1.1.2 空间向量的数量积运算 讲义-2024-2025学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第一册

1.1.2 空间向量及其数量积运算 目 录 ☯知识清单☯ 1. 空间向量的夹角 - 3 - 2. 空间向量的数量积 - 3 - 3. 利用空间向量求模长 - 4 - 4. 向量的投影 - 4 - ☯典型例题☯ 考点1：求空间向量的数量积 - 6 - 考点2：利用数量积求角度 - 9 - 考点3：利用数量积求长度 - 11 - 考点4：利用数量积证明垂直关系 - 13 - 1.1.2 空间向量及其数量积运算 ☯知识清单☯ 1. 空间向量的夹角 （1 ）定义：已知两个非零向量、，在空间任取一点，作，，则叫做向量、的夹角，记作。 （2）范围：。 特别地，当时，；当时，与同向；当时，与反向。 2. 空间向量的数量积 定义 已知两个非零向量、，则叫做向量与的数量积，记作，即。 规定：零向量与任何向量的数量积都为。 性质 设，是非零向量，是单位向量，则 ①； ②； ③或； ④； ⑤。 运算律 ①，； ②（交换律）； ③（分配律）。 求空间向量数量积的步骤 ①将各向量分解成已知模和夹角的向量的组合形式； ②利用向量的运算规律将数量积展开，转化为已知模和夹角的向量的数量积； ③代入求解。 求两个向量的夹角有两种方法 方法一： ①结合图形，平移向量，利用空间向量的夹角定义来求，但要注意向量夹角的范围角的大小； ②先求，再利用公式求，最后确定。 方法二： ①根据题设条件在所求的异面直线上取两个向量(即直线的方向向量)； ②异面直线所成角的问题转化为向量夹角问题； ③利用数量积求向量夹角的余弦值或角的大小。 3. 利用空间向量求模长 （1）设则有向线段的长度叫做向量的长度或模，记作：。 （2）在空间两个向量的数量积中，特别地，所以向量的模：。 （3）将其推广： 4. 向量的投影 ①如图(1)，在空间，向量向向量投影，由于它们是自由向量，因此可以先将它们平移到同一个平面内，进而利用平面上向量的投影，得到与向量共线的向量，，向量称为向量在向量上的投影向量．类似地，可以将向量向直线投影(如图(2))。 ②如图(3)，向量向平面投影，就是分别由向量的起点和终点作平面的垂线，垂足分别为，得到，向量称为向量在平面上的投影向量。这时，向量，的夹角就是向量所在直线与平面所成的角。 ☯典型例题☯ 考点1：求空间向量的数量积 母题探究 如图，已知正方体的棱长为1，设，，，则（ ） A．1 B． C． D．2 复盘总结： 在空间中，向量、向量的模、相等向量的概念和平面中向量的相关概念完全一致，两向量相等的充要条件是两个向量的方向相同、模相等。两向量互为相反向量的充要条件是大小相等，方向相反。 应用． 母题演练 1. 已知向量，向量与的夹角都是，且， 试求：（1）； （2）． 2. 如图所示，在棱长为1的正四面体A－BCD中，E，F分别是AB，AD的中点，求： (1)·；(2)·；(3)·；(4)·. 3. 已知四面体，所有棱长均为，点分别为棱的中点，则( ) A． B． C． D． 4. 如图，在三棱锥中，两两垂直，为的中点，则的值为（ ） A．1 B． C． D． 5. 已知正四面体的棱长为，点，分别是，的中点，则的值为（ ） A． B． C． D． 考点2：利用数量积求角度 母题探究 如图，长方体ABCD－A1B1C1D1中，AA1＝AB＝2，AD＝1，E、F、G分别是DC、AB、CC1的中点，则异面直线A1E与GF所成角的余弦值是（ ） A．0 B． C． D． 复盘总结： 求两个向量的夹角：利用公式cos〈a，b〉＝求cos〈a，b〉，进而确定〈a，b〉． 应用． 母题演练 1. 若空间四边形的四个面均为等边三角形，则的值为（ ） A． B． C． D．0 2. 已知空间向量，，设，，与垂直，，，则________． 3. 如图，已知正方体，设，，，则（ ）. A． B． C． D． 4. 