2.3 有理数的乘方-【拓展与培优】2024-2025学年七年级上册数学（人教版2024）

数学 七年级上册 36 2.3 有理数的乘方 2.3.1 乘方 例1 计算:-22-(-2)2-23+|(-2)3-2|. 点拨:本题解决问题的关键是正确理解幂的概念,先分清-22 与(-2)2 之间的区别,算出它们 的幂,再按照运算顺序进行计算. 变式练习 计算. (1)-14- 1 6× [2-(-3)2]; (2)(-2)2025+(-2)2024. 例2 有一根32米长的钢筋,第一次截去一半,…第二次截去剩下的一半,……如此下去,截 第六次后剩下的钢筋长多少米? 点拨:分别列举前几次剩下的钢筋长,探索规律.截第一次后剩下的钢筋长是原来的 1 2 ,截第二 次后剩下的钢筋长是原来的 1 4 ,即 12 2,截第三次后剩下的钢筋长是原来的1 8 ,即 12 3,由此 可以得到截第六次后剩下的钢筋长是原来的 12 6 . 变式练习 你喜欢吃拉面吗? 拉面馆的师傅用一根很粗的面条,把两头捏合在一起拉伸再捏 合,再拉伸,反复多次,就把这根很粗的面条拉成了许多细的面条.如图所示,这样捏合到第7 次后可拉出细面条 ( ) A. 14根 B. 49根 C. 64根 D. 128根 数学 七年级上册 37 1. 对任意实数a,下列各式不一定成立的是 ( ) A. a2=(-a)2 B. a3=(-a)3 C. |a|=|-a| D. a2≥0 2. 两个有理数互为相反数,那么它们的n 次幂的值 ( ) A. 相等 B. 不相等 C. 绝对值相等 D. 没有任何关系 3. 若x2=9,则x 的值是 ;若a3=-8,则a 的值是 . 4. 若a,b互为相反数,c,d 互为倒数,且a≠0,则(a+b)2023+(cd)2024- ab 2025 = . 5. |x+1|-6的最小值是 ,此时x2024= . 6. 观察下列解题过程:计算1+5+52+53+…+524+525 的值. 解:设S=1+5+52+53+…+524+525① 则5S=5+52+53+…+525+526② ②-①,得4S=526-1,∴S= 526-1 4 . 通过阅读,你一定学会了一种解决问题的方法,请用你学到的方法计算下列各题. (1)1+3+32+33+…+39+310; (2)1+x+x2+x3+…+x99+x100. 7. 阅读材料:对于任意有理数a,b,规定一种特别的运算“◎”:a◎b=a2-2b2+ab,例如,5◎ 2=52-2×22+5×2=27. (1)求3◎(-1)的值; (2)若x◎2x=-5,求x 的值; (3)试探究这种特别的运算“◎”是否具有交换律? 数学 七年级上册 38 2.3.2 科学记数法 2.3.3近似数 例1 用科学记数法表示56410000万. 点拨:科学记数法有其表示的标准形式:a×10n,其中1≤a<10,n 为正整数.本题需要注意数 据中出现的“万”. 变式练习 1. 若一个数等于5.8×1021,则这个数的整数位数是 ( ) A. 20 B. 21 C. 22 D. 23 2. 一个数用科学记数法表示为-3.02×105,则这个数是 . 3. 18克水里含有水分子的个数约为602300…0 ︸ 20个0 ,这个数用科学记数法表示为 . 例2 我国的国土面积为9596950平方千米,按四舍五入精确到百分位,则我国的国土面积可 表示为 . 点拨:对较大的数取近似数时,应先用科学记数法表示,再取近似数. 变式练习 1. 目前,全球海洋的总面积约为36105.9万 km2,用科学记数法(精确到0.01)可表示为 ( ) A. 3.61×108 km2 B. 3.60×108 km2 C. 361×106 km2 D. 36100 km2 2. 2.598精确到十分位是 ( ) A. 2.59 B. 2.600 C. 2.60 D. 2.6 3. 试比较近似数3.6和近似数3.60的精确值的范围大小. 例3 用科学记数法可表示1502. 点拨:先求出1502 的值,再用科学记数法表示. 数学 七年级上册 39 1. 节约是一种美德,节约是一种智慧.据不完全统计,全国每年浪费食物总量折合粮食可养活 约350000000人.350000000用科学记数法可表示为 ( ) A. 3.5×107 B. 3.5×108 C. 3.5×109 D. 3.5×109 2. 