2.1 一元二次方程（原卷版+解析版）2024-2025学年湘教版 九年级上册数学课堂培优卷

湘教版九年级上册数学同步练习卷 2.1 一元二次方程 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．关于的方程是一元二次方程，则值为（    ） A．或 B． C． D．且 2．下列方程中，是一元二次方程的有(　　) ①x2＝0；②ax2＋bx＋c＝0；③3x2＝x；④2x(x＋4)－2x2＝0；⑤(x2－1)2＝9；⑥－1＝0. A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 3．将方程化成一元二次方程的一般形式后，二次项的系数和一次项系数分别是（    ） A．， B．， C．， D．， 4．把方程x（x+2）=5x化成一般式，则a、b、c的值分别是（   ） A．1，3，5 B．1，–3，0 C．–1，0，5 D．1，3，0 5．将关于x的一元二次方程变形为，就可以将表示为关于x的一次多项式，也可以将表示为…，从而达到“降次”的目的，我们将这种方法称为“降次法”，通过这种方法可以化简次数较高的代数式．若，则的值为（    ） A．2025 B．2024 C．2023 D．2022 6．已知m是一元二次方程的根，则代数式的值是（　　） A．11 B．12 C．13 D．14 7．下列方程是一元二次方程的是（ ） A． B． C． D． 8．关于的一元二次方程有一个根是，则 A．1 B．-1 C．±1 D．0 9．方程是关于x的一元二次方程的是（  ） A． B． C． D． 10．下列一元二次方程的个数是（    ） ①；②；③；④；⑤． A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 11．关于x的一元二次方程的一个根为0，则实数a的值为 A． B．0 C．1 D．或1 12．已知，下列结论正确的个数为（　　） ①若是完全平方式，则； ②的最小值是2； ③若n是的一个根，则； ④若，则． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 二、填空题 13．方程是关于的一元二次方程，则 ． 14．已知m是方程－2ｘ－3＝0的一个根，则代数式的值等于 ． 15．若关于x的一元二次方程的一个根是3，则的值是_________． 16．已知是一元二次方程的一个根，则的值为 ． 17．若关于x的一元二次方程（）的一个解是，则的值是 ． 三、解答题 18．先化简，再求值：，其中是方程的根． 19．为美化市容，某广场要在人行雨道上用10×20的灰、白两色的广场砖铺设图案，设计人员画出的一些备选图案如图所示． [观察思考]图1灰砖有1块，白砖有8块；图2灰砖有4块，白砖有12块；以此类推． (1)[规律总结]图4灰砖有______块，白砖有______块；图n灰砖有______块时，白砖有______块； (2)[问题解决]是否存在白砖数恰好比灰砖数少1的情形，请通过计算说明你的理由． 20．求证：关于的方程，无论k取任何值，都有两个不相等的实数根． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 湘教版九年级上册数学同步练习卷 2.1 一元二次方程 一、单选题 1．关于的方程是一元二次方程，则值为（    ） A．或 B． C． D．且 【答案】C 【详解】解析：由题意得， 解得， 2．下列方程中，是一元二次方程的有(　　) ①x2＝0；②ax2＋bx＋c＝0；③3x2＝x；④2x(x＋4)－2x2＝0；⑤(x2－1)2＝9；⑥－1＝0. A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】A 【详解】分析： 根据“一元二次方程的定义”进行分析判断即可. 详解： 方程①是一元二次方程； 方程②不是一元二次方程，因为题中没有说明； 方程③是一元二次方程； 方程④化简后为：，故原方程不是一元二次方程； 方程⑤可化为，故原方程不是一元二次方程；， 方程⑥不是一元二次方程； 综上所述，6个方程中只有方程①③是一元二次方程，共2个. 故选A. 点睛：熟记一元二次方程的定义：“只含有一个未知数，且含未知数的项的次数最高为2的整式方程叫做一元二次方程，其一般形式为”是解答本题的关键. 3．将方程化成一元二次方程的一般形式后，二次项的系数和一次项系数分别是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【详解】解：， 即， ∴二次项的系数和一次项系数分别是，， 的一般形式是：（，，是常数且）特别要注意的条件．这是在做题过程中容易忽视的知识点．在一般形式中叫二次项，叫一次项，是常数项．其中，，分别叫二次项系数，一次项系数，常数项． 4．把方程x（x+2）=5x化成一般式，则a、b、c的值分别是（   ） A．1，3，5 B．1，–3，0 C．–1，0，5 D．1，3，0 【答案】B 【详解】试题解析：∵x（x+2）=5x， ∴x2+2x-5x=0， ∴x2-3x=0； ∴a=1，b=-3，c=0． 