专题2.1 一元二次方程（6考点+过关检测）-【学霸满分】2024-2025学年九年级数学上册重难点专题提优训练（湘教版）

专题2.1 一元二次方程 目录 【典型例题】 1 【考点一 利用一元二次方程的定义判断是否是一元二次方程】 1 【考点二 利用一元二次方程的定义求参数】 3 【考点三 一元二次方程的一般形式】 4 【考点四 一元二次方程的解求参数的值】 6 【考点五 一元二次方程的解求代数式的值】 8 【考点六 一元二次方程的解的估算】 10 【过关检测】 12 【典型例题】 【考点一 利用一元二次方程的定义判断是否是一元二次方程】 例1．（23-24八年级下·重庆江北·期末）下列方程，属于一元二次方程的是（    ） A． B． C． D． 【变式训练】 1．（23-24八年级下·云南·期末）下列方程是关于x的一元二次方程的是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24九年级上·河南周口·开学考试）下列方程中，是一元二次方程共有（ ） ① ② ③ ④ ⑤． A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 3．（2024九年级上·江苏·专题练习）在下列方程中，一元二次方程的个数是（　　） ①； ②； ③； ④． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【考点二 利用一元二次方程的定义求参数】 例2.（23-24八年级下·江苏泰州·阶段练习）方程是关于的一元二次方程，则 ． 【变式训练】 1．（23-24九年级上·河南三门峡·期中）关于x的方程是一元二次方程，则m的值是 ． 2．（23-24九年级上·广东东莞·期末）已知是一元二次方程，则 ． 3．（23-24九年级上·江苏泰州·阶段练习）已知方程关于x的一元二次方程，则a的值为 ． 【考点三 一元二次方程的一般形式】 例3. （24-25九年级上·全国·课堂例题）填空： （1）一元二次方程的一般式是 ． （2）把一元二次方程化成一般式是 ． （3）把一元二次方程化成一般式是 ． （4）一元二次方程的二次项的系数是 ，一次项的系数是 ， 常数项是 ． （5）一元二次方程的二次项的系数是 ，一次项的系数是 ，常数项是 ． （6）当 时，关于的方程是一元二次方程． 【变式训练】 1．（23-24九年级上·河南开封·期中）一元二次方程的一次项为 ． 2．（23-24九年级上·辽宁阜新·期中）一元二次方程的二次项系数为 ，一次项系数为 ，常数项为 ． 3．（23-24九年级上·广东广州·阶段练习）方程的二次项系数是 ，一次项系数是 ，常数项是 【考点四 一元二次方程的解求参数的值】 例4. （23-24九年级上·福建漳州·期末）若是方程的一个根，则的值是 ． 【变式训练】 1．（2024·江苏淮安·模拟预测）关于x的方程的一个根为3，则 ． 2．（23-24九年级上·广西桂林·阶段练习）已知是一元二次方程的一个解，则的值为 ． 3．（2024九年级上·广西·专题练习）若关于 的一元二次方程 有一个实数根为 ，则 的值为 【考点五 一元二次方程的解求代数式的值】 例5. （2024·江苏徐州·模拟预测）关于的一元二次方程的一个根是，则代数式的值为 ． 【变式训练】 1．（23-24九年级上·北京·开学考试）若是方程的一个根，则的值为 ． 2．（23-24九年级上·全国·单元测试）已知是方程的一个根，则式子的值为 ． 3．（23-24八年级下·浙江嘉兴·阶段练习）已知实数是关于的一元二次方程的一个解，则的值是 ． 【考点六 一元二次方程的解的估算】 例6. （23-24九年级上·山西晋中·期中）根据下列表格中的对应值： x 0 0.5 1 1.5 2 5.25 13 可判断方程必有一个根满足（    ） A． B． C． D． 【变式训练】 1．（23-24九年级上·福建泉州·期中）已知代数式与的部分对应值如下表．根据表格中的数据，估算一元二次方程的一个解的取值范围是（    ） 1 2 3 4 2 A． B． C． D． 2．（23-24九年级上·河南周口·阶段练习）根据下表中的对应值，判断下列数中与方程的一个解最接近的是（） － － － A．0 B．1 C．1.5 D．2 3．