专题1.4 解题技巧专题：反比例函数与三角形、四边形的综合问题（5大考点）-【学霸满分】2024-2025学年九年级数学上册重难点专题提优训练（湘教版）

专题1.4 解题技巧专题：反比例函数与三角形、四边形的综合问题之五大考点 目录 【典型例题】 1 【考点一 反比例函数与三角形的综合问题】 1 【考点二 反比例函数与平行四边形的综合问题】 10 【考点三 反比例函数与矩形的综合问题】 22 【考点四 反比例函数与菱形的综合问题】 34 【考点五 反比例函数与正方形的综合问题】 44 【典型例题】 【考点一 反比例函数与三角形的综合问题】 例题：（23-24九年级上·广西南宁·阶段练习）定义：有一边是另一边的倍的三角形叫做智慧三角形，这两边中较长边称为智慧边，这两边的夹角叫做智慧角 (1)如图①，在中，，，求证：是智慧三角形； (2)如图②，已知是智慧三角形，BC为智慧边，∠B为智慧角，且，，点B、C在函数的图象上，点C在点B的上方，且点B的纵坐标为1，求k的值． 【变式训练】 1．（2023·陕西西安·三模）如图，点在双曲线上，点C在双曲线上，点A在x轴的正半轴上，且是以为斜边的等腰直角三角形．    (1)填空：______； (2)求点A的坐标； (3)若点D是x轴上一点，且以点D、O、C为顶点的三角形是等腰三角形，请直接写出点D的坐标． 2．（2023·山东济南·模拟预测）如图，为等边三角形，点A为．若双曲线（，k为常数）经过的中点D，交于E． (1)求k的值； (2)若第一象限的双曲线（）与没有交点，求m的取值范围； (3)将向左平移几个单位，使点B恰好落在（1）中的双曲线上，求n的值． 3．（23-24九年级上·四川成都·期末）如图，在平面直角坐标系中，点，为的顶点，，点C在x轴上．将沿x轴水平向右平移a个单位得到，A，B两点的对应点，恰好落在反比例函数的图象上．    (1)求a和k的值； (2)作直线l平行于且与，分别交于M，N，若与四边形的面积比为，求直线l的函数表达式； (3)在（2）问的条件下，是否存在x轴上的点P和直线l上的点Q，使得以，四个点为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出符合题意的点P，Q的坐标；若不存在，请说明理由． 【考点二 反比例函数与平行四边形的综合问题】 例题：（2024·江苏常州·二模）如图，四边形是平行四边形，反比例函数的图象经过点A和的中点D，，平行四边形的面积是48． (1)点C的坐标为___________，点A的纵坐标为___________； (2)求反比例函数的表达式． 【变式训练】 1．（2024·四川泸州·一模）如图，已知反比例函数的图象经过两点，平行四边形的顶点在轴的正半轴上，点在平行四边形的对角线上．    (1)求反比例函数的解析式； (2)已知平行四边形的面积是，求点的坐标． 2．（23-24九年级下·四川内江·阶段练习）如图，，，以为边作平行四边形，反比例函数的图象经过点C．    (1)求k的值； (2)将平行四边形向上平移几个单位长度，使点B落在反比例函数的图象上； (3)根据图象写出，x为何值时反比例函数的图象在直线上方． 3．（23-24九年级上·浙江杭州·阶段练习）如图，平行四边形OABC的边OA在x轴的正半轴上，，，CD平分∠OCB，CD交OA于点D，作DE⊥CD交AB于点E，反比例函数的图象经过点C与点E． (1)求k的值及直线CD的解析式； (2)求证：； (3)求点E的坐标． 4．（23-24八年级下·福建泉州·期中）如图，在平面直角坐标系中，的顶点、、的坐标分别为、、，顶点在第一象限，反比例函数的图象经过点． (1)求反比例函数的解析式． (2)连接，若点是反比例函数的图象上的一点，且以点、、为顶点的三角形面积与的面积相等，求点的坐标． 5．（2024·河南鹤壁·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，四边形是平行四边形，反比例函数的图象经过点A和的中点D，，四边形的面积是． (1)求点A，D的坐标及反比例函数的表达式； (2)若点M是四边形内部反比例函数图象上一动点(不含边界)，当直线经过点M时，请直接写出m的取值范围． 6．（2024·河南南阳·一模）如图，四边形是平行四边形，原点O是其对角线的交点，轴，点，，反比例函数的图象经过点B，D． (1)求反比例函数的表达式和直线的表达式； (2)求图中阴影部分的面积之和； (3)已知点，过点P作平行于x轴的直线，交所在直线于点M，过点P作平行于y轴的直线，交反比例函数的图象于点N．若，结合函数的图象，直接写出n的取值范围． 【考点三 反比例函数与矩形的综合问题】 例题：（2024·河南商丘·一模）如图，已知四边形是矩形，O为坐标原点，点A，C分别在x轴、y轴的正半轴上，反比例函数的图象交边于点． (1)求反比例函数的表达式； (2)如图，过点B的直线交反比例函数的图象于点E，交y轴于点F，若，求矩形的面积． 【变式训练】 1．（2024·吉林松原·模拟预测）如图，在矩形中，点A，B在y轴上，轴，对角线相交于点P，，若点B的纵坐标为m，解答下列问题． (1)点A的坐标是______，点C的坐标是______．（用含m的代数式表示） (2)若反比例函数经过P，C两点，求k的值． 2．（2023·河南郑州·三模）如图，平面直角坐标系中，矩形的顶点的坐标为，反比例函数经过矩形的顶点，，对角线． (1)求反比例函数的解析式； (2)作出的垂直平分线，交于点，交于点；尺规作图，保留作图痕迹，不写作法 (3)连接，，判断四边形的形状，并证明． 3．（2023·四川眉山·模拟预测）如图，在矩形中，，，点是边的中点，反比例函数的图象经过点，交边于点，直线的解析式为． (1)求反比例函数的解析式和直线的解析式； (2)在轴上找一点，使的周长最小，求出此时的周长最小值和点的坐标． 4．（23-24九年级上·河北沧州·期末）如图，已知在平面直角坐标系中，矩形的边轴，轴，点A的坐标为，． (1)求直线的解析式； (2)已知双曲线与折线的交点为E，与折线的交点为F． ①连接，当时，求该双曲线的解析式，并求出此时点F的坐标； ②若双曲线与矩形各边和对角线的交点个数为3，请求k的取值范围． 5．（23-24九年级上·四川成都·阶段练习）如图，矩形的顶点A，C分别在y轴和x轴的正半轴上，点B的坐标为，反比例函数的图象与，分别交于点，点，连接，，． (1)若的面积为3， ①当，求k的值和的面积； ②当直线的解析式为，求的面积． (2)我们定义有一个内角为的三角形称为“半直角三角形”，这个角所对的边为“半直角边”．若，当为“半直角三角形”时，求反比例函数的解析式． 【考点四 反比例函数与菱形的综合问题】 例题：（23-24九年级下·河南周口·阶段练习）如图，菱形的边在y轴正半轴上，点B的坐标为．反比例函数的图象经过菱形对角线的交点D，设直线的解析式为．    (1)求反比例函数的解析式； (2)求菱形的边长； (3)请结合图象直接写出不等式的解集． 【变式训练】 1．（2024·河南开封·一模）如图，的顶点坐标分别为，，，反比例函数的图象经过点C． (1)求k的值． (2)点D在反比例函数的图象上，且于点E，，请说明四边形是菱形． (3)是否存在除点D外可与A，B，C三点共同组成菱形的点P？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 2．（2024·江西南昌·一模）如图，在平面直角坐标系中，四边形为菱形，点在轴正半轴上，反比例函数的图象经过顶点． (1)若，，求反比例函数的解析式． (2)若菱形的面积为20，直接写出反比例函数的解析式． 3．（23-24九年级上·河南郑州·阶段练习）如图，一次函数的图象与反比例函数点的图象相交于、两点，点在轴正半轴上，点，连接、、、、，四边形为菱形．    (1)求一次函数与反比例函数的解析式； (2)求的面积； (3)根据图象，直接写出反比例函数值大于一次函数值时的取值范围； (4)设点是直线上一动点，是否存在点，使，若存在，请直接写出满足条件点的坐标，若不存在，请说明理由． 4．（23-24九年级上·辽宁沈阳·期末）如图，反比例函数的图象与正比例函数的图象相交于，B两点． (1)______，______，点B坐标为______； (2)直接写出不等式的解集______； (3)已知轴，以，为边作菱形．求菱形的面积． 【考点五 反比例函数与正方形的综合问题】 例题：（23-24九年级下·辽宁抚顺·阶段练习）如图，四边形为正方形，点A的坐标为，点B的坐标为，反比例函数的图象经过点C，一次函数的图象经过点C和点A． (1)求反比例函数与一次函数的解析式； (2)写出的解集； (3)点P是反比例函数图象上的一点，若的面积恰好等于正方形的面积的，求P点坐标． 【变式训练】 1．（23-24九年级上·山东潍坊·期末）如图，四边形为正方形．点A的坐标为，点B的坐标为，反比例函数的图象经过点C，一次函数的图象经过点A，C． (1)求反比例函数与一次函数的解析式； (2)点P是反比例函数图象上的一点，的面积恰好等于正方形的面积，求点P的坐标； (3)当时，根据图象直接写出x的取值范围． 2．（23-24九年级上·四川成都·期末）正方形的边长为4，交于点E．在点A处建立平面直角坐标系如图所示． (1)如图1，双曲线过点E，求点的坐标和反比例函数的解析式； (2)如图2，将正方形向右平移个单位长度，是经过点E的双曲线与交于点P，当为等腰三角形时，求m的值． 3．（23-24九年级上·山东济宁·期末）正方形的边长为4，交于点．在点处建立平面直角坐标系如图所示． (1)如图1，双曲线过点，完成填空：点的坐标是______．点的坐标是______，双曲线的解析式是______． (2)如图2，将正方形向右平移个单位长度，使过点的双曲线与交于点．当是以为腰的等腰三角形时，求的值． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题1.4 解题技巧专题：反比例函数与三角形、四边形的综合问题之五大考点 目录 【典型例题】 1 【考点一 反比例函数与三角形的综合问题】 1 【考点二 反比例函数与平行四边形的综合问题】 10 【考点三 反比例函数与矩形的综合问题】 22 【考点四 反比例函数与菱形的综合问题】 34 【考点五 反比例函数与正方形的综合问题】 44 【典型例题】 【考点一 反比例函数与三角形的综合问题】 例题：（23-24九年级上·广西南宁·阶段练习）定义：有一边是另一边的倍的三角形叫做智慧三角形，这两边中较长边称为智慧边，这两边的夹角叫做智慧角 (1)如图①，在中，，，求证：是智慧三角形； (2)如图②，已知是智慧三角形，BC为智慧边，∠B为智慧角，且，，点B、C在函数的图象上，点C在点B的上方，且点B的纵坐标为1，求k的值． 【答案】(1)见解析 (2)6 【分析】（1）过作边的垂线，构造两个有特殊角的直角三角形，即能用把各边关系表示出来，即可得是的倍． （2）由题意可知，过作轴于，过作轴于，由题意可知，根据勾股定理得出，再证明，得到，，然后设，则，则，，最后把，代入反比例函数解析式求解即可． 