专题05 利用基本不等式的性质求最值专项训练（50道）-2024-2025学年高一年级数学上册重难点专题提升精讲精练（人教A版2019必修第一册）

专题05 利用基本不等式的性质求最值专项训练（50道） 一、单选题 1．（24-25高一上·全国·课后作业）若正实数满足，则的最小值为（    ） A．7 B．8 C．9 D．10 2．（24-25高一上·全国·课后作业）已知，且，则a＋b的最小值为（    ） A．1 B． C．2 D．4 3．（24-25高一上·全国·课后作业）设且，则的最大值是（    ） A．400 B．100 C．40 D．20 4．（25-26高一上·全国·课后作业）若，则的最小值为（    ） A．4 B．6 C．8 D．无最小值 5．（23-24高一上·广东惠州·阶段练习）已知，则的最小值为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 6．（23-24高一上·江苏镇江·阶段练习）已知，，，则的最大值是（    ） A． B． C． D．1 7．（25-26高一上·全国·课后作业）已知，且，则的最小值为（    ） A．8 B．6 C．4 D．2 8．（23-24高一上·山西朔州·阶段练习）已知，，满足，则下列结论正确的是（    ） A．有最小值 B．有最大值 C．有最小值 D．有最大值 9．（24-25高一上·江苏·假期作业）负实数、满足，则的最小值为（ ） A． B． C． D． 10．（23-24高一下·湖北·阶段练习）已知，且，则的最小值为（    ） A． B． C．4 D．6 11．（23-24高一下·浙江·期中）若实数，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 12．（2023·河南信阳·模拟预测）若，则函数有（    ） A．最小值1 B．最大值1 C．最小值 D．最大值 13．（23-24高一下·广西南宁·开学考试）已知，且，则的最小值为（    ） A． B．1 C． D．2 14．（23-24高一上·安徽宣城·期末）已知，且，，则的最小值是（    ） A． B． C．1 D． 15．（23-24高一上·福建龙岩·期末）已知，且，则的最小值是（    ） A． B．4 C． D．5 16．（23-24高一上·湖北武汉·期末）已知且，则的最小值为（    ） A． B． C．1 D． 二、多选题 17．（23-24高一下·云南昆明·期中）下列说法正确的是（    ） A．的最小值为2 B．的最大值为2 C．的最小值为2 D．最小值为 18．（23-24高一上·浙江杭州·期中）下列不等式正确的有（    ） A．若，则函数的最小值为2 B．函数最小值为 C．当 D．最小值等于4 19．（23-24高一上·广东中山·期末）已知正数x，y满足，则（    ） A．的最大值为1 B．的最大值为2 C．的最小值为2 D．的最小值为 20．（23-24高一上·山东淄博·阶段练习）下列结论中，所有正确的结论是（    ） A．当时， 的最小值为2 B．当时，的最大值是 C．当时，的最小值为 D．当时，的最大值是 21．（23-24高三上·甘肃·阶段练习）已知，若，则（    ） A．的最大值为 B．的最小值为1 C．的最小值为8 D．的最小值为 22．（23-24高三上·甘肃天水·阶段练习）设正实数，满足，则下列说法正确的是（    ） A．的最小值为2 B．的最小值为1 C．的最大值为4 D．的最小值为2 23．（2023·山东日照·模拟预测）已知，则（    ） A．有最大值 B．有最小值 C．有最小值 D．有最小值4 24．（23-24高一上·江苏常州·阶段练习）设正实数a，b满足，则（    ） A．有最小值4 B．有最小值 C．有最大值 D． 三、填空题 25．（24-25高一上·上海·随堂练习）若正数a、b满足，则ab的最小值为 ． 26．（24-25高一上·上海·随堂练习）已知，则的最大值为 ． 27．（24-25高一上·上海·课后作业）若，则的最大值为 . 28．（24-25高一上·上海·课后作业）已知函数，则的最小值为 ． 