（23-24九年级上·山西太原·阶段练习）观察下面的表格，一元二次方程的一个近似解是（    ）． x A． B． C． D． 【过关检测】 一、单选题 1．（23-24八年级下·广西南宁·期中）在一元二次方程中，一次项系数是（    ） A．1 B．0 C． D． 2．（23-24八年级下·山东烟台·期中）下列方程中，关于x的一元二次方程是（    ） A． B． C． D． 3．（23-24八年级下·浙江杭州·期中）关于的一元二次方程有一个根为0，则的值是（    ） A．1 B． C．2 D． 4．（23-24八年级下·山东烟台·期中）若将关于x的一元二次方程化成一般形式后，其二次项系数为1，常数项为，则该方程中的一次项系数为（    ） A．5 B．3 C． D． 5．（23-24八年级下·河南郑州·期末）若关于x的一元二次方程有一根为，则一元二次方程必有一根为（    ） A．2024 B．2025 C．2026 D．2027 二、填空题 6．（23-24八年级下·广西崇左·期中）把方程化为一元二次方程的一般形式是 ． 7．（23-24八年级下·安徽池州·期末）若关于的方程是一元二次方程，则 ． 8．（23-24八年级下·安徽六安·期末）若为方程的根，则多项式的值为 ． 9．（23-24九年级上·广东深圳·期中）如果是方程的一个根，根据下面表格中的取值，可以判断 ． 1.2 1.3 1.4 1.5 0.36 0.75 10．（2023·江苏常州·模拟预测）若是方程的解，则的值为 ． 11．（2024八年级下·浙江·专题练习）若一元二次方程的两根也是方程的根，则的值为 ． 三、解答题 12．（23-24八年级下·全国·假期作业）下列哪些数是一元二次方程的根？ ． 13．（23-24九年级上·甘肃定西·期中）已知是关于x的一元二次方程，求m的值． 14．（23-24八年级下·全国·假期作业）将下列方程化成一元二次方程的一般形式，并写出二次项系数、一次项系数和常数项． (1)； (2)； (3)关于的方程． 15．（23-24八年级下·全国·假期作业）已知关于x的方程． (1)当m为何值时，此方程为一元一次方程？ (2)当m为何值时，此方程为一元二次方程？ 16．（23-24九年级下·北京·开学考试）已知是一元二次方程的一个根，求代数式的值． 17．（23-24八年级下·全国·假期作业）已知关于的一元二次方程． (1)若，求证：必是该方程的一个根； (2)当之间的关系是___________时，方程必有一个根是？ 18．（23-24八年级下·黑龙江哈尔滨·期中）如图所示，四边形是证明勾股定理时用到的一个图形，a、b、c是和的边长，易知，这时我们把关于x的形如的一元二次方程称为“勾系一元二次方程”．请解决下列问题：      (1)试判断方程是否为“勾系一元二次方程”． (2)若是“勾系一元二次方程”的一个根，且四边形的周长是12，求的面积． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题2.1 一元二次方程 目录 【典型例题】 1 【考点一 利用一元二次方程的定义判断是否是一元二次方程】 1 【考点二 利用一元二次方程的定义求参数】 3 【考点三 一元二次方程的一般形式】 4 【考点四 一元二次方程的解求参数的值】 6 【考点五 一元二次方程的解求代数式的值】 8 【考点六 一元二次方程的解的估算】 10 【过关检测】 12 【典型例题】 【考点一 利用一元二次方程的定义判断是否是一元二次方程】 例1．（23-24八年级下·重庆江北·期末）下列方程，属于一元二次方程的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了一元二次方程的定义：只含有一个未知数x，未知数的最高次数是2，且系数不为0，这样的方程叫一元二次方程．据此进行逐项分析，即可作答． 【详解】解：A、含有两个未知数，不是关于x的一元二次方程，故该选项是错误的； B、，满足一元二次方程的定义，故该选项是正确的； C、不是整式方程，则不是关于x的一元二次方程，故该选项是错误的； D、，含有一个未知数x，未知数的最高次数是1，故该选项是错误的； 故选：B． 【变式训练】 1．