第六单元比的认识（讲义）-2024-2025学年六年级上册数学北师大版

第六单元比的认识 （知识梳理+专项练习） （一）比的基本概念 1．两个数相除又叫做两个数的比。比的前项除以后项所得的商，叫做比值。 2．比值通常用分数、小数和整数表示。 3．比的后项不能为0。 4．同除法比较，比的前项相当于被除数，后项相当于除数，比值相当于商； 5．根据分数与除法的关系，比的前项相当于分子，比的后项相当于分母，比值相当于分数的值。 6．比的基本性质：比的前项和后项同时乘上或者同时除以相同的数（0除外），比值不变。 （二）求比值 1、求比值：用比的前项除以比的后项 （三）化简比 1、化简比：用比的前项除以比的后项求出分数的比值后，在把分数比值改成比。 （四）比的应用 1、比的第一种应用：已知两个或几个数量的和，这两个或几个数量的比，求这两个或这几个数量是多少？ 2、比的第二种应用：已知一个数量是多少，两个或几个数的比，求另外几个数量是多少？ 一、选择题 1．小汽车速度的和公交车速度的相等，那么小汽车和公交车的速度比是（    ）。 A．3∶2 B．2∶3 C．8∶3 D．3∶8 2．甲种彩纸3张4元，乙种彩纸4张3元，则甲乙两种彩纸的单价比是（　　） A．9：16 B．4：3 C．3：4 D．16：9 3．在11∶13中，如果前项增加33，要使比值不变，那么后项应（    ）。 A．增加33 B．增加35 C．增加37 D．增加39 4．将5克盐放入100克水中，盐与水的比是（　　） A．5：95 B．5：100 C．5：105 5．一个圆锥和一个圆柱的底面积相等，体积的比是l：3，那么高的比是（　　） A．1：1 B．3：1 C．1：33 二、填空题 6．汽车行驶90千米需要2时，路程与时间的比是( )，比值是( )，这个比值表示的是( )。 7．男生人数的等于女生人数的，女生与男生的人数比是( )． 8．客车和货车同时从甲、乙两地的中点向相反的方向行驶，3小时后客车到达甲地，货车离乙地还有64千米。已知货车和客车的速度比是5∶7，甲、乙两地相距( )千米。 9．女工人数比男工人数多87.5%，那么女工人数与男工人数的比是( )． 10．一个三角形三个内角的度数比是4∶4∶8，这个三角形是( )三角形。 11．圆柱体的侧面展开可以得到一个正方形，这个圆柱的高与底面半径的比是( )． 12．一盒中性笔10支共15元。总价与支数的比是( )，比值是( )，表示的是( )。 13．把25g盐溶解到100g水中，盐与水的最简单的整数比是( )：( )，盐与盐水的最简单的整数比是( )：( )，比值是( )． 14．人的脚长与身高的比约是1∶7。侦查员在办案过程中发现了一枚嫌疑人的鞋印，长约25cm。如果你是侦查员，会作出怎样的推断？( ) 三、判断题 15．甲比乙多，则乙∶甲＝2∶3。( ) 16．8：15比的前项加上16，要使比值不变，比的后项应加30。( ) 17．用字母表示比、除法与分数的关系是：a∶b＝a÷b＝（b≠0）。( ) 18．圆的周长和直径的比是π：1，和半径的比是2π：1.( ) 19．已知∶＝3∶5，那么一定等于3。( ) 20．比的前项除以10，后项乘10%，比值不变。( ) 四、计算题 21．求比值． 0．25 ∶ ＝ 　　　　        0.36 ∶ 6   ＝ 　　　　 3 km ∶ 800 m   ＝ 1．2 ∶ 40   ＝ 2 ∶ ＝                     ∶ ＝ 五、解答题 22．两筐苹果共130千克，如果把甲筐苹果的放入乙筐，这时甲乙两筐苹果的重量比是7：6，甲、乙两筐原来各有苹果多少千克？ 23．在一次运动会上，王刚跳的高度为1.05米，陈红跳的高度为1.02米，请你写出王刚和陈红所跳高度的比，并求出它们的比值． 24．甲、乙两个书柜藏书量的比是4∶3，如果从甲书柜中取出20本放入乙书柜，则两个书柜的藏书量一样多．请问：原来甲、乙两个书柜各藏书多少本？ 25．甲、乙两车分别从相距560千米的两地相对开出，经过8小时相遇，已知两车的速度比是4∶3， 两车的速度各是多少？ 26．快车和慢车同时从相距270千米的两地出发，相向而行，经过2小时在途中相遇。快车和慢车速度的比是。快车每小时行多少千米？ 27．如图，ABCD是一个梯形，E是BD的中点，线段CE把梯形分成甲、乙两部分，它们的面积之比是9：5，求上底AB与下底CD的长度之比． 28．