【详解】（1）证明：如图①，过点作于点， ， 在中，， ，， ， ， 中，， ， ， 即， 是智慧三角形． （2）解：过作轴于，过作轴于，如图②， 是智慧三角形，为智慧边，为智慧角， ， ∵，，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 设，则， ，， 点、在函数上的图象上， ， 解得：， ． 【点睛】本题考查了新定义的理解和运用，勾股定理，直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，反比例函数的图象上点折坐标特征，待定系数法求反比例函数解析式．解题关键是理解新定义并运用其性质转化条件，在直角坐标系中把已知直角构造在三垂直模型里是通常办法． 【变式训练】 1．（2023·陕西西安·三模）如图，点在双曲线上，点C在双曲线上，点A在x轴的正半轴上，且是以为斜边的等腰直角三角形．    (1)填空：______； (2)求点A的坐标； (3)若点D是x轴上一点，且以点D、O、C为顶点的三角形是等腰三角形，请直接写出点D的坐标． 【答案】(1)9 (2)点A的坐标是 (3)D点坐标为或或或 【分析】（1）把B点代入双曲线，可求得k的值； （2）过C作轴，过B作轴，可证明，结合B点坐标则可求得C点坐标，从而可求得的长，可求得A点坐标； （3）设，由C点坐标，则可分别表示出和，分、和三种情况，分别得到关于x的方程，可求得D点坐标． 【详解】（1）点在双曲线上， ， 故答案为：9； （2）分别过点B、C作轴于N，轴于M，如图，    则， 三角形是等腰直角三角形， ，， ，， ． ， ， 设，， 在上， ，即． 在和中， ， ， ，， ，即， ， ， ， ， 即点A的坐标是； （3）设，则， 由（2）可知， ，， 为等腰三角形， 有、和三种情况， 当时，则，解得舍去或， 此时D点坐标为； 当时，则，解得或， 此时D点坐标为或； 当时，则，解得， 此时D点坐标为； 综上可知D点坐标为或或或． 【点睛】本题为反比例函数的综合应用，涉及待定系数法、全等三角形的判定和性质、等腰三角形的性质、勾股定理、方程思想及分类讨论思想等知识．在（1）中注意函数图象上点的坐标满足函数解析式，在（2）中构造三角形全等求得C点坐标是解题的关键，在（3）中设出D点坐标，表示出和的长，得到关于D点坐标的方程是解题的关键，注意分三种情况．本题考查知识点较多，综合性较强，难度适中． 2．（2023·山东济南·模拟预测）如图，为等边三角形，点A为．若双曲线（，k为常数）经过的中点D，交于E． (1)求k的值； (2)若第一象限的双曲线（）与没有交点，求m的取值范围； (3)将向左平移几个单位，使点B恰好落在（1）中的双曲线上，求n的值． 【答案】(1) (2)或； (3) 【分析】（1）如图，过点B、点D分别作x轴的垂线，垂足为C、F，利用等边三角形的性质与勾股定理可得，再进一步可得答案； （2）由（1）可得点，当双曲线过点时，，由（1）可得：过时，此时；从而可得答案； （3）由（1）的反比例函数为：，当时， 可得，再进一步可得答案． 【详解】（1）解：如图，过点B、点D分别作x轴的垂线，垂足为C、F， ∵点A为． ∴， ∵为等边三角形， ∴，， ∵点D是的中点， ∴， ∴，， ∴， ∴点， ∵点在反比例函数的图象上， ∴； （2）解：由（1）可得点， 当双曲线过点时，， 由（1）可得：过时， 此时； ∴第一象限的双曲线与没有交点，则m的取值范围为 或； （3）解：∵（1）的反比例函数为：， 当时，即， 解得， ∴向左平移的距离为， 即． 【点睛】本题考查的是等边三角形的性质，反比例函数的应用，含30度角的直角三角形的性质，勾股定理的应用，平移的性质，掌握基础知识是解本题的关键． 3．（23-24九年级上·四川成都·期末）如图，在平面直角坐标系中，点，为的顶点，，点C在x轴上．将沿x轴水平向右平移a个单位得到，A，B两点的对应点，恰好落在反比例函数的图象上．    (1)求a和k的值； (2)作直线l平行于且与，分别交于M，N，若与四边形的面积比为，求直线l的函数表达式； (3)在（2）问的条件下，是否存在x轴上的点P和直线l上的点Q，使得以，四个点为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出符合题意的点P，Q的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)， (2) (3)存在，点P、Q的坐标分别为或、或、 【分析】（1）由题意得，点的坐标分别为：，则，即可求解； （2）证明均为等腰直角三角形，得到点，即可求解； （3）当为对角线时，由中点坐标公式列出等式，即可求解；当或是对角线时，同理可解． 【详解】（1）解：∵将沿x轴水平向右平移a个单位得到，点，， ∴点的坐标为，点的坐标为， ∵点，正好落在第一象限反比例函数的图象上． ∴， 解得：，． （2）由（1）知点的坐标分别为：、， 设的解析式为， 把代入得， ， 解得，， ∴的解析式为，即直线所在的直线为二四象限的角平分线， ∵，则直线和x轴正半轴的夹角为， ∵， 故设直线l的表达式为：， ∵直线，与四边形的面积比为， 则， 过点作y轴的平行线交直线l于点T，连接，    则均为等腰直角三角形， ∵， 则， 设，则, 则， 解得：， 则， 则点， 将点M的坐标代入直线l的表达式得：； （3）解：设点P、Q的坐标分别为：，， 当为对角线时，由中点坐标公式得： ， 解得：， 则点P、Q的坐标分别为：； 当或是对角线时， 同理可得：或， 解得：或， 则点P、Q的坐标分别为：、或、； 所以，点P、Q的坐标分别为或、或、 【点睛】本题考查的是反比例函数综合运用，涉及到三角形相似、平行四边形的性质、等腰直角三角形的性质等，分类求解是解题的关键． 