广东省部分学校2025届新高三上学期开学摸底联合教学质量检测数学试卷

2025届新高三开学摸底联合教学质量检测 数学试卷 本试卷共4页 满分150分，考试用时120分钟 注意事项： 1. 答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码贴在答题卡上的指定位置. 2. 选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效. 3. 非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内.写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效. 4. 考试结束后，请将本试卷和答题卡一并上交. 一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题所给的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．已知集合，集合，，则图中阴影部分表示的集合为（    ） A． B． C． D． 2．若且，则x取值的集合为（    ） A． B． C． D． 3．已知首项为1的等比数列 的前 项和为 ，若 ，则 （   ） A．24 B．12 C．20 D．15 4．设向量，则在方向上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 5．已知随机变量服从正态分布，若，则（    ） A．0.1 B． C． D． 6．已知某圆锥的侧面积为，轴截面面积为1，则该圆锥的母线与底面所成的角为（    ） A． B． C． D． 7．设抛物线：的焦点为，过点的直线与抛物线相交于，两点，，，则（    ） A．1 B．2 C．4 D．22 8．已知，，设函数，若，则的最小值为（    ） A．8 B．4 C．2 D．1 二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9．若随机变量，且，则（    ） A． B． C． D． 10．如图，函数的图象与轴的其中两个交点为，，与轴交于点，为线段的中点，，，，则（    ） A．的图象不关于直线对称 B．的最小正周期为 C．的图像关于原点对称 D．在单调递减 11．如图，矩形ABCD中，M为BC的中点，将沿直线AM翻折成，连接，N为的中点，则在翻折过程中，下列说法正确的是（    ）    A．不存在某个位置，使得 B．翻折过程中，CN的长是定值 C．若，则 D．若，当三棱锥的体积最大时，其外接球的表面积是 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12．在，角，，所对的边分别为，，，，交AC于点，且，则的最小值为 ． 13．设是双曲线C: 的两个焦点，O为坐标原点，点P在C上且，则面积为 . 14．对于任意的，函数满足，函数满足.若，，则 . 四、解答题（本大题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 15.（本小题13分） 在中，角，，所对的边分别为，，．已知． (1)求角的大小； (2)求的值； (3)求的值． 16.（本小题15分） 某公司拟通过摸球中奖的方式对员工发放节日红包．在一个不透明的袋子中装有个形状大小相同的标有面值的球，每位员工从球袋中一次性随机摸取m个球，摸完后全部放回袋中，球上所标的面值之和为该员工所获得的红包数额． (1)若，，当袋中的球中有个所标面值为元，1个为元，1个为元时，在员工所获得的红包数额不低于元的条件下，求取到面值为元的球的概率； (2)若，，当袋中的球中有1个所标面值为元，2个为元，1个为元，1个为元时，求员工所获得红包数额的数学期望与方差． 17.（本小题15分） 如图，在三棱锥中，，，． (1)证明：平面； (2)若，E是棱上一点且，求平面与平面的夹角． 18.（本小题17分） 已知函数，，． (1)讨论：当时，的极值点的个数； (2)当时，，使得，求实数a的取值范围． 19.（本小题17分） 已知椭圆过点，且． (1)求椭圆ω的方程； (2)设O为原点，过点的直线l与椭圆ω交于P，Q两点，且直线l与x轴不重合，直线AP，AQ分别与y轴交于M，N两点．求证为定值． 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025届新高三开学摸底联合教学质量检测解析版 数学试卷 满分150分，考试用时120分钟 注意事项： 1. 答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码贴在答题卡上的指定位置. 