1.1集合的概念教学设计-2024-2025学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册

1.1 集合的概念 一、内容和内容解析 1. 内容 集合和集合相等的含义；元素与集合的关系；集合元素的三个特性（确定性、互异性、无序性）；常用数集及其记法；集合的表示方法：列举法和描述法. 2. 内容解析 集合的概念是学生进入高中阶段的第一节数学课.教科书从 6 个实例入手，引入元素和集合的含义，以及元素与集合的关系，随后介绍了一些特殊集合的记号，最后介绍了集合的两种表示方法——列举法与描述法. 列举法和描述法是表示集合的两种重要方法.列举法把集合中的所有元素一一列举出来；描述法用集合中所有元素具有的共同属性来表示集合.教科书通过实例分析和应用不断地强化学生对这两种表示方法的理解，引导学生体会自然语言、列举法和描述法各自的特点，初步学会用集合语言简洁、准确地表述数学的研究对象. 本节课的教学重点是：元素与集合的“属于”关系，用符号语言表示集合. 二、目标和目标解析 1. 学习目标 （1） 通过实例，了解元素及集合的含义，理解元素与集合的“属于”关系； （2） 了解集合相等的含义，了解集合中元素的确定性、互异性、无序性； （3） 知道常用数集及其专用记号； （4） 针对具体问题，能用列举法和描述法表示集合，培养数学抽象素养. 2.目标解析 达成上述目标的标志是： （1） 能结合具体实例认识元素与集合，会判断哪些事物可以组成集合，哪些不能组成集合；结合具体情境，判断元素与集合的关系. （2） 会判断两个集合相等，体会集合中元素的确定性、互异性、无序性. （3） 知道常用数集及其记法，会用这些表示法表示常用数集. （4） 对于给定的具体情境，抽象概括出数学对象的一般特征，会用自然语言、符号语言（列举法和描述法）表达所要研究的数学对象，并能对简单实例进行表示法的转换，从中感受集合语言的意义和作用，积累数学抽象经验. 三、教学问题诊断分析 在初中阶段，学生对一些具体的集合已有初步认识.高中阶段要求学生初步学会用集合语言简洁、准确地表述数学的研究对象.由于符号语言较抽象，学生用描述法表示集合有困难，主要难在“共同特征”的抽象概括、描述表达、符号表示，需要学生有较高的抽象概括能力. 本节课的教学难点是：用描述法表示集合. 四、教学过程设计 （一）章引言 问题 1：（1）观察这张非洲大草原图片，列举你看到的动物种类. （2） 在有理数范围内方程 x2 2 有解吗？在实数范围内呢？ （3） 到定点的距离等于定长的点组成的图形一定是圆吗？师生活动：学生观察、独立思考、讨论交流. 教师提示，研究数学问题时，要明确研究对象、确定研究范围，就需要使用集合的语言和工具.问题（1）中的斑马群、角马群等都是同一类研究对象，若将范围扩展到非洲动物，它们又成为了“非洲动物”这个总体的一部分.问题（2）中不同范围内方程的解不同，问题 （3）中不同范围内动点的轨迹不同. 设计意图：介绍章引言，让学生感受学习集合的必要性. 引言：初中，我们接触过一些由点组成的集合，比如圆、中垂线、角平分线等设计意图：借助学生熟知的例子，通过回忆、交流，引出集合概念. （二）元素和集合的含义 问题 2：请观察下面的 6 个引例，它们的研究对象分别是什么？有什么共同点？ （1）1～10 之间的所有偶数； （2） 立德中学今年入学的全体高一学生； （3） 所有的正方形； （4） 到直线l 的距离等于定长 d 的所有点； （5） 方程 x2 3x 2 0 的所有实数根； （6） 地球上的四大洋. 师生活动：学生观察引例，先独立思考，再讨论交流.教师引导学生在观察的基础上概括共同特征，给出元素与集合的概念. 设计意图：引导学生观察实例，归纳、概括元素与集合的概念，培养抽象概括能力. 问题 3：判断下列元素的全体是否组成集合，如果是，指出该集合的元素，如果不是， 请说明理由. （1） 我国的直辖市； （2） 高一卓越班的高个子同学； （3） 较小的数； （4） 英语单词“settee”中的字母. 师生活动：学生先独立思考，讨论交流后回答问题.教师以下问题进行追问.追问 1：你能概括出集合的元素的特性吗？ 师生活动：学生思考，教师引导、补充、完善. 用“怎样才算高个子同学”、“怎样才算较小的数”、“高的标准是什么”等问题，引导学生体会集合最基本的特性：确定性.由（4）中字母构成的集合，引导学生明确集合元素之间的互异性及无序性. 追问 2：类比实数相等，两个集合相等应满足什么条件？ 