2.1 有理数的加法与减法-【拓展与培优】2024-2025学年七年级上册数学（人教版2024）

数学 七年级上册 27 第二章 有理数的运算 2.1 有理数的加法与减法 2.1.1 有理数的加法 2.1.2 有理数的减法 例1 计算下列各题. (1)(-2.5)+(+4.6); (2)23+(-17)+6+(-22); (3)(-7)-9-(-3)+(-5); (4)-4.2+5.7-8.4+10. 点拨:按照有理数加法法则和减法法则来计算,先定符号,后进行绝对值的和或差的运算. 例2 用简便方法计算. (1) -413 + - 4 17 + 4 13+ - 13 17 ; (2)-5.4+0.5-0.6+3.5+2.5. 点拨:为了计算简便,可采用加法运算律简化运算.一般有以下规律:互为相反数的两个数相 加;符号相同的两个数相加;分母相同的数相加;能凑整的几个数相加等. 变式练习 用简便方法计算. 11+12-13-14+15+16-17-18+…+99+100. 数学 七年级上册 28 例3 出租车司机小石某天下午的营运全是在东西走向的人民大街上进行的.如果规定向东 为正,向西为负,他这天下午行车里程(单位:千米)如下. +15,-3,+14,-11,+10,-12,+4,-15,+16,-18. (1)将最后一名乘客送到目的地时,小石距下午出发地点的距离是多少千米? (2)若汽车耗油量为a 升/千米,这天下午汽车耗油共多少升? 点拨:(1)实质上就是求已知10个数的和的绝对值;(2)考虑到耗油量与汽车所走的路程数有 关,其总路程等于10个数的绝对值的和. 变式练习 某产粮专业户出售余粮20袋,每袋质量如下(单位:千克):199,201,197,203,200, 195,197,199,202,196,203,198,201,200,197,196,204,199,201,198.请用简便方法计算出售 的余粮总共多少千克? 1. 下列计算结果等于2的是 ( ) A. |-7|+|+5| B. |(-7)+(+5)| C. |+7|+|-5| D. |(+7)-(-5)| 2. 甲、乙、丙三地的海拔高度分别为20米、-15米和-10米,那么最高的地方比最低的地方 高 ( ) A. 10米 B. 15米 C. 35米 D. 5米 3. (1)绝对值小于4的所有整数的和是 ; (2)绝对值大于2且小于5的所有负整数的和是 . 4. 若|a|=3,|b=2|,则a+b= . 5. 如图,有12个方格,每个方格内都有一个数.若任何相邻三个数的和都是18,则x 的值 是 . 5 A B C D E F x G H P 10 数学 七年级上册 29 6. 用适当的方法计算. (1)(+27)+(-23)+9+(-9); (2)1+ -12 + 1 3+ - 1 6 ; (3)-9+ +45 -(-12)+(-5)+ - 4 5 ; (4)37-1 1 5-24-13+3 3 5-2 2 5+13 8 9. 7. 若1<a<3,求|1-a|+|3-a|的值. 8. 小虫从某点O 出发,在一直线上来回爬行.假定向右爬行的路程记为正数,向左爬行的路程 记为负数,爬行的各段路程(单位:cm)如下:+5,-3,+10,-8,-6,+12,-10. (1)小虫最后能否回到出发点O? (2)小虫离开出发点O 最远距离是多少? (3)在爬行过程中,如果每爬行1 cm,奖励2粒芝麻,则小虫一共可得到多少粒芝麻? 9. 符号“☉”代表一种新运算,例如:2☉3=2+3+4,7☉2=7+8,3☉5=3+4+5+6+7,…… (1)求4☉3的值; (2)是否存在数n,使n☉4=62? 若存在,试求出n 的值;若不存在,请说明理由. 数学 七年级上册 30 10. 阅读下列例题的计算方法,再计算下面题目. 例:-5 5 6+ -9 2 3 + -3 1 2 +17 3 4 原式= (-5)+ -56 + (-9)+ - 2 3 + (-3)+ - 1 2 + 17+ 3 4 =[(-5)+(-9)+(-3)+17]+ -56 + - 2 3 + - 1 2 + 3 4 􀭠 􀭡 􀪁 􀪁􀪁 􀭤 􀭥 􀪁 􀪁􀪁 =0+ -54 =- 5 4 上面这种方法叫拆项法. 