一艘轮船以每时40千米的速度从甲港驶往乙港，行了全程的20%后，又行时。这时，未行的路程与已行的路程的比是，甲、乙两港相距多少千米？ 29．甲、乙、丙三人一组参加接力赛，甲跑了全程的25%，乙跑了60m，丙和乙跑的路程比是3:2．接力赛全程多少米？ 30．农资公司要用240万元资金购买化肥和农药，如果购买化肥和农药的资金按5：3分配，购买化肥的资金中钾肥占26%，农资公司购买钾肥用去多少万元？ 31．某校六年级学生参加“学雷锋见行动”活动，六年级部分学生为社区服务，其中男生人数和女生人数比是3∶5，有10名女生有事离开后，又有10名男生参加，这时男生人数是女生的80%。原来参加社区服务的男、女生各有多少人？ 32．三组少先队员植树，第一组种的棵树占总数的30%，第二组种的与第三组种的棵树比为0.9：1.2，第一组比第三组少种20棵，问三组各种多少棵？ 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案： 1．A 【分析】小汽车速度的和公交车速度的相等，将这句话用数学语言表达出来就是：小汽车速度×＝公交车速度×，我们可以假设这两个式子都是等于1，那么汽车速度就是2，公交车速度就是，可以得出小汽车和公交车的速度比＝2：，再化简比可得出结果。 【详解】1÷＝2 1÷＝ 小汽车和公交车的速度比是： 2∶ ＝6∶4 ＝3∶2 小汽车和公交车的速度比是3∶2。 故答案为：A 2．D 【详解】试题分析：“甲种彩纸3张4元”，则每张4÷3=（元）；“乙种彩纸4张3元”，则每张3÷4=（元），然后求比即可． 解：：=16：9． 答：甲乙两种彩纸的单价比是16：9． 点评：此题考查了单价和比的概念，以及化简比的方法． 3．D 【分析】比的前项和后项同时乘或除以相同的数（0除外），比值不变。据此解答。 【详解】在11∶13中，如果前项增加33，即11＋33＝44，44÷11＝4，相当于前项乘4，要使比值不变，那么后项应乘4，即13×4＝52，52－13＝39，后项应增加39。 故答案为：D 【点睛】熟练掌握比的基本性质是解题的关键。 4．B 【详解】试题分析：盐和水的比即盐的重量：水的重量，据此写出即可． 解：盐的重量：水的重量 =5：100； 点评：解答此题应明确要求的问题是盐和水的比，应注意不要求出盐和盐水的比． 5．A 【详解】试题分析：设圆锥和圆柱的底面积都是S，圆锥的体积是v，则圆柱的体积是3v，根据“圆柱的高=体积÷底面积”求出圆柱的高，根据“圆锥的高=圆锥的体积×3÷底面积”求出圆锥的高，然后相比解答即可． 解：设圆锥和圆柱的底面积都是S，圆锥的体积是v，则圆柱的体积是3v， （v×3÷s）：（3V÷s）， =（3v÷s）：（3v÷s）， =1：1； 点评：解答此题应根据圆柱和圆锥的体积计算方法进行推导，进而得出结论． 6． 90∶2 45 速度 【分析】先根据比的意义，写出路程与时间的比；再用比的前项除以比的后项，求出比值；最后根据速度＝路程÷时间，分析这个比值的意义。 【详解】90∶2＝45 路程与时间的比是90∶2，比值是45，这个比值表示的是速度。 【点睛】解答本题的关键是根据比的意义写出路程与时间的比，并熟练掌握求比值的方法。 7．15：32． 【详解】试题分析：由题意可得：男生人数×=女生人数×，进而根据比例基本性质可知：如果男生人数是外项，则是外项，那么女生人数和是内项，据此解答即可． 解：男生人数×=女生人数×，则 女生人数：男生人数=：=15：32； 点评：此题应根据比例基本性质的逆运算进行解答． 8．448 【分析】根据题意，货车和客车的速度比是5∶7，时间一定，速度比等于路程比；把货车行驶的速度看作5份，客车的速度看作7份，则两车所行驶的路程差：7－5＝2份，2份为64千米，求出1份的长度；把总长度分成5＋7＝12份，再用1份的长度×12再加上64千米，就是甲、乙两地的距离。 【详解】64÷（7－5）×（7＋5）＋64 ＝64÷2×12＋64 ＝32×12＋64 ＝384＋64 ＝448（千米） 【点睛】本题考查行程问题，关键根据客车和货车的速度的比以及速度差，计算出每份路程，再进行计算全程。 9．15：8． 【详解】试题分析：把男工人数看做单位“1”，根据“女工人数比男工人数多87.5%”，可知女工人数相当于男工人数的（1+87.5%），进而写比并化简比即可． 