2.5.2等腰三角形的轴对称性：（二）直角三角形的性质（5大题型提分练）-【上好课】2024-2025学年八年级数学上册同步精品课堂（苏科版）

2.5.2 等腰三角形的轴对称性： （二）直角三角形的性质 题型一 利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求线段长 1．如图，一架梯子斜靠在竖直墙上，点为梯子的中点，当梯子底端向右水平滑动到位置时，滑动过程中的变化规律是　　 A．不变 B．变小 C．变大 D．先变小再变大 2．若直角三角形斜边上的高和中线长分别是，，则它的面积是　　 A． B． C． D． 3．如图，在中，是上的一点，，，分别是，的中点，，则的长是　　 A．3． B．4 C．5 D．6 4．如图，中，，，，线段的两个端点、分别在边，上滑动，且，若点、分别是、的中点，则的最小值为　　 A．2 B．3 C．3.5 D．4 5．如图，四边形中，，，连接、．是的中点，连接、．若，则的面积为　　． 6．如图，在中，、分别是、边上的高，是的中点． （1）求证：是等腰三角形； （2）若，，求的长．（用含有的代数式表示） 题型二 利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求角度 1．如图，在中，，为的中点，点在上，且，，则的大小为　　 A． B． C． D． 2．如图，在中，是边上的高，是边上的中线，且，已知，则的度数是　　 A． B． C． D． 3．如图，在四边形中，，为对角线的中点，连接，．若，则的度数为　　 A． B． C． D． 4．已知：如图，锐角中，、分别是边、上的高，、分别是线段、的中点． （1）求证：； （2）连接、，猜想与之间的关系，并说明理由． 题型三 利用30°角所对的直角边等于斜边的一半求线段长 1．如图，在中，，，点为的中点，于点，，则为　　 A．2 B．4 C．6 D．8 2．如图，在中，，，交于点，，则的长是　　 A．3 B． C．4 D． 3．如图，在等边三角形中，，是的中点，过点作于点，过点作于点，则的长为　　 A．1 B． C． D． 4．如图，在中，，，平分，点是的中点，若，则的长为　　． 5．如图，中，，，是线段上一点，连接并延长至，连接，若，，，则线段长为　　． 6．用两种方法证明“直角三角形角所对的边是斜边的一半”． 已知：如图，在中，，． 求证：． 题型四 直角三角形的存在性问题 1．如图，，，动点从点出发，以每秒1个单位长度的速度沿射线运动，设点的运动时间为秒，当为锐角三角形时，的取值范围是　　 A． B． C． D． 2．如图，在中，，，，动点、同时从、两点出发，分别在、边上匀速移动，它们的速度分别为，，当点到达点时，、两点同时停止运动，设点的运动时间为． （1）当为何值时，为等边三角形？ （2）当为何值时，为直角三角形？ 题型五 与等边三角形综合 1．如图，在中，，，点、在上，且． （1）求的度数； （2）若点为线段的中点，求证：是等边三角形． 2．如图，在中，，平分，交于点，且，过作交于点，连接． （1）求证：是等边三角形． （2）求证：． 3．如图，在中，垂直平分，垂足为，过点作，垂足为，的延长线与边的延长线交于点，． （1）求证：是等边三角形； （2）与有怎样的数量关系？请说明理由． 1．如图，已知：，点、、、在射线上，点、、、在射线上，△、△、△、均为等边三角形，若，则△的边长为　　 A．32 B．64 C．128 D．256 2．如图，中，，点是外一点，是等边三角形，过点分别作，的垂线，垂足分别为，，若，则的值为　　 A． B． C． D． 3．如图，中，，，，为上一动点，垂直平分分别交于、交于，则的最大值为　　． 4．如图1，为等边三角形，点为的中点，连接，平分，交于点，点在外，连接，，，满足，． （1）求的度数； （2）如图2，点是上一点，连接，，与交于点．若，求证：． 5．如图，，与相交于点，． （1）求证：垂直平分； （2）过点作交的延长线于，如果； ①求证：是等边三角形； ②如果、分别是线段、线段上的动点，当为最小值时，请确定点的位置，并思考此时与有怎样的数量关系． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2.5.2 等腰三角形的轴对称性： （二）直角三角形的性质 题型一 利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求线段长 1．