【考点二 反比例函数与平行四边形的综合问题】 例题：（2024·江苏常州·二模）如图，四边形是平行四边形，反比例函数的图象经过点A和的中点D，，平行四边形的面积是48． (1)点C的坐标为___________，点A的纵坐标为___________； (2)求反比例函数的表达式． 【答案】(1)；8 (2) 【分析】本题主要考查了坐标与图形，平行四边形的性质，反比例函数与几何综合： （1）过点A作于E，由平行四边形的性质得到，则，再根据平行四边形面积计算公式求出，则点A的纵坐标为8； （2）设，则，，进而得到，解得，则，即反比例函数解析式为． 【详解】（1）解：如图所示，过点A作于E， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵平行四边形的面积是48， ∴， ∴， ∴点A的纵坐标为8， 故答案为：；8； （2）解：设，则， ∵，D为的中点， ∴， ∵反比例函数的图象经过点A和的中点D， ∴， ∴， ∴， ∴反比例函数解析式为． 【变式训练】 1．（2024·四川泸州·一模）如图，已知反比例函数的图象经过两点，平行四边形的顶点在轴的正半轴上，点在平行四边形的对角线上．    (1)求反比例函数的解析式； (2)已知平行四边形的面积是，求点的坐标． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了待定系数法求反比例函数解析式、反比例函数的图象与性质、平行四边形的性质等知识点，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）利用待定系数法求解即可； （2）求出直线的解析式为，设，且，由平行四边形的性质可得，，求出，得到，结合得出，求出的值即可． 【详解】（1）解：∵反比例函数的图象经过点， ∴， ∴， ∴反比例函数y； （2）解：∵经过点、， ∴可设的解析式为 将D点坐标代入，， 解得：， ∴的解析式为， ∵反比例函数经过点， ∴设，且， ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴点的纵坐标为， ∵的解析式为， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得：， ∴． 2．（23-24九年级下·四川内江·阶段练习）如图，，，以为边作平行四边形，反比例函数的图象经过点C．    (1)求k的值； (2)将平行四边形向上平移几个单位长度，使点B落在反比例函数的图象上； (3)根据图象写出，x为何值时反比例函数的图象在直线上方． 【答案】(1) (2)12 (3) 【分析】（1）由，，以、为边作平行四边形，可求得点的坐标，然后利用待定系数法求得的值； （2）首先求得当时，反比例函数上的点的坐标，继而可求得将平行四边形向上平移几个单位长度，使点落在反比例函数的图象上； （3）根据图象求解即可． 【详解】（1）平行四边形中，，， ， 把代入，得：， 解得：； （2）把代入， 解得：， 向上平移个单位； （3）∵ ∴由图象可得， 当时，反比例函数的图象在直线上方． 【点睛】此题考查了反比例函数的性质以及平行四边形的性质．注意掌握反比例函数上的点的坐标特征． 3．（23-24九年级上·浙江杭州·阶段练习）如图，平行四边形OABC的边OA在x轴的正半轴上，，，CD平分∠OCB，CD交OA于点D，作DE⊥CD交AB于点E，反比例函数的图象经过点C与点E． (1)求k的值及直线CD的解析式； (2)求证：； (3)求点E的坐标． 【答案】(1)，直线的解析式是； (2)证明见解析； (3)的坐标是）． 【分析】（1）由已知可得根据含30°直角三角形性质容易求出点C、点D坐标，再由待定系数法求出函数解析式； （2）求出，即可得出结论； （3）设，可得点，根据其在反比例函数解析式上求出点坐标． 【详解】（1）如图1，过C点作CH垂直x轴， ∵，， ∴， ∴，， ∴点， ∴反比例函数的系数， ∵在平行四边形OABC，， ∴， 又∵CD平分∠OCB， ∴， ∴是等边三角形， ∴，即点D， ∵点C，点D， ∴直线的解析式是 （2）证明：∵是等边三角形， ∴， 又∵DE⊥CD， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． （3）过E点作EQ垂直x轴，设， ∵， ∴，， ∴点 点在反比例函数的图象上， ∴ ∴或（舍去），则点的坐标是） 【点睛】本题考查的是反比例函数综合题，涉及到反比例函数图象上点的坐标特点及用待定系数法求反比例函数的解析式，根据题意作出辅助线，构造出含30°直角三角形求出C、D标是解答此题的关键． 4．（23-24八年级下·福建泉州·期中）如图，在平面直角坐标系中，的顶点、、的坐标分别为、、，顶点在第一象限，反比例函数的图象经过点． (1)求反比例函数的解析式． (2)连接，若点是反比例函数的图象上的一点，且以点、、为顶点的三角形面积与的面积相等，求点的坐标． 【答案】(1) (2)或． 【分析】（1）求出点的坐标，即可求出反比例函数的解析式； （2）先求出的面积，根据与的面积相等，先求出点的横坐标，再代入反比例函数解析式即可求出纵坐标． 