1.2.2 数轴-【拓展与培优】2024-2025学年七年级上册数学（人教版2024）

数学 七年级上册 5 1.2.2 数轴 例1 在所给的数轴上表示下列各数的点. 2,-5,0,-3 1 3 ,+3.5,- 3 4. 点拨:本题考查数轴的概念及用数轴上的点表示有理数.表示正数的点在原点的右边,表示负 数的点在原点的左边,表示0的点恰好在原点处. 变式练习 1. 如图,数轴上点A 表示的有理数大致是 ( ) A. -3 B. 3 C. ±3 D. 0 2. 如图: (1)指出数轴上A,B,C,D 四个点分别表示什么数? (2)比较点A 和点C,哪个点离原点较近? (3)哪些点到原点距离相等? 例2 数轴是一个非常重要的数学工具,它使数和数轴上的点建立起对应关系,揭示了数与点 之间的内在联系,它是“数形结合”的基础.请利用数轴回答下列问题: (1)在数轴上,到原点的距离为5的点有 个,它们表示的数是 ; (2)在数轴上,从表示2的点出发,先向右移动3个单位长度,再向左移动6个单位长 度,最后的终点表示的数是 ; (3)在数轴上,点M 表示数2,那么与点M 相距4个单位长度的点表示的数是 . 点拨:根据题意画出数轴,并正确理解数轴上的点和所表示的数之间的对应关系,结合“数的准 确性”和“形的直观性”即可求解. 变式练习 数轴上一动点A 向左移动2个单位长度到达点B,再向右移动5个单位长度到达 点C.若点C 表示的数为1,则点A 表示的数为 ( ) A. 7 B. 3 C. -7 D. -2 数学 七年级上册 6 1. 下图所画的数轴中,正确的是 ( ) A. B. C. D. 2. 在数轴上,原点及原点右边的点表示的数是 ( ) A. 正数 B. 负数 C. 非正数 D. 非负数 3. 下列说法错误的是 ( ) A. 所有的有理数都可以用数轴上的点表示 B. 数轴上的原点表示0 C. 在数轴上表示-3的点与表示+1的点的距离是2 D. 数轴上表示-5 1 3 的点,在原点负方向5 1 3 个单位处 4. 如图,数轴上的点P,O,Q,R,S 表示某城市一条大街上的五个公交车站点,有一辆公交车 距P 站点3 km,距Q 站点0.7 km,则这辆公交车的位置在 ( ) A. R 站点与S 站点之间 B. P 站点与O 站点之间 C. O 站点与Q 站点之间 D. Q 站点与R 站点之间 5. 在数轴上与表示-2的点相距8个单位长度的点表示的数为 . 6. 在画数轴时,小强不小心把墨水滴在如图所示的数轴上,请你确定被墨迹盖住的整数共有 个. 7. 如图,一辆货车从百货大楼出发,向东走3千米到达小明家,继续走1.5千米到达小颖家, 又向西走9.5千米到达小斌家,最后回到百货大楼. (1)以百货大楼为原点,以向东方向为正方向,用1个单位长度表示1千米,在数轴上标出 小明家、小颖家和小斌家的位置. (2)小斌家离小颖家多远? (3)货车一共行驶了多少千米? 数学 七年级上册 7 8. 小李在纸上画了一条数轴后,折叠纸面,使数轴上表示2的点与表示-4的点重合,若数轴 上A,B 两点之间的距离为10(A 在B 的左侧),且A,B 两点经上述折叠后重合,则A 点 表示的数为 . 9. 数轴上表示整数的点称为整点.某数轴的单位长度是1 cm,若在这个数轴上随意画出一条 长为2024 cm的线段AB,则线段AB 盖住的整点的个数共有 个. 10. 如图,圆的周长为4个单位长度,在圆的4等分点处标上字母A,B,C,D,先将圆周上的字 母A 对应的点与数轴的数字1所对应的点重合.若将圆沿着数轴向左滚动,那么数轴上的 -2009所对应的点将与圆周上字母 所对应的点重合. 11. 一个机器人从数轴原点出发,沿数轴正方向,以每前进3步后退2步的程序运动.设该机 器人每秒前进或后退1步,并且每步的距离是1个单位长度,xn 表示第n 秒时机器人在 数轴上的位置所对应的数.给出下列结论: ①x3=3;②x5=1;③x108<x104;④x2023>x2024. 其中,正确的结论是 ( ) A. ①③ B. ②③ C. ①②③ D. ①②④ 12. 如图,一根木棒放在数轴上,木棒的左端与数轴上的点A 重合,右端与点B 重合. (1)若将木棒沿数轴向右水平移动,则当它的左端移动到B 点时,它的右端在数轴上所对 应的数为20;若将木棒沿数轴向左水平移动,则当它的右端移动到A 点时,它的左端 在数轴上所对应的数为5,请你求出木棒的长(单位:cm). (2)由题(1)的启发,请你借助“数轴”这个工具帮助小红解决下列问题. 一天,小红问爷爷的年龄.爷爷说:“我若是你现在这么大,你还要40年才出生;你若是 我现在这么大,我已经125岁,是老寿星了,哈哈!”请求出爷爷现在多少岁了. 参考答案 第一章 有理数 1.1 正数和负数 1.2 有理数及其大小比较 1.2.1 有理数的概念 典型例题 例1 运出粮食2 t 变式练习 C 例2 正数集合{15,0.81, 1 4 ,171,3.14,…} 负数集合{- 1 2 ,-3,-3.1,-4,…} 正整数集合{15,171,…} 负整数集合{-3,-4,…} 有理数集合{15,- 1 2 ,0.81,-3, 1 4 ,-3.1, -4,171,0,3.14,…}. 例3 7×(100+5)+6×(100+1)+7×100+8× (100-2)+2×(100-5)=735+606+700+784+ 190=3015(元),30×82=2460(元),3015-2460= 555(元),共赚了555元. 变式练习 3日最多,5日最少,相差1.6万人. 