5．将关于x的一元二次方程变形为，就可以将表示为关于x的一次多项式，也可以将表示为…，从而达到“降次”的目的，我们将这种方法称为“降次法”，通过这种方法可以化简次数较高的代数式．若，则的值为（    ） A．2025 B．2024 C．2023 D．2022 【答案】B 【详解】∵， ∴，， ∴ 6．已知m是一元二次方程的根，则代数式的值是（　　） A．11 B．12 C．13 D．14 【答案】C 【详解】解：∵m是一元二次方程的根， ∴， ∴， ∴． 7．下列方程是一元二次方程的是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：A，方程含有两个未知数，不是一元二次方程；B，分母上有未知数，不是一元二次方程；C，符合一元二次方程的定义，是一元二次方程；D，经整理后得，是一元一次方程； 8．关于的一元二次方程有一个根是，则 A．1 B．-1 C．±1 D．0 【答案】B 【详解】试题解析：把x=0代入原方程得到1-a2=0， 解得：a=±1， ∵a-1≠0， ∴a≠1， 9．方程是关于x的一元二次方程的是（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】A．x2+=1是分式方程，故此选项错误； B．ax2+bx+c=0（a≠0），故此选项错误； C．（x+1）（x+2）=1是一元二次方程，故此选项正确； D．3x2﹣2xy﹣5y=0是二元二次方程，故此选项错误． 10．下列一元二次方程的个数是（    ） ①；②；③；④；⑤． A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】B 【详解】解：①，是一元二次方程； ②，含有2个未知数，不是一元二次方程； ③，不是整式方程，故不是一元二次议程； ④，是一元二次方程； ⑤，是一元二次方程． 所以一元二次方程的个数为3个． 11．关于x的一元二次方程的一个根为0，则实数a的值为 A． B．0 C．1 D．或1 【答案】A 【详解】解：把x=0代入方程得： |a|-1=0， ∴a=±1， ∵a-1≠0， ∴a=-1． 12．已知，下列结论正确的个数为（　　） ①若是完全平方式，则； ②的最小值是2； ③若n是的一个根，则； ④若，则． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【详解】解：①∵是完全平方式， ∴， ∴，故结论正确； ②∵，而， ∴， ∴的最小值是2，故结论正确； ③∵ 把代入，得： ， 即， 此时， ∴，即， ∴， ∴故结论错误； ④∵， ∴， ∴，故结论错误； 二、填空题 13．方程是关于的一元二次方程，则 ． 【答案】 【详解】解：由题意，得 |m|=2，且m-2≠0，解得m=-2， 14．已知m是方程－2ｘ－3＝0的一个根，则代数式的值等于 ． 【答案】-11 【详解】试题分析：因为ｍ是方程－2ｘ－3＝０的一个根，所以把m代入方程可得：，所以，所以． 15．若关于x的一元二次方程的一个根是3，则的值是_________． 【答案】 【详解】解：依题意，把代入， 得， 那么， 即， 16．已知是一元二次方程的一个根，则的值为 ． 【答案】2021 【详解】解：是一元二次方程的一个根， ， ， ， 17．若关于x的一元二次方程（）的一个解是，则的值是 ． 【答案】2010． 【详解】试题分析：∵关于x的一元二次方程（）的一个解是，∴，则，∴=．故答案为2010． 三、解答题 18．先化简，再求值：，其中是方程的根． 【答案】， 【详解】解： ， 是方程的根， ， ， 原式 ． 19．为美化市容，某广场要在人行雨道上用10×20的灰、白两色的广场砖铺设图案，设计人员画出的一些备选图案如图所示． [观察思考]图1灰砖有1块，白砖有8块；图2灰砖有4块，白砖有12块；以此类推． (1)[规律总结]图4灰砖有______块，白砖有______块；图n灰砖有______块时，白砖有______块； (2)[问题解决]是否存在白砖数恰好比灰砖数少1的情形，请通过计算说明你的理由． 【答案】(1)16，20；，4n＋4 (2)存在，见解析 【详解】（1）图3的灰砖数量应为1+2+3+2+1=9 图3的白砖数量为12+4=16 图4的灰砖数量应为1+2+3+4+3+2+1=16 图4的白砖应比图3上下各多一行 得图4白砖的数量为：16+4=20 图1灰砖的数量为1 图2灰砖的数量为4 图3灰砖的数量为9 图4灰砖的数量为16 得图灰砖的数量为 图1白砖的数量为8= 图2白砖的数量为12= 图3白砖的数量为16= 图4白砖的数量为20= 得图白砖的数量为 故答案为：16，20；，4n＋4． （2）假设存在，设图n白砖数恰好比灰砖数少1 ∴白砖数量为，灰砖数量为 ∴= ∴ ∴ ∴，或（舍去） 故当时，白砖的数量为24，灰砖的数量为25，白砖比灰砖少1 20．求证：关于的方程，无论k取任何值，都有两个不相等的实数根． 【答案】见解析 【详解】证明：关于的方程， △， ， ， △恒成立， 无论取任何值，都有两个不相等的实数根． 学科网（北京）股份有限公司 $$