【详解】（1）解：，、，四边形是平行四边形， ， ， 把点代入得：， 解得， 反比例函数的解析式为； （2）设点， ，， ，， ， ， ， 或． 【点睛】本题是反比例函数与几何的综合，考查了待定系数法求反比例函数解析式、平行四边形的性质、三角形面积的计算方法、坐标与图形等，综合运用相关知识是解题的关键． 5．（2024·河南鹤壁·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，四边形是平行四边形，反比例函数的图象经过点A和的中点D，，四边形的面积是． (1)求点A，D的坐标及反比例函数的表达式； (2)若点M是四边形内部反比例函数图象上一动点(不含边界)，当直线经过点M时，请直接写出m的取值范围． 【答案】(1)点A，D的坐标分别是，，反比例函数的表达式为； (2)； 【分析】 本题考查求反比例函数的解析式，一次函数与反比例函数交点问题： （1）根据得到点，平行四边形面积得到高，表示出点，从而得到点，得到中点代入解析式即可得到答案； （2）求出点在，两点得到的值即可得到答案； 【详解】（1）解：∵， ∴， 设点，则， ∵点D是的中点， ∴， ∵点D在函数图象上， ∴， 解得：， ∵平行四边形面积，， ∴， ∴， ∴点，，； （2）解：当点A与点M重合时， ， 解得：， 当点D与点M重合时， ， 解得：， ∵点M是四边形内部反比例函数图象上一动点(不含边界)， ∴． 6．（2024·河南南阳·一模）如图，四边形是平行四边形，原点O是其对角线的交点，轴，点，，反比例函数的图象经过点B，D． (1)求反比例函数的表达式和直线的表达式； (2)求图中阴影部分的面积之和； (3)已知点，过点P作平行于x轴的直线，交所在直线于点M，过点P作平行于y轴的直线，交反比例函数的图象于点N．若，结合函数的图象，直接写出n的取值范围． 【答案】(1)， (2)阴影部分=12 (3) 【分析】本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，待定系数法求解析式，利用函数图象性质解决问题是本题的关键． （1）根据坐标与图形的性质求得，再利用待定系数法可求得反比例函数的表达式，再根据平行四边形的性质，求得，再利用待定系数法即可求解； （2）根据题意得阴影部分的面积之和就是平行四边形的面积，根据平行四边形的面积公式求解即可； （3）由题意求得，，得到，，分别解方程和，结合图形即可求解． 【详解】（1）解：∵，，轴， ∴，将代入， 得， ∴反比例函数的表达式为， ∵O是平行四边形对角线的交点， ∴点关于原点对称， ∴， 设直线的表达式为， 则， 解得， ∴直线的表达式为； （2）解：设分别与y轴交于点，由反比例函数的图象和平行四边形的对称性可得，阴影部分的面积之和就是平行四边形的面积， ∴阴影部分的面积之和为； （3）解：∵轴，轴， ∴，， ∴，， 当时，整理得， 解得或（舍去）； 当时，整理得， 解得或（舍去）； ∵， ∴． 【考点三 反比例函数与矩形的综合问题】 例题：（2024·河南商丘·一模）如图，已知四边形是矩形，O为坐标原点，点A，C分别在x轴、y轴的正半轴上，反比例函数的图象交边于点． (1)求反比例函数的表达式； (2)如图，过点B的直线交反比例函数的图象于点E，交y轴于点F，若，求矩形的面积． 【答案】(1)； (2)矩形的面积为． 【分析】本题考查的是反比例函数与几何的综合，利用待定系数法求解反比例函数的解析式，图形面积的计算． （1）利用待定系数法即可求解； （2）用表示出点和点的坐标，再求得的中点，据此求解即可． 【详解】（1）解：∵反比例函数的图象经过点， ∴， ∴反比例函数的表达式为； （2）解：∵四边形是矩形，， ∴点A，B的横坐标都是4， ∵直线过点B， ∴， ∴， 令，， ∴， ∵，即点E是的中点， ∴， ∵反比例函数的图象经过点E， ∴， 解得． ∴， ∴矩形的面积为． 【变式训练】 1．（2024·吉林松原·模拟预测）如图，在矩形中，点A，B在y轴上，轴，对角线相交于点P，，若点B的纵坐标为m，解答下列问题． (1)点A的坐标是______，点C的坐标是______．（用含m的代数式表示） (2)若反比例函数经过P，C两点，求k的值． 【答案】(1)； (2)3 【分析】本题主要考查了矩形的性质，反比例函数与几何综合，坐标与图形： （1）根据矩形的性质得到，再根据点B的纵坐标为m即可求出答案； （2）先由矩形的性质得到点P是对角线的中点，再根据中点坐标公式得到，最后根据反比例函数图象经过P、C两点进行求解即可． 【详解】（1）解：∵四边形是矩形， ∴， ∵点B的纵坐标为m， ∴， ∴， ∴， 故答案为：；； （2）解：∵四边形是矩形， ∴点P是对角线的中点． 由（1）可知，， ∴． ∵反比例函数经过P，C两点， ∴， 解得， ∴． 2．（2023·河南郑州·三模）如图，平面直角坐标系中，矩形的顶点的坐标为，反比例函数经过矩形的顶点，，对角线． (1)求反比例函数的解析式； (2)作出的垂直平分线，交于点，交于点；尺规作图，保留作图痕迹，不写作法 (3)连接，，判断四边形的形状，并证明． 【答案】(1) (2)见解析 (3)四边形是菱形，证明过程见解析 【分析】（1）根据题意得，，根据勾股定理得到，舍去，于是得到反比例函数的解析式为； （2）根据线段垂直平分线的性质即可得到结论； （3）设与的交点为，根据线段垂直平分线的性质得到，，，根据矩形的性质得到，求得，根据全等三角形的性质得到，根据菱形的判定定理即可得到结论． 