 的结果再次输入后,显示屏上出现的结果应是 . 17. 一个班共有48人,全部报名参加了学校组织的兴趣活动小组,参加数学兴趣小组的有42 人,参加语文兴趣小组的有34人,则既参加数学兴趣活动小组,又参加语文兴趣活动小组 的有 人. 18. 如图,时钟的钟面上标有1,2,3,…,12共12个数,一条直线把钟面分成两部分,请你再用 一条直线分割钟面,使钟面被分成三个不同的部分,且各部分所包含的几个数的和相等, 则另两个部分所包含的几个数分别是 和 . 19. 一杯饮料,第一次倒去一半,第二次倒去剩下的一半,……如此倒下去,第八次倒去后剩下 的饮料是原来的 . 20. 请你规定一种适合任意非零实数a,b的新运算“a⊕b”,使得下列算式成立:1⊕2=2⊕1= 3,(-3)⊕(-4)=(-4)⊕(-3)=- 7 6 ,(-3)⊕5=5⊕(-3)=- 4 15 ,……你规定的新运 算a⊕b= (用a,b的一个代数式表示). 三、 解答题 21. 计算. (1) -112 + +1 1 4 + -2 1 2 - -3 1 4 - +1 1 4 ; 数学 七年级上册 48 (2) 15 8÷ (-10)× -103 ÷ - 15 4 ; (3)- 2 5+ 5 8- 1 6+ 7 12 ×(-2.4); (4) -12 2 + 1 2× 2 3-| 2 3-2| ; (5)-22-(-22)+(-2)2+(-2)3-32. 22. 下面是一个正方体纸盒的展开图,请把-10,7,10,-2,-7,2分别填入六个正方形,使得 按虚线折成正方体后,相对面上的两数互为相反数. 23. 科技改变世界.快递分拣机器人从微博火到了朋友圈,据介绍,这些机器人不仅可以自动 规划最优路线,将包裹准确放入相应的格口,还会感应避让障碍物、自动归队取包裹,没电 的时候还会自己找充电桩充电.某分拣仓库计划平均每天分拣20万件包裹,但实际每天 的分拣量与计划相比会有出入.下表是该仓库10月份第三周分拣包裹的情况(超过计划 量的部分记为正,未达到计划量的部分记为负): 星期 一 二 三 四 五 六 日 分拣情况(单位:万件) +6 0 -4 +5 -1 +7 -6 (1)该仓库本周内分拣包裹数量最多的一天是星期 ;最少的一天是星期 ; 最多的一天比最少的一天多分拣 万件包裹; 数学 七年级上册 49 (2)该仓库本周实际平均每天分拣多少万件包裹? 24. 有按一定规律排列的数组:(1,1,1),(2,4,8),(3,9,27),(4,16,64),…求第100组的三个 数的和. 25. 观察下列三行数并按规律填空: -1,2,-3,4,-5, , ,… 1,4,9,16,25, , ,… 0,3,8,15,24, , ,… (1)第一行数按什么规律排列? (2)第二行数、第三行数分别与第一行数有什么关系? (3)取每行数的第10个数,计算这三个数的和. 26. 将比-1小的整数以下面的方式排列: 第一列 第二列 第三列 第四列 第五列 -2 -3 -4 -5 -9 -8 -7 -6 -10 -11 -12 -13 -17 -16 -15 -14 … … … 在上述这些数中,观察它们的排列规律后,回答:-100在哪一列? 数学 七年级上册 50 27. 如图,已知数轴上点A 表示的数为6,B 是数轴上一点,且AB=10.动点P 从点O 出发, 以每秒6个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动,设运动时间为t(t>0)秒. (1)写出数轴上点B 表示的数是 ;当t=3时,OP= . (2)动点R 从点B 出发,以每秒8个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动,若点P,R 同 时出发. ①点R 运动多少秒时追上点P? ②点R 运动多少秒时,PR 相距2个单位长度? 28. 一种水杯,甲、乙、丙三家商场的定价都是25元/每个,但是优惠方式不同. 甲商场:每买4个送1个;乙商场:全场八五折;丙商场:每满200元减50元. (1)如果买7个水杯,从最优惠的角度思考,如何购买? 请设计一个购买方案; (2)如果用1200元钱,去哪家商场购买的水杯最多(只去其中的一家商场购买)? 为什么? (3)在保持商场的盈利不变的前提下,你还能够帮助这三家商场分别再设计出一个新的广 告用语吗? 29. 