专题2.6 解题技巧专题：一元二次方程常见的参数问题（5大考点）-【学霸满分】2024-2025学年九年级数学上册重难点专题提优训练（湘教版）

专题2.6 解题技巧专题：一元二次方程常见的参数问题 目录 【考点一 利用一元二次方程的定义求待定系数时忽略“a≠0”】 1 【考点二 利用一元二次方程的解求待定系数时忽略“a≠0”】 4 【考点三 利用一元二次方程的判别式求字母的值或取值范围时忽略“a≠0”】 6 【考点四 利用一元二次方程的根与系数关系求值时忽略“△≠0”】 8 【考点五 利用一元二次方程的根与几何图形结合时取舍不当或考虑不全】 14 【典型例题】 【考点一 利用一元二次方程的定义求待定系数时忽略“a≠0”】 例题：（23-24九年级上·全国·单元测试）关于的方程是一元二次方程，则（   ） A．或 B． C． D． 【变式训练】 1．（23-24九年级上·全国·单元测试）已知关于x的方程是一元二次方程，则不等式的解集是（   ） A． B． C． D． 2．（23-24八年级下·安徽合肥·期末）若关于x的方程是一元二次方程，则的值是（    ） A． B． C． D． 3．（23-24八年级下·安徽蚌埠·阶段练习）若关于x的一元二次方程是一元二次方程，则 ． 4．（23-24九年级上·江西上饶·期末）已知方程是关于x的一元二次方程，则 ． 5．（23-24九年级上·内蒙古呼和浩特·期中）已知关于的方程是一元二次方程，则 ，这个一元二次方程是 ． 【考点二 利用一元二次方程的解求待定系数时忽略“a≠0”】 例题：（2024·河北·一模）一元二次方程的一个根为0，则 ． 【变式训练】 1．（23-24八年级下·安徽蚌埠·期中）若关于的一元二次方程有一个根为，则 ． 2．（23-24九年级上·河南漯河·期末）关于x的一元二次方程的一个根是0，则k的值是 ． 3．（23-24九年级上·江苏扬州·阶段练习）若关于x的一元二次方程有一个根为0，则m的值为 ． 4．（2024·山东东营·二模）如果关于的一元二次方程有一个解是0，那么的值是 ． 【考点三 利用一元二次方程的判别式求字母的值或取值范围时忽略“a≠0”】 例题：（23-24八年级下·湖南长沙·期末）关于x的一元二次方程有实根，则的取值范围是（   ） A． B． C．且 D．且 【变式训练】 1．（2024九年级上·江苏·专题练习）如果关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，那么k的取值范围是（　　） A． B．且 C． D．且 2．（23-24八年级下·浙江杭州·期中）关于x的一元二次方程有两个实数根，则k的取值范围是 ． 3．（2024·甘肃兰州·模拟预测）若关于的一元二次方程有两个实数根，则的取值范围是 ． 4．（23-24八年级下·山东东营·期末）已知关于的方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是 ． 5．（23-24八年级下·云南昆明·期末）若关于的方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是 ． 【考点四 利用一元二次方程的根与系数关系求值时忽略“△≠0”】 例题：（23-24八年级下·山东德州·期末）已知关于的一元二次方程． (1)若方程有两个实数根，求的取值范围； (2)若方程的两个根为，且，求的值． 【变式训练】 1．（2024·黑龙江大庆·模拟预测）已知、是关于x的方程的两实数根，且，则k的值为 ． 2．（23-24九年级上·湖南永州·期中）已知关于的一元二次方程 (1)若方程有实数根，求实数 的取值范围； (2)若方程两实数根分别为，，且满足， 求实数的值． 3．（23-24九年级上·福建龙岩·期末）已知关于的一元二次方程． (1)若方程的一个根是，求方程的另一个根； (2)若该一元二次方程的两个根分别为，，当时，求的值． 4．（2024·四川南充·三模）已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根． (1)求k的取值范围； (2)设方程的两个实数根分别为，若，求k的值． 5．