【详解】（1）设，， ，， 对角线， ， 即， 解得，舍去， 反比例函数的解析式为； （2）如图所示；直线即为所求； （3）四边形是菱形， 证明：设与的交点为， 是的垂直平分线， ，，， 四边形是矩形， ， ， 在与中， ， ， ， ， 四边形是平行四边形， ， 四边形是菱形． 【点睛】本题考查了矩形的性质，基本作图，菱形的判定，全等三角形的判定和性质，勾股定理，反比例函数与几何综合，正确地作出辅助线是解题的关键． 3．（2023·四川眉山·模拟预测）如图，在矩形中，，，点是边的中点，反比例函数的图象经过点，交边于点，直线的解析式为． (1)求反比例函数的解析式和直线的解析式； (2)在轴上找一点，使的周长最小，求出此时的周长最小值和点的坐标． 【答案】(1)反比例函数的解析式为，直线的解析式为； (2)的周长最小值是，点的坐标为． 【分析】 本题考查了一次函数和反比例函数综合，轴对称的性质，解题的关键是熟练掌握用待定系数法求解函数解析式的方法和步骤． （1）易得，把代入求出k的值，即可得出反比例函数的解析式为，进而得出，把和代入求出m和n的值，即可得出直线的解析式为． （2）作点关于轴的对称点，连接交轴于，连接，此时，的周长最小．用待定系数法求出直线的解析式为，即可得出点的坐标为，再求出，，即可求出的周长最小． 【详解】（1）解：点是边的中点，，， ，则， 把代入得， ， 反比例函数的解析式为， 当时，， ， 把和代入得， ， ， 直线的解析式为． （2）解：作点关于轴的对称点，连接交轴于，连接，此时，的周长最小． 点的坐标为， 的坐标为，， 设直线的解析式为， ， 解得：． 直线的解析式为， 令，得， 点的坐标为， ，，， ，， 所以的周长最小值． 综上所述，的周长最小值为，点的坐标为． 4．（23-24九年级上·河北沧州·期末）如图，已知在平面直角坐标系中，矩形的边轴，轴，点A的坐标为，． (1)求直线的解析式； (2)已知双曲线与折线的交点为E，与折线的交点为F． ①连接，当时，求该双曲线的解析式，并求出此时点F的坐标； ②若双曲线与矩形各边和对角线的交点个数为3，请求k的取值范围． 【答案】(1)直线的解析式为； (2)①，；②或． 【分析】此题主要考查了反比例函数综合题，运用待定系数法求函数关系式以及反比例函数的图象与性质是解答此题的关键． （1）根据矩形的性质求出为B、点D的坐标，再利用待定系数法求出的解析式即可； （2）①根据求出的长，进而求出点E的坐标，代入求出k的值，进一步得出结论； ②当双曲线平移经过B、D之间时，或者与相切时有三个交点，分别求出k的取值范围即可． 【详解】（1）解：∵，，， ∴，， 设直线的解析式为：， 把，代入得，， 解得，， ∴直线的解析式为； （2）解：①如图， ∵，且， ∴， ∴， ∵E在上， ∴， ∴， 令，得， ∴； ②当双曲线平移经过之间时，或者与相切时有三个交点， 过B时，， 过D时，， 经过B时有两个交点，经过D时有三个交点， ∴， 当与相切时，， 即：， ， ∴． 综上，或． 5．（23-24九年级上·四川成都·阶段练习）如图，矩形的顶点A，C分别在y轴和x轴的正半轴上，点B的坐标为，反比例函数的图象与，分别交于点，点，连接，，． (1)若的面积为3， ①当，求k的值和的面积； ②当直线的解析式为，求的面积． (2)我们定义有一个内角为的三角形称为“半直角三角形”，这个角所对的边为“半直角边”．若，当为“半直角三角形”时，求反比例函数的解析式． 【答案】(1)①k的值为6，的面积为8；②的面积为 (2)或 【分析】本题主要考查反比例函数的综合题，熟练掌握反比例函数的图象和性质，一次函数的性质，等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质等知识是解题的关键． （1）①根据三角形面积得出的值，求出点坐标，再根据的面积矩形的面积的面积的面积的面积计算三角形面积即可； ②根据三角形面积得出的值，根据点和点的坐标在直线上，列方程组求解的值，再根据①中式子，计算三角形面积即可； （2）分和两种情况讨论，构造全等三角形，然后根据交点坐标及直线解析式求出的值即可． 【详解】（1）解：①点的坐标为，， ，， 设反比例函数的解析式为， 则， 的面积为3， ， 解得， 即反比例函数解析式为， ， 的面积矩形的面积的面积的面积的面积， 的值为6，的面积为8； ②设，的面积为3， ， ， ，直线的解析式为， ， 解得或（不符合题意，舍去）或（舍去是负数的情况）， 的面积矩形的面积的面积的面积的面积， 代入的值得， 的面积为； （2）解：， ，，， ①当时，作，交延长线于点，作，交延长线于， 是等腰直角三角形， ， ，， ， ， ， ，， ， 设直线的解析式为， 则， 解得， 直线的解析式为， ， 解得（舍去负值）， ②当时，作，交延长线于点，过点作轴于点， 同理①可证， ，， ， 设直线的解析式为， ， 解得或， 当时，点和点与点重合，此情况舍去， 综上所述，符合条件的值为或12， 即反比例函数解析式为或． 【考点四 反比例函数与菱形的综合问题】 例题：（23-24九年级下·河南周口·阶段练习）如图，菱形的边在y轴正半轴上，点B的坐标为．反比例函数的图象经过菱形对角线的交点D，设直线的解析式为．    (1)求反比例函数的解析式； (2)求菱形的边长； (3)请结合图象直接写出不等式的解集． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】本题考查了一次函数与反比例函数结合，反比例函数与几何图形结合，根据图像求不等式的解集，待定系数法求解析式，数形结合是解题的关键． （1）根据点B的坐标，以及菱形的性质可求得点D的坐标，进而求得反比例函数的解析式； （2）过点B作轴于点E，在中利用勾股定理解题即可； （3）求出直线解析式，联立直线解析式与抛物线解析式求得交点坐标，进而结合函数图象求得不等式的解集即可． 【详解】（1）解：∵菱形的对角线交于点D， ∴ ∵点B的坐标为， ∴点D的坐标为， 又∵反比例函数经过点D， ∴， ∴； （2）解：过点B作轴于点E， 设，则，，    在中，，即， 解得：， ∴菱形的边长为； （3）∵点B的坐标为，， ∴点C的坐标为， 代入得：，解得：， ∴， 令，则， 解得：， 结合图象，不等式的解集为或． 【变式训练】 1．（2024·河南开封·一模）如图，的顶点坐标分别为，，，反比例函数的图象经过点C． (1)求k的值． (2)点D在反比例函数的图象上，且于点E，，请说明四边形是菱形． (3)是否存在除点D外可与A，B，C三点共同组成菱形的点P？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)见解析 (3)存在，或 【分析】本题主要考查反比例函数的性质和菱形的判定和性质， 将点代入即可； 根据题意得轴，且轴，则有四边形是平行四边形，结合，那么四边形是矩形，由于，和即可判定； 根据点的坐标可求得，且点A和点C纵坐标相等，可设点，分以为对角线和以为对角线，列方程求解即可． 【详解】（1）解：把点代入，得， ∴． （2）∵点A和点C的纵坐标都是， ∴轴． ∵， ∴轴， ∴， ∴四边形是平行四边形． ∵， ∴四边形是矩形， ∴． 又∵， ∴． ∵， ∴四边形是平行四边形． ∵， ∴是菱形． （3）存在，点P的坐标为或． ∵，，， ∴，，， ∵点P与A，B，C三点共同组成菱形，点A和点C纵坐标相等， ∴可设点， 当菱形以为对角线，则，解得， 当菱形以为对角线，则，解得， 则，． 2．（2024·江西南昌·一模）如图，在平面直角坐标系中，四边形为菱形，点在轴正半轴上，反比例函数的图象经过顶点． (1)若，，求反比例函数的解析式． (2)若菱形的面积为20，直接写出反比例函数的解析式． 【答案】(1)； (2)． 【分析】 本题考查了菱形的性质，求反比例函数的解析式． （1）根据菱形的性质求得点的坐标为，再利用待定系数法求解即可； （2）设点的坐标为，利用菱形的性质得到，据此求解即可． 【详解】（1）解：连接交于点， 由题意得，，， ∴， ∴点的坐标为， ∵反比例函数的图象经过顶点， ∴， ∴反比例函数的解析式为； （2）解：连接交于点， 设点的坐标为， ∵四边形是菱形， ∴，， ∵菱形的面积为20， ∴，解得， ∴反比例函数的解析式为． 3．（23-24九年级上·河南郑州·阶段练习）如图，一次函数的图象与反比例函数点的图象相交于、两点，点在轴正半轴上，点，连接、、、、，四边形为菱形．    (1)求一次函数与反比例函数的解析式； (2)求的面积； (3)根据图象，直接写出反比例函数值大于一次函数值时的取值范围； (4)设点是直线上一动点，是否存在点，使，若存在，请直接写出满足条件点的坐标，若不存在，请说明理由． 【答案】(1)一次函数的解析式为；反比例函数的解析式为 (2)的面积为 (3)或 (4)点P的坐标为或 【分析】（1）由菱形的性质可知A、D关于x轴对称，可求得A点坐标，把A点坐标分别代入两函数解析式可求得和值； （2）联立一次函数与反比例函数的解析式即可求解； （3）根据图象求解即可； （4）根据菱形的性质可求得C点坐标，可求得菱形面积，设P点坐标为，根据条件可得到关于a的方程，可求得P点坐标． 【详解】（1）如图，连接，交x轴于点E，    ∵四边形是菱形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 将代入直线可得， 解得， 将代入反比例函数可得， 解得：； ∴一次函数的解析式为；反比例函数的解析式为； （2）设与y轴相交于F， 当时，，即， 解，得 ，， ∴， ∴； （3）由图象可知，反比例函数值大于一次函数值时的取值范围为或； （4）∵， ∴， ∵， ∴， 设P点坐标为， 则， ∴， ∵， 当P在A的左侧时，， ∴， ∴， 当P在A的右侧时，， ∴， ∴， 综上所述，点P的坐标为或． 【点睛】此题考查了反比例函数综合题，涉及的知识有：菱形的性质，待定系数法求函数解析式，反比例函数与一次函数的交点，坐标与图形性质，利用函数图象解不等式，利用了数形结合的思想，熟练掌握反比例函数性质是解本题的关键． 4．（23-24九年级上·辽宁沈阳·期末）如图，反比例函数的图象与正比例函数的图象相交于，B两点． (1)______，______，点B坐标为______； (2)直接写出不等式的解集______； (3)已知轴，以，为边作菱形．求菱形的面积． 【答案】(1)，， (2)或 (3) 【分析】（1）先求出点A坐标，进而利用待定系数法求得k值，再根据两个函数的对称性质求得点B坐标； （2）根据图象，求得正比例函数图象位于反比例函数图象上方部分的点的横坐标取值范围即可； （3）先利用两点坐标距离公式求得，再根据坐标与图形性质，结合菱形性质求解即可． 【详解】（1）解：由题意，将代入中，得， 解得， ∴， 将代入中，得， ∴， ∵反比例函数的图象与正比例函数的图象都关于原点对称， ∴点A、B关于原点对称，则， 故答案为：，，； （2）解：由图象可知，不等式的解集为或， 故答案为：或； （3）解：∵，， ∴, ∵轴， ∴菱形的面积为． 