解：女工人数是男工的：1+87.5%=1.875， 女工人数与男工人数的比：1.875：1=（1.875×8）：（1×8）=15：8． 点评：解决此题关键是把男工人数看做单位“1”，根据题意求出女工人数占的分率，进而写比并化简比． 10．等腰直角 【分析】三角形的内角和为180°，三角形三个内角的度数比是4∶4∶8，根据按比例分配方法可计算出每个角的度数，得出答案。 【详解】可将内角和看作分为：份，而其中有两个角都是占了其中的4份，即这两个角的度数相等，度数为：°；另一个角度数为：°。有两个内角相等的直角三角形是等腰直角三角形。 【点睛】本题主要考查的是按比例分配问题的应用，解题的关键是熟练运用按比例分配方法，进而得出答案。 11．2π：1． 【详解】试题分析：把一个圆柱体的侧面展开后，恰好得到一个正方形，就是说圆柱的底面周长等于圆柱的高，设圆柱的底面半径是r，则底面周长为2πr，即圆柱的高也是2πr，然后求出这个圆柱体底面半径与高的比，再根据比的基本性质化简比． 解：设圆柱的底面半径是r，则底面周长为2πr，即圆柱的高也是2πr， 则圆柱的高与底面半径的比为：2πr：r=2π：1； 点评：解答此题应明确：圆柱的侧面展开后是一个长方形，长方形的长等于圆柱的底面周长，长方形的宽等于圆柱的高． 12． 3∶2 1.5 单价1.5元 【分析】总价15元，数量10支，可以直接求出总价与支数的比，注意化成最简整数比，前项除以后项得到比值，比与除法类似，所以比值表示单价。 【详解】总价与支数的比是3∶2； 比值是1.5； 比值表示单价是1.5元。 【点睛】两个数相除又叫做两个数的比，比与除法、分数有着紧密的联系。 13． 1 4 1 5 【详解】25：100 ＝（25÷25）：（100÷25） ＝1：4 25：（25+100） ＝25：125 ＝（25÷25）：（125÷25） ＝1：5 1：5 ＝1÷5 ＝； 答：盐与水的最简单的整数比是 1：4，盐与盐水的最简单的整数比是 1：5，比值是． 故答案为：1、4，1、5，． 14．推断出嫌疑人身高大约是175cm 【分析】成年人脚长与身高的比大约是1∶7，可知犯罪分子留下的脚印长25cm是1份数，那么犯罪分子的身高就是7份数，由此可以推断出嫌疑人的身高，用一份数乘7即可得出犯罪分子的身高。 【详解】因为：25÷1×7＝175（cm）； 所以：可以推断出这个犯罪分子的身高约是175cm。 【点睛】此题解答关键是正确理解比的意义，先明确一份的数，再求几份的数。 15．× 【分析】根据题意，把乙看作单位“1”，则甲是乙的（1＋）。用1比（1＋），再进行化简即可求出乙和甲的比，据此判断。 【详解】1∶（1＋） ＝1∶ ＝3∶5 则乙∶甲＝3∶5。原题说法错误。 故答案为：× 【点睛】本题主要考查比的意义和化简。把乙看作单位“1”，根据两数的关系求出甲占乙的几分之几是解题的关键。 16．√ 【详解】8：15比的前项加上16，由8变成24，相当于前项乘3；要使比值不变，后项也应该乘3，由15变成45，相当于后项加上：45﹣15＝30，所以原题说法正确。 故答案为：√ 17．√ 【分析】根据比、除法和分数的关系，两个数相除，又叫作这两个数的比；比的前项就是被除数，比的后项就是除数，比号就是除号，分数与除法的关系：被除数就是分子，除数就是分母，据此解答。 【详解】根据字母表示比、除法与分数的关系是a∶b＝a÷b＝（b≠0）。 原题干说法正确。 故答案为：√ 【点睛】本题考查比、除法和分数之间的关系。 18．√ 【详解】略 19．× 【分析】根据比的基本性质：比的前项和后项同时乘或除以一个数（0除外），比值不变。∶＝3∶5，即、可以是3和5，6和10等等，据此解答即可。 【详解】∶＝3∶5，则、可能是3和5，或6和10等等 不一定等于3，原说法错误 故答案为：× 【点睛】本题考查分数的基本性质，要重点掌握。 20．√ 【分析】依据比的性质，判断题干正误即可。 【详解】比的前项除以10，要使比值不变后项也要除以10；又除以10等于乘，＝10%，所以比的前项除以10，后项乘10%，比值不变。 故答案为：√ 【点睛】本题主要考查比的性质，解题时注意除以一个数等于乘它的倒数。 21．0.3,0.06, , 0.03, , 【解析】略 22．84千克；46千克 【解析】略 23．35：34， 【详解】试题分析：根据他们跳的高度写出比，再求出比值即可． 解：1.05：1.02=35：34=， 答：王刚和陈红所跳高度的比是35：34，它们的比值是． 