专题2.2 用配方法解一元二次方程（9考点+过关检测）-【学霸满分】2024-2025学年九年级数学上册重难点专题提优训练（湘教版）

专题2.2 用配方法解一元二次方程 目录 【典型例题】 1 【考点一 直接开平方法解一元二次方程】 1 【考点二 直接开平方法解一元二次方程的条件】 3 【考点三 直接开平方法解一元二次方程的复合型】 5 【考点四 用配方法配二次项系数为1的一元二次方程】 6 【考点五 用配方法解二次项系数为1的一元二次方程】 8 【考点六 用配方法配二次项系数不为1的一元二次方程】 12 【考点七 用配方法解二次项系数不为1的一元二次方程】 14 【考点八 用配方法解一元二次方程中错解复原问题】 17 【考点九 配方法的应用】 20 【过关检测】 25 【典型例题】 【考点一 直接开平方法解一元二次方程】 例1．（2024九年级上·广西·专题练习）解一元二次方程：； 【变式训练】 1．（2024九年级上·广西·专题练习）解一元二次方程：； 2．（2024九年级上·全国·专题练习）解方程：． 3．（24-25九年级上·全国·课后作业）用直接开平方法解下列方程： (1)； (2)． 【考点二 直接开平方法解一元二次方程的条件】 例2.（23-24八年级下·浙江·单元测试）用直接开平方法解方程，方程必须满足的条件是（     ） A． B． C． D． 【变式训练】 1．（24-25九年级上·全国·课后作业）若关于x的方程有实数根，则k的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．（2023九年级上·全国·专题练习）若关于x的方程有实数根，则b的取值范围是（　　） A． B． C． D． 3．（2022·山东滨州·模拟预测）关于的一元二次方程的解的情况是（　　） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．没有实数根 D．无法确定 【考点三 直接开平方法解一元二次方程的复合型】 例3.（23-24九年级上·湖南常德·阶段练习）解方程：． 【变式训练】 1．（23-24九年级上·全国·课后作业）用直接开平方法解方程：． 2．（22-23八年级下·山东滨州·期末）解方程：． 3．（2023九年级上·全国·专题练习）解方程：（开平方法）． 【考点四 用配方法配二次项系数为1的一元二次方程】 例4.（23-24八年级下·浙江金华·期中）用配方法解一元二次方程，配方后得到的方程是（    ） A． B． C． D． 【变式训练】 1.（2024·山西阳泉·三模）用配方法解一元二次方程配方后得到的方程是（    ） A． B． C． D． 2.（23-24八年级下·广西百色·期中）用配方法解方程时，配方结果正确的是（    ） A． B． C． D． 3．（23-24九年级下·湖南娄底·期末）用配方法解方程时，原方程应变形为（　　） A． B． C． D． 【考点五 用配方法解二次项系数为1的一元二次方程】 例5. （23-24九年级上·陕西西安·期末）解方程：． 【变式训练】 1.（23-24八年级下·安徽安庆·阶段练习）解方程：（用配方法） 2.（23-24八年级上·上海青浦·期中）用配方法解方程： 3．（23-24九年级上·全国·单元测试）用配方法解下列方程： (1) (2) (3) (4) 4．（24-25九年级上·全国·课后作业）用配方法解下列方程： (1)； (2)； (3)； (4)． 【考点六 用配方法配二次项系数不为1的一元二次方程】 例6.（23-24八年级下·安徽蚌埠·期中）用配方法解方程时，变形正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式训练】 1.（2024·内蒙古呼和浩特·模拟预测）用配方法解一元二次方程，配方正确的是（    ） A． B． C． D． 2.（23-24八年级下·安徽淮北·阶段练习）用配方法解方程，应把它先变形为（    ） A． B． C． D． 3．（23-24八年级下·山东威海·期末）一元二次方程配方后可变形为（    ） A． B． C． D． 【考点七 用配方法解二次项系数不为1的一元二次方程】 例7. （22-23八年级上·上海青浦·期中）用配方法解一元二次方程： 【变式训练】 1．（23-24九年级上·青海西宁·期末）解方程：． 2．（23-24八年级下·山东烟台·期中）配方法解一元二次方程：． 3．（24-25九年级上·全国·课后作业）用配方法解下列方程： (1)； (2)． 4.（23-24九年级上·海南省直辖县级单位·期末）用配方法解方程： (1)； (2)； (3)； (4) 【考点八 用配方法解一元二次方程中错解复原问题】 例8：（2024·江西吉安·三模）小明解一元二次方程的过程如下，请你仔细阅读，并回答问题： 解：原方程可变形为，（第一步） ∴，（第二步） ∴，（第三步） ∴，（第四步） ∴，（第五步） ∴，．