29．（24-25高一上·上海·课堂例题）（1）若正实数满足，则的最大值为 ． （2）已知，且，则的最小值是 ． 30．（23-24高一上·云南昭通·期末）已知实数，，且，则的最小值是 ． 31．（23-24高一上·广西百色·期末）若，则的最小值为 . 32．（2024高一上·浙江宁波·专题练习）已知正实数 满足 ，则 的最小值为 . 33．（24-25高一上·上海·课堂例题）（1）已知，则取得最大值时，的值为 . （2）已知，则的最大值为 . （3）已知，则的最小值为 . 34．（23-24高一上·河北承德·期末）已知均为正实数，若，则的最小值为 . 35．（22-23高三上·福建漳州·期中）已知实数，满足，且，则的最小值为 ． 36．（23-24高一上·四川绵阳·期末）已知，，，则的最小值为 ． 37．（23-24高一上·江苏宿迁·期中）已知，则的最小值为 . 38．（23-24高一上·重庆·阶段练习）若正实数，满足，则的最大值为 ． 39．（23-24高一上·江苏盐城·阶段练习）已知正实数满足，则的最小值为 ． 40．（23-24高一上·辽宁丹东·期中）已知正实数满足，则的最小值为 . 四、解答题 41．（23-24高一上·江苏·阶段练习）（1）若，求的最大值． （2）已知，求的最大值． 42．（23-24高一上·江苏南京·期中）已知正数a，b满足． (1)求的最小值； (2)求的最小值． 43．（23-24高一上·江苏苏州·阶段练习）《见微知著》谈到：从一个简单的经典问题出发，从特殊到一般，由简单到复杂：从部分到整体，由低维到高维，知识与方法上的类比是探索发展的重要途径，是思想阀门发现新问题、新结论的重要方法． 阅读材料一：利用整体思想解题，运用代数式的恒等变形，使不少依照常规思路难以解决的问题找到简便解决方法，常用的途径有：（1）整体观察；（2）整体设元；（3）整体代入：（4）整体求和等． 例如，，求证：．  证明：原式． 波利亚在《怎样解题》中指出：“当你找到第一个藤菇或作出第一个发现后，再四处看看，他们总是成群生长”类似问题，我们有更多的式子满足以上特征． 阅读材料二：基本不等式（，），当且仅当时等号成立，它是解决最值问题的有力工具．例如：在的条件下，当为何值时，有最小值，最小值是多少？ 解：，，，即，，当且仅当，即时，有最小值，最小值为2．请根据以上阅读材料解答下列问题： (1)已知，求的值． (2)若，解关于的方程． (3)若正数，满足，求的最小值． 44．（23-24高一上·云南曲靖·期中）若方程有两个不相等的实数根，且． (1)求证：； (2)若，求的最小值． 45．（2022高一上·全国·专题练习）已知，求的最大值. 46．（23-24高一上·江苏无锡·阶段练习）已知正实数满足． (1)求的最小值及此时的值； (2)求的最大值及此时的值； (3)求的最小值及此时的值． 47．（23-24高一上·山西长治·期末）已知，. (1)当时，求的最小值； (2)当时，求的最小值. 48．（22-23高一下·河南·阶段练习）中国建设新的芯片工厂的速度处于世界前列，这是朝着提高半导体自给率目标迈出的重要一步.根据国际半导体产业协会(SEMI)的数据，在截至2024年的4年里，中国计划建设31家大型半导体工厂.某公司打算在2023年度建设某型芯片的生产线，建设该生产线的成本为300万元，若该型芯片生产线在2024年产出万枚芯片，还需要投入物料及人工等成本（单位：万元），已知当时，；当时，；当时，，已知生产的该型芯片都能以每枚80元的价格售出. (1)已知2024年该型芯片生产线的利润为（单位：万元），试求出的函数解析式. (2)请你为该型芯片的生产线的产量做一个计划，使得2024年该型芯片的生产线所获利润最大，并预测最大利润. 49．（23-24高一上·四川成都·期末）如图所示，一条笔直的河流（忽略河的宽度）两侧各有一个社区（忽略社区的大小），社区距离上最近的点的距离是社区距离上最近的点的距离是，且.点是线段上一点，设. 现规划了如下三项工程： 工程1：在点处修建一座造价0.1亿元的人行观光天桥； 工程2：将直角三角形地块全部修建为面积至少的文化主题公园，且每平方千米造价为亿元； 工程3：将直角三角形地块全部修建为面积至少的湿地公园，且每平方千米造价为1亿元. 