1.1 正数和负数&1.2.1 有理数的概念-【拓展与培优】2024-2025学年七年级上册数学（人教版2024）

数学 七年级上册 1 第一章 有理数 1.1 正数和负数 1.2 有理数及其大小比较 1.2.1 有理数的概念 例1 如果把运进粮食3 t记作+3 t,那么-2 t表示 . 点拨:本题考查正负数的意义和表示方法.在一对具有相反意义的量中,先规定其中一个为正, 则另一个就用负表示.所以由+3 t表示运进粮食3 t,可得-2 t表示的意义. 变式练习 向东行进-30米表示的实际意义是 ( ) A. 向东行进30米 B. 向南行进30米 C. 向西行进30米 D. 向西行进-30米 例2 把下列各数填在相应的大括号内. 15,- 1 2 ,0.81,-3, 1 4 ,-3.1,-4,171,0,3.14. 正数集合{ …} 负数集合{ …} 正整数集合{ …} 负整数集合{ …} 有理数集合{ …} 点拨:可从有理数的分类着手.把大于0的数填到正数集合内,小于0的数填到负数集合内,大 于0的整数填到正整数集合内,小于0的整数填到负整数集合内,整数和分数都填到有理数集 合内. 例3 某服装店以每件82元的价格购进了30套保暖内衣,销售时,针对不同的顾客,这30套保暖 内衣的售价不完全相同.若以100元为标准,将超过的钱数记为正,不足的钱数记为负,则记 录结果如下表. 数学 七年级上册 2 售出件数 7 6 7 8 2 售价/元 +5 +1 0 -2 -5 请你求出该服装店在售完这30套保暖内衣后,共赚了多少钱? 点拨:理解“正”与“负”的相对性.先由进货量和进货单价计算出进货的成本,再根据售价计算 出赚了多少钱. 变式练习 在“十一”黄金周期间,某风景区在五天假期中每天旅游的人数变化如下表.(正数 表示比前一天多的人数,负数表示比前一天少的人数) 日期 1日 2日 3日 4日 5日 人数变化/万人 1.6 0.8 0.4 -0.4 -1.2 请判断五天内游客人数最多的是哪天? 最少的是哪天? 它们相差多少万人? 1. 在0,-2,5, 1 4 ,-0.3中,负数的个数是 ( ) A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 2. 下列不是具有相反意义的量是 ( ) A. 前进5米和后退5米 B. 收入30元和支出10元 C. 向东走10米和向北走10米 D. 超过5克和不足2克 数学 七年级上册 3 3. 下列关于“零”的说法,正确的是 ( ) ①零是整数,也是有理数;②零不是正数,也不是负数;③零不是整数,是有理数;④零是整 数,不是自然数. A. ①④ B. ②③ C. ①② D. ①③ 4. 小明身高165 cm,以小明身高为标准,小明爸爸身高175 cm,记作+10 cm,小明妈妈身高 163 cm,应记作 . 5. 一幢大楼地面上有12层,还有地下室2层,如果把地面上的第一层作为基准,记为0,规定 向上为正,那么习惯上将2楼记为 ,地下第一层记作 ,数-2的实际意义 为 ,数+9的实际意义为 . 6. 写出3个负有理数与3个整数,分别填入下面的集合中,且使两集合重叠部分中的数有两个. 7. 观察下面依次排列的各列数,它们的排列有什么规律? 请接着写出后面的3个数,你能说 出第100个数,第200个数,第201个数是什么吗? (1)1,-1,1,-1,1,-1,1,-1, , , ,…; (2)1,-2,3,-4,5,-6,7,-8, , , ,…; (3)-1, 1 2 ,- 1 3 ,1 4 ,- 1 5 ,1 6 ,- 1 7 , , , ,…. 8. 将连续的正整数按以下规律排列,则位于第七行第七列的数x 是 . 第一列 第二列 第三列 第四列 第五列 第六列 第七列 第一行 1 3 6 10 15 21 28 … 第二行 2 5 9 14 20 27 … 第三行 4 8 13 19 26 … 第四行 7 12 18 25 … 第五行 11 17 24 … 第六行 16 23 … 第七行 22 … … … … … x … 数学 七年级上册 4 9. 