如图，一架梯子斜靠在竖直墙上，点为梯子的中点，当梯子底端向右水平滑动到位置时，滑动过程中的变化规律是　　 A．不变 B．变小 C．变大 D．先变小再变大 【详解】解：，为的中点， ． 同理可得：， ， 的长度不变． 故本题选：． 2．若直角三角形斜边上的高和中线长分别是，，则它的面积是　　 A． B． C． D． 【详解】解：直角三角形斜边上中线长， 斜边， 面积． 故本题选：． 3．如图，在中，是上的一点，，，分别是，的中点，，则的长是　　 A．3． B．4 C．5 D．6 【详解】解：如图，连接， ，是的中点， ， ，是的中点，， ． 故本题选：． 4．如图，中，，，，线段的两个端点、分别在边，上滑动，且，若点、分别是、的中点，则的最小值为　　 A．2 B．3 C．3.5 D．4 【详解】解：如图，连接、， ∵，，DE=4，点、分别是、的中点， ，， 当、、在同一直线上时，取最小值， 的最小值为：． 故本题选：． 5．如图，四边形中，，，连接、．是的中点，连接、．若，则的面积为　　． 【详解】解：，是的中点， ， ，，， 由三角形的外角性质可得：， ， ， ∵在四边形中，，， ， ， ． 故本题答案为：18． 6．如图，在中，、分别是、边上的高，是的中点． （1）求证：是等腰三角形； （2）若，，求的长．（用含有的代数式表示） 【详解】（1）证明：、分别是、边上的高，是的中点， ， 是等腰三角形； （2）解：在中，， ， ，， ，， ，， ， 是等边三角形， ， ． 题型二 利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求角度 1．如图，在中，，为的中点，点在上，且，，则的大小为　　 A． B． C． D． 【详解】解：，， ， ， ， ， ，为的中点， ， 是等边三角形，， ， ． 故本题选：． 2．如图，在中，是边上的高，是边上的中线，且，已知，则的度数是　　 A． B． C． D． 【详解】解：如图，连接， 是边上的高， ， 是边上的中线， 是的中点， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 故本题选：． 3．如图，在四边形中，，为对角线的中点，连接，．若，则的度数为　　 A． B． C． D． 【详解】解：如图，连接，设的度数为， ，为对角线的中点， ， ，， 在中，， 同理可得到：，， 在等腰三角形中，，解得：， ． 故本题选：． 4．已知：如图，锐角中，、分别是边、上的高，、分别是线段、的中点． （1）求证：； （2）连接、，猜想与之间的关系，并说明理由． 【详解】（1）证明：如图，连接，， 、分别是、边上的高，是的中点， ，， ， 又为中点， ； （2）解：，理由如下： 在中，， ， ， ． 题型三 利用30°角所对的直角边等于斜边的一半求线段长 1．如图，在中，，，点为的中点，于点，，则为　　 A．2 B．4 C．6 D．8 【详解】解：如图，连接， ，， ， 是的中点， ， ， ， ， ， ， ， ． 故本题选：． 2．如图，在中，，，交于点，，则的长是　　 A．3 B． C．4 D． 【详解】解：， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 故本题选：． 3．如图，在等边三角形中，，是的中点，过点作于点，过点作于点，则的长为　　 A．1 B． C． D． 【详解】解：为等边三角形， ，， ，， ， ， ，， 点是的中点， ， ，，， ． 故本题选：． 4．如图，在中，，，平分，点是的中点，若，则的长为　　． 【详解】解：如图，过点作于， ，， ， ， 又平分， ， ，平分， ， ， 点是的中点， ． 故本题答案为：3． 5．如图，中，，，是线段上一点，连接并延长至，连接，若，，，则线段长为　　． 【详解】解：如图，作，垂足为， ，， ，， ， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， 设，则，， ， ， ， 线段长为． 故本题答案为． 6．用两种方法证明“直角三角形角所对的边是斜边的一半”． 已知：如图，在中，，． 求证：． 【详解】证明：方法1： 如图，在的上截取，连接． 在中， ，， ， 又， 是等边三角形， ，， ， ， 又， ， ， ． 