记这三项工程的总造价为亿元. (1)求实数的取值范围； (2)问点在何处时，最小，并求出该最小值. 50．（23-24高一上·贵州贵阳·期末）《见微知著》谈到：从一个简单的经典问题出发，从特殊到一般，由简单到复杂：从部分到整体，由低维到高维，知识与方法上的类比是探索发展的重要途径，是思想阀门发现新问题、新结论的重要方法. 阅读材料一：利用整体思想解题，运用代数式的恒等变形，使不少依照常规思路难以解决的问题找到简便解决方法，常用的途径有：（1）整体观察：（2）整体设元；（3）整体代入：（4）整体求和等. 例如，，求证：． 证明：原式． 阅读材料二：解决多元变量问题时，其中一种思路是运用消元思想将多元问题转化为一元问题，再结合一元问题处理方法进行研究. 例如，正实数满足，求的最小值． 解：由，得， ， 当且仅当，即时，等号成立． 的最小值为． 波利亚在《怎样解题》中指出：“当你找到第一个蘑菇或作出第一个发现后，再四处看看，他们总是成群生长”类似问题，我们有更多的式子满足以上特征. 结合阅读材料解答下列问题： (1)已知，求的值； (2)若正实数满足，求的最小值． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题05 利用基本不等式的性质求最值专项训练（50道） 一、单选题 1．（24-25高一上·全国·课后作业）若正实数满足，则的最小值为（    ） A．7 B．8 C．9 D．10 【答案】C 【分析】利用消元法，消去，再利用基本不等式进行求解即可. 【详解】由为正实数，且，得， 则， 当且仅当，即时，取最小值9. 故选：C. 2．（24-25高一上·全国·课后作业）已知，且，则a＋b的最小值为（    ） A．1 B． C．2 D．4 【答案】C 【分析】化简得出定值，结合基本不等式求最小值. 【详解】因为,所以, 所以,当且仅当时取等号， 故选：C. 3．（24-25高一上·全国·课后作业）设且，则的最大值是（    ） A．400 B．100 C．40 D．20 【答案】A 【分析】直接用基本不等式求解即可. 【详解】因为 所以 即 所以 当且仅当且，即时等号成立. 故选：A 4．（25-26高一上·全国·课后作业）若，则的最小值为（    ） A．4 B．6 C．8 D．无最小值 【答案】C 【分析】将式子配凑成，然后利用基本不等式求解即可. 【详解】若，则， 当且仅当，即时，等号成立，所以的最小值为8． 故选：C． 5．（23-24高一上·广东惠州·阶段练习）已知，则的最小值为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【分析】利用基本不等式计算可得. 【详解】因为，所以（当且仅当，即时取等号）. 所以的最小值为. 故选：C 6．（23-24高一上·江苏镇江·阶段练习）已知，，，则的最大值是（    ） A． B． C． D．1 【答案】A 【分析】根据题意可得，，，利用基本不等式求最值. 【详解】因为，，，则，， 可得，当且仅当，即时，等号成立， 所以的最大值是. 故选：A. 7．（25-26高一上·全国·课后作业）已知，且，则的最小值为（    ） A．8 B．6 C．4 D．2 【答案】B 【分析】应用常值代换结合基本不等式求出最小值即可. 【详解】因为,且, 所以, 当且仅当,即时取等号，因此的最小值为6． 故选：B. 8．（23-24高一上·山西朔州·阶段练习）已知，，满足，则下列结论正确的是（    ） A．有最小值 B．有最大值 C．有最小值 D．有最大值 【答案】A 【分析】由均值不等式得，从而得到，由得到，从而选出正确选项. 【详解】因为，，所以，所以由得， 解得，，当且仅当时等号成立， 所以有最小值，排除CD； 因为，，所以，所以，解得， 当且仅当时等号成立，所以有最小值，故A正确，B错误； 故选：A. 9．（24-25高一上·江苏·假期作业）负实数、满足，则的最小值为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据为定值，消元后利用基本不等式求最值. 