师生活动：学生独立思考并回答问题，教师补充完善，给出两个集合相等的条件：两个集合的元素是一样的. 设计意图：通过以上问题的研究，加深学生对集合概念的巩固和理解，初步体会集合语言表述知识的简洁性和严谨性，体会集合元素的确定性和互异性. （三）元素、集合的关系 问题 4：阅读教科书第 2 页倒数第 4 行“我们通常用大写拉丁字母……”至第 3 页表格中的“数学中一些常用数集及其记法”，并回答： （1） 常用的数集有哪些？分别用什么字母表示？ （2） 元素与集合之间存在着什么关系？请举例说明.师生活动：学生自主阅读后交流，教师梳理、总结. 对于常用数集及其记法，教学中要引导学生回忆数集的扩充过程，并向学生介绍这些常用数集的来历. 常用数集及其表示：自然数集： N ； 正整数集： N * 或 N ；整数集: Z ； 有理数集: Q ；实数集: R . 对于元素与集合之间的这种关系，教学时要多列举一些例子，让学生了解它们之间的差异，并在具体运用中逐渐熟悉.比如 a 与a，一般地， a 表示一个元素，而a表示只有一个元素的集合，所以0 0，而不能写成0 0等. 设计意图：学生通过阅读，理解元素、集合的关系.通过每个数集符号“来历”的解读，渗透数学文化. （四）集合的表示 问题 5：我们除了可以用自然语言描述一个集合外，还可以用什么方式表示集合呢？请大家阅读课本第 3 页第三段，并请表示出问题 3 中的两个集合： （1） 我国的直辖市； （2） 英语单词“settee”中的字母 师生活动：引导学生阅读教科书、独立思考、讨论交流，根据学生交流情况，教师可以适时地选择以下问题进行追问. 1. 列举法 追问 1：上述表示方法，关键是什么？有什么特点？师生活动：学生思考后交流、回答. 表示一个集合，关键是确定它包含哪些元素，从而引导学生在“列举”的基础上规范生成两个集合的列举法表示. 引导学生归纳总结列举法：把集合的所有元素一一列举出来，并用花括号“{}”括起来表示集合的方法. 追问 2：列举法表示集合需要注意哪些问题？适用于什么类型的集合？ 师生活动：教师提问，学生独立思考并回答问题，教师引导学生梳理讨论交流的结果.引导学生分析列举法表示集合需要注意的问题. 通过分析进一步加深学生对列举法的理解，使学生能够正确熟练地使用列举法.注意提 醒学生表示集合的“ ”已有全体、所有、集合的意义，表示集合时不必再添上“全部” “所有”“全体”等字眼. 设计意图：通过以上问题的研究，得出集合的列举法表示，体会列举法表示的特点，培养归纳概括能力. 问题 6：你能用列举法表示不等式 x 7 3 的解集吗？如果能，请表示出来；如果不能，请说明理由. 师生活动：学生在回顾不等式解集的含义基础上，尝试用列举法表示不等式的解集，产生认知冲突，教师启发引导、补充总结. 学生在交流探讨中会发现列举法表示集合相对比较简单，但是有些集合并不能用列举法表示，如（2）中不等式的解集，不能一一列举. 设计意图：在复习巩固列举法表示集合方法的同时，引出集合另外一种表示方法——描述法.学生在把列举法表示的集合转化成自然语言表示的过程中，需要抽象概括出研究对象的一般特征，有助于积累数学抽象经验，同时也为后面学习“描述法”做好铺垫. 2. 描述法 追问 1：不等式 x 7 3 的解集中的元素是谁？具有什么样的共同特征？ 师生活动：学生独立思考后讨论交流，发现解集中元素的特点： x 是实数，且 x 10 .教师梳理总结指出：利用解集中元素的共同特征，可以把不等式 x 7 3 的解集表示为 x R | x 10 . 追问 2：（1）整数集 Z 可以分为奇数集和偶数集.偶数有什么共同特征？能表示偶数集吗？（2）奇数集又如何表示呢？ 师生活动：学生回忆偶数的定义，在此基础上交流、探讨偶数的共同特征，教师引导学生模仿上面不等式 x 7 3 的解集的表示方法表示偶数集. 偶数集可表示为 x Z | x 2k , k Z . 奇数集可表示为x Z | x 2k 1, k Z，或x Z | x 2k 1, k Z .若 y x Z | x 2k 1,k Z ，则必有 y Z ，且 y 2k 1, k Z . 学生用描述法表示奇数集合时可能会出现多种表达形式，但本质上是相同的，这也反映了集合表达的多样性.教学中可引导学生根据集合相等的含义去判断它们的等价性. 追问 3：（1）你能概括出上述表示方法的特点吗？（给出描述法定义） （2）在描述法中，竖线前后各表示什么内容？哪些类型的集合可用描述法表示？师生活动：引导学生观察、思考、分析，教师归纳总结描述法定义. 