问题:你能比较20242025 和20252024 的大小吗? 为了解决这个问题,我们先把它抽象成数 学问题,写出它的一般形式,即比较nn+1 和(n+1)n 的大小(n 是正整数),然后,我们从分 析n=1,n=2,n=3,……从这些简单情形入手,从中发现规律,经过归纳,猜想出结论. (1)通过计算,比较下列各组中两个数的大小(填“>”“<”或“=”). ①12 21;②23 32;③34 43;④45 54;⑤56 65;… (2)将(1)题的结果进行归纳,可以猜想出nn+1 和(n+1)n 的大小关系是 ; (3)根据上面归纳猜想后得到的一般结论,请你再来比较这两个数的大小:20242025 和20252024. 培优提高 9. (1)∵ 1 1+2= 2 2×3=2× 12-13 , 11+2+3 = 2 3×4=2× 13-14 , 11+2+3+4= 24×5=2× 14-15 ,……,∴ 11+2+3+…+n= 2n(n+1)= 2× 1n - 1n+1 ,∴1+ 11+2+ 11+2+3+…+ 1 1+2+3+…+100=1+2× 12-13+13-14+… + 1 100- 1 101 =1+2× 12- 1101 =200101; (2)设a= 1 2+ 1 3+ …+ 1 2025 ,b= 1 2+ 1 3 +… + 1 2024 ,原式=a(1+b)-(1+a)b=a+ab-b- ab=a-b= 1 2025. 10. 10个分数分别是 1 2 ,1 6 ,1 12 ,1 20 ,1 30 ,1 42 ,1 56 , 1 72 ,1 90 ,1 10 ,则- 1 2- 1 6- 1 12- 1 20- 1 30- 1 42- 1 56- 1 72- 1 90- 1 10=-1. 专题拓展 有理数的混合运算 典型例题 例1 原式=(-214+32+214)× 53×815×14× 9-36 ×132=32×(2-36)×132=-34 例2 (1)原式=(-200+2)×36=-7200+72= -7128 (2)原式= 20+58 ×(-8)=-160-5= -165 例3 设S=1+7+72+73+…+72024+72025① 所以7S=7+72+73+…+72025+72026② ②-①得:6S=72026-1,所以S= 72026-1 6 变式练习 (1)- 7 6 (2)- 35 6 (3)22 (4)-1014 基础提升 1. C 2. B 3. C 4. B 5. (1)-36 9 64 (2)-3 (3)-36 (4)-37 (5) 2 3 培优提高 6. 算式20138+82013 的个位数字是9.理由: 20132 的个 位 数 字 是9、20134 的 个 位 数 字 是1、 20138 的个位数字也是1;81=8,82=64,83=512, 84=4096,85=32768,86=262144,……可见8的正 整数次幂的个位数字按8、4、2、6的顺序每4个一循 环.∵2013÷4=503……1,所以82013 的个位数字是 8.因此算式20138+82013 的个位数字是1+8=9. 7. (1)原式= 35-12-712 ×60× 37-17+ 5 7 =35×60-12×60-712×60=36-30-35=-29 (2)原式= 43× 34 2 - -32 2 × 3 16 × -163 = 43×34×34-94×316 × -163 = 34- 9 4× 3 16 × -163 =-34×163+94×316×163= -1 3 4 周末拓展 有理数的运算(1) 一、 1. B 2. B 3. D 4. A 5. A 6. C 7. A 8. B 9. 设一月份的标准价格为a 元,则三月份的价 格为(1+60%)×80%×a=1.28a.1.28a-a= 0.28a.即该商品三月份价格比一月份价格高28%. 故选:D. 10. 100! 98! = 100×99×98×…×2×1 98×97×…×2×1 =100× 99=9900.故选:C. 二、 11. 2055 12. -12 1 13. -3 14. 24 15. 50 16. 第一次输入-2,输出为(-2)2+1=5;第 二次输入5,输出为52+1=26.故填:26. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 ·01· 17. 没有参加数学兴趣小组的有48-42= 6(人),没 有 参 加 语 文 兴 趣 小 组 的 有48-34= 14(人),既参加数学兴趣小组,又参加语文兴趣小 组的有48-(14+6)= 28(人).故填:28. 18. 3,4,9,10 5,6,7,8 19. 设这杯饮料为1,根据题意得第一次后剩下 饮料是原来的:1- 1 2= 1 2 ,第二次后剩下饮料是原 来的:1- 1 2- 1 2 1-12 = 1-12 2 = 1 4 ,第三次 后剩下饮料是原来的: 1-12 -12 1-12 - 1 2 1-12-12 1-12 = 1-12 3 = 1 8 ,……∴第 8次后剩下饮料是原来的: 1-12 8 = 1 256. 20. 根据题意可得:1⊕2=2⊕1=3= 2 1+ 2 2 , (-3)⊕(-4)=(-4)⊕(-3)=- 7 6= 2 -3+ 2 -4 , (-3)⊕5=5⊕(-3)=- 4 15= 2 -3+ 2 5 ,则a⊕b= 2 a+ 2 b= 2a+2b ab . 故答案为:2a+2b ab . 三、 21. (1)- 3 4 (2)- 1 6 (3)-2.9 (4)- 1 12 (5)-13 22. 根据相反数的定义将-10,7,-2分别填 到10,-7,2的对面(答案不唯一). 23. (1)由表可知,本周内分拣包裹数量最多的 一天是星期六,最少的一天是星期日,最多的一天 比最少的一天多分拣:7-(-6)=13(万件),故答 案为:六,日,13; (2) 1 7× [(6+0-4+5-1+7-6)+20×7]= 1 7× [7+20×7]= 1 7×147=21 (万件). 答:该仓库本周实际平均每天分拣21万件 包裹. 24. 第100组的三个数为(100,1002,1003),和 是1010100. 25. 第一行:6,-7,第二行:36,49,第三行:35, 48.(1)第一行每个数的绝对值就是这个数的序号, 其排列规律:当这个数的序号为奇数时,这个数就 等于序号的相反数;当这个数的序号为偶数时,这 个数就等于序号;(2)第二行的每一个数是第一行对 应的数的平方,第三行的每一个数等于第一行对应的 数的平方减1;(3)这三个数的和为10+102+(102- 1)=209. 26. 第四列 27. (1)-4 18 (2)①2秒 ②1秒或3秒 28. (1)在甲商场用100元购买4个水杯,可以 得到5个水杯,另外在甲商场再支付50元可以购买2 个水杯,即在甲商场购买7个水杯,需要支付150元. 在乙商场购买7个水杯,需要支付25×7×85%= 148.75(元);在丙商场购买7个水杯,需要支付25× 7=175(元);现在甲商场用100元购买4个水杯,可 以得到5个水杯;另外再在乙商场购买2个水杯,需 要消费50×85%=42.5(元),累计需要142.5元.因 此,购买7个水杯,可以先在甲商场购买4个水杯,得 到5个水杯,然后再到乙商场购买2个水杯最优惠. (2)设在甲商场用1200元可以购买x 个水杯, 依据题意得:100∶5=1200∶x.即100x=1200× 5,解得x=60,即在甲商场用1200元可以购买60 个水杯.设在乙商场用1200元可以购买y 个水杯, 依据题意得:25y×85%=1200.即y= 1200 25×85% ≈ 56.5,因此,在乙商场用1200元可以购买56个水 杯.在丙商场消费满200元,可以节省50元,因此, 在丙商场用150元可以购买8个水杯.所以在丙商 场消费1200元可以购买 1200 150×8=64 (个).∵64> 60>56,∴去丙商场购买的水杯最多. (3)甲商场:购买5个水杯可以打八折;或满 125元减25元或充1000送250元;乙商场:消费 100元立减15元,消费1000元立减150元;丙商 场:每购买8个水杯可以打七五折或者充2000元送 600元等. 29. (1)①< ②< ③> ④> ⑤> (2)当n=1,2时,nn+1<(n+1)n;当n≥3时,nn+1> (n+1)n (3)20242025>20252024 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 ·11·