【详解】因为负实数、满足，则，可得， 由基本不等式可得， 当且仅当时，即当时，等号成立，所以的最小值为. 故选：A. 10．（23-24高一下·湖北·阶段练习）已知，且，则的最小值为（    ） A． B． C．4 D．6 【答案】D 【分析】将分子的上乘以，得到，再利用重要不等式，化简即可. 【详解】因为，且，又， 所以， 当且仅当时取最小值，此时， 故所求为6. 故选：D. 11．（23-24高一下·浙江·期中）若实数，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】首先变形，再利用基本不等式求最小值. 【详解】 ， 当且仅当，即时，等号成立. 故选：D 12．（2023·河南信阳·模拟预测）若，则函数有（    ） A．最小值1 B．最大值1 C．最小值 D．最大值 【答案】D 【分析】由题意，，，利用基本不等式求解. 【详解】因为，所以， . 当且仅当，即时等号成立， 所以函数有最大值. 故选：D. 13．（23-24高一下·广西南宁·开学考试）已知，且，则的最小值为（    ） A． B．1 C． D．2 【答案】C 【分析】依题意可得，再利用乘“1”法及基本不等式计算可得. 【详解】因为，且，所以， 所以 ， 当且仅当，即时取等号， 所以的最小值为． 故选：C． 14．（23-24高一上·安徽宣城·期末）已知，且，，则的最小值是（    ） A． B． C．1 D． 【答案】B 【分析】结合“1”的代换和基本不等式求解即可. 【详解】由得， 于是， 又，，所以， 因此， 当且仅当，即时，等号成立. 故. 故选：B. 15．（23-24高一上·福建龙岩·期末）已知，且，则的最小值是（    ） A． B．4 C． D．5 【答案】D 【分析】由已知可得，再根据基本不等式求解即可. 【详解】由，得， 因为，所以， 则， 当且仅当，即时，等号成立， 所以的最小值是. 故选：D. 16．（23-24高一上·湖北武汉·期末）已知且，则的最小值为（    ） A． B． C．1 D． 【答案】A 【分析】将已知化为，，再利用基本不等式即可求解. 【详解】，， ， ， 当且仅当，且，即时等号成立， 的最小值为. 故选：A 二、多选题 17．（23-24高一下·云南昆明·期中）下列说法正确的是（    ） A．的最小值为2 B．的最大值为2 C．的最小值为2 D．最小值为 【答案】CD 【分析】对于选项A，举出反例，即可判断；对于选项B，用二次函数知识可以求出最大值；对于选项C、D，利用基本不等式即可求解. 【详解】对于选项A，当时，，故A错误； 对于选项B，，所以的最大值为1，故B错误； 对于选项C，，当且仅当，即时，等号成立，故C正确. 对于选项D，， 当且仅当，即时，等号成立，故D正确. 故选：CD. 18．（23-24高一上·浙江杭州·期中）下列不等式正确的有（    ） A．若，则函数的最小值为2 B．函数最小值为 C．当 D．最小值等于4 【答案】BC 【分析】AD选项，利用对勾函数的性质进行求解；BC选项，直接使用基本不等式或变形后使用基本不等式进行求解 【详解】A选项，令， 则， 由对勾函数性质可知，在上单调递增， 故， 故的最小值为，A错误； B选项，因为，所以， 故， 当且仅当，即时，等号成立， 故函数最小值为，B正确； C选项，当时，， 由基本不等式得， 当且仅当，即时，等号成立， 故，C正确； D选项，由对勾函数性质可知在上单调递减， 故，D错误. 故选：BC 19．（23-24高一上·广东中山·期末）已知正数x，y满足，则（    ） A．的最大值为1 B．的最大值为2 C．的最小值为2 D．的最小值为 【答案】AD 【分析】A选项，由基本不等式求出；B选项，求出；C选项，在A选项基础上得到；D选项，利用基本不等式“1”的妙用求出最小值. 【详解】A选项，正数x，y满足，由基本不等式得， 解得，当且仅当时，等号成立，A正确； B选项，，故， 当且仅当时，等号成立，故的最小值为2，B错误； C选项，由A选项知，，故， 当且仅当时，等号成立，所以，故的最大值为2，C错误； D选项，由于正数x，y满足， 故， 当且仅当，即时，等号成立，D正确. 