基础提升 1. B 2. C 3. C 4. 以165 cm 为标准,超过的为正,不足的为 负,所以163 cm记为 -2 cm.故填:-2 cm. 5. +1 -1 地下第2层 地上第10层 6. (答案不唯一) 培优提高 7. (1)1,-1,1,第100个数是-1,第200个数 是-1,第201个数是1. (2)9,-10,11,第100个 数是-100,第200个数是-200,第201个数是 201. (3) 1 8 ,- 1 9 ,1 10 ,第100个数是 1 100 ,第200 个数是 1 200 ,第201个数是- 1 201. 8. 第一行第一列的数是 1; 第二行第二列的数 是 5=1+4;第三行第三列的数是 13=1+4+8;第 四行第四列的数是 25=1+4+8+12;……第n 行 第n 列的数是 1+4+8+12+…+4(n-1)=1+ 4[1+2+3+…+(n-1)]=1+2n(n-1);∴第七 行第七列的数是 1+2×7×(7-1)=85.故填:85. 9. (1)+10%表示比标准价格高10%,-10% 表示比标准价格低10%;(2)最高价格200×(1+ 10%)=220(元),最低价格200×(1-10%)= 180(元);(3)-20元~+20元. 10. (1)A 是向上箭头的上方对应的数,与4的 符号相同,在A 处的数是正数; (2)观察不难发现,向上箭头的上方是正数,下 方是负数,向下箭头的下方是正数,上方是负数,所 以B 和D 的位置是负数; (3)∵2024÷4=506,∴第2024个数是正数,排 在A 的位置. 11. 直 径 为 44.97 mm 的 轴 合 格,直 径 为 45.04 mm的轴不合格. 1.2.2 数轴 典型例题 例1 如图: 变式练习 1. A 2. (1)-2,-1,1,2.5 (2)点C (3)点B 和 点C 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 ·1· 例2 (1)2 ±5 (2)-1 (3)-2或6 变式练习 D 基础提升 1. D 2. D 3. C 4. D 5. 6或-10 6. 左边盖住的数是-17,-16,-15,-14, -13,-12,-11,右边盖住的数是-2,-1,0,1,2, 3,4,共14个.故填:14. 7. (1)如图所示 (2)5+4.5=9.5(千米) (3)3+1.5+9.5+5=19(千米) 培优提高 8. -6 9. 当线段AB 的起点在整点时,AB 盖住的整 点有2025个;当线段AB 的起点不在整点时,AB 盖住的整点有2024个.所以答案为:2024或2025. 10. 1+2009=2010,2010÷4=502……2,再向 左滚动2个单位长度应该与字母C 所对应的点重 合. 故填:C. 11. 由题意可得,x3=3×1=3,故①正确;x5= 3×1-(5-3)×1=1,故②正确;∵108÷5= 21……3,∴x108=21+3=24,∵104÷5=20……4, ∴x104=20+3-1=22,∴x108>x104,故③错误; ∵2023÷5=404……3,∴x2023=404+3=407, ∵2024÷5=404……4,∴x2024=404+3-1=406, ∴x2023>x2024,故④正确.故选D. 12. (1)由数轴观察知,三根木棒长是20-5= 15(cm),则木棒长为15÷3=5(cm); (2)借助数轴,把小红与爷爷的年龄差看作木 棒AB,类似爷爷若是小红现在这么大,看作当B 点 移动到A 点时,此时A 点所对应的数为-40,小红 若是爷爷现在这么大,看作当A 点移动到B 点时, 此时B 点所对应的数为125,∴可知爷爷比小红大 (125+40)÷3=55(岁),可知爷爷的年龄为125- 55=70(岁).∴爷爷现在70岁. 1.2.3 相反数 典型例题 例1 D 变式练习 C 例2 若移动点A,则把点A 向右移动1个单位长 度;若移动点B,则把点B 向右移动1个单位长度. 变式练习 ∵a 小于它的相反数,∴a<0,又A 与 原点相距3个单位长度,所以a=-3,再向左平移 6个单位长度后表示的数是-9.故填:-9. 例3 (1)-(+2.7)=-2.7 (2)- -14 =14 (3)+(-701)=-701 (4)-[+(-2)]=2 (5)-{-[-(-2)]}=2 (6)-{+[-(-2)]}=-2 变式练习 1. -3 2. > 3. 4049 基础提升 1. D 2. C 3. 数轴上一动点A 向左移动2个单位长度到 达点B,再向右移动5个单位长度到达点C,∵点C 表示的数为1,∴点B 表示的数为-4,∴点A 表示 的数为-2,∴则与点A 表示的数互为相反数的是 2.故选:D. 4. 2 5. 当a=0时,a+b和a-b互为相反数. 6. (1)-4 (2)7.1 (3)5 (4)-8 7. (1)∵x 的相反数是-2,且2x+3a=5, ∴x=2,故4+3a=5,解得:a= 1 3 ; (2)∵-[-(-a)]=8,∴a=-8,∴-a 的相 反数是-8. 培优提高 8. ∵(a⇒b)=-b,(a⇐b)=-a,∴(2010⇒ 2011)⇐(2009⇒2008)=(-2011⇐-2008)=2011. 9. ∵数轴上A 点表示7,且点C 到点A 的距 离为2,∴C 点有两种可能5或9.又∵B,C 两点所 表示的数互为相反数,∴B 点也有两种可能-5或 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 ·2·