（第六步） (1)小明解此方程使用的是______法；小明的解答过程是从第______步开始出错的． (2)请写出此题正确的解答过程． 【变式训练】 1．（23-24九年级上·贵州铜仁·阶段练习）王明在学习了用配方法解一元二次方程后，解方程的过程如下： 解：移项，得．                第一步 二次项系数化为1，得．            第二步 配方，得．                第三步 因此．                        第四步 由此得或．                第五步 解得．                        第六步 (1)王明的解题过程从第______步开始出现了错误； (2)请利用配方法正确地解方程． 2．（23-24九年级上·宁夏吴忠·期中）配方法解一元二次方程． 下面是某同学的解题过程，请认真阅读并完成任务 ． 解：．    第一步 ．    第二部 ．    第三步     第四步     第五步 ，．    第六步 任务一：该同学解答第________步出现了错，错误的原因是________________．做这一步的依据是________________________ 任务二：写出用配方法解方程的正确过程． 【考点九 配方法的应用】 例9. （23-24九年级上·湖北黄冈·阶段练习）阅读材料题：我们知道，所以代数式的最小值为．学习了多项式乘法中的完全平方公式，可以逆用公式，即来求一些多项式的最小值． 例如，求的最小值问题． 解：∵， 又∵， ∴， ∴的最小值为． 请应用上述思想方法，解决下列问题： (1)代数式有最大还是最小值呢？尝试求出这个最值； (2)应用：若与，试比较与的大小． 【变式训练】 1.（23-24九年级上·新疆昌吉·阶段练习）代数式有最 值，其最值为 ． 2.（23-24七年级下·陕西西安·阶段练习）（1）当__________时，多项式的最小值为__________． （2）当__________时，多项式的最大值为__________． （3）当、为何值时，多项式取最小值？并求出这个最小值． 3．（23-24九年级上·江苏连云港·阶段练习）阅读下列材料：我们可以通过以下方法求代数式的最小值． ∵，且， ∴当时，有最小值． 请根据上述方法，解答下列问题： (1)求代数式最小值 (2)填空：代数式当______时，有最______值，是______． (3)若代数式的最小值为，求k的值． 4．（23-24九年级上·河南鹤壁·阶段练习）阅读理解：求代数式的最小值． 解：因为， 所以当时，代数式有最小值，最小值是． 仿照应用解决下列问题： (1)求代数式的最小值； (2)求代数式的最大值； (3)某居民小区要在一块一边靠墙墙长的空地上建一个长方形花园，花园一边靠墙，另三边用总长为的栅栏围成如图，设，请问：当取何值时，花园的面积最大？最大面积是多少？ 【过关检测】 一、单选题 1．（23-24九年级上·全国·单元测试）用配方法解方程时，配方后所得的方程为（　　） A． B． C． D． 2．（23-24九年级上·全国·单元测试）若方程的左边可以写成一个完全平方式，则的值为(    ) A．或 B． C． D．或 3．（23-24八年级下·安徽阜阳·期末）延时课上，4个同学以接龙的方式解一元二次方程，每人负责完成一个步骤，如图所示，其中有一位同学所负责的步骤是错误的，则这位同学是（    ） A．小张 B．小王 C．小李 D．小赵 4．（23-24八年级下·四川眉山·期中）已知、是实数，，．则、的大小关系是（　　） A． B． C．＜ D．＞ 5．（23-24八年级下·安徽亳州·期中）定义新运算，对于两个不相等的实根，我们规定符号表示中较小值，如．，，按照这样的规定，若，则的值是（    ） A．2或 B．或 C．2或 D．或 二、填空题 6．（2024九年级上·全国·专题练习）若方程有解，那么的取值范围是 ． 7．（23-24九年级上·吉林·阶段练习）把方程化成的形式，则 ， ． 8．（23-24九年级上·新疆昌吉·阶段练习）代数式有最 值，其最值为 ． 9．（23-24九年级上·河南驻马店·期中）在实数范围内定义运算“☆”和“★”，其规则为：，则方程的解为 ． 10．（23-24九年级上·江苏常州·期末）如图，在用配方法解一元二次方程时，配方的过程可以用拼图直观地表示，即看成将一个长是、宽是x、面积是的矩形割补成一个正方形，则m的值是 ． 三、解答题 11．（23-24九年级上·广东·期末）解方程：． 12．（23-24八年级下·全国·假期作业）用配方法解下列方程： (1)； (2)． 13．（23-24八年级下·全国·假期作业）用配方法解下列方程： (1)； (2)； (3)． 14．（23-24九年级上·海南省直辖县级单位·期末）用配方法解方程： (1)； (2)； (3)； (4) 15．