故选：AD 20．（23-24高一上·山东淄博·阶段练习）下列结论中，所有正确的结论是（    ） A．当时， 的最小值为2 B．当时，的最大值是 C．当时，的最小值为 D．当时，的最大值是 【答案】BCD 【分析】根据题意，结合基本不等式，逐项判定，即可求解. 【详解】对于A中，当时，，当且仅当时，等号成立，但， 故等号不成立，所以，所以A错误； 对于B中，当时，， 当且仅当，即时，等号成立，所以B正确； 对于C中，当时，可得，则， 当且仅当时，即时，等号成立，所以C正确； 对于D中，当时，可得，则 ， 当且仅当，即时，等号成立，所以D正确. 故选：BCD. 21．（23-24高三上·甘肃·阶段练习）已知，若，则（    ） A．的最大值为 B．的最小值为1 C．的最小值为8 D．的最小值为 【答案】ACD 【分析】 AD选项，由基本不等式求出最值；B选项，化为，求出最小值；C选项，利用基本不等式“1”的妙用求出最小值. 【详解】对于，由，即， 当且仅当，且，即时，取等号，所以A正确； 对于，因为， 当且仅当时，取到最小值，所以B错误； 对于C，因为，所以， 当且仅当，且，即，时，取等号，所以C正确； 对于，当且仅当，且， 即时，取等号，所以正确. 故选：ACD. 22．（23-24高三上·甘肃天水·阶段练习）设正实数，满足，则下列说法正确的是（    ） A．的最小值为2 B．的最小值为1 C．的最大值为4 D．的最小值为2 【答案】AD 【分析】根据，结合基本不等式可判断A；根据基本不等式可判断B；可判断C；根据可判断D. 【详解】对于A，因为，， 所以 ， 当且仅当时等号成立， 所以的最小值为2，故A正确； 对于B，，当且仅当时等号成立， 所以的最大值为1，故B错误； 对于C，，当且仅当时等号成立， 所以，即的最大值为2，故C错误； 对于D，，当且仅当时等号成立， 所以的最小值为2，故D正确. 故选:AD. 23．（2023·山东日照·模拟预测）已知，则（    ） A．有最大值 B．有最小值 C．有最小值 D．有最小值4 【答案】ABD 【分析】根据题意，结合基本不等式，逐项判定，即可求解. 【详解】由， 对于A中，由，可得，可得， 当且仅当时，等号成立，所以有最大值，所以A正确； 对于B中，由，因为有最大值，所以， 当且仅当时，等号成立，所以有最小值，所以B正确； 对于C中，由， 当且仅当时，等号成立，所以有最大值，所以C不正确； 对于D中，由， 当且仅当时，等号成立，所以有最小值，所以D正确； 故选：ABD. 24．（23-24高一上·江苏常州·阶段练习）设正实数a，b满足，则（    ） A．有最小值4 B．有最小值 C．有最大值 D． 【答案】ACD 【分析】A选项，利用基本不等式“1”的妙用求出最小值；B选项，使用基本不等式求出最大值为；C选项，平方后结合B选项求出答案；D选项，代入，从而得到. 【详解】A选项，由基本不等式得 ， 当且仅当，即时，等号成立，故A正确； B选项，由基本不等式得，当且仅当时，等号成立， 故，即最大值为，B错误； C选项，， 由B选项得，，故， 故，当且仅当时，等号成立， 有最大值，C正确； D选项，因为，所以，其中， 故 ， 当时，等号成立，故，D正确. 故选：ACD 三、填空题 25．（24-25高一上·上海·随堂练习）若正数a、b满足，则ab的最小值为 ． 【答案】25 【分析】利用基本不等式得到关于的不等式进行求解即可解答． 【详解】， 所以， 即， 当且仅当时等号成立， 故答案为：25． 26．（24-25高一上·上海·随堂练习）已知，则的最大值为 ． 【答案】 【分析】整理，观察和为定值，利用基本不等式直接求解即可． 【详解】， 当且仅当， 即时等号成立， 故答案为：． 27．（24-25高一上·上海·课后作业）若，则的最大值为 . 【答案】 【分析】利用基本不等式先求的最小值，然后可得. 【详解】因为，所以，， 所以， 当且仅当，即时等号成立， 所以，所以. 故答案为： 28．