（23-24九年级上·四川宜宾·期中）已知关于的方程． (1)当取何值时，方程有两个不相等的实数根； (2)若、为方程的两个不等实数根，且满足，求的值． 【考点五 利用一元二次方程的根与几何图形结合时取舍不当或考虑不全】 例题：（2023·四川凉山·统考一模）已知等腰三角形的一边长，另外两边的长恰好是关于的一元二次方程的两个根，则的周长为 【变式训练】 1．（2023春·八年级单元测试）已知关于x的方程，若等腰三角形ABC的一边长a=1，另外两边长b，c恰好是这个方程的两个根，则△ABC的周长为 ． 2．（2023春·安徽滁州·八年级校考阶段练习）已知是关于x的方程的一个实数根，并且这个方程的两个实数根恰好是等腰三角形的两条边长．则： （1）m的值为 ； （2）的周长为 ． 3．（23-24九年级上·重庆·阶段练习）已知关于x的方程． (1)求证：无论k取什么实数值，这个方程总有实数根； (2)能否找到一个实数k，使方程的两实数根互为相反数？若能找到，求出k的值；若不能，请说明理由． (3)当等腰三角形的边长，另两边的长b、c恰好是这个方程的两根时，求的周长． 4．（23-24八年级下·湖南长沙·阶段练习）已知的一条边的长为5，另两边的长是关于x的一元二次方程的两个实数根． (1)求证：无论m为何值，方程总有两个实数根； (2)当m为何值时，是以为斜边的直角三角形； (3)当m为何值时，是等腰三角形，并求的周长． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题2.6 解题技巧专题：一元二次方程常见的参数问题 目录 【考点一 利用一元二次方程的定义求待定系数时忽略“a≠0”】 1 【考点二 利用一元二次方程的解求待定系数时忽略“a≠0”】 4 【考点三 利用一元二次方程的判别式求字母的值或取值范围时忽略“a≠0”】 6 【考点四 利用一元二次方程的根与系数关系求值时忽略“△≠0”】 8 【考点五 利用一元二次方程的根与几何图形结合时取舍不当或考虑不全】 14 【典型例题】 【考点一 利用一元二次方程的定义求待定系数时忽略“a≠0”】 例题：（23-24九年级上·全国·单元测试）关于的方程是一元二次方程，则（   ） A．或 B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查一元二次方程的定义，属于基础题，比较简单，要注意系数不为0，这是比较容易漏掉的条件． 根据一元二次方程的定义可知，最高次数为2且二次项的系数不为0，即，且，解出m的值即可． 【详解】解：由题意得， 解得， 故选C． 【变式训练】 1．（23-24九年级上·全国·单元测试）已知关于x的方程是一元二次方程，则不等式的解集是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是一元二次方程的定义、解一元一次不等式．根据一元二次方程的定义即可求得的值，将其代入求解即可． 【详解】解：方程是一元二次方程， ，且， 解得且， ， 将代入得：， 解得：， 故选：C． 2．（23-24八年级下·安徽合肥·期末）若关于x的方程是一元二次方程，则的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查一元二次方程的定义，掌握一元二次方程的定义是解题的关键．理解一元二次方程的定义，需要抓住两个条件：①二次项系数不为0；②未知数的最高次数为2； 结合一元二次方程的定义，可以得到关于的方程和不等式，求解即可得到的值． 【详解】解：关于的方程是一元二次方程， ， 解得． 故选：A． 3．（23-24八年级下·安徽蚌埠·阶段练习）若关于x的一元二次方程是一元二次方程，则 ． 【答案】3 【分析】 本题考查了一元二次方程的概念，判断一个方程是否是一元二次方程，首先要看是否是整式方程，然后看化简后是否是只含有一个未知数且未知数的最高次数是2．根据一元二次方程的定义解答． 【详解】 解：方程是关于的一元二次方程， ， 解得，， 故答案为3 4．（23-24九年级上·江西上饶·期末）已知方程是关于x的一元二次方程，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查一元二次方程的定义，熟练掌握一元二次方程的定义是解题的关键．根据一元二次方程的定义即可得到答案． 【详解】解：方程是关于x的一元二次方程， ， 解得， 故解得， 故答案为：． 5．（23-24九年级上·内蒙古呼和浩特·期中）已知关于的方程是一元二次方程，则 ，这个一元二次方程是 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的定义，根据一元二次方程的定义：只含有一个未知数，未知数的最高次数为2的整式方程是一元二次方程；即可进行解答． 【详解】解：∵方程是一元二次方程， ∴， 解得：， ∴这个方程为， 故答案为：，． 【考点二 利用一元二次方程的解求待定系数时忽略“a≠0”】 例题：（2024·河北·一模）一元二次方程的一个根为0，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查对一元二次方程的解的理解和掌握，能根据题意得出，且，是解此题的关键．把代入一元二次方程得到，且，求出即可． 【详解】解：把代入一元二次方程， 得：，且， 解得：， 故答案为：． 【变式训练】 1．（23-24八年级下·安徽蚌埠·期中）若关于的一元二次方程有一个根为，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的定义，一元二次方程的根；根据一元二次方程的定义可得出；根据题意将代入方程求出的值，即可求解． 【详解】解：∵该方程是一元二次方程， ∴， 即； ∵关于的一元二次方程有一个根为， 故将代入方程为， 整理得：， 解得：或（舍去）， 故答案为：． 2．（23-24九年级上·河南漯河·期末）关于x的一元二次方程的一个根是0，则k的值是 ． 【答案】1 【分析】本题考查了一元二次方程的解一元二次方程的定义，将代入方程，结合一元二次方程的定义求解即可． 【详解】解：由题意得：， 解得：， 故答案为：1． 3．（23-24九年级上·江苏扬州·阶段练习）若关于x的一元二次方程有一个根为0，则m的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的解，一元二次方程的定义； 把代入方程求出m可能的值，然后根据一元二次方程的定义进一步得出答案． 【详解】解：把代入得：， 解得：， ∵方程是一元二次方程， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 4．（2024·山东东营·二模）如果关于的一元二次方程有一个解是0，那么的值是 ． 【答案】 【分析】此题主要考查了一元二次方程的解的定义，首先把方程的解代入原方程中即可求出待定字母的值，然后就可以求出方程的解； 由于的一元二次方程有一个根为0，直接把代入方程中，二次项系数不为0，即可求出的值． 【详解】∵关于的一元二次方程有一个根为0， 将代入原方程中得 当时， 故答案为：． 【考点三 利用一元二次方程的判别式求字母的值或取值范围时忽略“a≠0”】 例题：（23-24八年级下·湖南长沙·期末）关于x的一元二次方程有实根，则的取值范围是（   ） A． B． C．且 D．且 【答案】C 【分析】本题考查了根的判别式，因为关于x的一元二次方程有实根，那么二次项系数不等于0，并且其判别式是非负数，由此可以建立关于m的不等式组，解不等式组即可求出m的取值范围． 【详解】解：∵关于x的一元二次方程有实根， ，并且， ∴且． 故选：C． 【变式训练】 1．（2024九年级上·江苏·专题练习）如果关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，那么k的取值范围是（　　） A． B．且 C． D．且 【答案】D 【分析】此题考查了一元二次方程根的判别式，根据方程有两个不相等的实数根，则，以及二次根式有意义的条件，由此建立关于k的不等式，然后就可以求出k的取值范围． 【详解】解：由题意知： ∴，且． 故选：D． 2．（23-24八年级下·浙江杭州·期中）关于x的一元二次方程有两个实数根，则k的取值范围是 ． 【答案】且 【分析】此题考查了根的判别式，掌握一元二次方程的定义，以及一元二次方程根的情况与根的判别式的关系是解题的关键． 根据一元二次方程的定义，得，根据方程有两个实数根，得出，求出的取值范围即可得出答案． 