2. 选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效. 3. 非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内.写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效. 4. 考试结束后，请将本试卷和答题卡一并上交. 一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题所给的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．已知集合，集合，，则图中阴影部分表示的集合为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为，， 所以， 所以， 即图中阴影部分表示的集合为. 故选：A 2．若且，则x取值的集合为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】， 因，则，即， 可得，，解得，或7． 故选：C． 3．已知首项为1的等比数列 的前 项和为 ，若 ，则 （   ） A．24 B．12 C．20 D．15 【答案】D 【详解】设等比数列 的公比为，显然，否则，此等式不成立， 则，由，整理得，即， 因此，所以. 故选：D 4．设向量，则在方向上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】在方向上的投影向量为 . 故选：C. 5．已知随机变量服从正态分布，若，则（    ） A．0.1 B． C． D． 【答案】A 【详解】因为随机变量服从正态分布， 所以随机变量的均值, 所以随机变量的密度曲线关于对称， 所以， 又， 所以， 因为， 所以， 故选：A. 6．已知某圆锥的侧面积为，轴截面面积为1，则该圆锥的母线与底面所成的角为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】设圆锥的母线为，底面半径为，高为， 由题意可得：，解得， 设该圆锥的母线与底面所成的角为，则， 可得，所以该圆锥的母线与底面所成的角为. 故选：C. 7．设抛物线：的焦点为，过点的直线与抛物线相交于，两点，，，则（    ） A．1 B．2 C．4 D．22 【答案】B 【详解】设抛物线：的焦点为，过点的直线与抛物线相交于，两点， 设直线的方程为，，， 联立，可得，所以，， 则．因为，，所以，， 则，解得或．因为，所以． 故选：B 8．已知，，设函数，若，则的最小值为（    ） A．8 B．4 C．2 D．1 【答案】B 【详解】由可得，，即，也即， 因，①当时，可得，即得； ②当时，可得，即得， 综上可得，，即，因 故由， 当且仅当时，取得最小值,等于4. 故选：B. 二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9．若随机变量，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【详解】因为，所以， 整理得，解得， 则，，. 故选：AC 10．如图，函数的图象与轴的其中两个交点为，，与轴交于点，为线段的中点，，，，则（    ） A．的图象不关于直线对称 B．的最小正周期为 C．的图像关于原点对称 D．在单调递减 【答案】ACD 【详解】由题可，，，则， 有， ，， 把代入上式，得，解得（负值舍去）， ，，由，解得， 解得，， 对A，，故A正确； 对B：的最小正周期为，故B错误； 对C：，为奇函数，故C正确； 对D：当时，，在单调递减，为奇函数，故D正确. 故选：ACD. 11．如图，矩形ABCD中，M为BC的中点，将沿直线AM翻折成，连接，N为的中点，则在翻折过程中，下列说法正确的是（    ）    A．不存在某个位置，使得 B．翻折过程中，CN的长是定值 C．若，则 D．若，当三棱锥的体积最大时，其外接球的表面积是 【答案】ABD 【详解】对于A，取AD的中点为E，连接CE交MD于F，则四边形为平行四边形，如图，   F为MD的中点，由于N为的中点，则， 如果，则， 由于，则， 由于共面且共点，故不可能有，同时成立， 即不存在某个位置，使得，A正确 对于B，结合A的分析可知，且， 在中，， 由于均为定值，故为定值， 即翻折过程中，CN的长是定值，B正确； 对于C，如图，取AM中点为O，由于，即，则，    若，由于平面，故平面， 平面，故，则， 由于，故，，则, 故，与矛盾，故C错误； 对于D，由题意知，只有当平面平面时，三棱锥的体积最大； 设AD中点为E，连接，由于，则， 且，而平面平面，平面， 故平面，平面，故， 则， 从而，则, 即AD的中点E即为三棱锥的外接球球心，球的半径为1， 故外接球的表面积是，D正确， 故选：ABD 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12．