计算: -202456 + -2025 2 3 +4049+ -1 1 2 . 11. 小明、小王、小张和小亮住在同一条街上,分别记为A,B,C,D 四点.如果以点A 为原点 画成如图所示的数轴(一个单位为100 m),现有校车来接他们上学. (1)如果校车只接小明和小张,校车停在哪里他们两人走的路程之和最小? (2)如果校车来接小明、小王和小张,校车停在哪里他们三人走的路程之和最小? (3)如果校车来接他们四人,校车停在哪里他们四人走的路程之和最小? 元;最低价格是120元-120元×10%=108元; (3)120元×10%=12元.该商品的价格的浮 动范围是-12元~12元. 24. (1)∵|-0.05|<|+0.1|<|-0.15|< |-0.2|<|+0.25|,∴第4件样品最符合要求; (2)∵|-0.05|=0.05<0.18,|+0.1|= 0.1<0.18,|-0.15|=0.15<0.18,∴第1、2、4件 样品是正品;∵|-0.2|=0.2,且0.18<0.2< 0.22,∴第3件样品是次品;∵|+0.25|=0.25> 0.22,∴第5件样品是废品. 25. (1)这一列数中的第100个数为100,第 2023个数为-2023; (2)在前2024个数中,正数有1012个,负数有 1012个; (3)∵这列数中奇数项是负数,∴2025不在这 列数中. 26. (1)因为学校是原点,向北方向为正方向, 用1个单位长度表示250米.从学校出发向南行 250米到达桂枝家,所以点A 在-1处,从A 向南 行250米到达文兴家,所以点B 在-2处,从B 向 北行1000米到忠华家,所以点C 在2处. (2)点C 是2,所以忠华家在学校的北面,到学 校的距离是500米; (3)如果以向南方向为正方向建立数轴,确定 忠华家相对于学校的位置没有影响,如果以向南方 向为正方向建立数轴,数轴如下: 点C 是-2,所以忠华家在学校的北面,到学校 的距离是500米. 27. (1)如图, (2)4-(-2)=6. (3)|x+1|=4,x+1=±4,x=3或-5. (4)∵3表示的点和-1表示的点重合,∴5表 示的点和-3表示的点重合,∵A,B 两点之间的距 离为6,且A,B 两点经折叠后重合,∴点A 表示的 数是4或-2,∵点A 在点B 左侧,∴点A 表示的 数是-2. 故答案为:(2)6 (3)3或-5 (4)-3 -2 第二章 有理数的运算 2.1 有理数的加法与减法 2.1.1 有理数的加法 2.1.2 有理数的减法 典型例题 例1 (1)(-2.5)+(+4.6)=4.6-2.5=2.1; (2)23+(-17)+6+(-22)=(23+6)- (17+22)=29-39=-10; (3)(-7)-9-(-3)+(-5)=-7-9+3- 5=-16+3-5=-13-5=-18; (4)-4.2+5.7-8.4+10=(-4.2-8.4)+ (5.7+10)=-12.6+15.7=3.1. 例2 (1) -413 + -417 +413+ -1317 = -413 +413 + -417 + -1317 =-1; (2)-5.4+0.5-0.6+3.5+2.5=(-5.4- 0.6)+(0.5+3.5+2.5)=0.5. 变式练习 111 例3 (1)(+15)+(-3)+(+14)+(-11)+(+10) +(-12)+(+4)+(-15)+(+16)+(-18)=(15+ 14+10+4+16)+[(-3)+(-11)+(-12)+(-15) +(-18)]=59+(-59)=0(千米) (2)|+15|+|-3|+|+14|+|-11|+|+10|+ |-12|+|+4|+|-15|+|+16|+|-18|=118(千 米),所以耗油共118×a=118a(升). 答:(1)将最后一名乘客送到目的地时,小石距 下午出发地点的距离是0千米,即回到出发地点; (2)这天下午汽车耗油共118a 升. 