（23-24八年级下·云南·期末）下列方程是关于x的一元二次方程的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了一元二次方程的定义，只含有一个未知数，且未知数的最高次为2的整式方程叫做一元二次方程，据此求解即可． 【详解】解：A、当时，方程不是一元二次方程，不符合题意； B、，不是整式方程，不是一元二次方程，不符合题意； C、，含有两个未知数，不是一元二次方程，不符合题意； D、，即是一元二次方程，符合题意； 故选：D． 2．（23-24九年级上·河南周口·开学考试）下列方程中，是一元二次方程共有（ ） ① ② ③ ④ ⑤． A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】B 【分析】此题考查了一元二次方程的定义，判断一个方程是否是一元二次方程，首先要看是否是整式方程，然后看化简后是否是只含有一个未知数且未知数的最高次数是2．利用一元二次方程的定义判断即可． 【详解】解：①，是；②，不是；③，不是；④，是；⑤，是，则一元二次方程共有3个． 故选：B 3．（2024九年级上·江苏·专题练习）在下列方程中，一元二次方程的个数是（　　） ①； ②； ③； ④． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题主要考查了一元二次方程的定义．一元二次方程必须满足四个条件：（1）未知数的最高次数是2；（2）二次项系数不为0；（3）是整式方程；（4）含有一个未知数．由这四个条件对四个选项进行验证，满足这四个条件者为正确答案． 【详解】解：①，是一元二次方程，故本小题正确； ②时是一元二次方程，故本小题错误； ③，整理后得，即是一元二次方程，故本小题符合题意； ④，是一元二次方程，故本小题符合题意． 故选：C． 【考点二 利用一元二次方程的定义求参数】 例2.（23-24八年级下·江苏泰州·阶段练习）方程是关于的一元二次方程，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的定义．一元二次方程必须满足四个条件：（）未知数的最高次数是；（）二次项系数不为；（）是整式方程；（）含有一个未知数，熟练掌握其性质是解决此题的关键． 【详解】解：∵方程是关于的一元二次方程， ∴，解得， 故答案为：． 【变式训练】 1．（23-24九年级上·河南三门峡·期中）关于x的方程是一元二次方程，则m的值是 ． 【答案】1 【分析】本题主要考查了一元二次方程的定义，一般地，形如（其中a、b、c是常数且）的方程叫做一元二次方程，据此求解即可． 【详解】解：∵关于x的方程是一元二次方程， ∴， ∴， 故答案为：1． 2．（23-24九年级上·广东东莞·期末）已知是一元二次方程，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的定义．根据只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程，可得，求解即可得到答案． 【详解】解：∵是一元二次方程， ∴， 解得． 故答案为：． 3．（23-24九年级上·江苏泰州·阶段练习）已知方程关于x的一元二次方程，则a的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的定义，只含有一个未知数，且含未知数项的最高次数为的整式方程，叫做一元二次方程，根据定义得到且是解题的关键． 【详解】解：∵方程关于x的一元二次方程， ∴且， 解得：， 故答案为：． 【考点三 一元二次方程的一般形式】 例3. （24-25九年级上·全国·课堂例题）填空： （1）一元二次方程的一般式是 ． （2）把一元二次方程化成一般式是 ． （3）把一元二次方程化成一般式是 ． （4）一元二次方程的二次项的系数是 ，一次项的系数是 ， 常数项是 ． （5）一元二次方程的二次项的系数是 ，一次项的系数是 ，常数项是 ． （6）当 时，关于的方程是一元二次方程． 【答案】 4 0 3 【分析】根据一元二次方程的一般形式、二次项系数、一次项系数及常数项的定义求解即可． 本题考查一元二次方程的定义及一般形式，一元二次方程的一般形式是，在一般形式中，a是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项． 