点评：此题考查比的性质的运用及求比值． 24．甲：160本；乙120本 【详解】20×2×4=160（本） 20×2×3=120（本） 25．甲车40千米/时；乙车30千米/时 【分析】甲、乙两车相对而行开出，8小时后两车相遇，用除法先求出两车的速度之和，然后根据甲、乙两车的速度比即可解答。 【详解】560÷8＝70（千米/时）　4＋3＝7 甲车速度：70×＝40（千米/时） 乙车速度：70×＝30（千米/时） 答：甲车的速度是40千米/时，乙车的速度是30千米/时。 【点睛】先求出速度和，再据速度比，运用按比例分配的方法解决问题。 26．75千米 【分析】用270÷2求出快车和慢车的速度和，再除以总份数即可求出每份是多少千米，用每份的千米数乘快车速度对应的份数即可。 【详解】270÷2÷（5＋4）×5 ＝135÷9×5 ＝75（千米） 答：快车每小时行75千米。 【点睛】求出快车和慢车的速度和，进而求出每份是多少千米是解答本题的关键。 27．2：5． 【详解】试题分析：连接CB，因为E是中点，所以三角形CBE和三角形DEC的面积相等，甲乙两部分，它们的面积之比是9：5，把乙看做是5，则三角形CBE的面积就是5，则三角形ABC的面积就是9﹣5=4，由此可得出三角形ABC与三角形CDB的面积之比是4：（5+5）=4：10=2：5，因为三角形ABC与三角形CDE的高相等，所以面积与底成正比例，所以AB：CD=2：5． 解：连接CB，因为E是中点， 所以三角形CBE和三角形DEC的面积相等，甲乙两部分，它们的面积之比是9：5，把乙看做是5， 则三角形CBE的面积就是5，则三角形ABC的面积就是9﹣5=4， 由此可得出三角形ABC与三角形CDB的面积之比是4：（5+5）=4：10=2：5， 所以AB：CD=2：5． 点评：此题考查了两个三角形等底等高时，面积相等；高一定时，三角形的面积与底成正比的关系的灵活应用． 28．1200千米 【分析】将甲、乙两港的总路程看成单位“1”，根据未行的路程与已行的路程的比是可得：已行的路程占总路程的，再根据已行的路程等于全程的20%与时行程的和，求出时的行程占总路程的－20%；根据速度×时间＝路程求出时的行程，再除以其占总路程的分率即可求出总路程；据此解答。 【详解】×40÷（－20%） ＝×40÷5% ＝60÷5% ＝1200（千米） 答：甲、乙两港相距1200千米。 【点睛】根据未行路程与已行路程的比求出已行路程占全程的分率是完成本题的关键。 29．200m 【详解】60÷2×3=90(m) (90+60)÷(1-25%)=200(m) 答：接力赛全程200m． 30．39万 【详解】试题分析：因为化肥和农药的资金按5：3分配，所以买化肥的资金占总资金的，用总资金乘买化肥的资金占的比例，即可得购买化肥的资金，再把购买化肥的资金看作单位“1”，乘钾肥占的比例26%，即可得农资公司购买钾肥用去多少万元． 解：240××26% =240××26% =150×26% =39（万元）， 答：农资公司购买钾肥用去39万元． 【点评】本题考查了百分数的实际应用，关键是得出买化肥的资金占总资金的，用总资金乘买化肥的资金占的比例，即可得购买化肥的资金． 31．男生：54人；女生：90人 【分析】原来男生人数和女生人数比是3∶5，那么男生人数就是总人数的，后来又有10名男生参加，有10名女生有事离开总人数不变，男生人数是女生的80%，那么男生人数就是总人数的80%÷（1＋80%），男生人数增加了总人数的80%÷（1＋80%）－，它对应的数量是10人，根据分数除法的意义即可求出总人数，进而求出原来男女生的人数。 【详解】 ＝144（人） （人） （人） 答：原来参加区服务的男、女生各有54人、90人。 【点睛】此题考查的目的是理解掌握比的意义及应用，关键是抓住总人数不变，把单位“1”统一到不变的总人数，再根据分数除法的意义求出总人数，进而求出原来的男生、女生人数。 32．第一组60棵；第二组60棵；第三组 80棵 【详解】0.9:1.2=3:4 （1-30%）×=30% （1-30%）×=40% 20÷（40%-30%）=200（棵） 第一组：200×30%=60（棵） 第二组：200×30%=60（棵） 第三组：200×40%=80（棵） 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $$