专题2.3 用公式法解一元二次方程（7考点+过关检测）-【学霸满分】2024-2025学年九年级数学上册重难点专题提优训练（湘教版）

专题2.3 用公式法解一元二次方程 目录 【典型例题】 1 【考点一 求一元二次方程中判别式的值】 1 【考点二 根据一元二次方程中判别式的值求参数】 2 【考点三 用公式法求解一元二次方程】 3 【考点四 利用公式法还原一元二次方程】 8 【考点五 用公式法解一元二次方程的错题复原问题】 10 【考点六 根据判别式判断一元二次方程根的情况】 13 【考点七 根据一元二方程根的情况求参数】 15 【过关检测】 19 【典型例题】 【考点一 求一元二次方程中判别式的值】 例1.（23-24九年级上·湖南郴州·阶段练习）一元二次方程的根的判别式的值为 . 【变式训练】 1．（23-24九年级上·吉林松原·期中）一元二次方程的根的判别式的值为 ． 2．（22-23九年级上·广东广州·期末）一元二次方程的根的判别式的值为 ． 3．（23-24九年级上·陕西宝鸡·期末）一元二次方程根的判别式的值是 ． 【考点二 根据一元二次方程中判别式的值求参数】 例2.（2024·吉林松原·三模）若一元二次方程的根的判别式的值为8，则 ． 【变式训练】 1．（24-25九年级上·全国·课后作业）已知关于x的一元二次方程根的判别式的值为16，则m的值为 ． 2．（24-25九年级上·全国·单元测试）若一元二次方程的根的判别式的值为，则的值为 ； 3．（23-24九年级下·吉林·阶段练习）若关于的一元二次方程的判别式的值为，则 ． 【考点三 用公式法求解一元二次方程】 例3.（24-25九年级上·全国·单元测试）用公式法解下列方程： (1)； (2)； (3)； (4)． 【变式训练】 1．（23-24九年级上·福建泉州·期末）解方程： (1)； (2)． 2．（23-24九年级上·全国·单元测试）用公式法解下列万程： (1)． (2)． (3)． (4)． 3．（23-24九年级上·全国·单元测试）利用公式法解下列方程： (1) (2) (3) (4) (5) 【考点四 利用公式法还原一元二次方程】 例4．（23-24八年级下·安徽安庆·期中）若关于的一元二次方程的根为，则这个方程是（    ） A． B． C． D． 【变式训练】 1.（2024八年级下·浙江·专题练习）是下列哪个一元二次方程的根（　　） A． B． C． D． 2．（23-24九年级上·湖北黄石·期末）以为根的一元二次方程可能是（    ） A． B． C． D． 3．（2024九年级上·全国·专题练习）用公式法解一元二次方程，得，则该一元二次方程是 ． 【考点五 用公式法解一元二次方程的错题复原问题】 例5. （2024九年级下·全国·专题练习）小明在解方程的过程中出现了错误，其解答如下： 解：，，，第一步 ，第二步 ，第三步 ，．第四步 (1)问：小明的解答是从第______ 步开始出错的； (2)请写出本题正确的解答． 【变式训练】 1.（22-23八年级下·北京门头沟·期末）阅读材料，并回答问题： 小明在学习一元二次方程时，解方程的过程如下： 解：∵，，                ① ∴        ②                     ③ ∴此方程无解 问题： (1)上述过程中，从 步开始出现了错误（填序号）； (2)发生错误的原因是： ； (3)在下面的空白处，写出正确的解答过程． 2.（23-24八年级下·全国·假期作业）解方程，某位同学的解答过程如下： 解：∵，，， ∴， ∴， ∴，. 请你分析以上解答过程有无错误，如有错误，指出错误的地方，并写出正确的结果. 3．（23-24九年级上·河南信阳·阶段练习）解方程：． 有一位同学解答如下：这里，，，， ∴． ∴． 请你分析以上解答有无错误，如有错误，请作出正确解答． 【考点六 根据判别式判断一元二次方程根的情况】 例6.（23-24九年级上·四川宜宾·期末）方程的根的情况是（    ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．没有实数根 D．只有一个实数根 【变式训练】 1．（2024·河南商丘·模拟预测）一元二次方程的根的情况是（    ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．无法判断 D．无实数根 2．（23-24九年级上·广东佛山·期末）下列一元二次方程中，没有实数根的是（　　） A． B． C． D． 3．（23-24八年级下·安徽合肥·期中）定义运算：，例如：方程的根的情况（      ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．无实数根 D．只有一个实数根 【考点七 根据一元二方程根的情况求参数】 例7. （23-24八年级下·江苏苏州·期末）已知关于x的一元二次方程． (1)若方程的一个根为3，求k的值； (2)若方程有两个不相等的实数根，求k的取值范围． 【变式训练】 1．（23-24九年级上·河北唐山·期末）已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根． (1)求的取值范围； (2)当取最大的整数时，求原方程的两个根． 2．（23-24九年级上·山东青岛·期中）已知关于的一元二次方程有实数根． (1)求的取值范围； (2)若该方程的一个根为，求方程另一个根的值． 3．（2024·北京怀柔·二模）已知一元二次方程有两个实数根． (1)求的取值范围； (2)如果是符合条件的最大整数，且一元二次方程与有一个相同的根，求此时的值． 4.（23-24九年级上·黑龙江绥化·期末）已知关于x的方程． (1)求证：无论k取任何实数，该方程总有实数根； (2)如果这个方程的两个根恰好是等腰三角形的两边长，其第三边长为4，求的周长． 【过关检测】 一、单选题 1．（23-24九年级上·河北廊坊·阶段练习）用求根公式解方程时，，的值是（    ） A．，， B．，， C．，， D．，， 2．（23-24八年级下·浙江温州·期中）一元二次方程的实数根有（    ） A．1个 B．2个 C．0个 D．无数个 3．（23-24九年级上·福建泉州·期中）是下列哪个一元二次方程的根（　　） A． B． C． D． 4．（23-24九年级上·河北保定·期中）已知方程的两根是等腰三角形的两条边长，则等腰三角形的周长是（    ） A．15 B．12 C．9 D．12或15 5．（2024·四川广安·中考真题）若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是（    ） A．且 B． C．且 D． 二、填空题 6．（23-24九年级上·全国·课后作业）方程的解是 ． 7．（23-24九年级上·全国·课后作业）用公式法解方程时，其中求得的的值是 ． 8．（2024·上海徐汇·二模）关于的一元二次方程根的情况是：原方程 实数根． 9．（2024·江苏连云港·二模）若一次函数的图像经过第一、二、四象限，则方程有 个根． 10．（2024·甘肃定西·三模）若关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是 ． 三、解答题 11．（21-22八年级上·上海静安·期末）用公式法解方程：． 12．（23-24八年级下·全国·假期作业）用公式法解下列方程： (1)； (2)； (3). 13．（2024·江西·一模）课堂上，刘老师展示了一位同学用配方法解的过程，如下： 解：原方程可化为，第一步 配方，得，第二步 即，第三步 直接开平方，得，第四步 所以，．第五步 (1)这位同学的解题过程从第______步开始出现错误； (2)请你正确求解该方程． 14．（22-23八年级下·山东济南·期末）定义：如果关于的一元二次方程中常数项是该方程的一个根，则该一元二次方程就叫做常数根一元二次方程． (1)已知关于的方程是常数根一元二次方程，则的值为______； (2)如果关于的方程是常数根一元二次方程，求的值． 15．（23-24九年级上·重庆北碚·期末）已知关于的方程． (1)求证：对于任何实数，该方程总有两个实数根； (2)若三角形的一边长为1，另外两边长为该方程的两个实数根，求的取值范围． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题2.3 用公式法解一元二次方程 目录 【典型例题】 1 【考点一 求一元二次方程中判别式的值】 1 【考点二 根据一元二次方程中判别式的值求参数】 2 【考点三 用公式法求解一元二次方程】 3 【考点四 利用公式法还原一元二次方程】 8 【考点五 用公式法解一元二次方程的错题复原问题】 10 【考点六 根据判别式判断一元二次方程根的情况】 13 【考点七 根据一元二方程根的情况求参数】 15 【过关检测】 19 【典型例题】 【考点一 求一元二次方程中判别式的值】 例1.（23-24九年级上·湖南郴州·阶段练习）一元二次方程的根的判别式的值为 . 【答案】 【分析】本题考查了根的判别式，利用代入即可求解； 【详解】解：∵在中，即：，，， ∴ 故答案为： 【变式训练】 1．（23-24九年级上·吉林松原·期中）一元二次方程的根的判别式的值为 ． 【答案】 【分析】此题考查了根的判别式，熟练掌握根的判别式的求法是解本题的关键．求出根的判别式的值即可． 【详解】解：这里，，， ． 故答案为： 2．（22-23九年级上·广东广州·期末）一元二次方程的根的判别式的值为 ． 【答案】17 【分析】根据一元二次方程根的判别式即可得到答案． 【详解】解：， ，，， ， 故答案为：17． 【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式，熟练掌握是解题关键． 3．（23-24九年级上·陕西宝鸡·期末）一元二次方程根的判别式的值是 ． 【答案】33 【分析】本题考查了根的判别式：一元二次方程的根的判别式为．根据根的判别式的定义，计算的值即可． 【详解】解：由得， ，，， ． 故答案为：33 【考点二 根据一元二次方程中判别式的值求参数】 例2.（2024·吉林松原·三模）若一元二次方程的根的判别式的值为8，则 ． 【答案】2 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，由题意得出，计算即可得出答案． 【详解】解：由题意得：， 解得：， 故答案为：． 【变式训练】 1．（24-25九年级上·全国·课后作业）已知关于x的一元二次方程根的判别式的值为16，则m的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查一元二次方程根的判别式，根据一元二次方程根的判别式为，代入数据求解即可 【详解】解：， ， ， 解得， 故答案为：． 2．（24-25九年级上·全国·单元测试）若一元二次方程的根的判别式的值为，则的值为 ； 【答案】±1 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式、解一元二次方程等知识点,掌握一元二次方程根的判别式是解题的关键； 利用一元二次方程根的判别式列方程求解即可． 【详解】解：因为一元二次方程的根的判别式的值为， 所以，解得． 故选：±1． 3．（23-24九年级下·吉林·阶段练习）若关于的一元二次方程的判别式的值为，则 ． 【答案】3 【分析】本题考查了一元二次方程的判别式，熟练掌握判别式公式解题的关键．根据题意可知，，，，代入，即可解得值． 【详解】解：根据题意可知，，，， ， ． 【考点三 用公式法求解一元二次方程】 例3.（24-25九年级上·全国·单元测试）用公式法解下列方程： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2)， (3)方程无解 (4) 【分析】本题主要考查一元二次方程的解法，熟练掌握利用公式法求解方程是解题的关键． （1）由题意易得，然后根据公式法可进行求解； （2）由题意易得，然后根据公式法可进行求解； （3）由题意易得，然后根据公式法可进行求解； （4）由题意易得，然后根据公式法可进行求解． 【详解】（1）解：∵ ∴， ∴， ∴， ∴． （2）解：∵ ∴， ∴， ∴， ∴． （3）解：∵ ∴， ∴， ∴原方程无解． （4）解：∵， ∴，，， ∴， ∴， ∴． 【变式训练】 1．（23-24九年级上·福建泉州·期末）解方程： (1)； (2)． 【答案】(1)， (2)， 【分析】本题考查了解一元二次方程．熟练的根据方程的特点选择合适的解法是解题的关键． （1）根据公式法求解，先写出根的判别式的值，再代入求根公式计算即可； （2）根据公式法求解，先写出根的判别式的值，再代入求根公式计算即可． 【详解】（1）， ， ， ，； （2）， ， ， ，． 2．（23-24九年级上·全国·单元测试）用公式法解下列万程： (1)． (2)． (3)． (4)． 【答案】(1)， (2)方程无解 (3)， (4)， 【分析】本题考查公式法解一元二次方程，掌握一元二次方程的求根公式，，先确定 的值，判断方程是否有根，最后求得根即可． （1）运用公式法解一元二次方程即可； （2）运用公式法解一元二次方程即可； （3）先整理为一般式，再运用公式法解一元二次方程即可； （4）先整理为一般式，再运用公式法解一元二次方程即可； 【详解】（1）解： ， ， ∴， 解得，； （2） ， ， 方程无解； （3） ， ， ∴， 解得，； （4） ， ， ∴， 解得，． 3．（23-24九年级上·全国·单元测试）利用公式法解下列方程： (1) (2) (3) (4) (5) 【答案】(1) (2) (3)原方程无实数根 (4) (5) 【分析】本题主要考查一元二次方程的解法，熟练掌握利用公式法求解方程是解题的关键； （1）由题意易得，然后根据公式法可进行求解； （2）由题意易得，然后根据公式法可进行求解； （3）由题意易得，然后根据公式法可进行求解； （4）由题意易得，然后根据公式法可进行求解； （5）由题意易得，然后根据公式法可进行求解． 【详解】（1）解： ∴， ∴， ∴， ∴； （2）解： ∴， ∴， ∴， ∴； （3）解： ∴， ∴， ∴原方程无实数根； （4）解： ∴， ∴， ∴， ∴； （5）解： ∴， ∴， ∴， ∴． 【考点四 利用公式法还原一元二次方程】 例4．（23-24八年级下·安徽安庆·期中）若关于的一元二次方程的根为，则这个方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了解一元二次方程．根据公式法解答，即可求解． 【详解】解：∵关于的一元二次方程的根为， ∴二次项系数为1，一次项系数为，常数项为， ∴这个方程为． 故选：D 【变式训练】 1.（2024八年级下·浙江·专题练习）是下列哪个一元二次方程的根（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了公式法解一元二次方程，根据公式法解一元二次方程的方法即可得结论，用公式法解一元二次方程的一般步骤为：把方程化成一般形式，进而确定，，的值；求出的值（若，方程无实数根）；在的前提下，把的值代入公式进行计算求出方程的根，解题的关键是掌握去根公式． 【详解】解：、中，，不合题意； 、中，，不合题意； 、中，，不合题意； 、中，x，符合题意； 故选：． 2．（23-24九年级上·湖北黄石·期末）以为根的一元二次方程可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了公式法解一元二次方程，牢记一元二次方程的求根公式是解题的关键． 根据公式法解一元二次方程即可求解． 【详解】解：A． ， ∴，故该选项不正确，不符合题意； B． ， ∴，故该选项不正确，不符合题意； C． ， ∴，故该选项正确，符合题意； D． ， ∴，故该选项不正确，不符合题意； 故选：C． 3．（2024九年级上·全国·专题练习）用公式法解一元二次方程，得，则该一元二次方程是 ． 【答案】 【详解】本题考查了公式法解一元二次方程，根据求根公式确定出方程即可． 【解答】解：根据题意得：， 则该一元二次方程是， 故答案为：． 【考点五 用公式法解一元二次方程的错题复原问题】 例5. （2024九年级下·全国·专题练习）小明在解方程的过程中出现了错误，其解答如下： 解：，，，第一步 ，第二步 ，第三步 ，．第四步 (1)问：小明的解答是从第______ 步开始出错的； (2)请写出本题正确的解答． 【答案】(1)一； (2)正确的解答见解析． 【分析】本题考查了公式法解一元二次方程，熟练掌握用公式法解一元二次方程的一般步骤是解决问题的关键． （1）先把方程化为一般式，再确定a、b、c的值，从而可判断小明的解答从第一步开始出错了； （2）方程化为一般式得到，，，再计算根的判别式的值，然后利用求根公式得到方程的解． 【详解】（1）小明的解答是从第一步开始出错的， 故答案为：一； （2）解：方程化为一般式为， ，，， ， ， ，． 【变式训练】 1.（22-23八年级下·北京门头沟·期末）阅读材料，并回答问题： 小明在学习一元二次方程时，解方程的过程如下： 解：∵，，                ① ∴        ②                     ③ ∴此方程无解 问题： (1)上述过程中，从 步开始出现了错误（填序号）； (2)发生错误的原因是： ； (3)在下面的空白处，写出正确的解答过程． 【答案】(1)③ (2)计算错误 (3)见解析 【分析】根据公式法的步骤判断和求解即可． 【详解】（1）解：由题意可得：从③步开始出现了错误 故答案为：③； （2）计算错误（负数乘以负数得负数）； （3）∵，，， ∴， ∴， 解得：，． 【点睛】本题考查了用公式法解一元二次方程，解题的关键是掌握公式法的计算步骤． 2.（23-24八年级下·全国·假期作业）解方程，某位同学的解答过程如下： 解：∵，，， ∴， ∴， ∴，. 请你分析以上解答过程有无错误，如有错误，指出错误的地方，并写出正确的结果. 【答案】见解析 【详解】解：有错误，的值应为. 将方程化为一般形式，得. ∵，，， ∴， ∴， ∴，. 3．（23-24九年级上·河南信阳·阶段练习）解方程：． 有一位同学解答如下：这里，，，， ∴． ∴． 请你分析以上解答有无错误，如有错误，请作出正确解答． 【答案】有错误，正确解答见解析 【分析】将方程化为一般式，利用求根公式求解即可． 【详解】解：有错误，错误的原因是没有将方程化为一般形式． 将方程， 化为一般式为， 故方程中的，，， ． 所以， 即，． 【点睛】本题考查一元二次方程的解公式法，解题的关键是记住求根公式，属于中考常考题型． 【考点六 根据判别式判断一元二次方程根的情况】 例6.（23-24九年级上·四川宜宾·期末）方程的根的情况是（    ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．没有实数根 D．只有一个实数根 【答案】B 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，掌握“当时，一元二次方程有两个不相等的实根；时，一元二次方程有两个相等的实数根；时，一元二次方程没有实数根；”是解题的关键． 利用一元二次方程根的判别式即可判断． 【详解】由一元二次方程根的判别式可得： ， ∴一元二次方程有两个相等的实数根． 故选：． 【变式训练】 1．（2024·河南商丘·模拟预测）一元二次方程的根的情况是（    ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．无法判断 D．无实数根 【答案】A 【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式．利用一元二次方程根的判别式，即可求解． 【详解】解：， ∴， ∵， ∴， ∴原方程有两个不相等的实数根． 故选：A． 2．（23-24九年级上·广东佛山·期末）下列一元二次方程中，没有实数根的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查一元二次方程根的判别式，根据方程有两个不相等的实数根；方程有两个相等的实数根；方程没有实数根；逐项判断即可． 【详解】解：A．中，有两个不相等实数根，不符合题意； B．中，有两个不相等实数根，不符合题意； C．中，没有实数根，符合题意； D．中，有两个相等的实数根，不符合题意； 故选：C． 3．（23-24八年级下·安徽合肥·期中）定义运算：，例如：方程的根的情况（      ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．无实数根 D．只有一个实数根 【答案】A 【分析】本题考查了根的判别式：一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根． 利用新定义得到，然后利用可判断方程根的情况． 【详解】解：由新定义得， ， 方程有两个不相等的实数根． 故选：A． 【考点七 根据一元二方程根的情况求参数】 例7. （23-24八年级下·江苏苏州·期末）已知关于x的一元二次方程． (1)若方程的一个根为3，求k的值； (2)若方程有两个不相等的实数根，求k的取值范围． 【答案】(1)； (2)k的取值范围为． 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，熟知一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的两个实数根；当时，方程有两个相等的两个实数根；当时，方程无实数根是解题的关键． （1）由于是方程的一个根，直接把它代入方程即可求出的值； （2）根据根的判别式公式，令，得到关于的一元一次不等式，解之即可． 【详解】（1）解：把代入得， ； （2）解：方程有两个不相等的实数根， ， ． 的取值范围为． 【变式训练】 1．（23-24九年级上·河北唐山·期末）已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根． (1)求的取值范围； (2)当取最大的整数时，求原方程的两个根． 【答案】(1)； (2)；． 【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，解一元二次方程： （1）根据一元二次方程根的判别式，列不等式即可； （2）由（1）求出k，代入原方程，解方程即可． 【详解】（1）解：∵方程有两个不相等实数根 ∴ 即， ∴， 解得：； （2）解：∵，且取最大的整数， ∴， ∴原方程为：， ∴， 即， 解得：；． 2．（23-24九年级上·山东青岛·期中）已知关于的一元二次方程有实数根． (1)求的取值范围； (2)若该方程的一个根为，求方程另一个根的值． 【答案】(1)且； (2)另一个根的值为． 【分析】本题考查了一元二次方程的定义、根的判别式、一元二次方程的解以及解一元二次方程． （1）根据一元二次方程的定义和根的判别式，可得关于的不等式，解不等式即可得出的取值范围； （2）把代入方程，得出的值，再将的值代入原方程，解方程即可． 【详解】（1）解：∵关于的一元二次方程有实数根， ∴且， 即， 解得：且； （2）解：将代入方程有实数根， 即， 解得：． 将代入原方程，即， 整理得， 解得：． 3．（2024·北京怀柔·二模）已知一元二次方程有两个实数根． (1)求的取值范围； (2)如果是符合条件的最大整数，且一元二次方程与有一个相同的根，求此时的值． 【答案】(1)且 (2) 【分析】本题考查了一元二次方程根的定义，根的判别式，解一元二次方程，熟练掌握相关定义，以及当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程没有实数根，是解题的关键． （1）根据一元二次方程的定义得出，再根据方程有两个实数根得出，即可求解； （2）根据（1）中的取值范围，得出k的值，将其代入，求出，再把代入，即可求解． 【详解】（1）解：∵方程是一元二次方程， ∴， 解得：， ∵方程有两个实数根， ∴， 解得：， 综上： 的取值范围且； （2）解：∵且， ∴符合条件的最大整数， 把代入得：， 解得：， ∵方程与有一个相同的根， ∴方程的一个根为， 把代入得：， 解得：． 4.（23-24九年级上·黑龙江绥化·期末）已知关于x的方程． (1)求证：无论k取任何实数，该方程总有实数根； (2)如果这个方程的两个根恰好是等腰三角形的两边长，其第三边长为4，求的周长． 【答案】(1)见详解 (2)的周长为11或10． 【分析】本题主要考查了一元二次方程的根的判别式，根据根的情况求参数和等腰三角形的性质. （1）先计算出，然后根据非负数的性质即可证明． （2）分两种情况计算，当腰长为4时，代入方程，求出k值，得出方程，进而求得方程的另一个根，当底边长为4时，此时方程有两个相等的实数根，根据得出k的值，把k值代入方程，解方程即可求的的腰长． 【详解】（1）证明：， ∵，即， ∴无论取任何实数，方程总有实数根． （2）当腰长为4时，把代入， 得，， 解得； 方程化为， 则其另一个解为， 此时的周长为． 当底边长为4时，则方程有两个相等的实数根， ∴， ∴，此时方程化为， 即, 解得：， 此时的周长为． 综上所述，的周长为11或10． 【过关检测】 一、单选题 1．（23-24九年级上·河北廊坊·阶段练习）用求根公式解方程时，，的值是（    ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】B 【分析】将方程化为一般形式即可得到a，b，c的值． 【详解】解：∵， ∴， 则，，． 故选：B． 【点睛】此题考查了一元二次方程的一般形式：，熟练掌握一元二次方程的一般形式是解题的关键． 2．（23-24八年级下·浙江温州·期中）一元二次方程的实数根有（    ） A．1个 B．2个 C．0个 D．无数个 【答案】B 【分析】本题考查了根的判别式，掌握判别式是解题的关键．计算出方程的进行判断即可，当时，方程有两个实数根，时，方程无实数根． 【详解】解：， ∴方程有两个不相等的实数根， 故选：B． 3．（23-24九年级上·福建泉州·期中）是下列哪个一元二次方程的根（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了一元二次方程的求根公式，方程有两个实数根，即，根据一元二次方程的求根公式，反推出一元二次方程各项的系数，即可得到答案． 【详解】解：设一元二次方程为， 则方程的根为：， ， ，，， 该一元二次方程为， 故选：D． 4．（23-24九年级上·河北保定·期中）已知方程的两根是等腰三角形的两条边长，则等腰三角形的周长是（    ） A．15 B．12 C．9 D．12或15 【答案】A 【分析】题考查了因式分解法解一元二次方程，三角形的三边关系，等腰三角形的性质，利用因式分解法求出x的值，再根据等腰三角形的性质分情况讨论是解题的关键． 【详解】解：解方程得， 因为， 所以等腰三角形的两腰为6、6，底边长为3， 所以三角形周长． 故选A． 5．（2024·四川广安·中考真题）若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是（    ） A．且 B． C．且 D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，对于一元二次方程，若，则方程有两个不相等的实数根，若，则方程有两个相等的实数根，若，则方程没有实数根．由关于的一元二次方程两个不相等的实数根，可得且，解此不等式组即可求得答案． 【详解】解：关于的一元二次方程有两个不相等的实数根， ∴， 解得：， ， ， 的取值范围是：且． 故选：A． 二、填空题 6．（23-24九年级上·全国·课后作业）方程的解是 ． 【答案】， 【分析】选择公式法求解即可． 【详解】， 整理，得， ∵ ∴， ∴，， 故答案为：，． 【点睛】本题考查了解方程，选择适当的方法求解是解题的关键． 7．（23-24九年级上·全国·课后作业）用公式法解方程时，其中求得的的值是 ． 【答案】64 【分析】先将方程化为一般式，准确找出a、b、c的值，代入计算即可． 