第八章平面解析几何单元检测课件-2025届高三数学一轮复习

第八章 平面解析几何 单元检测 1 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选 项中，只有一项是符合题目要求的. 1.直线 的倾斜角是 ( ) A. B. C. D. 解：直线的斜率 . 设直线的倾斜角为 ，则 ， 而，所以 . 故选D. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 2 2.若直线与平行，则与 的距离为( ) A. B. C. D. 解：由题意,得，解得 . 故，化简得 . 则与之间的距离为 . 故选C. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 3 3.“”是“直线与 垂直”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 解：由得两直线斜率满足 ，即两直线垂直； 由两直线垂直得，解得 . 故选A. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 4 4.已知直线经过拋物线的焦点，则 的值为( ) A. B. C. D. 解:由题意,知抛物线的焦点坐标为，所以，解得 .故选D. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 5 5.已知椭圆的对称轴是坐标轴，离心率为 ,长轴长为12，则椭圆方程为( ) A. B. C.或 D.或 解：由题意，得，,所以， . 所以 . 当焦点在轴上时，椭圆方程为 . 当焦点在轴上时，椭圆方程为 . 故选C. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 6 6.若直线与圆相切，则实数 的值为( ) A. B.1或 C.或3 D. 解：圆的方程可化为，可得圆心为，半径 . 由题意,得圆心到直线的距离，解得或 .故选B. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 7 7.设是抛物线上的一个动点，则点到点的距离与点到直线 的距离之和的最小值为( ) A. B. C. D.1 解：如图，易知抛物线的焦点为，准线是 . 由抛物线的定义,知点到直线的距离等于点到点 的距离. 问题转化为在抛物线上求一点，使点到点的距离与点 到 点 的距离之和最小. 显然，连接 与抛物线相交的点即为满足题意的点， 此时最小值为 . 故选B. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 8 8.（2023年全国乙卷）设，为双曲线 上两点，下列四个点中，可为线段 中点的是( ) A. B. C. D. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 9 解：设, ， 则的中点, . 可得, . 因为A,B在双曲线上，则 两式相减得 ， 所以 . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 10 由选项中的点所在位置，知A，B在双曲线的两支上,则 ， 所以,则或 ，只有选项D满足. 故选D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中， 有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的 得0分. 9.已知曲线的方程为 ，则下列结论正确的是( ) A.当时，曲线 为圆 B.当时，曲线为双曲线，其焦点到渐近线的距离为 C.“”是“曲线为焦点在 轴上的椭圆”的充分不必要条件 D.存在实数使得曲线为双曲线，其离心率为 √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 12 解：当时，曲线C的方程为 ，表示圆，故A正确. 当时，曲线C的方程为，焦点坐标为 ，渐近线方程为 ，则焦点到渐近线的距离为 ，故B正确. 取，曲线C的方程为 不表示椭圆，故C错误. 曲线C为双曲线时，，即或.当 时，双曲线的离心 率，若，则无解.当时，同样可得 无解，故D错误. 故选 . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 13 10.已知点在圆上，点在圆 上， 则( ) A.两圆外离 B. 的最大值为9 C. 的最小值为1 D.两圆的一条公切线方程为 √ √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 14 解：圆的圆心坐标，半径 . 圆，即的圆心坐标 ， 半径 . 所以圆心距 . 因为 ，所以两圆外离．故A正确. 因为点在圆上，点在圆上，所以 , ，故B，C正确. 因为圆心到直线的距离 ，所以直线 不是两圆的公切线，故D错误. 故选 ． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 15 11.已知抛物线的焦点为，准线为，点，线段交抛物线于点 ， 过点作的垂线，垂足为，若 ，则( ) A. B. C. D. 解：抛物线C的焦点为，准线为 . 如图,设准线与轴交于点 . 因为，所以由，得 . 因为，所以，即 ，故A错误. 由抛物线定义,得，所以 ，即 ， ，故B,C正确，D错误. 故选 . √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 16 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12.