【详解】解：（1）一元二次方程的一般式是：； （2）把一元二次方程化成一般式是：； （3）把一元二次方程化成一般式是：． （4）一元二次方程化为一般式为：， 二次项的系数是：4，一次项的系数是：0，常数项是：； （5）一元二次方程化为一般式为 二次项的系数是：3，一次项的系数是：，常数项是：． （6）∵是一元二次方程， ∴， 解得， ∴当时，关于的方程是一元二次方程． 【变式训练】 1．（23-24九年级上·河南开封·期中）一元二次方程的一次项为 ． 【答案】 【分析】本题考查的知识点是一元二次方程的一般形式，一元二次方程经过整理都可化成一般形式．其中叫作二次项，a是二次项系数；叫作一次项，b是一次项系数；c叫作常数项．熟记一元二次方程的一般形式是解题的关键． 【详解】解： 整理得，， ∴一次项为． 故答案为：． 2．（23-24九年级上·辽宁阜新·期中）一元二次方程的二次项系数为 ，一次项系数为 ，常数项为 ． 【答案】 2 【分析】本题考查一元二次方程的一般形式，将方程转化为一般形式后，判断即可．掌握一元二次方程的一般形式，是解题的关键． 【详解】解：方程整理得：， 则二次项系数为2，一次项系数为，常数项为， 故答案为：2，，． 3．（23-24九年级上·广东广州·阶段练习）方程的二次项系数是 ，一次项系数是 ，常数项是 【答案】 1 2 【分析】此题主要考查了一元二次方程的一般形式．一般地，任何一个关于x的一元二次方程经过整理，都能化成如下形式．这种形式叫一元二次方程的一般形式．其中叫做二次项，a叫做二次项系数，bx叫做一次项，c叫做常数项． 先把原方程整理成一元二次方程的一般形式得，所以二次项系数为，一次项系数为2，常数项是 【详解】解：由得到：， ∴其二次项系数是3，一次项系数为2，常数项为． 故答案为：3，，． 【考点四 一元二次方程的解求参数的值】 例4. （23-24九年级上·福建漳州·期末）若是方程的一个根，则的值是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的解．把代入，即可求解． 【详解】解：∵是方程的一个根， ∴， 解得：． 故答案为： 【变式训练】 1．（2024·江苏淮安·模拟预测）关于x的方程的一个根为3，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的解、解一元一次方程，由代入一元二次方程得出关于的一元一次方程，解方程即可得出答案． 【详解】解：∵关于x的方程的一个根是3， ∴， 解得：， 故答案为：． 2．（23-24九年级上·广西桂林·阶段练习）已知是一元二次方程的一个解，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的解，把代入方程计算即可求解，掌握一元二次方程解的定义是解题的关键． 【详解】解：∵是一元二次方程的一个解， ∴， ∴， 故答案为：． 3．（2024九年级上·广西·专题练习）若关于 的一元二次方程 有一个实数根为 ，则 的值为 【答案】 【分析】本题考查一元二次方程的解，把代入方程，进行求解即可． 【详解】解：将代入原方程得， ， 解得． 故答案为：． 【考点五 一元二次方程的解求代数式的值】 例5. （2024·江苏徐州·模拟预测）关于的一元二次方程的一个根是，则代数式的值为 ． 【答案】 【分析】此题考查了一元二次方程的解和代数式求值，根据一元二次方程解的定义得到，再整体代入即可． 【详解】解：∵关于的一元二次方程的一个根是， ∴， 则， ∴ 故答案为： 【变式训练】 1．（23-24九年级上·北京·开学考试）若是方程的一个根，则的值为 ． 【答案】8 【分析】本题考查了一元二次方程的解，求整式的值；将代入方程，将整式化为，整体代入计算，即可求解；理解一元二次方程的解，会用整体代换法求整式的值是解题的关键. 【详解】解：是方程的一个根， ， ， 原式 ， 故答案：8． 2．（23-24九年级上·全国·单元测试）已知是方程的一个根，则式子的值为 ． 【答案】3 【分析】此题考查了一元二次方程的解和代数式的值，熟练掌握一元二次方程解的定义是解题的关键．由方程根的定义得到，整体代入即可得到答案． 【详解】解：∵m是方程的一个根， ∴， ∴， ∴ ． 