【详解】解：∵关于的一元二次方程， ∴，即， ∵方程有两个实数根， ∴， 解得：， ∴的取值范围是且， 故答案为：且． 3．（2024·甘肃兰州·模拟预测）若关于的一元二次方程有两个实数根，则的取值范围是 ． 【答案】且 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，根据医院二次方程的定义和根的判别式的定义得到，且，即可求解． 【详解】解：关于的一元二次方程有两个实数根， ，且， 解得：，且， 故答案为：且． 4．（23-24八年级下·山东东营·期末）已知关于的方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是 ． 【答案】且 【分析】本题考查了根据方程根的情况，确定方程中字母系数的取值范围，明白根据关于的方程有两个不相等的实数根，则方程为一元二次方程且，得出不等式和求解是解题的关键． 【详解】解：∵关于的方程有两个不相等的实数根， ∴且， 即，且， 解得：且， ∴的取值范围是：且， 故答案为且． 5．（23-24八年级下·云南昆明·期末）若关于的方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是 ． 【答案】且 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式的应用．在与一元二次方程有关的求值问题中，必须满足下列条件：（1）二次项系数不为零；（2）在有不相等的实数根下必须满足．据此求解即可． 【详解】解∶∵方程有两个不相等的实数根， ∴且， ∴且， 故答案为∶ 且． 【考点四 利用一元二次方程的根与系数关系求值时忽略“△≠0”】 例题：（23-24八年级下·山东德州·期末）已知关于的一元二次方程． (1)若方程有两个实数根，求的取值范围； (2)若方程的两个根为，且，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了一元二次方程的根与系数的关系以及其判别式的相关知识，将待求式根据完全平方公式适当的变形是解答本题的关键． （1）根据一元二次方程有两个根，可以知道其判别式大于或等于0，据此作答即可； （2）根据一元二次方程的根与系数的关系，有，，再将转化为，再代入计算即可． 【详解】（1）解：原方程可化为：， 一元二次方程有两个实数根， 且， 即且， 解得：； （2）根据根与系数的关系得：，， ， ， 解得，（舍去）， 经检验是方程的解， 的值为． 【变式训练】 1．（2024·黑龙江大庆·模拟预测）已知、是关于x的方程的两实数根，且，则k的值为 ． 【答案】4 【分析】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，一元二次方程解的定义，熟知一元二次方程根与系数的关系是解题的关键．根据一元二次方程根与系数的关系以及解的定义得到，，，再根据，推出，据此求解即可． 【详解】解：∵、是关于x的方程的实数根， ∴，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 整理得， 解得，， 经检验或为原方程的解， ∵， ∴， ∴k的值为4． 故答案为：4． 2．（23-24九年级上·湖南永州·期中）已知关于的一元二次方程 (1)若方程有实数根，求实数 的取值范围； (2)若方程两实数根分别为，，且满足， 求实数的值． 【答案】(1)； (2)． 【分析】（）根据一元二次方程的根的判别式的意义得到，即，解不等式即可得到的范围； （）根据一元二次方程 的根与系数的关系得到， ，则，即 ，利用因式分解法解得，，然后由（）中的的取值范围即可得到的值； 此题考查了一元二次方程的根的判别式判断一元二次方程的根的情况和一元二次方程根与系数的关系，解题的关键是熟记，一元二次方程的两个根为，，则，，熟练掌握一元二次方程根的判别式，当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程没有实数根． 【详解】（1）解：， 若方程有实数根，则， 解得； （2）由根与系数的关系可知：， ， ∵， ∴， ∴ 整理得：， 解得，， ∵， ∴． 