（23-24九年级上·山西太原·期中）阅读材料，并回答问题： 王佳在学习一元二次方程时，解方程的过程如下： 解：   ①   ②   ③   ④ 或  ⑤ ，  ⑥ 问题： 上述解答过程中，从________步开始出现了错误（填序号），发生错误的原因是________； 请写出这个方程正确的解________． 16．（2024九年级上·全国·专题练习）配方法是数学中重要的一种思想方法．它是指将一个式子的某一部分通过恒等变形化为完全平方式或几个完全平方式的和的方法．这种方法常被用到代数式的变形中，并结合非负数的意义来解决一些问题． 解决问题：（1）若可配方成（为常数），求，的值； 探究问题：（2）已知，求的值； （3）已知（都是整数，是常数），要使的最小值为，试求出的值． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题2.2 用配方法解一元二次方程 目录 【典型例题】 1 【考点一 直接开平方法解一元二次方程】 1 【考点二 直接开平方法解一元二次方程的条件】 3 【考点三 直接开平方法解一元二次方程的复合型】 5 【考点四 用配方法配二次项系数为1的一元二次方程】 6 【考点五 用配方法解二次项系数为1的一元二次方程】 8 【考点六 用配方法配二次项系数不为1的一元二次方程】 12 【考点七 用配方法解二次项系数不为1的一元二次方程】 14 【考点八 用配方法解一元二次方程中错解复原问题】 17 【考点九 配方法的应用】 20 【过关检测】 25 【典型例题】 【考点一 直接开平方法解一元二次方程】 例1．（2024九年级上·广西·专题练习）解一元二次方程：； 【答案】 【分析】 本题考查求解一元二次方程．掌握各类求解方法是解题关键．利用直接开平方法即可求. 【详解】解：， ∴， 即：或， ∴． 【变式训练】 1．（2024九年级上·广西·专题练习）解一元二次方程：； 【答案】 【分析】本题主要考查解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的方法是解题的关键．根据直接开方法进行计算即可． 【详解】解：， ， 或， 解得：； 2．（2024九年级上·全国·专题练习）解方程：． 【答案】或 【分析】本题考查了解一元二次方程—直接开平方法，方程两边同时除以4，再利用平方根的定义即可求解；解题的关键是熟练掌握平方根的定义， 【详解】解： 或， 解得或． 3．（24-25九年级上·全国·课后作业）用直接开平方法解下列方程： (1)； (2)． 【答案】(1)， (2)， 【分析】本题考查了一元二次方程的求解，熟练掌握一元二次方程的求解方法是解题关键． （1）利用直接开方的方法进行求解即可； （2）利用直接开方的方法进行求解即可． 【详解】（1）解：， ， ， ，； （2）， ， 两边直接开平方，得， 解得，． 【考点二 直接开平方法解一元二次方程的条件】 例2.（23-24八年级下·浙江·单元测试）用直接开平方法解方程，方程必须满足的条件是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据平方的非负性即可求解． 【详解】解：， ． 故选：A． 【点睛】本题考查了直接开平方法解一元二次方程，理解直接开平方法的条件是解题的关键． 【变式训练】 1．（24-25九年级上·全国·课后作业）若关于x的方程有实数根，则k的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查直接开方法解方程，根据完全平方的非负性，得到，进行求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 故选C． 2．（2023九年级上·全国·专题练习）若关于x的方程有实数根，则b的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用解一元二次方程——直接开平方法，进行计算即可解答． 【详解】解：， ， 方程有实数根， ， ， 故选：D． 【点睛】本题考查解一元二次方程——直接开平方法，熟练掌握解一元二次方程——直接开平方法是解题关键． 3．（2022·山东滨州·模拟预测）关于的一元二次方程的解的情况是（　　） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．没有实数根 D．无法确定 【答案】D 【分析】通过移项得到：，根据非负数的情况进行解答． 【详解】解：由原方程，得 ， 当时，，该方程无解； 当时，该方程为，有个解． 综上所述，原方程的解的情况是无法确定． 故选：D． 【点睛】本题考查了解一元二次方程——直接开平方法．用直接开方法求一元二次方程的解的类型有：（同号且）；（同号且）法则：要把方程化为“左平方，右常数，先把系数化为，再开平方取正负，分开求得方程解”． 【考点三 直接开平方法解一元二次方程的复合型】 例3.