方法2： 如图，延长至，使，连接， ， ， 在和中， ， ，， ， 是等边三角形， ， 又， ． 题型四 直角三角形的存在性问题 1．如图，，，动点从点出发，以每秒1个单位长度的速度沿射线运动，设点的运动时间为秒，当为锐角三角形时，的取值范围是　　 A． B． C． D． 【详解】解：分两种情况： ①如图，当， 在中，，， ； ②如图，当， 在中，，， ； 当时，为锐角三角形， ． 故本题选：． 2．如图，在中，，，，动点、同时从、两点出发，分别在、边上匀速移动，它们的速度分别为，，当点到达点时，、两点同时停止运动，设点的运动时间为． （1）当为何值时，为等边三角形？ （2）当为何值时，为直角三角形？ 【详解】解：在中，，， ， ， ，，cm， （1）当时，为等边三角形， 由题意可得：， ， ∴当时，为等边三角形； （2）若为直角三角形， ①当时，， 由题意可得：， ， ②当时，， 由题意可得：， ， 综上，当或时，为直角三角形． 题型五 与等边三角形综合 1．如图，在中，，，点、在上，且． （1）求的度数； （2）若点为线段的中点，求证：是等边三角形． 【详解】解：（1），， ， ， ， ， ， ， 即； （2）证明：由（1）可知：， ， ，， ， 点为的中点， ， ， 是等边三角形． 2．如图，在中，，平分，交于点，且，过作交于点，连接． （1）求证：是等边三角形． （2）求证：． 【详解】证明：（1）平分， ， ， ， ， ， ， ， 是等边三角形； （2）， ， ， 是等边三角形， ， ，， ， ， 是的中点， 是边的中线， 是等边三角形， ． 3．如图，在中，垂直平分，垂足为，过点作，垂足为，的延长线与边的延长线交于点，． （1）求证：是等边三角形； （2）与有怎样的数量关系？请说明理由． 【详解】（1）证明：垂直平分， ， ，， ， 为等边三角形； （2）与的数量关系是：，理由如下： 如图，过点作于， 设，，则， 由（1）可知：为等边三角形， ， ， ， 垂直平分， ， 在和中， ， ， ， 在中，， ， ， 在中，， ， 即， ， ， ， ． 1．如图，已知：，点、、、在射线上，点、、、在射线上，△、△、△、均为等边三角形，若，则△的边长为　　 A．32 B．64 C．128 D．256 【详解】解：如图， △是等边三角形， ，， ， ， ， 又， ， ， ， ， △、△是等边三角形， ，， ， ，， ，， ，， ， ， ， △的边长为， △的边长为． 故本题选：． 2．如图，中，，点是外一点，是等边三角形，过点分别作，的垂线，垂足分别为，，若，则的值为　　 A． B． C． D． 【详解】解：如图，过点作于点，过点作于点， ，， ， 为等边三角形， ，， ， ， ， ， 又，， ， 在和中， ， ， ， 同理可得：， ， 设，则， ， ， 设，， 则，， 在中，， ， 即， ， 在中，， ， ， 即， ， ， ， ，， ． 故本题选：． 3．如图，中，，，，为上一动点，垂直平分分别交于、交于，则的最大值为　　． 【详解】解：如图，过点作于，连接， 设，则， ， ， ，解得：， 最小值为，的最大值为． 故本题答案为：． 4．如图1，为等边三角形，点为的中点，连接，平分，交于点，点在外，连接，，，满足，． （1）求的度数； （2）如图2，点是上一点，连接，，与交于点．若，求证：． 【详解】（1）解：为等边三角形， ，， ， ， ， 在和中， ， ， ，， ； （2）证明：由（1）可知：，， 为等边三角形， ，， ， ，， 在和中， ， ， ， 为等边三角形，点为的中点， ， 平分， ， ， ， ， ， 又， ， 在中，， ． 5．如图，，与相交于点，． （1）求证：垂直平分； （2）过点作交的延长线于，如果； ①求证：是等边三角形； ②如果、分别是线段、线段上的动点，当为最小值时，请确定点的位置，并思考此时与有怎样的数量关系． 【详解】（1）证明：，， ，， 在的垂直平分上，， ， 在的垂直平分上， 垂直平分； （2）①证明：设， ， ， 是的外角， ， 由（1）可知：，， ， ， ， ， ， ，即， 则， ， ， 是等边三角形； ②为最小值时，与的数量关系是，理由如下： 如图，延长至，使， ， 与关于成轴对称，过作于交于，连接， ， ，此时为最小， 由①可知：，即， ，即， 在中，， ， 为最小值时，与的数量关系是． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$