【点睛】本题考查反比例函数与一次函数的交点问题、菱形的性质、坐标与图形、两点坐标距离公式等知识，熟练掌握反比例函数与正比例函数的性质，运用数形结合思想求解是解答的关键． 【考点五 反比例函数与正方形的综合问题】 例题：（23-24九年级下·辽宁抚顺·阶段练习）如图，四边形为正方形，点A的坐标为，点B的坐标为，反比例函数的图象经过点C，一次函数的图象经过点C和点A． (1)求反比例函数与一次函数的解析式； (2)写出的解集； (3)点P是反比例函数图象上的一点，若的面积恰好等于正方形的面积的，求P点坐标． 【答案】(1)反比例函数解析式为；一次函数解析式为， (2)的解集是或 (3)点的坐标为或 【分析】本题考查了正方形的性质，反比例函数与一次函数的交点问题，运用待定系数法求反比例函数以及一次函数的解析式，三角形的面积．运用数形结合思想以及方程思想是解题的关键． （1）先根据正方形的性质求出点C的坐标为，再将C点坐标代入反比例函数中，运用待定系数法求出反比例函数的解析式；同理，将点A，C的坐标代入一次函数中，运用待定系数法求出一次函数函数的解析式； （2）解析式联立，求得M的坐标，然后根据图象即可求得； （3）设P点的坐标为，先由的面积恰好等于正方形的面积，列出关于x的方程，再将x的值代入反比例函数解析式，即可求出P点的坐标． 【详解】（1）解：正方形，，， ， ， 把代入得：， 反比例函数解析式为； 把，代入一次函数得： 解得， 一次函数解析式为， （2）解：联立， 解得：或 ， 由函数图象可得，的解集是：或； （3）解：设P点的坐标为， 解得：， 当时，； 当时，； 点的坐标为或 【变式训练】 1．（23-24九年级上·山东潍坊·期末）如图，四边形为正方形．点A的坐标为，点B的坐标为，反比例函数的图象经过点C，一次函数的图象经过点A，C． (1)求反比例函数与一次函数的解析式； (2)点P是反比例函数图象上的一点，的面积恰好等于正方形的面积，求点P的坐标； (3)当时，根据图象直接写出x的取值范围． 【答案】(1)， (2)或 (3)或 【分析】（1）先根据正方形的性质求出点的坐标为，再将点坐标代入反比例函数中，运用待定系数法求出反比例函数的解析式； 同理，将点的坐标代入中，运用待定系数法求出一次函数函数的解析式； （2）设点的坐标为，先由的面积恰好等于正方形的面积，列出关于的方程，解方程求出的值，再将的值代入即可求出点的坐标； （3）求得反比例函数和一次函数的交点坐标，根据图象即可求得． 【详解】（1）解：∵点的坐标为 点的坐标为， ， ∵四边形为正方形， ， ∴， 把代入中得：， ∴反比例函数解析式为：， 把代入 得： ，解得 ， ∴一次函数解析式为； （2）设， 的面积恰好等于正方形的面积， ， ， 解得或 ， 当时，， 当时，， ∴点坐标为或 ； （3）联立 ，解得： 或 ， 由函数图象可知当或 时，双曲线在直线的上方， ∴当 或 时, ． 【点睛】本题考查了正方形的性质，反比例函数与一次函数的交点问题，运用待定系数法求反比例函数与一次函数的解析式，三角形的面积，运用方程思想是解题的关键． 2．（23-24九年级上·四川成都·期末）正方形的边长为4，交于点E．在点A处建立平面直角坐标系如图所示． (1)如图1，双曲线过点E，求点的坐标和反比例函数的解析式； (2)如图2，将正方形向右平移个单位长度，是经过点E的双曲线与交于点P，当为等腰三角形时，求m的值． 【答案】(1)， (2)2或 【分析】本题是反比例函数的综合题，主要考查反比例函数的性质，正方形的性质等知识，熟练掌握反比例函数的性质和正方形的性质是解题的关键． （1）根据正方形的边长可确定点的坐标，再利用正方形的性质得出点坐标，用待定系数法求出双曲线解析式即可； （2）根据点的坐标求出的长，再分三种情况讨论分别求出的值即可． 【详解】（1）正方形的边长为4，，交于点， ， 点是的中点， ， 将点坐标代入双曲线， 得， 解得， 双曲线的解析式为； （2）正方形边长为4， 由（1）知， ， ①当时， ，，，点、在反比例函数图象上， ， ； ②当时，点与点重合， ，，点、在反比例函数图象上， ， ； ③当时，点、不可能都在反比例函数图象上，故此情况不存在； 综上所述，满足条件的的值为2或． 3．（23-24九年级上·山东济宁·期末）正方形的边长为4，交于点．在点处建立平面直角坐标系如图所示． (1)如图1，双曲线过点，完成填空：点的坐标是______．点的坐标是______，双曲线的解析式是______． (2)如图2，将正方形向右平移个单位长度，使过点的双曲线与交于点．当是以为腰的等腰三角形时，求的值． 【答案】(1) (2)满足条件的的值为2或 【分析】本题是反比例函数的综合题，主要考查反比例函数的性质，正方形的性质等知识，熟练掌握反比例函数的性质和正方形的性质是解题的关键． （1）根据正方形的边长可确定点的坐标，再利用正方形的性质得出点坐标，用待定系数法求出双曲线解析式即可； （2）根据点的坐标求出的长，再分两种情况讨论分别求出的值即可． 【详解】（1）解：∵正方形的边长为交于点， ∵点是的中点， 将点坐标代入双曲线， 得， 解得， ∴双曲线的解析式为； （2）∵正方形边长为4， 由（1）知， ①当时， ∵，点、在反比例函数图象上， ②当时，点与点重合， ∵，点、在反比例函数图象上， 综上所述，满足条件的的值为2或． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$