3．（23-24九年级上·福建龙岩·期末）已知关于的一元二次方程． (1)若方程的一个根是，求方程的另一个根； (2)若该一元二次方程的两个根分别为，，当时，求的值． 【答案】(1)方程的另一个根为； (2)． 【分析】本题考查了根的判别式，根与系数的关系以及解一元二次方程． （1）将代入中，得，再解方程即可； （2）先根据判别式求得m的取值范围，再根据根与系数的关系代入求值即可． 【详解】（1）解：∵一元二次方程的一个根是， ∴将代入中，得，解得， ∴解一元二次方程，得或， ∴方程的另一个根为； （2）解：由题意知， ∴， ∵， ∴且； ∵一元二次方程的两个根分别为，， ∴，，， ∴，可化为， 解得或（舍去）， ∴． 4．（2024·四川南充·三模）已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根． (1)求k的取值范围； (2)设方程的两个实数根分别为，若，求k的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查一元二次方程中根与系数的关系，掌握根的判别式，韦达定理是解题的关键． （1）关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则根的判别式大于零，由此即可求解； （2）根据韦达定理，通过配方法，用含的式子表示出两个的和，解参数方程并结合k的取值范围即可求解． 【详解】（1）解：∵关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，且，，， ∴， ∴，整理得，， ∴， 故实数的取值范围为． （2）解：∵方程的两个根分别为， ∴，， ∵， ∴ ∴ ∴ 解得，， ∵， ∴． 5．（23-24九年级上·四川宜宾·期中）已知关于的方程． (1)当取何值时，方程有两个不相等的实数根； (2)若、为方程的两个不等实数根，且满足，求的值． 【答案】(1)且 (2) 【分析】本题考查了一元二次方程的定义，根的判别式，根与系数的关系；熟练掌握一元二次方程根的判别式和根与系数的关系是解题的关键． （1）结合题意可得该方程为一元二次方程，故，根据一元二次方程根的判别式可得，即可列出关于列出关于的不等式，求解即可得出的取值范围； （2）根据一元二次方程根与系数的关系可得，，代入方程得出关于的方程，求出的值，注意结合题意，取符合要求的值． 【详解】（1）解：∵方程有两个不相等的实数根， ∴，， 整理得：， 解得：； ∴当且时，方程有两个不相等的实数根． （2）解：、为方程的两个不等实数根， ∴，， ∵， 整理得：， 将，代入，得： ， 解得：，， 经检验均为方程的解， ∵，故不符合题意，舍去； ∴的值为． 【考点五 利用一元二次方程的根与几何图形结合时取舍不当或考虑不全】 例题：（2023·四川凉山·统考一模）已知等腰三角形的一边长，另外两边的长恰好是关于的一元二次方程的两个根，则的周长为 【答案】15 【分析】分情况讨论：若a作为腰，则方程的一个根为6，将6代入求出k的值，然后求出方程的解，得出三角形的周长；将a作为底，则说明方程有两个相等的实数根，则根据求出k的值，然后将k的值代入方程求出解，得出周长． 【详解】若为腰，则中还有一腰，即6是方程的一个根． ∴ 解得： 将代入得： 解得：． ， 此时能构成三角形，的周长为： 若为底，则，即方程有两个相等的实根． ∴ 解得： 将代入得： 解得：． ， ∵ ∴此时不能构成三角形，不能计算周长 综上可得：的周长为15． 【点睛】本题考查等腰三角形的性质、一元二次方程的根、一元二次方程的解法、根的判别式等知识，按若是否为底边分类讨论和构成三角形的条件是解题的关键．特别注意验证是否能构成三角形． 【变式训练】 1．（2023春·八年级单元测试）已知关于x的方程，若等腰三角形ABC的一边长a=1，另外两边长b，c恰好是这个方程的两个根，则△ABC的周长为 ． 【答案】5 【分析】已知a=1，则a可能是底，也可能是腰，分两种情况求得b，c的值后，再求出△ABC的周长．注意两种情况都要用三角形三边关系定理进行检验． 【详解】解：①若a=1为底边，则b，c为腰长，则b=c，则Δ=0． ∴， 解得：k=2． 