故答案为： 3．（23-24八年级下·浙江嘉兴·阶段练习）已知实数是关于的一元二次方程的一个解，则的值是 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的解是指能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．先把代入方程得到，变形可得，，然后把它们整体代入中，通分、化简、约分即可． 【详解】实数是关于的一元二次方程的一个解， ， ， ， 故答案为： 【考点六 一元二次方程的解的估算】 例6. （23-24九年级上·山西晋中·期中）根据下列表格中的对应值： x 0 0.5 1 1.5 2 5.25 13 可判断方程必有一个根满足（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了估算一元二次方程的近似解，根据表格中x与值的特征，确定出解x的范围即可，弄清表格中的数据是解本题的关键． 【详解】根据表格得： 当时，， 当时，， 则关于x的一元二次方程的一个解x的范围是． 故选：C． 【变式训练】 1．（23-24九年级上·福建泉州·期中）已知代数式与的部分对应值如下表．根据表格中的数据，估算一元二次方程的一个解的取值范围是（    ） 1 2 3 4 2 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了估算一元二次方程的近似解，根据表格中与的值的特征，确定出解的范围即可． 【详解】解：根据表格得： 当时，， 当时，， 则关于的一元二次方程的一个解的范围是． 故选：C． 2．（23-24九年级上·河南周口·阶段练习）根据下表中的对应值，判断下列数中与方程的一个解最接近的是（） － － － A．0 B．1 C．1.5 D．2 【答案】C 【分析】根据表格中与的值的特征，确定出解的范围即可． 【详解】解：∵， ∴， 根据表格得： 当时，， 当时，， ∵， ∴方程的一个解最接近． 故选：C． 【点睛】此题考查了估算一元二次方程的近似解，弄清表格中的数据是解本题的关键． 3．（23-24九年级上·山西太原·阶段练习）观察下面的表格，一元二次方程的一个近似解是（    ）． x A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据表格，找出使的值最接近的x的值即可． 【详解】解：由表可知，当时，， ∵原方程为， ∴是原方程的一个近似解， 故选：D． 【点睛】本题主要考查了一元二次方程是解，解题的关键是掌握使一元二次方程两边相等的未知数的值是一元二次方程的解． 【过关检测】 一、单选题 1．（23-24八年级下·广西南宁·期中）在一元二次方程中，一次项系数是（    ） A．1 B．0 C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了一元二次方程的一般形式．根据一元二次方程的一般形式，，是常数且中，叫二次项，叫一次项，是常数项．其中，，分别叫二次项系数，一次项系数，常数项． 【详解】解：方程的一次项为， 一次项系数为． 故选：C． 2．（23-24八年级下·山东烟台·期中）下列方程中，关于x的一元二次方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查一元二次方程的定义，根据只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程求解即可． 【详解】A．，未知数的最高次数是1 ，不符合一元二次方程定义，不是一元二次方程； B．符合一元二次方程定义，是一元二次方程； C．，不是整式方程，不符合一元二次方程定义，不是一元二次方程； D．化简为，不含二次项，不符合一元二次方程定义，不是一元二次方程； 故选：B． 3．（23-24八年级下·浙江杭州·期中）关于的一元二次方程有一个根为0，则的值是（    ） A．1 B． C．2 D． 【答案】C 【分析】本题主要考查一元二次方程的解及一元二次方程的定义，一元二次方程的解是使方程左右两边相等的未知数的值，将代入原方程计算即可得到答案． 【详解】解：∵0是方程的根， ∴， ∴， 故选：C． 4．