（24-25高一上·上海·课后作业）已知函数，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】对原函数合理变形，再利用基本不等式求解即可. 【详解】由题意得， 当且仅当时取等，此时解得(负根舍去). 故答案为： 29．（24-25高一上·上海·课堂例题）（1）若正实数满足，则的最大值为 ． （2）已知，且，则的最小值是 ． 【答案】 1 16 【分析】（1）根据题意，结合基本不等式，即可求解； （2）根据题意，结合，结合基本不等式，即可求解. 【详解】解：（1）由正实数、满足，可得， 当且仅当时，等号成立，所以的最大值为. （2）由，且， 则， 当且仅当时，即时，等号成立， 所以的最小值是. 30．（23-24高一上·云南昭通·期末）已知实数，，且，则的最小值是 ． 【答案】 【分析】根据基本不等式在最值求解中的应用计算即可． 【详解】因为实数，，， 则， 当且仅当，即，时取等号． 故答案为：． 31．（23-24高一上·广西百色·期末）若，则的最小值为 . 【答案】9 【分析】根据给定条件，利用基本不等式求出最小值. 【详解】由，得，于是， 当且仅当，即时取等号， 所以的最小值为9. 故答案为：9 32．（2024高一上·浙江宁波·专题练习）已知正实数 满足 ，则 的最小值为 . 【答案】 【分析】由已知得，然后利用基本不等式可得答案. 【详解】正实数且得， 所以， 所以， 当且仅当，即时等号成立. 的最小值为. 故答案为： 33．（24-25高一上·上海·课堂例题）（1）已知，则取得最大值时，的值为 . （2）已知，则的最大值为 . （3）已知，则的最小值为 . 【答案】 1 6 【分析】（1）运用配凑法得，再用基本不等式即可求解. （2）运用配凑法得，再用基本不等式即可求解. （3）用分离常数法得，再用基本不等式即可求解. 【详解】（1），，， 所以， 当且仅当，即时，取等号， 故所求的值为. （2），，即， 则 ， 当且仅当，即时，取等号. 故的最大值为1. （3）， ， 当且仅当，即时，取等号. 故的最小值为. 故答案为：. 34．（23-24高一上·河北承德·期末）已知均为正实数，若，则的最小值为 . 【答案】 【分析】利用基本不等式求最小值． 【详解】 ， 当且仅当，即时，等号成立， 故的最小值为. 故答案为： 35．（22-23高三上·福建漳州·期中）已知实数，满足，且，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】由，利用基本不等式求最小值. 【详解】实数，满足，且， 则 . 当且仅当，即时等号成立. 所以的最小值为. 故答案为： 36．（23-24高一上·四川绵阳·期末）已知，，，则的最小值为 ． 【答案】/ 【分析】合理分析给定式子，利用‘1’的代换结合基本不等式解决即可. 【详解】，， ，，，故，即， 故， 当且仅当，时取等，此时解得，， 故的最小值为， 故答案为： 37．（23-24高一上·江苏宿迁·期中）已知，则的最小值为 . 【答案】16 【分析】将目标式化为，结合及二次函数性质求最大值即可. 【详解】由，则， 而，故当时，目标式最小值为16. 故答案为：16 38．（23-24高一上·重庆·阶段练习）若正实数，满足，则的最大值为 ． 【答案】 【分析】先利用基本不等式中“1”的妙用求得的取值范围，从而求得的最大值. 【详解】因为正数，满足，所以，即， 所以， 当且仅当且，即时取等号， 此时取得最小值，则的最大值为． 故答案为：. 39．（23-24高一上·江苏盐城·阶段练习）已知正实数满足，则的最小值为 ． 【答案】5 【分析】将变为，由不等式“1”的代换求解即可. 【详解】因为正实数满足，所以， 而， 所以 ， 当且仅当且，即时取等， 故答案为：5. 40．（23-24高一上·辽宁丹东·期中）已知正实数满足，则的最小值为 . 【答案】1 【分析】由题意可得，再根据基本不等式中“1”的整体代换即可得解. 【详解】因为正实数满足，所以， 所以 ， 当且仅当，即时取等号， 所以的最小值为. 故答案为：. 四、解答题 41．（23-24高一上·江苏·阶段练习）（1）若，求的最大值． （2）已知，求的最大值． 