（23-24九年级上·湖南常德·阶段练习）解方程：． 【答案】 【分析】利用直接开平方得两个关于x的一元一次方程，求解一元一次方程即可． 【详解】解：， 两边开平方，得， ∴或， ∴或， ∴或． 所以原方程的解为：． 【点睛】本题考查了解一元二次方程，掌握直接开平方法是解决本题的关键． 【变式训练】 1．（23-24九年级上·全国·课后作业）用直接开平方法解方程：． 【答案】， 【分析】将方程的两边同时开方即可求解． 【详解】解：两边直接开平方，得， 即或， 解得，． 【点睛】本题考查了解一元二次方程，掌握一元二次方程的解法是解题关键． 2．（22-23八年级下·山东滨州·期末）解方程：． 【答案】或 【分析】利用直接开平方法求解即可； 【详解】 解：， 或， 或， 或． 【点睛】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键． 3．（2023九年级上·全国·专题练习）解方程：（开平方法）． 【答案】， 【分析】先移项，然后利用直接开平方法解方程，即可得到答案． 【详解】解：， ， ∴， ∴或， ∴，． 【点睛】本题考查了解一元二次方程，解题的关键是掌握直接开平方法解一元二次方程． 【考点四 用配方法配二次项系数为1的一元二次方程】 例4.（23-24八年级下·浙江金华·期中）用配方法解一元二次方程，配方后得到的方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了配方法解一元二次方程，将方程两边同时加上一次项系数一半的平方，再写成完全平方式即可得出答案． 【详解】解：∵， ∴，即， 故选：A． 【变式训练】 1.（2024·山西阳泉·三模）用配方法解一元二次方程配方后得到的方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了一元二次方程的配方法．把常数项移到等式右边后，利用完全平方公式配方得到结果，即可做出判断． 【详解】解：， 移项得：， 配方得：， 整理得：， 故选：D． 2.（23-24八年级下·广西百色·期中）用配方法解方程时，配方结果正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查了配方法求解一元二次方程，解题的关键是掌握配方法求解一元二次方程的步骤．根据配方法的步骤，求解即可． 【详解】解： 移项得： 配方得： 即 故选：B 3．（23-24九年级下·湖南娄底·期末）用配方法解方程时，原方程应变形为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了配方法解一元二次方程，首先将常数项移到等号的右侧，将等号左右两边同时加上一次项系数一半的平方，即可将等号左边的代数式写成完全平方形式即可，熟练掌握配方法解一元二次方程是解题的关键． 【详解】解： ， 故选：． 【考点五 用配方法解二次项系数为1的一元二次方程】 例5. （23-24九年级上·陕西西安·期末）解方程：． 【答案】， 【分析】此题考查了一元二次方程的求解，解题的关键是掌握一元二次方程的求解方法．利用配方法求解一元二次方程即可． 【详解】解：， 移项得： ∴ ∴ ∴或 ∴，； 【变式训练】 1.（23-24八年级下·安徽安庆·阶段练习）解方程：（用配方法） 【答案】 【分析】此题考查了配方法解一元二次方程，把方程变形为，开平方得到，解一元一次方程即可得到答案． 【详解】解： ∴ 则 ∴ 开平方得， 解得 2.（23-24八年级上·上海青浦·期中）用配方法解方程： 【答案】， 【分析】本题考查了解一元二次方程-配方法：将一元二次方程配成的形式，再利用直接开平方法求解，这种解一元二次方程的方法叫配方法． 移项，然后两边都加上一次项系数的一半的平方，再根据完全平方公式整理，然后求解即可． 【详解】解：移项得，， 配方得，， 即， ， ，． ∴方程的解为，． 3．（23-24九年级上·全国·单元测试）用配方法解下列方程： (1) (2) (3) (4) 【答案】(1)， (2)， (3)， (4)， 【分析】本题考查解一元二次方程—配方法， （1）移项后再配方即可求解； （2）移项后再配方即可求解； （3）直接配方即可求解； （4）移项后再配方即可求解； 解题的关键是掌握：解题的关键是掌握用配方法解一元二次方程的一般步骤： ①将常数项移到方程的另一边，再将二次项系数化为， 当二次项系数不是时，方程两边同时除以二次项系数； ②在方程两边同时加上一次项系数一半的平方，使其中的三项成为完全平方式； ③配方后将原方程化为的形式，再用直接开平方的方法解方程． 【详解】（1）解：， 移项，得：， 配方，得：， 合并，得：， 直接开平方，得：， 解得：，； （2）， 移项，得：， 配方，得：， 合并，得：， 直接开平方，得：， 解得：，； （3）， 配方，得：， 合并，得：， 直接开平方，得：， 解得：，； （4）， 移项，得：， 配方，得：， 合并，得：， 直接开平方，得：， 解得：，． 