（23-24八年级下·山东烟台·期中）若将关于x的一元二次方程化成一般形式后，其二次项系数为1，常数项为，则该方程中的一次项系数为（    ） A．5 B．3 C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了一元二次方程的一般式，一元二次方程的一般式为，把原方程先去括号，然后移项，合并同类项，化为一般式，进而求出a的值，即可求出答案． 【详解】解：， ， ， 将关于x的一元二次方程化成一般形式后，其二次项系数为1， ， 解得：， ， 则该方程中的一次项系数为5， 故选A． 5．（23-24八年级下·河南郑州·期末）若关于x的一元二次方程有一根为，则一元二次方程必有一根为（    ） A．2024 B．2025 C．2026 D．2027 【答案】B 【分析】本题考查了一元二次方程根的定义，理解一元二次方程根的定义是解题的关键．根据一元二次方程根的定义，可得一元二次方程中，满足该方程，进而即可求解． 【详解】解：设，则一元二次方程可化为， ， 关于x的一元二次方程有一根为， 一元二次方程有一个根为， 则，即， 一元二次方程必有一根为2025． 故选：B． 二、填空题 6．（23-24八年级下·广西崇左·期中）把方程化为一元二次方程的一般形式是 ． 【答案】 【分析】此题主要考查了一元二次方程的一般形式，去括号的过程中要注意符号的变化，不要漏乘，移项时要注意符号的变化． 首先根据完全平方公式进行计算，把方程变形为一元二次方程的一般形式是：是常数且特别要注意的条件．这是在做题过程中容易忽视的知识点． 【详解】解：方程 去括号得：， 即， 移项合并同类项得：， 即可化成， 故答案为：． 7．（23-24八年级下·安徽池州·期末）若关于的方程是一元二次方程，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程，熟记定义是解题关键． 根据一元二次方程的定义（只含有一个未知数，并且未知数的最高次数2的整式方程，叫做一元二次方程）即可得． 【详解】解：∵关于的方程是一元二次方程， ∴， 解得， 故答案为：． 8．（23-24八年级下·安徽六安·期末）若为方程的根，则多项式的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的解，根据题意得出，整体代入即可求解． 【详解】解：∵为方程的根， ∴即， ∴， 故答案为：． 9．（23-24九年级上·广东深圳·期中）如果是方程的一个根，根据下面表格中的取值，可以判断 ． 1.2 1.3 1.4 1.5 0.36 0.75 【答案】 1.3 1.4 【分析】观察表格可知，随的值逐渐增大，的值在之间由负到正，故可判断时，对应的的值在之间． 【详解】解：根据表格可知，时，对应的的值在之间， 即：． 故答案为：1.3，1.4． 【点睛】本题考查了估算一元二次方程的近似解：用列举法估算一元二次方程的近似解，具体方法是：给出一些未知数的值，计算方程两边结果，当两边结果愈接近时，说明未知数的值愈接近方程的根． 10．（2023·江苏常州·模拟预测）若是方程的解，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的解及求代数式的值，先把代入得，然后利用整体代入求值即可，正确理解一元二次方程的解，熟练掌握运算法则及整体代入是解题的关键． 【详解】解：∵是方程的解， ∴， 即， ∴原式， 故答案为：． 11．（2024八年级下·浙江·专题练习）若一元二次方程的两根也是方程的根，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的解．设是方程的一个根．根据方程解的意义知，既满足方程，也满足方程，将代入这两个方程，并整理，得．从而可知：方程的两根也是方程的根，这两个方程实质上应该是同一个一元二次方程，然后根据同一个一元二次方程的定义找出相对应的系数间的关系即可． 【详解】解：设是方程的一个根，则，所以． 由题意，也是方程的根，所以， 把代入此式，得，整理得． 从而可知：方程的两根也是方程的根， 这两个方程实质上应该是同一个一元二次方程， 从而有（其中为常数）， 所以，． 因此，， 故答案为：． 三、解答题 12．（23-24八年级下·全国·假期作业）下列哪些数是一元二次方程的根？ ． 【答案】1和3 【分析】本题考查的是一元二次方程的解的含义，逐一把数据代入方程进行检验即可． 【详解】解：当时，左边12． 左边右边， 不是一元二次方程的根． 当时，左边， ∵左边右边， 不是一元二次方程的根． 当时，左边． 左边=右边， 是一元二次方程的根． 当时，左边． 左边右边， 不是一元二次方程的根． 当时，左边． 左边=右边， 是一元二次方程的根． 综上可知，1和3是一元一次方程的根． 13．（23-24九年级上·甘肃定西·期中）已知是关于x的一元二次方程，求m的值． 【答案】 【分析】本题主要查了一元二次方程的定义．根据“含有一个未知数，且未知数的最高次数为2的整式方程式是一元二次方程”，即可求解． 【详解】解：∵是关于x的一元二次方程， ∴且， 解得：． 14．（23-24八年级下·全国·假期作业）将下列方程化成一元二次方程的一般形式，并写出二次项系数、一次项系数和常数项． (1)； (2)； (3)关于的方程． 【答案】(1)，二次项系数为3，一次项系数为，常数项为 (2)，二次项系数为3，一次项系数为，常数项为0 (3)，二次项系数为，一次项系数为，常数项为 【分析】本题考查的是一元二次方程的一般形式，掌握一般形式是解本题的关键； （1）先移项，把方程的右边化为0，从而可得答案； （2）先去括号，再移项，把方程的右边化为0，从而可得答案； （3）先移项，把方程的右边化为0，从而可得答案； 【详解】（1）解： 移项，得． 二次项系数为3，一次项系数为，常数项为． （2）， 去括号，得； 移项、合并同类项，得， 整理，得． 二次项系数为3，一次项系数为，常数项为0． （3） 移项、合并同类项，得． 二次项系数为，一次项系数为，常数项为． 15．（23-24八年级下·全国·假期作业）已知关于x的方程． (1)当m为何值时，此方程为一元一次方程？ (2)当m为何值时，此方程为一元二次方程？ 【答案】(1) (2) 【详解】解：（1）由题意，得解得． （2）由题意，得，∴． 16．（23-24九年级下·北京·开学考试）已知是一元二次方程的一个根，求代数式的值． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的解，求代数式的值，先根据是一元二次方程的一个根得出，再将式子化简为，整体代入进行计算即可得出答案． 【详解】解：是一元二次方程的一个根， ， ， ． 17．（23-24八年级下·全国·假期作业）已知关于的一元二次方程． (1)若，求证：必是该方程的一个根； (2)当之间的关系是___________时，方程必有一个根是？ 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查的是一元二次方程的解的含义，理解解的含义是解本题的关键； （1）由，可得，从而可得答案； （2）由时，可得，从而可得答案． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴当时，， ∴当时，方程成立， ∴是方程的一个解， （2）∵时，有， ∴当时，方程必有一个根是． 18．（23-24八年级下·黑龙江哈尔滨·期中）如图所示，四边形是证明勾股定理时用到的一个图形，a、b、c是和的边长，易知，这时我们把关于x的形如的一元二次方程称为“勾系一元二次方程”．请解决下列问题：      (1)试判断方程是否为“勾系一元二次方程”． (2)若是“勾系一元二次方程”的一个根，且四边形的周长是12，求的面积． 【答案】(1)是勾系一元二次方程； (2)2． 【分析】（1）根据定义，把方程变形为，得到，满足，判断即可． （2）根据方程根的定义，新定义，完全平方公式，变形计算即可． 本题考查了勾股定理及其逆定理，方程根，完全平方公式，熟练掌握定义，定理，公式是解题的关键． 【详解】（1）根据定义，方程变形为， 得到， 且， 故方程是否为“勾系一元二次方程”． （2）∵是“勾系一元二次方程”的一个根， ∴， ∴， ∵四边形的周长是12， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴ ∴ 故的面积为2． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$