引导学生归纳总结描述法：一般地，设 A 是一个集合，我们把集合 A 中所有具有共同特征 p(x) 的元素 x 所组成的集合表示为x A | p(x) .其中 x 是这个集合的元素的代表形 式， A 是元素的取值（或变化）范围， p(x) 是集合中元素所具有的共同特征.追问 4：你能用描述法表示有理数集吗？ 分析： （1） 元素：实数集中的有限小数和无限循环小数； q （2） 共同特征：都可以用分数 形式表示，其中 p, q Z, p 0 . p 师生活动：引导学生回忆初中所学的有理数的相关知识，归纳概括有理数的共同特征， q 师生共同写出有理数集的描述法表示： Q x R | x p , p, q Z, p 0 . 设计意图：通过以上问题的研究，得出集合的描述法表示，体会描述法表示的特点和集合语言表述知识的简洁性和严谨性，培养归纳概括能力. 通过用描述法表示奇数集、偶数集和有理数集，向学生详细解释何为共同特征以及如何用描述法表示集合.在此基础上，让学生经历由特殊到一般、由具体到抽象、由文字语言到符号语言表示的过程，帮助学生理解“对于任何 y x A | p(x) ，都有 y A ，且 p( y) 成立”的含义，从而加深学生对描述法的理解，帮助学生正确熟练地使用描述法，最终突破教学难点. （五）巩固应用 例 1 用列举法表示下列集合： （1） 小于 10 的所有自然数组成的集合； （2） 方程 x2 2 的所有实数根组成的集合. 师生活动：两个学生板书，其余学生练习，教师巡视指导、点评总结.设计意图：巩固、示范用列举法表示集合的方法. 追问：你能用描述法表示这两个集合吗？ 师生活动：引导学生抽象出这两个集合中的元素及元素的共同特征，并用描述法表示.解：（1）{x N | x 10} ； （2）{x R | x2 2} . 设计意图：巩固、示范用描述法表示集合的方法.例 2 试分别用描述法和列举法表示下列集合： （1） 方程 x2 3x 4 0 的所有实数根组成的集合 A ； （2） 由大于 10 且小于 20 的所有整数组成的集合 B . 师生活动：引导学生分析集合中的元素及元素的共同特征，教师给出解答示范.解：（1）集合 A 用描述法表示为 A x R | x 2 3x 4 0， 集合 A 用列举法表示为 A 1, 4 ； （2）集合 B 用描述法表示为 B x Z |10 x 20 ， 集合 B 用列举法表示为 B 11,12,13,14,15,16,17,18,19 . 设计意图：巩固描述法和列举法，学生体会描述法与列举法各自的特点.练习：1.选择恰当的表示法表示本节开始时的 6 个例子； 2. 教科书第 5 页练习第 3 题. 师生活动：学生先自主完成，然后进行展示，最后教师点评总结. 设计意图：通过让学生根据需要选择适当的方法表示集合，深化从不同集合语言形式对同一内容的理解，培养学生数学语言转换能力. （六）归纳总结、布置作业 教师引导学生回顾本节课的学习内容，并引导学生回答下列问题： （1） 什么是集合？集合元素有哪些特性？两个集合相等应满足什么条件？ （2） 元素与集合之间存在什么关系？如何用符号表示？ （3） 常用的数集有哪些？分别用什么字母表示？ （4） 集合的表示方法有哪些？各自的优点及适用对象是什么？应注意哪些问题？ 师生活动：先由学生思考后再进行全班交流，教师注意引导和规范、完善学生的回答.设计意图：通过回忆、归纳、总结的方式把知识点串联起来，使学生对本节课的知识形 成系统而全面的认识. 布置作业：教科书习题 1.1 第 1，2，3 题. 五、目标检测设计 1. 判断下列元素的全体能否组成集合，并说明理由. （1）平面内与定点 A, B 等距离的点；（2）我国的小河流. 解析：（1）能；（2）不能：“小河流”缺乏标准，不满足集合的确定性；设计意图：考查学生对集合概念、集合中元素的确定性的理解和掌握程度.2 2. 用符号“”或“”填空： 0 N ； 1 Z ； 1 3 22 Q ； Q ； R . 解析： 0 N ； 1 3 Z ； 1 2 Q ； Q ； R . 设计意图：考查学生对常用数集及其符号表示、元素与集合之间关系及符号表示的掌握程度. 3. 用适当的方法表示下列集合： （1） 由方程 x2 4x 5 0 的所有实数根组成的集合； （2） 不等式3x 4 2x 的解集.解析：（1）｛1，5｝； 4 （2） x x 5 设计意图：考查学生对集合表示方法的掌握程度，以及综合联系所学知识分析和选择集合表示方法的能力. 学科网（北京）股份有限公司 $$