若点到直线的距离为2，则直线 的方程为_________________ ___. 或 解：由题意,有，得，所以或 . 易得直线的方程为或 . 故填或 . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 17 13.已知椭圆,为椭圆的左焦点,为椭圆的右顶点,为椭圆 上一点.若 ,则 _____. 解：由题意,得,,,则, . 所以.由,得,所以为椭圆 短轴的一个端点. 所以 . 故填 . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 18 14.是双曲线和圆 的一个交点， 且，其中，是双曲线的两个焦点，则双曲线 的离心率为 _______. 解：如图,不妨设 为左焦点. 由题中条件，知圆的直径是双曲线的焦距，则 . 所以 ， , 则有， . 所以离心率 . 故填 . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 19 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演 算步骤. 15.（13分）分别求满足下列条件的直线方程，并化为一般式. （1）经过点，且斜率与直线 的斜率相同； （2）经过两点和 ； （3）经过点且与直线 垂直. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 解：（1）过点，斜率与直线 的斜率相同的直线方程是 ，化为一般式方程为 . （2）过两点和的直线方程是，化为一般式方程为 . （3）设与直线垂直的直线方程为 ，且该直线过点 ，则有，解得 ，所以所求的直线方程为 .也可直接由点斜式求解. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 21 16.（15分）已知点，圆的圆心在直线上,且与 轴切于点 ， （1）求圆 的方程； （2）若直线过点且被圆截得的弦长为，求直线 的方程. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 22 解：（1）由题意，设圆心坐标为，则解得 所以圆心，半径 . 故圆的方程为 . （2）因为点，直线过点，所以设直线的斜率为（ 存在）,则其方程为 ，即 . 又圆的圆心为，半径，弦长为 ， 故弦心距 . 故，解得 . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 23 所以直线的方程为 , 即 . 当的斜率不存在时，的方程为 . 经验证, 也满足条件. 故的方程为或 . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 17.（15分）已知抛物线的焦点为， 为该抛物线在第一象限内的图象上的一 个动点. （1）当时，求点 的坐标； （2）求点到直线 的距离的最小值. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 25 解：（1）依题意可设，，易知 . 因为，结合抛物线的定义得 ， 即，所以点的坐标为 . （2）设点的坐标为， ， 则点到直线的距离 .因为 ， 所以当时， 取得最小值9. 故点到直线的距离的最小值 . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 26 18.（17分）设为坐标原点，动点在椭圆上，过作 轴的垂线，垂 足为，点满足 . （1）求点 的轨迹方程. （2）设点在直线上，且.证明：过点且垂直于的直线过 的 左焦点 . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 27 解：（1）设，，则 ， , . 由，得, . 因为在上，所以，所以 . 因此点的轨迹方程为 . （2）证明：易知 . 设， ，则 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 28 ，,， ， . 由，得 . 又由（1）知，故 . 所以，即 . 又过点存在唯一直线垂直于，所以过点且垂直于的直线过的左焦点 . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 19.（17分）已知双曲线的左、右焦点分别为, ，双曲 线的右顶点在圆上，且 . （1）求双曲线 的标准方程. （2）动直线与双曲线恰有1个公共点，且与双曲线的两条渐近线分别交于点 ， ，问（ 为坐标原点）的面积是否为定值？若为定值，求出该定值；若不为 定值，试说明理由. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 30 解：（1）设双曲线的半焦距为，则,.由点 在圆 上，得 . 由，得 ，所以 . 所以双曲线的标准方程为 . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 31 （2）设直线与轴相交于点，双曲线的渐近线方程为 . 当直线的斜率不存在时，直线为,, ，得 . 当直线的斜率存在时，设其方程为，显然，则 . 联立得 . 又直线与双曲线的渐近线不平行，所以，且 . 于是得 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 32 得 . 设, . 由得.同理得 . 所以 . 综上， 的面积恒为定值2. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 $$