一种商品的标准价格是200元,但随着季节的变化,商品的价格可浮动±10%. (1)±10%的含义是什么? (2)请计算出该商品的最高价格和最低价格; (3)如果以标准价格为基准,超过标准价记“+”,低于标准价记“-”,该商品价格的浮动范 围又可以怎样表示? 10. 将一串有理数按下列规律排列,回答下列问题. (1)在A 处的数是正数还是负数? (2)A,B,C,D 中哪个位置是负数? (3)第2024个数是正数还是负数? 排在对应于A,B,C,D 中的什么位置? 11. 如图,在生产图纸上通常用ϕ300+0.2-0.5 来表示轴的加工要求,这里300表示直径是300 mm, +0.2和-0.5是指直径在(300-0.5)mm到(300+0.2)mm之间的产品都属于合格产品. 现加工一批轴,尺寸要求是ϕ45+0.03-0.04,请检验直径为44.97 mm和45.04 mm的两根轴是否 为合格产品. 参考答案 第一章 有理数 1.1 正数和负数 1.2 有理数及其大小比较 1.2.1 有理数的概念 典型例题 例1 运出粮食2 t 变式练习 C 例2 正数集合{15,0.81, 1 4 ,171,3.14,…} 负数集合{- 1 2 ,-3,-3.1,-4,…} 正整数集合{15,171,…} 负整数集合{-3,-4,…} 有理数集合{15,- 1 2 ,0.81,-3, 1 4 ,-3.1, -4,171,0,3.14,…}. 例3 7×(100+5)+6×(100+1)+7×100+8× (100-2)+2×(100-5)=735+606+700+784+ 190=3015(元),30×82=2460(元),3015-2460= 555(元),共赚了555元. 变式练习 3日最多,5日最少,相差1.6万人. 基础提升 1. B 2. C 3. C 4. 以165 cm 为标准,超过的为正,不足的为 负,所以163 cm记为 -2 cm.故填:-2 cm. 5. +1 -1 地下第2层 地上第10层 6. (答案不唯一) 培优提高 7. (1)1,-1,1,第100个数是-1,第200个数 是-1,第201个数是1. (2)9,-10,11,第100个 数是-100,第200个数是-200,第201个数是 201. (3) 1 8 ,- 1 9 ,1 10 ,第100个数是 1 100 ,第200 个数是 1 200 ,第201个数是- 1 201. 8. 第一行第一列的数是 1; 第二行第二列的数 是 5=1+4;第三行第三列的数是 13=1+4+8;第 四行第四列的数是 25=1+4+8+12;……第n 行 第n 列的数是 1+4+8+12+…+4(n-1)=1+ 4[1+2+3+…+(n-1)]=1+2n(n-1);∴第七 行第七列的数是 1+2×7×(7-1)=85.故填:85. 9. (1)+10%表示比标准价格高10%,-10% 表示比标准价格低10%;(2)最高价格200×(1+ 10%)=220(元),最低价格200×(1-10%)= 180(元);(3)-20元~+20元. 10. (1)A 是向上箭头的上方对应的数,与4的 符号相同,在A 处的数是正数; (2)观察不难发现,向上箭头的上方是正数,下 方是负数,向下箭头的下方是正数,上方是负数,所 以B 和D 的位置是负数; (3)∵2024÷4=506,∴第2024个数是正数,排 在A 的位置. 11. 直 径 为 44.97 mm 的 轴 合 格,直 径 为 45.04 mm的轴不合格. 1.2.2 数轴 典型例题 例1 如图: 变式练习 1. A 2. (1)-2,-1,1,2.5 (2)点C (3)点B 和 点C 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 ·1·