1.1.2空间向量的数量积运算教学设计-2024-2025学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第一册

1.1.2 空间向量的数量积运算 1、 教学内容及解析 （一）教学内容 本节主要学习空间向量的夹角、数量积和投影向量 （二）内容解析 空间向量的数量积运算，是继空间向量的加减法、数乘运算之后的又一种运算，是又一个从平面到空间推广的实例.学生在学习过程中，充分体验类比、归纳的数学学习方式，深刻理解空间向量的数量积运算本质，逐步体会数量积运算在解决垂直等问题中的应用价值，为后续学习坐标表示下的向量方法解决空间角、长度、垂直等问题奠定重要基础. 高中数学中的多个核心素养贯穿本节课始终，数学运算素养、逻辑推理素养尤为凸显，因此本节课的教学过程是核心素养落地生根的过程，是一次知识、方法、思想、素养的融会贯通之旅。 二、教学目标及分析 （一）教学目标 1、掌握空间向量夹角的概念及表示方法 2、掌握两个向量数量积的概念、性质和计算方法及运算律 3、掌握两个向量数量积的主要用途，会用它解决立体几何中的一些简单问题 （二）目标分析 1、第一节学生已经学习过空间中的任意两个向量通过平移转化为同一平面内的向量，空间向量的夹角即可转化为平面向量的夹角，以此掌握空间向量的夹角的概念及表示方法 2、学生通过类比平面向量的数量积得出空间向量的数量积的概念、性质和计算方法及运算律 3、教师利用例题讲解如何利用向量解决立体几何中的夹角、距离等一些简单问题，学生利用变式练习进一步巩固空间向量的运用 三、教学重难点 1、重点：空间向量数量积的概念及运算律 2、难点：用向量的方法解决立体几何问题 四、教学过程 问题一、如何定义空间向量的夹角及数量积？ 问题1、平面向量的夹角及数量积是如何定义的？ 师生活动：学生回顾平面向量的夹角的定义及范围，教师指导 设计意图：复习旧知，引入新知 问题2、空间向量和平面向量有何关系？如何定义空间向量的夹角及数量积？ 师生活动：教师指出上节课已经探究过空间任意两个向量通过平移都可以平移到一个平面内，转化为同一平面内的向量，因此两个空间向量的夹角和数量积就可以像平面向量那样来定义，教师提问并板书，学生回答夹角、夹角范围、数量积及相关结论 设计意图：通过类比转化，得出空间向量的夹角及数量积定义，学生容易接受并掌握新知 问题二、类比平面向量投影的得到过程，在空间中一个向量在另一个向量上的投影，该怎么作呢？ 师生活动：学生回忆平面向量中投影向量的知识，教师板书平面中向量的投影向量推导过程，帮助学生回顾旧知，为空间向量的投影做准备。学生类比平面向量的投影尝试作出向量在直线、平面内的投影，教师指导并板书结论 设计意图： 学生通过类比平面向量中的向量投影的概念、作法，在猜想、论证后得到空间向量的投影概念及作法.在此过程中，进一步体会空间向量和平面向量的内在联系，领悟“空间任意两个向量都是共面的，空间向量的投影可以转化为平面向量的投影”，同时还学会了空间向量投影的直观作法，体悟了数形结合的思想. 问题三、空间向量数量积运算的运算律有哪些？ 师生活动：学生思考并回答，教师指出由于空间任意两个向量都是共面的，所以空间两个向量的数量积运算就是平面向量的数量积运算。 设计意图：通过类比学习，便于学生理解空间向量的数量积的运算律 问题1、对于三个均不为0的数a,b,c、若ab=ac，则b=c、对于向量， 由，你能得到吗？如果不能，请举出反例. 问题2、对于三个均不为0的数a,b,c、若ab=c，则（或）。对于向量，若，能不能写成（或）的形式？ 问题3、对于三个均不为0的数a,b,c，有(ab)c=a(bc).对于向量，成立吗？为什么？ 师生活动：教师引导学生利用平面向量的相关知识解决三个问题，学生分组讨论完成，并交流成果，教师指导 设计意图：通过分组讨论并结合平面向量的知识解决问题，有利于学生知识的迁移，并能通过讨论，提升学生自主学习及分享交流的能力，学生进一步理解了空间向量数量积的概念及相关运算律，有效地完善了空间向量数量积运算的知识建构，为后续使用空间向量工具解决立体几何问题提供了运算支持. 例题1、（教材P7，例题2） 变式练习 教材P8练习1、2、3、4 例题2、（教材P8例题3） 五、课堂小结 1、空间向量的夹角及范围 2、空间向量的数量积及相关结论 3、投影向量 4、利用向量解决空间夹角、长度等简单问题 六、课后作业 课时作业（二）A组：基础巩固1-6，B组：综合运用7、8 学科网（北京）股份有限公司 $$