按要求对0.05019取近似值,下面结果错误的是 ( ) A. 0.1(精确到0.1) B. 0.05(精确到0.001) C. 0.050(精确到0.001) D. 0.0502(精确到0.0001) 3. 已知13.5亿是由四舍五入取得的近似数,它精确到 ( ) A. 十分位 B. 千万位 C. 亿位 D. 十亿位 4. 已知有理数A 有8位整数,若A=a×10n,则n= . 5. 计算. (1)(8×1012)×(-7.2×106); (2)(-6.5×103)×(-1.2×109). 6. 用四舍五入法按下列要求分别取1166940000的近似数. (1)精确到十万位;(2)精确到百万位;(3)精确到千万位;(4)精确到亿位. 7. 近似数1.80所表示的准确数b的取值范围是 . 8. 光在真空中的传播速度约为3×108 m/s,光在真空中传播一年的距离称为光年. (1)1光年约是多少千米? (一年以3×107 s计算) (2)银河系的直径达10万光年,约是多少千米? (3)如果一架飞机的飞行速度为1000 km/h,那么光的速度是这架飞机速度的多少倍? (精 确到万位) ±1, c c =±1.① 当a,b,c都是正数时, a a + b b + c c =3 ;②当a,b,c 中有两个正数,一个负数时, a a + b b + c c =1 ;③当a,b,c中有一个正数,两 个负数时,a a + b b + c c =-1 ;④当a,b,c都是 负数时,a a + b b + c c =-3. 所以 a a + b b + c c =±1 或±3. 变式练习 ∵a,b,c为三个不为0的有理数,且 a |a|+ b |b|+ c |c|=-1 ,∴a,b,c 中负数有2个,正数有 1个,∴abc>0,∴ abc |abc|= abc abc=1. 例4 (1)比标准总质量多-5×1+(-2)×4+0× 3+1×4+3×5+6×3=24(克),所以这批样品的 总质量比标准总质量多24克; (2)450×20+24=9024(克),抽样检测的总质 量是9024克. 变式练习 -0.5×1+(-0.2)×10+0×16+0.1× 14+0.3×7+0.4×2+50×10=501.8(千克) 基础提升 1. A 2. A 3. A 4. B 5. 2×3×[10+(-6)] 3×[10-(-6)]÷2 -6×(2×3-10)(答案不唯一) 6. 第1位同学报的数是: 2 1+1= 3 1 ,第2位同 学报的数是:2 2+1= 4 2 ,第3位同学报的数是: 2 3+ 1= 5 3 ,第4位同学报的数是: 2 4+1= 6 4 ,……,第 10为同学报的数是: 2 10+1= 12 10 ,∴10个数的积为 3 1× 4 2× 5 3× 6 4× …× 12 10= 11×12 1×2 =66. 故答案 为:66. 7. (1) 2 9 (2)- 14 25 8. (1)-7 1 11 (2)-22 2 3 (3)130.79 9. 从图中可以看出:与-3相邻的数是0,-2, 1,2,与0相邻的数是-3,-2,-1,1,与1相邻的数 是-3,-1,0,2,所以三种不同放法的底面的数字 依次为-1,2 和-2,它们的乘积为4. 10. ±2024 11. -12 培优提高 12. (1) 1 9×11 1 2× 19-111 (2) 12n-1× 1 2n+1 1 2× 12n-1- 12n+1 (3)100201 13. (1)当x=-6时,输出结果为:[(-6)×2+ 8]÷4- 1 2× (-6)=(-12+8)× 1 4+3= (-4)× 1 4+ 3=-1+3=2; (2)同意嘉淇的说法.理由:(2x+8)÷4- 1 2x= 1 2x+2- 1 2x=2 ,∴对于任意的一个数,经过上面 的程序运算后所得结果都是2. 2.3 有理数的乘方 2.3.1 乘 方 典型例题 例1 -22-(-2)2-23+|(-2)3-2|=-4-4- 8+|-8-2|=-16+10=-6 变式练习 (1) 1 6 (2)-22024 例2 32× 12 6 =32× 1 64= 1 2 (米) 变式练习 捏合到第7次后可拉出细面条27= 128(根).