在，角，，所对的边分别为，，，，交AC于点，且，则的最小值为 ． 【答案】/ 【详解】， ， ， ， ， ∴， 当且仅当，即时，等号成立， 故答案为： 13．设是双曲线C: 的两个焦点，O为坐标原点，点P在C上且，则面积为 . 【答案】3 【详解】由题意得双曲线中，，则其焦点坐标， 根据双曲线对称性，不妨假设点在第一象限， 设，其中， 因为，则， 根据勾股定理知， 即，解得（负舍）， 则，则面积为. 故答案为：3. 14．对于任意的，函数满足，函数满足.若，，则 . 【答案】2 【详解】令，得，则或（与矛盾舍去）. 令，得，则， 则，则，则. 又因为，所以，则， 从而. 故答案为：2 四、解答题（本大题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 15.（本小题13分） 在中，角，，所对的边分别为，，．已知． (1)求角的大小； (2)求的值； (3)求的值． 【答案】(1)； (2)； (3) 【详解】（1）由余弦定理以及， 则， ， ； （2）由正弦定理，以及，，，可得； （3）由，及，可得， 则， ， ． 16.（本小题15分） 某公司拟通过摸球中奖的方式对员工发放节日红包．在一个不透明的袋子中装有个形状大小相同的标有面值的球，每位员工从球袋中一次性随机摸取m个球，摸完后全部放回袋中，球上所标的面值之和为该员工所获得的红包数额． (1)若，，当袋中的球中有个所标面值为元，1个为元，1个为元时，在员工所获得的红包数额不低于元的条件下，求取到面值为元的球的概率； (2)若，，当袋中的球中有1个所标面值为元，2个为元，1个为元，1个为元时，求员工所获得红包数额的数学期望与方差． 【答案】(1) (2)期望为；方差为 【详解】（1）记事件：员工所获得的红包数额不低于90元，事件：取到面值为60元的球， 因为球中有个所标面值为元，1个为元，1个为元，且 ，，，所以， 又，所以． （2）设X为员工取得的红包数额，则可能取值为，     所以，， ，，     所以，     ． 17.（本小题15分） 如图，在三棱锥中，，，． (1)证明：平面； (2)若，E是棱上一点且，求平面与平面的夹角． 【答案】(1)证明见解析 (2)． 【详解】（1）连接，因为，，所以， 因为，，所以，     因为，所以，则，所以，     因为，平面， 所以平面． （2）易知，O为的中点，所以， 由（1）可知，两两垂直，以O为坐标原点，所在直线 分别为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 设，因为，所以为正三角形， 所以，，， 因为，所以，所以，， 设平面的法向量为，则， 令，则， 又平面的一个法向量为，     所以，即平面PAE与平面PAC的夹角为． 18.（本小题17分） 已知函数，，． (1)讨论：当时，的极值点的个数； (2)当时，，使得，求实数a的取值范围． 【答案】(1)答案见解析 (2)． 【详解】（1），，     ①当时，为增函数， 因为时，；时，， 所以有唯一的零点，当时，，当时，， 所以有一个极小值点，无极大值点．     ②当时，令，则，     令，得，     当时，，单调递增；当时，，单调递减． 所以，即，所以的极值点的个数为0． 综上所述，当时，的极值点个数为1， 当时，的极值点个数为0． （2）， 由，得，由，得， 当时，，单调递减；当时，，单调递增． 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以，     因为当时，，使得， 所以只需成立，即不等式成立．     令，则， 则， 则在上恒成立， 故在上单调递增，     又，所以， 故实数a的取值范围为． 19.（本小题17分） 已知椭圆过点，且． (1)求椭圆ω的方程； (2)设O为原点，过点的直线l与椭圆ω交于P，Q两点，且直线l与x轴不重合，直线AP，AQ分别与y轴交于M，N两点．求证为定值． 【答案】(1) (2)证明见解析 【详解】（1）因为椭圆过点，所以. 因为，所以. 所以椭圆的方程为. （2）当直线斜率不存在时，直线的方程为. 不妨设此时，， 所以直线的方程为，即. 直线的方程为，即. 所以. 当直线斜率存在时，设直线的方程为， 由，得. 依题意，. 设，，则，. 又直线的方程为， 令，得点的纵坐标为，即，同理. 所以 . 综上，为定值，定值为. 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$