4．（24-25九年级上·全国·课后作业）用配方法解下列方程： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查解一元二次方程，掌握配方法是解题的关键： （1）配方法解方程即可； （2）配方法解方程即可； （3）配方法解方程即可； （4）配方法解方程即可． 【详解】（1）解： ， ∴； （2） ∴； （3） ∴； （4） ， ∴． 【考点六 用配方法配二次项系数不为1的一元二次方程】 例6.（23-24八年级下·安徽蚌埠·期中）用配方法解方程时，变形正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了用配方法解一元二次方程，先把常数项移到方程右边，再把二次项系数化为1，接着把方程两边同时加上一次项系数一半的平方进行配方即可得到答案． 【详解】解； ， 故选：A． 【变式训练】 1.（2024·内蒙古呼和浩特·模拟预测）用配方法解一元二次方程，配方正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查的是利用配方法解一元二次方程．先把原方程化为：，再“两边同时加上一次项系数一半的平方”，从而可得答案． 【详解】解：， ， 配方得，即， 故选：A． 2.（23-24八年级下·安徽淮北·阶段练习）用配方法解方程，应把它先变形为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查解一元二次方程-配方法，涉及完全平方差公式、等式性质等知识，由配方法，利用完全平方差公式恒等变形即可得到答案，熟练掌握配方法是解决问题的关键． 【详解】解：， 二次项系数化为1得， 移常数项得， 配方得， ，即， 3．（23-24八年级下·山东威海·期末）一元二次方程配方后可变形为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了利用配方法解一元二次方程，熟练掌握配方法是解题关键． 【详解】解： 故选A． 【考点七 用配方法解二次项系数不为1的一元二次方程】 例7. （22-23八年级上·上海青浦·期中）用配方法解一元二次方程： 【答案】， 【分析】本题考查了配方法的应用，熟练掌握配方的方法是解答本题的关键．根据配方法的步骤求解即可． 【详解】解：    或 所以原方程的解为，． 【变式训练】 1．（23-24九年级上·青海西宁·期末）解方程：． 【答案】 【分析】本题考查解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的方法是解题的关键．根据解一元二次方程的方法：配方法进行求解． 【详解】解：， 整理，得， ， 配方得， 开方，得， 解得． 2．（23-24八年级下·山东烟台·期中）配方法解一元二次方程：． 【答案】， 【分析】本题考查了解一元二次方程，解题的关键是掌握一元二次方程的解法：直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法等．利用配方法解一元二次方程即可． 【详解】解： 两边同除以，得， 移项，得， 配方，得，即， 开平方，得， ∴，或， ∴，． 3．（24-25九年级上·全国·课后作业）用配方法解下列方程： (1)； (2)． 【答案】(1)，； (2)，． 【分析】此题考查了解一元二次方程配方法．各方程二次项系数化为1，常数项移到右边，两边加上一次项系数一半的平方，利用完全平方公式变形后，开方即可求出解． 【详解】（1）解：原方程可化为． 配方，得，即． 两边直接开平方，得， 所以或， 所以，； （2）解：原方程可化为． 配方，得， 即． 两边直接开平方，得， 所以或， 所以，． 4.（23-24九年级上·海南省直辖县级单位·期末）用配方法解方程： (1)； (2)； (3)； (4) 【答案】(1)， (2)， (3)， (4) 【分析】本题考查解一元二次方程，正确计算是解题的关键： （1）利用配方法解一元二次方程即可； （2）利用配方法解一元二次方程即可； （3）利用配方法解一元二次方程即可； （4）利用配方法解一元二次方程即可． 【详解】（1）解：， ， ，； （2）解：， ， ，； （3）解：， ， ，； （4）解：， ， ， ． 【考点八 用配方法解一元二次方程中错解复原问题】 例8：（2024·江西吉安·三模）小明解一元二次方程的过程如下，请你仔细阅读，并回答问题： 解：原方程可变形为，（第一步） ∴，（第二步） ∴，（第三步） ∴，（第四步） ∴，（第五步） ∴，．（第六步） (1)小明解此方程使用的是______法；小明的解答过程是从第______步开始出错的． (2)请写出此题正确的解答过程． 【答案】(1)配方；三 (2)， 【分析】（1）根据配方法解答即可． （2）根据配方法的基本步骤规范解答即可． 