第八章平面解析几何阶段集训8课件-2025届高三数学一轮复习

第八章 平面解析几何 阶段集训8 1 范围：8.5椭圆~8.7抛物线 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选 项中，只有一项是符合题目要求的. 1.准线方程为 的抛物线的标准方程为( ) A. B. C. D. 解：因为抛物线的准线方程为，所以，且焦点在 轴上，所以抛物线的标 准方程为 .故选D. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 2 2.已知双曲线的渐近线方程为，则 ( ) A.5 B. C. D. 解：易知双曲线的标准方程为，，则其渐近线方程为 . 又该双曲线的渐近线方程为，所以，解得 . 故选B. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 3.椭圆与双曲线有相同的焦点，则 的值为( ) A.1 B. C.2 D.3 解：因为椭圆与双曲线有相同的焦点，所以 ，且椭圆的焦 点在轴上，即.所以，解得（舍去），或 .故选A. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 4 4.已知椭圆上一点到左焦点的距离为5，是的中点，则 ( ) A. B.2 C. D.3 解：设椭圆右焦点为 . 由题意,得，所以 . 又，所以 . 因为是的中点，为的中点，所以 . 故选A. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 5 5.若抛物线上的点到焦点的距离为8，到 轴的距离为6，则抛物 线 的标准方程是( ) A. B. C. D. 解：由抛物线定义,得，解得 . 所以抛物线C的标准方程为 . 故选C. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 6 6.已知抛物线 的焦点和以原点为对称中心的椭圆的一个焦点重合，且抛物线 的准线截椭圆的弦长为3，则椭圆的标准方程为( ) A. B. C. D. 解：抛物线的焦点为，准线为 . 设椭圆方程为，则 . 由题意,知当时， . 故 . 又，所以, . 故椭圆方程为 . 故选B. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 7 7.油纸伞是中国传统工艺品，至今已有1 000多年的历史.如下图所示， 该伞的伞沿是一个半径为2的圆，圆心到伞柄底端距离为 ，当阳光与 地面夹角为 时,地面形成了一个椭圆形影子,且伞柄底恰在长轴上,则 椭圆离心率为( ) A. B. C. D. 解：伞柄与地面夹角的正切值为,因此夹角为 ,即阳光光线与伞柄平行. 所以椭圆长半轴长,, . 故选D. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 8 8.设为坐标原点，直线与双曲线 的两条渐近线分 别交于，两点.若的面积为8，则 的焦距的最小值为( ) A.4 B.8 C.16 D.32 解：设双曲线的半焦距为.由题意,可得双曲线的渐近线方程为 . 分别将代入,可得 . 不妨设， . 则，所以，当且仅当 时取等号. 所以C的焦距的最小值为 . 故选B. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 9 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中， 有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的 得0分. 9.已知方程 ，则( ) A.若此方程表示椭圆，则 B.若此方程表示双曲线，则或 C.若此方程表示焦点在轴的双曲线，则 D.若此方程表示圆，则圆的半径为1 √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 10 解：对于A,当方程表示椭圆时，解得且 ，故A错误. 对于B,当方程表示双曲线时，，解得或 ，故B正确. 对于C,当方程表示焦点在轴上的双曲线时，解得 ，故C错误. 对于D,当方程表示圆时，，解得，此时方程为 ，故D 正确. 故选 . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 11 10.已知是椭圆上的一点，,是椭圆 的两个焦点，则下列结论正确 的是( ) A.椭圆的短轴长为 B.,的坐标分别为, C.椭圆的离心率为 D.存在点，使得 解：椭圆的焦点在轴上，,,，则短轴长为 ，A正确. ,的坐标为 ，B错误. 离心率为 ，C正确. 因为，所以以原点为圆心，为半径的圆与椭圆没有交点.故不存在点 ，使得 ，D错误. 故选 . √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 12 11.（2022年新课标Ⅱ卷）已知为坐标原点，过抛物线的焦点 的 直线与交于，两点，其中在第一象限，点，若 ，则 ( ) A.直线的斜率为 B. C. D. √ √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 13 解：对于A，易得,，由可得点A在 的垂直平分线 上，则A点的横坐标为 . 代入抛物线C的方程可得，则,，则直线 的斜率为 ，A正确. 对于B，由斜率为可得直线的方程为 ，与抛物线方 程联立得 . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 14 设，则，则 ，代入抛物线C的方程 得，解得，则, . 则 ，B错误. 对于C，由抛物线定义，知 ，C正确. 对于D，, , ，则 为钝角. 又, , ，则 为钝角.又 ，则 ，D正确. 故选 . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12.已知双曲线 恰好满足下列条件中的两个：①过点 ；②渐近线方程为；③离心率.则双曲线 的方程为 ___________. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 16 解：由③得，，则双曲线的渐近线方程为 . 显然②与③不能同时成立. 若③成立，又该双曲线的焦点在轴上，则显然 在双曲线外部，即①③也不 能同时成立. 故该双曲线满足①②.则解得 则双曲线的方程为 . 故填 . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 17 13.斜率为2的直线与抛物线交于，两点，为弦 的中点， 则抛物线的准线方程为________. 解：设，，则， . 两式相减,得 ， 所以 . 又直线的斜率为2，的中点为 . 所以，所以 . 所以抛物线的准线方程为 . 故填 . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 18 14.已知椭圆的左、右焦点分别为，，点 是椭圆上一点，若 ，则 ___. 2 解：由椭圆的方程,得，，则， . 在中，由余弦定理,得 ， 即，解得 . 故填2. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 19 $$