如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，CA＝CB＝1，∠BCA＝90°，棱AA1＝2，点N为AA1的中点．（1）求与夹角的余弦值．（2）求异面直线CA1与AB的夹角． 考点3：利用数量积求长度 母题探究 在平行六面体(底面是平行四边形的四棱柱中，求的长度. 复盘总结： 求线段长度(距离)：①取此线段对应的向量； ②用其他已知夹角和模的向量表示该向量；③利用|a|＝，计算出|a|，即得所求长度(距离)． 应用． 母题演练 1. 已知空间中单位向量、，且，则的值为________. 2. 已知在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，AA1＝AB＝AD＝1，且这三条棱彼此之间的夹角都是60°，则AC1的长为(　　) A．6 B. C．3 D. 3. 如图，在平行六面体中，底面是边长为1的正方形，若，且，则的长为（ ） A． B． C． D． 4. 四棱柱的底面为矩形，，，，，则的长为（ ） A． B．46 C． D．32 考点4：利用数量积证明垂直关系 母题探究 如图所示，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为平行四边形，∠DAB＝60°，AB＝2AD，PD⊥底面ABCD.求证：PA⊥BD. 复盘总结： 用向量法证明几何中垂直关系问题的思路 (1)要证两直线垂直，可分别构造与两直线平行的向量，只要证明这两个向量的数量积为0即可． (2)用向量法证明线面垂直，需将线面垂直转化为线线垂直，然后利用向量数量积证明线线垂直即可． 应用． 母题演练 1. 如图，在空间四边形OABC中，OB＝OC，AB＝AC．求证：OA⊥BC． 2. 如图，在四面体中，E，F，G，H分别是，，，的中点．若，，求证：. 3. 已知空间四边形OABC中，，且OA=OB=OC，M，N分别是OA，BC的中点，G是MN的中点，求证：OG⊥BC． 4. 在棱长为1的正方体中，分别是中点，在棱上，，为的中点，求证：； ************************************************************************************************************ - 1 - 学科网（北京）股份有限公司 $$ 1.1.2 空间向量及其数量积运算 目 录 ☯知识清单☯ 1. 两向量的夹角 - 2 - 2. 向量的数量积 - 2 - 3. 向量在上的投影向量 - 3 - 4. 向量数量积的性质 - 3 - 5. 向量数量积的运算律 - 4 - 6. 求平面向量数量积的方法 - 4 - ☯典型例题☯ 母题1：平面向量的数量积运算 - 5 - 母题2：平面向量模的相关计算 - 8 - 母题3：平面向量的夹角问题 - 11 - 母题4：平面向量的垂直问题 - 14 - 母题5：求平面向量的投影向量 - 16 - 母题6：平面向量数量积的最值 - 18 - 1.1.2 空间向量及其数量积运算 ☯知识清单☯ 1. 空间向量的夹角 （1 ）定义：已知两个非零向量、，在空间任取一点，作，，则叫做向量、的夹角，记作。 （2）范围：。 特别地，当时，；当时，与同向；当时，与反向。 2. 空间向量的数量积 定义 已知两个非零向量、，则叫做向量与的数量积，记作，即。 规定：零向量与任何向量的数量积都为。 性质 设，是非零向量，是单位向量，则 ①； ②； ③或； ④； ⑤。 运算律 ①，； ②（交换律）； ③（分配律）。 求空间向量数量积的步骤 ①将各向量分解成已知模和夹角的向量的组合形式； ②利用向量的运算规律将数量积展开，转化为已知模和夹角的向量的数量积； ③代入求解。 求两个向量的夹角有两种方法 方法一： ①结合图形，平移向量，利用空间向量的夹角定义来求，但要注意向量夹角的范围角的大小； ②先求，再利用公式求，最后确定。 