此时原方程化为， ∴==2，即b=c=2． 此时△ABC三边为1，2，2能构成三角形， ∴△ABC的周长为：1+2+2=5； ②若b≠c，则b=a=1或c=a=1，即方程有一根为1， ∵把x=1代入方程，得1-（k+2）+2k=0， 解得k=1， ∴此时方程为， 解得=1，=2， ∴方程另一根为2， ∵1、1、2不能构成三角形， ∴此情况舍去． 综上所述，所求△ABC的周长为5． 故答案为：5． 【点睛】此题主要考查了一元二次方程的应用、根的判别式及三角形三边关系定理，注意求出三角形的三边后，要用三边关系定理检验． 2．（2023春·安徽滁州·八年级校考阶段练习）已知是关于x的方程的一个实数根，并且这个方程的两个实数根恰好是等腰三角形的两条边长．则： （1）m的值为 ； （2）的周长为 ． 【答案】 2 10 【分析】（1）将代入方程求解即可； （2）首先求出方程的两个根，然后根据等腰三角形的性质求解即可． 【详解】（1）把代入方程 得， 解得； （2）方程化为， 解得，， ∵， ∴等腰三角形ABC的腰长为4，底边长为2， ∴的周长为． 故答案为：2，10． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，也考查了三角形三边的关系．注意等腰三角形的问题要分类讨论，考虑周全． 3．（23-24九年级上·重庆·阶段练习）已知关于x的方程． (1)求证：无论k取什么实数值，这个方程总有实数根； (2)能否找到一个实数k，使方程的两实数根互为相反数？若能找到，求出k的值；若不能，请说明理由． (3)当等腰三角形的边长，另两边的长b、c恰好是这个方程的两根时，求的周长． 【答案】(1)证明见解析 (2)能找到， (3)9 【分析】（1）根据方程列出判别式化简即可解题； （2）设两根分别为，，根据题意可得，又根据根与系数的关系可得，即可求得k的值； （3）根据题意考虑和时两种情况，结合根的判别式，方程的解，等腰三角形性质，三角形三边关系即可解题． 【详解】（1）证明：方程表达式为， 又                   无论k取什么实数值，这个方程总有实数根； （2）解：能找到，            设两根分别为，， 由题意要使方程的两实数根互为相反数，则， ，                ； （3）解：当时，则，即，则， 此时方程为，解得， 则等腰三角形三边分别为4，1 ，1， ，不能构成三角形， 故舍去；     当时，假设或，由题意可知4是原方程的解， ， ，                  原方程为，解得，，         则等腰三角形三边分别，4，4，1，能构成三角形， 所以三角形的周长为． 【点睛】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，根的判别式，等腰三角形性质，方程的解，三角形三边关系，解题的关键是熟练掌握并运用相关知识． 4．（23-24八年级下·湖南长沙·阶段练习）已知的一条边的长为5，另两边的长是关于x的一元二次方程的两个实数根． (1)求证：无论m为何值，方程总有两个实数根； (2)当m为何值时，是以为斜边的直角三角形； (3)当m为何值时，是等腰三角形，并求的周长． 【答案】(1)见解析 (2) (3)11或13 【分析】本题考查根的判别式，根与系数之间的关系，勾股定理及等腰三角形的性质： （1）求出判别式的符号，即可得证； （2）根据勾股定理结合根与系数的关系进行求解即可； （3）分为腰和为底边两种情况进行求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴ ； ∴无论m为何值，方程总有两个实数根； （2）由题意，得：， ∵是以为斜边的直角三角形， ∴， ∴ ， 解得：或（不合题意，舍去）； ∴； （3）①当为腰长时，则方程有一个根为5，代入方程，得： ， ∴， ∴方程为：， 解得：， ∴等腰三角形的三边为：， ∴周长为：； ②当为底边时，则方程有2个相同的实数根， ∴， ∴， ∴方程为：， 解得：， ∴等腰三角形的周长为：； 综上：周长为11或13． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$