故选:D. 基础提升 1. B 2. C 3. ±3 -2 4. 2 5. ∵|x+1|≥0,∴当x+1=0,即x=-1时, |x+1|-6的最小值是-6,此时x2024=1.故答案 为:-6,1. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 ·8· 培优提高 6. (1)设S=1+3+32+33+…+39+310①, 则3S=3+32+33+…+39+310+311②,②-①得 2S=311-1,所以S= 311-1 2 ; (2)由于x 为未知数,故需要分类讨论:Ⅰ. 当 x=1时,1+x+x2+x3+…+x99+x100=1+1+ 12+…+199+1100=101;Ⅱ. 当x≠1时,设S=1+ x+x2+x3+…+x99+x100①,则xS=x+x2+ x3+…+x99+x100+x101②,②-①得(x-1)S= x101-1,所以S= x101-1 x-1 . 7. 解:(1)由题意可得,3◎(-1)=32-2× (-1)2+3×(-1)=9-2×1+3×(-1)=9-2+ (-3)=4; (2)∵x◎2x=-5,∴x2-2×(2x)2+x• 2x=-5,解得x=±1; (3)∵a◎b=a2-2b2+ab,∴b◎a=b2- 2a2+ab,∴a◎b-b◎a=(a2-2b2+ab)-(b2- 2a2+ab)=a2-2b2+ab-b2+2a2-ab=3a2- 3b2,当a2≠b2 时,则a◎b≠b◎a,∴这种特别的运 算“◎”不具有交换律. 2.3.2 科学记数法 2.3.3 近似数 典型例题 例1 56410000万=564100000000=5.641×1011 变式练习 1. C 2. -302000 3. 6.023×1023 例2 9.60×106 平方千米 变式练习 1. A 2. D 3. 近似数3.6精确值x 的范是3.55≤x< 3.65,近似数3.60精确值y 的范围是3.595≤y< 3.605. 例3 1502=150×150=22500=2.25×104. 基础提升 1. B 2. B 3. B 4. 7 5. (1)-5.76×1019 (2)7.8×1012 6. (1)1.1669×109 (2)1.167×109 (3)1.17×109 (4)1.2×109 培优提高 7. 1.795≤b<1.805 8. (1)9×1012 千 米 (2)9×1017 千 米 (3)1.08×106 专题拓展 有理数的计算 典型例题 例1 总分为90×20+(-3)+1+4+(-2)+3+ 1+(-1)+(-3)+2+(-4)+0+2+(-2)+0+ 1+(-4)+(-1)+2+5+(-2)=1800-1= 1799(分),平均分为90+(-1)÷20=89.95(分). 例2 用字母S 表示所求算式,即S=1+3+5+… +2023+2025.① 再将S 各项倒过来写,为S=2025+2023+… +3+1.② 将①,②两式左右两边分别相加,得2S=(1+ 2025)+(3+2023)+…+(2023+3)+(2025+ 1)=2026+2026+…+2026 􀮩 􀮫􀮪􀪁􀪁􀪁􀪁􀪁 􀪁􀪁􀪁􀪁􀪁 1013个2026 = 2026 × 1013 = 2052338.从而有S=1026169. 变式练习 (1)4995 (2)10045 (3) 63 64 (4)885 例3 将1,2,3,…,2024每连续四个数分为一组,使 每组之和为0,即(1-2-3+4)+(5-6-7+8)+… +(2021-2022-2023+2024)=0.所以,所求最小非 负数是0. 基础提升 1. B 2. A 3. D 4. D 5. C 6. C 7. 这前100个连续整数是-44,-43,-42,…, 53,54,55,则 这 些 数 字 的 和 为-44+(-43)+ (-42)+…+53+54+55=(-44+55)+(-43+ 54)+(-42+53)+…+55=11×50=550,故应 填:550. 8. (1)- 1 6 (2)1 (3)-20 13 25 (4)45 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 ·9·