方法二： ①根据题设条件在所求的异面直线上取两个向量(即直线的方向向量)； ②异面直线所成角的问题转化为向量夹角问题； ③利用数量积求向量夹角的余弦值或角的大小。 3. 利用空间向量求模长 （1）设则有向线段的长度叫做向量的长度或模，记作：。 （2）在空间两个向量的数量积中，特别地，所以向量的模：。 （3）将其推广： 4. 向量的投影 ①如图(1)，在空间，向量向向量投影，由于它们是自由向量，因此可以先将它们平移到同一个平面内，进而利用平面上向量的投影，得到与向量共线的向量，，向量称为向量在向量上的投影向量．类似地，可以将向量向直线投影(如图(2))。 ②如图(3)，向量向平面投影，就是分别由向量的起点和终点作平面的垂线，垂足分别为，得到，向量称为向量在平面上的投影向量。这时，向量，的夹角就是向量所在直线与平面所成的角。 ☯典型例题☯ 考点1：求空间向量的数量积 母题探究 如图，已知正方体的棱长为1，设，，，则（ ） A．1 B． C． D．2 【答案】A 【解析】根据向量的加法法则得， 因为正方体的边长为1，为体对角线，所以， 所以在直角三角形中， 所以，故选：A 复盘总结： 在空间中，向量、向量的模、相等向量的概念和平面中向量的相关概念完全一致，两向量相等的充要条件是两个向量的方向相同、模相等。两向量互为相反向量的充要条件是大小相等，方向相反。 应用． 母题演练 1. 已知向量，向量与的夹角都是，且， 试求：（1）； （2）． 【答案】（1）11；（2） 【解析】∵向量，向量与的夹角都是，且， ∴ （1）=＝1+16+9+0-3-12=11； （2）=＝0--8+18= 2. 如图所示，在棱长为1的正四面体A－BCD中，E，F分别是AB，AD的中点，求： (1)·；(2)·；(3)·；(4)·. 解　(1)·＝· ＝||||·cos〈，〉 ＝cos 60°＝. (2)·＝·＝||2＝. (3)·＝· ＝||·||cos〈，〉 ＝cos 120°＝－. (4)·＝·(－) ＝·－· ＝||||cos〈，〉－||||cos〈，〉 ＝cos 60°－cos 60°＝0. 3. 已知四面体，所有棱长均为，点分别为棱的中点，则( ) A． B． C． D． 【解析】四面体，所有棱长均为，四面体为正四面体， 分别为棱的中点， ． 故选：． 4. 如图，在三棱锥中，两两垂直，为的中点，则的值为（ ） A．1 B． C． D． 【答案】D 【解析】由题意得， 故. 5. 已知正四面体的棱长为，点，分别是，的中点，则的值为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为E，F分别是BC，AD的中点， 所以，， 又因为正四面体ABCD的棱长都为1， 所以， 故. 考点2：利用数量积求角度 母题探究 如图，长方体ABCD－A1B1C1D1中，AA1＝AB＝2，AD＝1，E、F、G分别是DC、AB、CC1的中点，则异面直线A1E与GF所成角的余弦值是（ ） A．0 B． C． D． 【答案】A 【解析】根据题意可得， ， 从而得到和垂直，故其所成角的余弦值为0，故选A. 复盘总结： 求两个向量的夹角：利用公式cos〈a，b〉＝求cos〈a，b〉，进而确定〈a，b〉． 应用． 母题演练 1. 若空间四边形的四个面均为等边三角形，则的值为（ ） A． B． C． D．0 【答案】D 【解析】依题意空间四边形的四个面均为等边三角形，设棱长均为. 而， 则 所以. 2. 已知空间向量，，设，，与垂直，，，则________． 【答案】 【解析】∵，∴，化简得， 又∵， ， ， ∴，∴．故答案为：. 3. 如图，已知正方体，设，，，则（ ）. A． B． C． D． 【答案】D 【解析】设正方体的棱长为1， 因为 所以， 又， ， 又，故选：D. 4. 如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，CA＝CB＝1，∠BCA＝90°，棱AA1＝2，点N为AA1的中点．