本题考查了配方法解方程，熟练掌握配方法解方程是解题的关键． 【详解】（1）根据题意，这种解方程的方法是配方法，配方时，在第三步时出现错误， 故答案为：配方法，第三步． （2）原方程可变形为， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，． 【变式训练】 1．（23-24九年级上·贵州铜仁·阶段练习）王明在学习了用配方法解一元二次方程后，解方程的过程如下： 解：移项，得．                第一步 二次项系数化为1，得．            第二步 配方，得．                第三步 因此．                        第四步 由此得或．                第五步 解得．                        第六步 (1)王明的解题过程从第______步开始出现了错误； (2)请利用配方法正确地解方程． 【答案】(1)二 (2) 【分析】本题考查了配方法解一元二次方程，掌握配方法解一元二次方程的一般步骤是解题的关键，配方法的一般步骤：(1)把常数项移到等号的右边；(2)把二次项的系数化为1；(3)等式两边同时加上一次项系数一半的平方． （1）由配方法解一元二次方程即可判断错误的步骤； （2）由配方法解一元二次方程即可得到答案； 【详解】（1）解题过程从第二步开始出现了错误，错误原因是系数化为1时，等式右边的-3未除以2， 故答案为：二； （2）． 移项，得：， 二次项系数化为1，得：， 配方，得：， 因此， 由此得：或， 解得：． 2．（23-24九年级上·宁夏吴忠·期中）配方法解一元二次方程． 下面是某同学的解题过程，请认真阅读并完成任务 ． 解：．    第一步 ．    第二部 ．    第三步     第四步     第五步 ，．    第六步 任务一：该同学解答第________步出现了错，错误的原因是________________．做这一步的依据是________________________ 任务二：写出用配方法解方程的正确过程． 【答案】任务一：三；配方错误；等式的基本性质1；任务二：，；过程见解析 【分析】本题主要考查配方法解一元二次方程，将常数项移到方程的右边，再把二次项系数化为1，继而边都加上一次项系数一半的平方配成完全平方式后，再开方即可得．熟知配方法解一元二次方程的方法及一般步骤是解题的关键． 【详解】解：任务一：第三步开始出现错误；错误的原因是配方错误；等式的基本性质1； 故答案为：三；配方错误；等式的基本性质1； 任务二：配方法解方程的正确过程如下： ， ， ， ， ， ， 解得：，． 【考点九 配方法的应用】 例9. （23-24九年级上·湖北黄冈·阶段练习）阅读材料题：我们知道，所以代数式的最小值为．学习了多项式乘法中的完全平方公式，可以逆用公式，即来求一些多项式的最小值． 例如，求的最小值问题． 解：∵， 又∵， ∴， ∴的最小值为． 请应用上述思想方法，解决下列问题： (1)代数式有最大还是最小值呢？尝试求出这个最值； (2)应用：若与，试比较与的大小． 【答案】(1)有最小值，这个最值为 (2) 【分析】（1）根据配方法，对式子进行配方，求解即可； （2）用作差法求得的范围，然后判断即可． 【详解】（1）解： 又∵， ∴， ∴的最小值为 （2）解：∵， ∵， ∴， ∴ ∴ 【点睛】此题考查了配方法的应用，解题的关键是掌握完全平方公式进行配方求解． 【变式训练】 1.（23-24九年级上·新疆昌吉·阶段练习）代数式有最 值，其最值为 ． 【答案】 小 1 【分析】本题主要考查了配方法的应用，利用配方法把原代数式变形为，根据得到，据此可得答案． 【详解】解： ， ∵， ∴， ∴当时，有最小值1， ∴有最小值，最小值为1， 故答案为：小，1． 2.（23-24七年级下·陕西西安·阶段练习）（1）当__________时，多项式的最小值为__________． （2）当__________时，多项式的最大值为__________． （3）当、为何值时，多项式取最小值？并求出这个最小值． 【答案】（1）3，3 （2）1， （3），，最小值是10 【分析】本题考查了配方法的应用，非负数的性质应用，熟练掌握以上知识点是解题的关键． （1）由配方可知，然后根据非负数的性质，判断出的值，然后进行计算即可； （2）由配方可知，然后根据非负数的性质，判断出的值，然后进行计算即可； （3）由配方可知，然后根据非负数的性质，判断出和的取值，然后进行计算即可． 【详解】（1） 当时，多项式取最小值，且最小值为3； 故答案为：3，3 （2） 当时，多项式取最大值，且最大值为； 故答案为：1，； （3） ， 当且，即时，多项式取最小值，并且最小值为． ，，最小值是10． 3．（23-24九年级上·江苏连云港·阶段练习）阅读下列材料：我们可以通过以下方法求代数式的最小值． ∵，且， ∴当时，有最小值． 