变式练习 以200 kg为标准,分别记为-1,1,-3, 3,0,-5,-3,-1,2,-4,3,-2,1,0,-3,-4,4, -1,1,-2;它们的总质量为:-1+1-3+3+0- 5-3-1+2-4+3-2+1+0-3-4+4-1+1- 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 ·6· 2+200×20=3986(千克). 基础提升 1. B 2. C 3. (1)绝对值小于4的所有整数为0,±1,±2, ±3,根据有理数的加法法则,互为相反数的两个数 和为0,可知这7个数的和为0.故答案为:0. (2)绝对值大于2小于5的所有负整数为-3, -4,其和为-7.故答案为:-7. 4. ±1或±5 5. 依题意得:H+P+10=18,∴H+P=8,又 ∵G+H+P=18,∴G=10,又∵F+x+G=18, ∴F+x=8,∴E=10,∴C+D=8,∵5+A+B= 18,∴A+B=13,∵A+B+C=18,∴C=5,∵C+ D+E=18,∴D=3,∵D+E+F=18,∴F=5, ∵F+x+G=5+x+10=18,∴x=3.故答案 为:3. 6. (1)4 (2) 2 3 (3)-2 (4)13 8 9 7. |1-a|+|3-a|=(a-1)+(3-a)=2 培优提高 8. (1)+5-3+10-8-6+12-10=0,所以小 虫最后能回到出发点O; (2)第一次爬行距离O 点是5 cm,第二次爬行 距离O 点是5-3=2(cm),第三次爬行距离O 点是 2+10=12(cm),第四次爬行距离O 点是12-8= 4(cm),第五次爬行距离O 点是|4-6|=|-2|= 2(cm),第六次爬行距离O 点是-2+12=10(cm),第 七次爬行距离O 点是10-10=0(cm),从上面可以 看出小虫离开O 点最远是12 cm; (3)小虫爬行的总路程为:|+5|+|-3|+ |+10|+|-8|+|-6|+|+12|+|-10|=5+3 +10+8+6+12+10=54(cm),54×2=108(粒), 所以小虫一共得到108粒芝麻. 9. (1)4☉3=4+5+6=15; (2)存在.理由:∵n☉4=n+(n+1)+(n+2) +(n+3)=4n+6,又∵n☉4=62,∴4n+6=62,解 得:n=14. 10. 原式 =(-2024-2025+4049-1)+ -56-23-12 =-1-2=-3. 11. (1)停在小明和小张之间的任何位置 (2)小明所在位置 (3)小明和小王之间的任何位置 2.2 有理数的乘法与除法 2.2.1 有理数的乘法 2.2.2 有理数的除法 典型例题 例1 (1)(-8)×(-7.2)×(-2.5)× 5 12=- 8× 36 5× 5 2× 5 12 =-60; (2)-2.5÷ 5 8× -14 =52×85×14=1; (3)-7.8×(-8.1)×0×|-19.6|=0; (4)63× -149 -15÷(-0.9)=-7×13+ 2 9=-91+ 2 9=-90 7 9. 例2 (1)解法一: 14-15+13 ÷160= 1560-1260+ 20 60 ×60=2360×60=23 解法二: 14-15+13 ÷160= 14-15+13 × 60= 1 4×60- 1 5×60+ 1 3×60=15-12+20=23 (2)解法一: 1 60÷ 14-15+13 =160÷ 1560- 12 60+ 20 60 =160÷2360=123 解法二:因为 14-15+13 ÷160= 1560-1260+ 20 60 ×60=2360×60=23 所以根据倒数的定义有:1 60÷ 14-15+13 =123 变式练习 (1)3 6 7 (2)154 例3 因为a≠0,b≠0,c≠0,所以 a a =±1 ,b b = 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 ·7·