（1）求与夹角的余弦值．（2）求异面直线CA1与AB的夹角． 解　（1）由例题知，||＝，||＝， ·＝·(＋) ＝2－2＝×22 －12＝1. 所以cos〈，〉＝＝＝. 所以与夹角的余弦值为. （2）由已知得||＝||＝||＝1，·＝·＝·＝0， 因为||2＝2＝(＋)2＝2＋2＝12＋12＝2， 所以||＝， 因为||2＝2＝(－)2＝2＋2＝12＋12＝2， 所以||＝， 又因为·＝(＋)·(－)＝－2＝－1. 所以cos〈，〉＝＝＝－. 所以〈，〉＝120°， 所以异面直线CA1与AB的夹角为60°. 考点3：利用数量积求长度 母题探究 在平行六面体(底面是平行四边形的四棱柱中，求的长度. 【答案】 【解析】 则 ． ． 复盘总结： 求线段长度(距离)：①取此线段对应的向量； ②用其他已知夹角和模的向量表示该向量；③利用|a|＝，计算出|a|，即得所求长度(距离)． 应用． 母题演练 1. 已知空间中单位向量、，且，则的值为________. 【答案】 【解析】， 故. 2. 已知在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，AA1＝AB＝AD＝1，且这三条棱彼此之间的夹角都是60°，则AC1的长为(　　) A．6 B. C．3 D. 答案　B 解析　设＝a，＝b，＝c，则|a|＝|b|＝|c|＝1， 且〈a，b〉＝〈b，c〉＝〈c，a〉＝60°， 因此a·b＝b·c＝c·a＝. 由＝a＋b＋c得||2＝2＝a2＋b2＋c2＋2a·b＋2b·c＋2c·a＝6. 所以||＝，故选B. 3. 如图，在平行六面体中，底面是边长为1的正方形，若，且，则的长为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由题意得，， 因为, 所以 ， 所以，故选：C 4. 四棱柱的底面为矩形，，，，，则的长为（ ） A． B．46 C． D．32 【答案】C 【解析】由,. 由底面为矩形得；，， 另；， , 考点4：利用数量积证明垂直关系 母题探究 如图所示，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为平行四边形，∠DAB＝60°，AB＝2AD，PD⊥底面ABCD.求证：PA⊥BD. 证明　在△ADB中，∠DAB＝60°，AB＝2AD， 由余弦定理得，BD＝AD， 所以AD2＋BD2＝AB2， 所以DA⊥BD，则·＝0. 由PD⊥底面ABCD，知PD⊥BD，则·＝0. 又＝＋， 所以·＝(＋)·＝·＋·＝0，即PA⊥BD. 复盘总结： 用向量法证明几何中垂直关系问题的思路 (1)要证两直线垂直，可分别构造与两直线平行的向量，只要证明这两个向量的数量积为0即可． (2)用向量法证明线面垂直，需将线面垂直转化为线线垂直，然后利用向量数量积证明线线垂直即可． 应用． 母题演练 1. 如图，在空间四边形OABC中，OB＝OC，AB＝AC．求证：OA⊥BC． 【答案】见解析 【解析】证明：∵OB＝OC，AB＝AC，OA＝OA， ∴△OAB≌△OAC． ∴∠AOB＝∠AOC． ∵ ∴.即OA⊥BC． 2. 如图，在四面体中，E，F，G，H分别是，，，的中点．若，，求证：. 【解析】因为，， 所以 ， 所以 3. 已知空间四边形OABC中，，且OA=OB=OC，M，N分别是OA，BC的中点，G是MN的中点，求证：OG⊥BC． 【答案】证明见解析 【解析】证明：设，，则 因为G是MN的中点， 所以 所以 所以，即 4. 在棱长为1的正方体中，分别是中点，在棱上，，为的中点，求证：； 【解析】设，则， ∵， ∴ ∴ ************************************************************************************************************ - 1 - 学科网（北京）股份有限公司 $$