请根据上述方法，解答下列问题： (1)求代数式最小值 (2)填空：代数式当______时，有最______值，是______． (3)若代数式的最小值为，求k的值． 【答案】(1)有最小值； (2)1，大，5 (3)． 【分析】（1）利用配方法得到，再根据偶次方的非负性求出代数式的最小值即可； （2）先提出代数式的负号，再进行配方，再根据偶次方的非负性求出代数式的最大值即可； （3）先将代数式中的二次线系数提出来化为1，再进行配方，根据最小值为求出k的值即可． 【详解】（1）解： ， ∵， ∴当时，有最小值； （2）解： ， ∵， ∴， ∴当时，代数式的最大值，最大值为5； 故答案为：1，大，5； （3）解： ， ∵， ∴代数式有最小值为． ∵代数式的最小值为， ∴． 解得：． 【点睛】本题考查的是将多项式进行配方化为完全平方式的形式，再利用偶次方的非负性求代数式的最大或最小值，准确的进行配方是解题的关键． 4．（23-24九年级上·河南鹤壁·阶段练习）阅读理解：求代数式的最小值． 解：因为， 所以当时，代数式有最小值，最小值是． 仿照应用解决下列问题： (1)求代数式的最小值； (2)求代数式的最大值； (3)某居民小区要在一块一边靠墙墙长的空地上建一个长方形花园，花园一边靠墙，另三边用总长为的栅栏围成如图，设，请问：当取何值时，花园的面积最大？最大面积是多少？ 【答案】(1) (2) (3)当时，花园的面积最大，最大面积是 【分析】（1）依据题意，由，从而可以判断得解； （2）由，从而可以得其最大值； （3）先根据矩形的面积公式列出关系式，再根据配方法求最值． 【详解】（1）解：由题意，， 当时，代数式的最小值为． （2）由题意，， 当时，代数式的最大值为． （3）由题意可得，花园的面积为：， 当时，花园的面积取得最大值，此时花园的面积是，的长是， 即当时，花园的面积最大，最大面积是． 【点睛】本题主要考查了配方法的应用，解题时要熟练掌握并理解是关键． 【过关检测】 一、单选题 1．（23-24九年级上·全国·单元测试）用配方法解方程时，配方后所得的方程为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了配方法解一元二次方程，移项后把左边配成完全平方式，右边化为常数即可得出结果． 【详解】解：， ， ， ， 故选：A． 2．（23-24九年级上·全国·单元测试）若方程的左边可以写成一个完全平方式，则的值为(    ) A．或 B． C． D．或 【答案】D 【分析】本题考查完全平方公式的运用，根据完全平方式的特点，进行求解即可． 【详解】解：∵是一个完全平方式， ∴， ∴或， ∴或； 故选D． 3．（23-24八年级下·安徽阜阳·期末）延时课上，4个同学以接龙的方式解一元二次方程，每人负责完成一个步骤，如图所示，其中有一位同学所负责的步骤是错误的，则这位同学是（    ） A．小张 B．小王 C．小李 D．小赵 【答案】D 【分析】本题考查了解一元二次方程的配方法，掌握配方的步骤：“第一步∶ ，第二步：，第三步：， 第四步：；”是解题的关键． 【详解】解：， ， ， ， ，； 小赵负责的步骤错误； 故选：D． 4．（23-24八年级下·四川眉山·期中）已知、是实数，，．则、的大小关系是（　　） A． B． C．＜ D．＞ 【答案】B 【分析】判断、的大小关系，把进行整理，判断结果的符号可得、的大小关系．考查了配方法的应用；关键是根据比较式子的大小进行计算；通常是让两个式子相减，若为正数，则被减数大；反之减数大． 【详解】解：， ，， ， ， 故选：B 5．（23-24八年级下·安徽亳州·期中）定义新运算，对于两个不相等的实根，我们规定符号表示中较小值，如．，，按照这样的规定，若，则的值是（    ） A．2或 B．或 C．2或 D．或 【答案】B 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，新定义，分当即时，当即时，根据新定义可得方程和方程，解方程即可得到答案． 【详解】解：当即时， ∵， ∴， 解得或（舍去）； 当即时， ∵， ∴， 解得或（舍去）； 综上所述，的值是或， 故选：B． 二、填空题 6．（2024九年级上·全国·专题练习）若方程有解，那么的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查一个数的平方是非负数，熟练掌握该特征是解题的关键；本题考查因为方程为形式，左边是一个完全平方式，总是大于等于，所以在有解的情况下要求． 【详解】解：依题意，在方程中，， 故． 故答案为： 7．（23-24九年级上·吉林·阶段练习）把方程化成的形式，则 ， ． 【答案】 【分析】本题考查了解一元二次方程的配方法，掌握配方的步骤：“第一步∶ ，第二步：，第三步：， 第四步：；”是解题的关键． 【详解】解：， ， ， ，； 故答案：，． 8．