【答案】（1）（2） 【分析】（1）由已知结合基本不等式求出的最小值即可得的最大值. （2）先用配凑法将变形为，再利用基本不等式即可求解. 【详解】（1）因为，所以， 所以， 当且仅当即时取等号， 所以即最大值为. （2）因为， 所以，则， 所以， 当且仅当时，即时取等号， 所以的最大值是． 42．（23-24高一上·江苏南京·期中）已知正数a，b满足． (1)求的最小值； (2)求的最小值． 【答案】(1) (2)18 【分析】（1）利用常值代换法和基本不等式即可求出最小值； （2）将已知式分解因式为，利用常数分离法将所求式化成，再运用基本不等式即可求得最小值. 【详解】（1）因为，，且，则， 所以， 当且仅当，即，即，时等号成立， 故的最小值为． （2）因为，，且，所以， 所以， 当且仅当，即时等号成立， 故的最小值为18． 43．（23-24高一上·江苏苏州·阶段练习）《见微知著》谈到：从一个简单的经典问题出发，从特殊到一般，由简单到复杂：从部分到整体，由低维到高维，知识与方法上的类比是探索发展的重要途径，是思想阀门发现新问题、新结论的重要方法． 阅读材料一：利用整体思想解题，运用代数式的恒等变形，使不少依照常规思路难以解决的问题找到简便解决方法，常用的途径有：（1）整体观察；（2）整体设元；（3）整体代入：（4）整体求和等． 例如，，求证：．  证明：原式． 波利亚在《怎样解题》中指出：“当你找到第一个藤菇或作出第一个发现后，再四处看看，他们总是成群生长”类似问题，我们有更多的式子满足以上特征． 阅读材料二：基本不等式（，），当且仅当时等号成立，它是解决最值问题的有力工具．例如：在的条件下，当为何值时，有最小值，最小值是多少？ 解：，，，即，，当且仅当，即时，有最小值，最小值为2．请根据以上阅读材料解答下列问题： (1)已知，求的值． (2)若，解关于的方程． (3)若正数，满足，求的最小值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）由题意把代入式中化简计算即可得解； （2）将代入方程后化简计算即可得解； （3）由已知条件可得，利用基本不等式求出的最小值即可得的最小值． 【详解】（1）由题意得； （2）由， 故原方程可化为：， 即：， ，即，解得：； （3）由，则有 ， ， 当且仅当，即，时，等号成立， 有最小值，此时有最大值， 从而有最小值，即有最小值． 44．（23-24高一上·云南曲靖·期中）若方程有两个不相等的实数根，且． (1)求证：； (2)若，求的最小值． 【答案】(1)证明见解析 (2)8 【分析】（1）根据韦达定理，即可证明结论； （2）首先，将原式通分，变形，再将韦达定理代入；然后，利用（1）的结论消去，得到关于一个的式子；再对式子变形，利用基本不等式求出最小值. 【详解】（1）证明：根据韦达定理得，，， 所以， 所以. （2） ， 因为， 所以， 所以， 当且仅当即时，等号成立， 所以的最小值为8. 45．（2022高一上·全国·专题练习）已知，求的最大值. 【答案】 【分析】根据题意分别设，然后可求出，再化简，再结合基本不等式即可求解. 【详解】 设，则， 因此 因，当且仅当，即时取等号， 所以. 故的最大值为. 46．（23-24高一上·江苏无锡·阶段练习）已知正实数满足． (1)求的最小值及此时的值； (2)求的最大值及此时的值； (3)求的最小值及此时的值． 【答案】(1)，此时 (2)的最大值是，此时 (3)的最小值是3，此时 【分析】（1）对已知等式两边平方结合基本不等式即可求解； （2）利用基本不等式推论即可求解； （3）将所求式子变形为，结合基本不等式即可求解. 【详解】（1）由基本不等式有， 所以，等号成立当且仅当满足题意； （2）由基本不等式推论有，等号成立当且仅当， 所以的最大值是； （3）一方面，另一方面，所以， 从而，等号成立当且仅当， 所以的最小值是3. 47．（23-24高一上·山西长治·期末）已知，. (1)当时，求的最小值； (2)当时，求的最小值. 【答案】(1)9 (2)5 【分析】（1）利用基本不等式结合二次不等式求解即可； （2）利用基本不等式中常数代换技巧求解最值即可. 