【详解】解：， ， ∴， ∴， 故答案为：64． 【点睛】本题主要考查了求一元二次方程根的判别式，解题的关键是将方程化为一般式，准确找出二次项系数，一次项系数，常数项． 8．（2024·上海徐汇·二模）关于的一元二次方程根的情况是：原方程 实数根． 【答案】有两个不相等的 【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，对于一元二次方程，若，则方程有两个不相等的实数根，若，则方程有两个相等的实数根，若，则方程没有实数根，据此求解即可． 【详解】解：由题意得，， ∴原方程有两个不相等的实数根， 故答案为：有两个不相等的． 9．（2024·江苏连云港·二模）若一次函数的图像经过第一、二、四象限，则方程有 个根． 【答案】两或2 【分析】本题主要考查了一元二次方程的解、一次函数的图象和性质等知识点，先根据一次函数的性质得到，再计算判别式的值得到，则，然后根据判别式的意义判断方程根的情况，熟练掌握其性质是解决此题的关键． 【详解】∵一次函数（k、b为常数）的图象经过第一、二、四象限， ∴， ∵， ∵， ∴，即， ∴方程有两个不相等的实数根． 故答案为：两． 10．（2024·甘肃定西·三模）若关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是 ． 【答案】且 【分析】本题考查一元二次方程的定义，根的判别式的意义，解题的关键是记住：当时，方程有两个不相等的两个实数根；当时，方程有两个相等的两个实数根；当时，方程无实数根．根据一元二次方程的定义结合根的判别式的意义列不等式求解即可． 【详解】解：∵关于的一元二次方程有实数根， ∴，且， 解得，且， 故答案为：且． 三、解答题 11．（21-22八年级上·上海静安·期末）用公式法解方程：． 【答案】 【分析】本题考查的是一元二次方程的解法，先求解，再利用求根公式解方程即可． 【详解】解：， ， ， 则， ∴原方程的根为. 12．（23-24八年级下·全国·假期作业）用公式法解下列方程： (1)； (2)； (3). 【答案】(1)， (2)，. (3) 【详解】解：（1）∵，，， ∴， ∴，即，. （2）移项，得， ∴，，， ∴， ∴，即，. （3）∵，，， ∴， ∴，即. 13．（2024·江西·一模）课堂上，刘老师展示了一位同学用配方法解的过程，如下： 解：原方程可化为，第一步 配方，得，第二步 即，第三步 直接开平方，得，第四步 所以，．第五步 (1)这位同学的解题过程从第______步开始出现错误； (2)请你正确求解该方程． 【答案】(1)二 (2)见解析 【分析】本题考查了一元二次方程的解法， （1）根据配方法的步骤求解即可； （2）利用配方法或公式法解一元二次方程即可； 解题的关键是掌握一元二次方程的解法：直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法等． 【详解】（1）第二步配方时应方程两边同时加上一次项系数一半的平方，即， ∴这位同学的解题过程从第二步开始出现错误； （2）配方法： 解得，． 公式法： ，，， ， ， 解得，． 14．（22-23八年级下·山东济南·期末）定义：如果关于的一元二次方程中常数项是该方程的一个根，则该一元二次方程就叫做常数根一元二次方程． (1)已知关于的方程是常数根一元二次方程，则的值为______； (2)如果关于的方程是常数根一元二次方程，求的值． 【答案】(1)或； (2)或． 【分析】本题考查了一元二次方程的解，解一元二次方程以及新定义，解题的关键是利用常数根一元二次方程的定义，得出关于的方程． （1）根据常数根一元二次方程的定义，把代入方程，解关于的方程即可； （2）根据常数根一元二次方程的定义，把代入方程，解关于的方程即可． 【详解】（1）解： 关于的方程是常数根一元二次方程， 方程的一个根为， 代入方程得，， 解得或； （2）解：关于的方程是常数根一元二次方程， 方程的一个根为， 代入方程得，， 整理得，， 解得或． 15．（23-24九年级上·重庆北碚·期末）已知关于的方程． (1)求证：对于任何实数，该方程总有两个实数根； (2)若三角形的一边长为1，另外两边长为该方程的两个实数根，求的取值范围． 【答案】(1)见详解 (2) 【分析】本题主要考查利用根的判别式判断一元二次方程实数根的情况、三角形的三边关系： （1）直接利用即可求证； （2）先求得该方程的两根，然后利用三角形的三边关系即可求解. 【详解】（1）解： ∵ ∴对于任何实数，该方程总有两个实数根. （2）解： ， ∴. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$