（23-24九年级上·新疆昌吉·阶段练习）代数式有最 值，其最值为 ． 【答案】 小 1 【分析】本题主要考查了配方法的应用，利用配方法把原代数式变形为，根据得到，据此可得答案． 【详解】解： ， ∵， ∴， ∴当时，有最小值1， ∴有最小值，最小值为1， 故答案为：小，1． 9．（23-24九年级上·河南驻马店·期中）在实数范围内定义运算“☆”和“★”，其规则为：，则方程的解为 ． 【答案】， 【分析】根据新定义得到，由得到，利用配方法解方程即可．此题考查了解一元二次方程，根据题意得到一元二次方程是解题的关键． 【详解】∵， ∴， ∵， ∴， 则， ∴， ， 开平方得，， ∴， ∴， 故答案为：，． 10．（23-24九年级上·江苏常州·期末）如图，在用配方法解一元二次方程时，配方的过程可以用拼图直观地表示，即看成将一个长是、宽是x、面积是的矩形割补成一个正方形，则m的值是 ． 【答案】3 【分析】本题考查的是解一元二次方程，用配方法求解即可． 【详解】解：， ， ， ∴． 故答案为：3． 三、解答题 11．（23-24九年级上·广东·期末）解方程：． 【答案】， 【分析】本题考查配方法解一元二次方程，先配方，直接开平方即可得到答案； 【详解】解：配方得， ， 两边开平方得， ∴， ∴，． 12．（23-24八年级下·全国·假期作业）用配方法解下列方程： (1)； (2)． 【答案】(1)，； (2)． 【详解】解：（1）移项，得． 配方，得， 即． 直接开平方，得或， 解得，． （2）移项，得． 二次项系数化为1，得，即． 直接开平方，得， 解得． 13．（23-24八年级下·全国·假期作业）用配方法解下列方程： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1)， (2)， (3)， 【分析】（1）（2）两题直接用配方法解方程；第（3）题可以将看成一个整体，再用配方法解方程． （1）移项、配方，得，即， 两边同时开平方，得或， ∴，． （2）二次项系数化为1，得． 移项，得． 配方，得， 即． 两边同时开平方， 得或， ∴，． （3）配方，得， 即． 两边同时开平方，得或， ∴，． 14．（23-24九年级上·海南省直辖县级单位·期末）用配方法解方程： (1)； (2)； (3)； (4) 【答案】(1)， (2)， (3)， (4) 【分析】本题考查解一元二次方程，正确计算是解题的关键： （1）利用配方法解一元二次方程即可； （2）利用配方法解一元二次方程即可； （3）利用配方法解一元二次方程即可； （4）利用配方法解一元二次方程即可． 【详解】（1）解：， ， ，； （2）解：， ， ，； （3）解：， ， ，； （4）解：， ， ， ． 15．（23-24九年级上·山西太原·期中）阅读材料，并回答问题： 王佳在学习一元二次方程时，解方程的过程如下： 解：   ①   ②   ③   ④ 或  ⑤ ，  ⑥ 问题： 上述解答过程中，从________步开始出现了错误（填序号），发生错误的原因是________； 请写出这个方程正确的解________． 【答案】②，等式右边没有加4；， 【分析】本题考查解一元二次方程-配方法． 配方时，先将二次项系数化为1，然后移项，使常数项放在等号的右边，然后给方程两边同时加上一次项系数一半的平方，并将方程左边化为带有未知数的平方的形式，然后用直接开平方法求解． 【详解】解：上述解答过程中，从②步开始出现了错误，发生错误的原因是等式右边没有加4； 故答案为：②，等式右边没有加4； ， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴或， ∴，． 故答案为：，． 16．（2024九年级上·全国·专题练习）配方法是数学中重要的一种思想方法．它是指将一个式子的某一部分通过恒等变形化为完全平方式或几个完全平方式的和的方法．这种方法常被用到代数式的变形中，并结合非负数的意义来解决一些问题． 解决问题：（1）若可配方成（为常数），求，的值； 探究问题：（2）已知，求的值； （3）已知（都是整数，是常数），要使的最小值为，试求出的值． 【答案】（），；（）；（）． 【分析】（）把写成的形式，然后与二次项和一次项组成完全平方式，从而分解因式，从而求出，的值即可； （）把写成的形式，然后把分给含有的项，分给含有的项，进行分解因式，根据偶次方的非负性，求出，，从而求出答案即可； （）把已知等式的右边进行平方，组成两个完全平方式，然后根据偶次方的非负性和s的最小值，列出关于的方程，解方程即可； 本题主要考查了配方法的应用，非负数的性质，熟知完全平方公式是解题的关键． 【详解】解：（1）∵ ， ∴，； （2）， ， ， ∵，， ∴，， 解得：，， ∴； （3）∵， ∴， ， ∵，，的最小值为， ∴，解得：． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$