【详解】（1）当时，，即， 所以，即，当且仅当时等号成立，所以的最小值为9； （2）当时，，即， 所以， 当且仅当，即时等号成立，所以的最小值为5. 48．（22-23高一下·河南·阶段练习）中国建设新的芯片工厂的速度处于世界前列，这是朝着提高半导体自给率目标迈出的重要一步.根据国际半导体产业协会(SEMI)的数据，在截至2024年的4年里，中国计划建设31家大型半导体工厂.某公司打算在2023年度建设某型芯片的生产线，建设该生产线的成本为300万元，若该型芯片生产线在2024年产出万枚芯片，还需要投入物料及人工等成本（单位：万元），已知当时，；当时，；当时，，已知生产的该型芯片都能以每枚80元的价格售出. (1)已知2024年该型芯片生产线的利润为（单位：万元），试求出的函数解析式. (2)请你为该型芯片的生产线的产量做一个计划，使得2024年该型芯片的生产线所获利润最大，并预测最大利润. 【答案】(1)； (2)当2024年该型芯片产量为40万枚时利润最大，最大利润为220万元． 【分析】（1）根据利润等于售价减成本可求利润的表达式； （2）根据的表达式分别求出每段函数的最大值即可. 【详解】（1）（1）由题意可得，， 所以， 即. （2）当时，； 当时，，对称轴，； 当时，由基本不等式知， 当且仅当，即时等号成立，故， 综上，当2024年该型芯片产量为40万枚时利润最大，最大利润为220万元． 49．（23-24高一上·四川成都·期末）如图所示，一条笔直的河流（忽略河的宽度）两侧各有一个社区（忽略社区的大小），社区距离上最近的点的距离是社区距离上最近的点的距离是，且.点是线段上一点，设. 现规划了如下三项工程： 工程1：在点处修建一座造价0.1亿元的人行观光天桥； 工程2：将直角三角形地块全部修建为面积至少的文化主题公园，且每平方千米造价为亿元； 工程3：将直角三角形地块全部修建为面积至少的湿地公园，且每平方千米造价为1亿元. 记这三项工程的总造价为亿元. (1)求实数的取值范围； (2)问点在何处时，最小，并求出该最小值. 【答案】(1) (2)当点满足时，最小，最小值为亿元. 【分析】（1）由直角三角形地块全部修建为面积至少和直角三角形地块全部修建为面积至少的文化主题公园湿地公园，列不等式求解即可得出答案. （2）由题意可得，由基本不等式求解即可. 【详解】（1）因为直角三角形地块全部修建为面积至少的湿地公园， 所以，解得： 直角三角形地块全部修建为面积至少的文化主题公园， 所以，解得：, 故实数的取值范围为. （2）依题意可得： ， 当且仅当，即时取等. 所以当点满足时，最小，最小值为亿元. 50．（23-24高一上·贵州贵阳·期末）《见微知著》谈到：从一个简单的经典问题出发，从特殊到一般，由简单到复杂：从部分到整体，由低维到高维，知识与方法上的类比是探索发展的重要途径，是思想阀门发现新问题、新结论的重要方法. 阅读材料一：利用整体思想解题，运用代数式的恒等变形，使不少依照常规思路难以解决的问题找到简便解决方法，常用的途径有：（1）整体观察：（2）整体设元；（3）整体代入：（4）整体求和等. 例如，，求证：． 证明：原式． 阅读材料二：解决多元变量问题时，其中一种思路是运用消元思想将多元问题转化为一元问题，再结合一元问题处理方法进行研究. 例如，正实数满足，求的最小值． 解：由，得， ， 当且仅当，即时，等号成立． 的最小值为． 波利亚在《怎样解题》中指出：“当你找到第一个蘑菇或作出第一个发现后，再四处看看，他们总是成群生长”类似问题，我们有更多的式子满足以上特征. 结合阅读材料解答下列问题： (1)已知，求的值； (2)若正实数满足，求的最小值． 【答案】(1)1 (2)． 【分析】（1）将1化成，约分即可求解， （2）利用将1化成，即可得，通分后分离常数，即可利用基本不等式求解，或者利用，代入后得，即可求解. 【详解】（1）由题意得 ； （2）解法1（整体代入）：由 ， 由于，故，当且仅当，即时等号成立， 因为有最小值，此时有最大值， 从而最小值，即有最小值． 解法2（消元思想）：由题意得． 因为，当且仅当，即时等号成立， 因为有最小值，此时有最大值， 从而最小值，即有最小值． 学科网（北京）股份有限公司 $$